數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系課件

公理化方法的作用一門學(xué)科實(shí)現(xiàn)公理化的標(biāo)志是:1、它有一套基本術(shù)語/原始概念；2、它有一組基本命題/原始命題/公理；3、其余的概念全由原始概念出發(fā)定義，其余命題全由公理予以推理論證。公理化方法的作用一門學(xué)科實(shí)現(xiàn)公理化的標(biāo)志是:公理化方法的作用

算術(shù)、幾何、微積分、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、集合論、群論、概率論建立了公理化體系；力學(xué)、物理學(xué)、量子力學(xué)、熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)利用了公理化方法；哲學(xué)、倫理學(xué)等也借鑒了公理化方法（康德、黑格爾、斯賓諾莎等）。我國(guó)教育理論也開始探討教育科學(xué)的邏輯起點(diǎn)。目的：提高本學(xué)科的邏輯化水平和科學(xué)化水平。公理化方法的作用算術(shù)、幾何、微積分、泛函分公理化方法的作用

徐利治教授認(rèn)為公理化經(jīng)歷了三個(gè)階段：實(shí)質(zhì)公理化時(shí)期形式公理化時(shí)期元數(shù)學(xué)時(shí)期公理化方法的作用徐利治教授認(rèn)為公理化經(jīng)歷了三個(gè)階段：公理化方法的作用

實(shí)質(zhì)公理化：歐幾里德幾何的出現(xiàn)，是對(duì)已有的不證自明事實(shí)的高度概括，明顯依賴經(jīng)驗(yàn)或感性直觀。牛頓力學(xué)的公理化體系（即其三大定律）也呈現(xiàn)實(shí)質(zhì)公理化特征。

形式公理化：非歐幾何的出現(xiàn)，公里的起點(diǎn)進(jìn)一步被形式化和符號(hào)化，籍此，希爾波特把歐氏幾何也改造的更加形式化（點(diǎn)、線、面——桌子、椅子、啤酒杯）

公理化方法的作用實(shí)質(zhì)公理化：歐幾里德幾何的出現(xiàn)，公理化方法的作用

元數(shù)學(xué)：概念成為符號(hào)；命題成了公式；推理成了公式變形；形式系統(tǒng)成為研究對(duì)象，數(shù)學(xué)成為更加抽象和形式化的系統(tǒng)。元數(shù)學(xué)與形式公理化方法對(duì)于數(shù)學(xué)的更深入研究是必要的，但對(duì)于一般人來說，實(shí)質(zhì)公理化方法就已足夠。公理化方法的作用元數(shù)學(xué)：概念成為符號(hào)公理化方法的作用算術(shù)公理：1屬于非空集合N（1只是一個(gè)符號(hào)）；N的每個(gè)元素a有后繼數(shù)a’;1不是任何元素的后繼數(shù)；若a’=b’，則a=b；設(shè)M?N,若1∈M,又若當(dāng)a∈M時(shí)，a’∈M,則M=N原始概念只有1，后繼數(shù)集合，?，∈從集合論來的。公理化方法的作用算術(shù)公理：原始概念只有1，后繼公理化方法的作用

所有的算術(shù)概念、命題都建立在這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)上。這體現(xiàn)了高度的概括性。物質(zhì)：物質(zhì)是獨(dú)立存在于人的意識(shí)之外的客觀存在。存在：不依賴人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀世界，即物質(zhì)。（現(xiàn)代漢語詞典，商務(wù)出版社，1983年第二版）。

