保角變換數(shù)學物理方法

關于保角變換數(shù)學物理方法第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日重點：難點：分式線性變換及其映射特點分式線性變換與初等函數(shù)相結(jié)合，求一些簡單區(qū)域之間的映射

本章內(nèi)容：1）保角射的概念；2）分式線性映射和幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射；3）典型實例描述保角映射的應用．2第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日1.的幾何意義第一節(jié)保角映射的概念3第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日2)轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關.3)保角性方向不變的性質(zhì),此性質(zhì)稱為保角性.夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過4第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日

4）伸縮率方向無關.所以這種映射又具有伸縮率的不變性.5第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日2.共形映射（保角映射）也稱為第一類共形映射.僅保持夾角的絕對值不變而方向相反的映射,稱為第二類共形映射質(zhì):(1)保角性;(2)伸縮率不變性.6第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日稱為分式線性映射.任一分式線性映射都可看成是由下列三種基本的分式映射復合而成:

3.分式線性映射7第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日

分式線性映射的性質(zhì)1）分式線性映射在擴充復平面上一一對應.2）分式線性映射在擴充復平面上具有保角性.8第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日

2.如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,那末它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個點映射成無窮遠點,那末它就映射成直線.

分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周,即具有保圓性.3）分式線性映射在擴充復平面上具有保圓性注意：1.此時把直線看作是經(jīng)過無窮遠點的圓周.9第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日4）分式線性映射具有保對稱性.這一性質(zhì)稱為保對稱性.10第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日4.唯一決定分式線性映射的條件交比不變性11第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日判別方法:對確定區(qū)域的映射

在分式線性映射下,C的內(nèi)部不是映射成方法1在分式線性映射下,如果在圓周C內(nèi)任取

若繞向相反,則C方法212第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所2)當二圓周上有一點映射成無窮遠點時,這二圍成的區(qū)域.3)當二圓交點中的一個映射成無窮遠點時,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映成角形區(qū)域.1)當二圓周上沒有點映射成無窮遠點時,這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域.分式線性映射對圓弧邊界區(qū)域的映射:13第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日5.幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射映射特點:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域,但張角變成為原來的n倍.

14第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日特殊地:因此將角形域的張角拉大（或縮小）時，就可利用冪函數(shù)

所構(gòu)成的共形映射.015第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日00如果要把帶形域映射成角形域,常利用指數(shù)函數(shù).0特殊地:0映射特點:16第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日三、典型例題解1

利用分式線性映射不變交比和對稱點17第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日

由交比不變性知18第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日

解2由對稱點的不變性知，利用不變對稱點19第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日解3將所求映射設為利用典型區(qū)域映射公式20第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日例2

求一個分式線性映射它將圓映成圓,且滿足條件解因映成的映射為21第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日22第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日例3

求一個分式線性映射它將圓映成圓，且滿足條件

解23第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日與互為反函數(shù)，24第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日故25第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日

解26第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日例5

試證明在映射下,互相正交的直線族與依此映射成互相正交的直線族與圓族證27第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日由于過原點的直線與以原點為心的圓正交，故命題得證.[證畢]28第二十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日

例6試將如圖所示的區(qū)域映射到上半平面