這些是在某些人文社會(huì)學(xué)科中常見的邏輯毛病。公理化方法的作用所有的算術(shù)概念、命題都建立在這樣一公理化方法的作用數(shù)學(xué)的推理是嚴(yán)格的、符合邏輯的。例如，我們要證明圓內(nèi)接四邊形的兩對(duì)角和為180度。如果承認(rèn)該命題，你就不會(huì)在企圖作一個(gè)非矩形的圓內(nèi)接平行四邊形，也不會(huì)試圖作一個(gè)非正方形的圓內(nèi)接菱形。公理化方法的作用數(shù)學(xué)的推理是嚴(yán)格的、符合邏輯的公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用實(shí)際上我們是依照如下的方式尋根：圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)角互補(bǔ)；圓周角等于對(duì)應(yīng)圓心角的一半；等腰三角形兩底角相等三角形一外角等于相鄰兩內(nèi)角之和；三角形三內(nèi)角和為180度；平行公理——根公理化方法的作用實(shí)際上我們是依照如下的方式尋根：公理化方法的作用這種嚴(yán)謹(jǐn)與清晰的邏輯與尋根問底的精神只有哲學(xué)才能相比。邏輯的起點(diǎn)無外乎兩個(gè)方面：概念的起點(diǎn)與命題的起點(diǎn)。概念——新概念；命題——新命題。數(shù)學(xué)已經(jīng)作出了表率，這也是其他學(xué)科（包括人文社會(huì)學(xué)科）仿效的原由公理化方法的作用這種嚴(yán)謹(jǐn)與清晰的邏輯與尋根問底的精神只有哲學(xué)數(shù)學(xué)直覺的作用我們常說數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)，但它并不全是演繹。否則，我們將誤解了數(shù)學(xué)。只所以說數(shù)學(xué)是演繹科學(xué)，那是指自歐氏幾何以來，為了使數(shù)學(xué)建立在公理化基礎(chǔ)上的工作是十分成功的。而公理化體系的核心就是演繹。那么公理體系來源于什么？原始的概念從何而來？這些就不是演繹所能夠解決的了！數(shù)學(xué)直覺的作用我們常說數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)，但它并不全數(shù)學(xué)直覺的作用實(shí)際上，如果我們的教學(xué)從嚴(yán)格的公理化方式進(jìn)行，盡管它是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但是中小學(xué)生，甚至大學(xué)生都是無法接受的。因此，數(shù)學(xué)教育不可能建立在完全系統(tǒng)的公理方法基礎(chǔ)上，只能適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些方法數(shù)學(xué)直覺的作用實(shí)際上，如果我們的教學(xué)從嚴(yán)格的公理化方數(shù)學(xué)直覺的作用公理體系本身是不可能完備的。事實(shí)上，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾證明了“哥德爾不完備性定理”：即使是算術(shù)形式系統(tǒng)內(nèi)至少存在一個(gè)命題是系統(tǒng)本身不能確認(rèn)其真?zhèn)蔚摹Ｒ虼?，把公理體系，從而把演繹的功能絕對(duì)化是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)直覺的作用公理體系本身是不可能完備的。事實(shí)上，奧地利數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)直覺的作用另一方面，按照心理學(xué)分類，純粹的演繹思想屬于收斂性思維，它能使人的思維更條理化、系統(tǒng)化，更健康，但是它也局限了人的思維的活潑性，因此，很難由演繹獲得開拓性成果和開創(chuàng)性發(fā)現(xiàn)。我國(guó)的教育現(xiàn)狀正存在過分強(qiáng)調(diào)收斂性思維（教學(xué)權(quán)威主義），而忽略發(fā)散性思維，這一點(diǎn)另人堪憂！數(shù)學(xué)直覺的作用另一方面，按照心理學(xué)分類，純粹的演繹思數(shù)學(xué)直覺的作用正確的方式應(yīng)該是全面地應(yīng)用演繹、歸納、類比、直觀、直感、直覺等思維方式進(jìn)行教育活動(dòng)，使收斂性思維和發(fā)散性思維得到合理的傳授。數(shù)學(xué)直覺的作用正確的方式應(yīng)該是全面地應(yīng)用演繹、歸納、類比、直數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比前面已經(jīng)談到歸納的作用。實(shí)際上，不完全歸納是發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的開始，完全歸納是發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的確認(rèn)！人類從小就具有不完全歸納的能力。（認(rèn)人，語言。數(shù)數(shù)），但接觸演繹則要晚得多，一般在初二學(xué)習(xí)幾何時(shí)才開始。這是少年的一個(gè)危險(xiǎn)期，必須嚴(yán)肅對(duì)待。數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比前面已經(jīng)談到歸納的作用。實(shí)際上，不數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比我們?cè)賮碚務(wù)勵(lì)惐?。類比雖然無法登上論證推理的大雅之堂，但卻是非常重要的發(fā)現(xiàn)式和創(chuàng)造式思維方式。它不是論證推理，屬于似真推理，雖然不能確證真理，但是可以逼近真理！數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比我們?cè)賮碚務(wù)勵(lì)惐?。類比雖然無法登上數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感有的問題從歸納、類比開始，但有的問題是從直覺、聯(lián)想開始的，還有的是從觀察開始的。比如“四色問題”就是由一個(gè)年輕的英國(guó)人通過觀察感覺到似乎任何復(fù)雜的地區(qū)只需要四種顏色就可以加以區(qū)別。數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感有的問題從歸納、類比開始，數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感“四色問題”的難點(diǎn)在于無論多少區(qū)域也只需四色。1922（70年后）限定區(qū)域不超過251938：32區(qū)域1940：35區(qū)域1968：40區(qū)域1976：解決（計(jì)算機(jī)，1200小時(shí)）（1852—1976）數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感“四色問題”的難點(diǎn)在于無論數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感凸多面體的邊、角、棱的關(guān)系也是通過觀察后總結(jié)出來的數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感凸多面體的邊、角、棱的關(guān)系數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感多面體面數(shù)F頂點(diǎn)數(shù)V棱數(shù)E1.三棱錐4462.四棱錐5583.五棱錐66104.三棱柱5695.四棱柱68126.五棱柱710157.八面體8612數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感多面體面數(shù)F頂點(diǎn)數(shù)V棱數(shù)E1.三棱數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感容易猜測(cè)公式F+V-E=2這是拓?fù)鋵W(xué)中基本的Euler公式.數(shù)學(xué)直覺的作用：直觀、直感容易猜測(cè)公式公理化方法的作用一門學(xué)科實(shí)現(xiàn)公理化的標(biāo)志是:1、它有一套基本術(shù)語/原始概念；2、它有一組基本命題/原始命題/公理；3、其余的概念全由原始概念出發(fā)定義，其余命題全由公理予以推理論證。公理化方法的作用一門學(xué)科實(shí)現(xiàn)公理化的標(biāo)志是:公理化方法的作用

算術(shù)、幾何、微積分、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、集合論、群論、概率論建立了公理化體系；力學(xué)、物理學(xué)、量子力學(xué)、熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)利用了公理化方法；哲學(xué)、倫理學(xué)等也借鑒了公理化方法（康德、黑格爾、斯賓諾莎等）。我國(guó)教育理論也開始探討教育科學(xué)的邏輯起點(diǎn)。目的：提高本學(xué)科的邏輯化水平和科學(xué)化水平。公理化方法的作用算術(shù)、幾何、微積分、泛函分公理化方法的作用

徐利治教授認(rèn)為公理化經(jīng)歷了三個(gè)階段：實(shí)質(zhì)公理化時(shí)期形式公理化時(shí)期元數(shù)學(xué)時(shí)期公理化方法的作用徐利治教授認(rèn)為公理化經(jīng)歷了三個(gè)階段：公理化方法的作用

實(shí)質(zhì)公理化：歐幾里德幾何的出現(xiàn)，是對(duì)已有的不證自明事實(shí)的高度概括，明顯依賴經(jīng)驗(yàn)或感性直觀。牛頓力學(xué)的公理化體系（即其三大定律）也呈現(xiàn)實(shí)質(zhì)公理化特征。

形式公理化：非歐幾何的出現(xiàn)，公里的起點(diǎn)進(jìn)一步被形式化和符號(hào)化，籍此，希爾波特把歐氏幾何也改造的更加形式化（點(diǎn)、線、面——桌子、椅子、啤酒杯）

公理化方法的作用實(shí)質(zhì)公理化：歐幾里德幾何的出現(xiàn)，公理化方法的作用

元數(shù)學(xué)：概念成為符號(hào)；命題成了公式；推理成了公式變形；形式系統(tǒng)成為研究對(duì)象，數(shù)學(xué)成為更加抽象和形式化的系統(tǒng)。元數(shù)學(xué)與形式公理化方法對(duì)于數(shù)學(xué)的更深入研究是必要的，但對(duì)于一般人來說，實(shí)質(zhì)公理化方法就已足夠。公理化方法的作用元數(shù)學(xué)：概念成為符號(hào)公理化方法的作用算術(shù)公理：1屬于非空集合N（1只是一個(gè)符號(hào)）；N的每個(gè)元素a有后繼數(shù)a’;1不是任何元素的后繼數(shù)；若a’=b’，則a=b；設(shè)M?N,若1∈M,又若當(dāng)a∈M時(shí)，a’∈M,則M=N原始概念只有1，后繼數(shù)集合，?，∈從集合論來的。公理化方法的作用算術(shù)公理：原始概念只有1，后繼公理化方法的作用

所有的算術(shù)概念、命題都建立在這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)上。這體現(xiàn)了高度的概括性。物質(zhì)：物質(zhì)是獨(dú)立存在于人的意識(shí)之外的客觀存在。存在：不依賴人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀世界，即物質(zhì)。（現(xiàn)代漢語詞典，商務(wù)出版社，1983年第二版）。

這些是在某些人文社會(huì)學(xué)科中常見的邏輯毛病。公理化方法的作用所有的算術(shù)概念、命題都建立在這樣一公理化方法的作用數(shù)學(xué)的推理是嚴(yán)格的、符合邏輯的。例如，我們要證明圓內(nèi)接四邊形的兩對(duì)角和為180度。如果承認(rèn)該命題，你就不會(huì)在企圖作一個(gè)非矩形的圓內(nèi)接平行四邊形，也不會(huì)試圖作一個(gè)非正方形的圓內(nèi)接菱形。公理化方法的作用數(shù)學(xué)的推理是嚴(yán)格的、符合邏輯的公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用實(shí)際上我們是依照如下的方式尋根：圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)角互補(bǔ)；圓周角等于對(duì)應(yīng)圓心角的一半；等腰三角形兩底角相等三角形一外角等于相鄰兩內(nèi)角之和；三角形三內(nèi)角和為180度；平行公理——根公理化方法的作用實(shí)際上我們是依照如下的方式尋根：公理化方法的作用這種嚴(yán)謹(jǐn)與清晰的邏輯與尋根問底的精神只有哲學(xué)才能相比。邏輯的起點(diǎn)無外乎兩個(gè)方面：概念的起點(diǎn)與命題的起點(diǎn)。概念——新概念；命題——新命題。數(shù)學(xué)已經(jīng)作出了表率，這也是其他學(xué)科（包括人文社會(huì)學(xué)科）仿效的原由公理化方法的作用這種嚴(yán)謹(jǐn)與清晰的邏輯與尋根問底的精神只有哲學(xué)數(shù)學(xué)直覺的作用我們常說數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)，但它并不全是演繹。否則，我們將誤解了數(shù)學(xué)。只所以說數(shù)學(xué)是演繹科學(xué)，那是指自歐氏幾何以來，為了使數(shù)學(xué)建立在公理化基礎(chǔ)上的工作是十分成功的。而公理化體系的核心就是演繹。那么公理體系來源于什么？原始的概念從何而來？這些就不是演繹所能夠解決的了！數(shù)學(xué)直覺的作用我們常說數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)，但它并不全數(shù)學(xué)直覺的作用實(shí)際上，如果我們的教學(xué)從嚴(yán)格的公理化方式進(jìn)行，盡管它是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但是中小學(xué)生，甚至大學(xué)生都是無法接受的。因此，數(shù)學(xué)教育不可能建立在完全系統(tǒng)的公理方法基礎(chǔ)上，只能適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些方法數(shù)學(xué)直覺的作用實(shí)際上，如果我們的教學(xué)從嚴(yán)格的公理化方數(shù)學(xué)直覺的作用公理體系本身是不可能完備的。事實(shí)上，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾證明了“哥德爾不完備性定理”：即使是算術(shù)形式系統(tǒng)內(nèi)至少存在一個(gè)命題是系統(tǒng)本身不能確認(rèn)其真?zhèn)蔚?。因此，把公理體系，從而把演繹的功能絕對(duì)化是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)直覺的作用公理體系本身是不可能完備的。事實(shí)上，奧地利數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)直覺的作用另一方面，按照心理學(xué)分類，純粹的演繹思想屬于收斂性思維，它能使人的思維更條理化、系統(tǒng)化，更健康，但是它也局限了人的思維的活潑性，因此，很難由演繹獲得開拓性成果和開創(chuàng)性發(fā)現(xiàn)。我國(guó)的教育現(xiàn)狀正存在過分強(qiáng)調(diào)收斂性思維（教學(xué)權(quán)威主義），而忽略發(fā)散性思維，這一點(diǎn)另人堪憂！數(shù)學(xué)直覺的作用另一方面，按照心理學(xué)分類，純粹的演繹思數(shù)學(xué)直覺的作用正確的方式應(yīng)該是全面地應(yīng)用演繹、歸納、類比、直觀、直感、直覺等思維方式進(jìn)行教育活動(dòng)，使收斂性思維和發(fā)散性思維得到合理的傳授。數(shù)學(xué)直覺的作用正確的方式應(yīng)該是全面地應(yīng)用演繹、歸納、類比、直數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比前面已經(jīng)談到歸納的作用。實(shí)際上，不完全歸納是發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的開始，完全歸納是發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的確認(rèn)！人類從小就具有不完全歸納的能力。（認(rèn)人，語言。數(shù)數(shù)），但接觸演繹則要晚得多，一般在初二學(xué)習(xí)幾何時(shí)才開始。這是少年的一個(gè)危險(xiǎn)期，必須嚴(yán)肅對(duì)待。數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比前面已經(jīng)談到歸納的作用。實(shí)際上，不數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比我們?cè)賮碚務(wù)勵(lì)惐?。類比雖然無法登上論證推理的大雅之堂，但卻是非常重要的發(fā)現(xiàn)式和創(chuàng)造式思維方式。它不是論證推理，屬于似真推理，雖然不能確證真理，但是可以逼近真理！數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比我們?cè)賮碚務(wù)勵(lì)惐?。類比雖然無法登上數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比數(shù)學(xué)直覺的作用：歸納、類比數(shù)學(xué)直覺的作用：