生活中的軸對稱

第五章生活中的軸對稱第1、2節(jié)軸對稱現(xiàn)象和研究軸對稱的性質(zhì)知識點聚焦軸對稱圖形：假如一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠相互重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做該圖形的對稱軸.注：（1）軸對稱圖形是一個圖形，且這個圖形被對稱軸分紅的兩部分，對折后能夠重合.（2）對稱軸是一條直線，不是線段，也不是射線.（3）一個軸對稱圖形的對稱軸能夠有1條，也能夠有多條.（但起碼有1條）（4）常有的軸對稱圖形：線段、角、等腰三角形、菱形、長方形、圓等。成軸對稱：對于兩個圖形，假如沿一條直線對折后，它們能夠完好重合，那么這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是這兩個圖形的對稱軸.注：（1）兩個圖形成軸對稱是指兩個圖形之間的形狀和地點關(guān)系.（2）全等的兩個圖形不必定成軸對稱，成軸對稱的兩個圖形必定全等.軸對稱圖形與成軸對稱的差別、聯(lián)系與應(yīng)用1）差別：①軸對稱圖形是一個圖形，成軸對稱波及兩個圖形；②軸對稱圖形是說一個擁有特別形狀的圖形，成軸對稱是說兩個圖形的地點關(guān)系；③軸對稱圖形的對應(yīng)點在同一個圖形上，成軸對稱的對應(yīng)點，分別在兩個圖形上；④軸對稱圖形不必定只有一條對稱軸，成軸對稱的兩個圖形只有一條對稱軸.2）聯(lián)系：①都是沿某直線翻折后能夠相互重合；②假如把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形，反之，假如把軸對稱圖形沿著對稱軸分紅兩部分，那么這兩部分就是對于這條對稱軸成軸對稱.3）應(yīng)用：在數(shù)學(xué)里利用軸對稱主假如求最短距離，證明線段相等，角度相等，圖形全等。其余方面如桌球路線、光芒入射反射等狀況。軸對稱的性質(zhì)1）對于某直線對稱的兩個圖形是全等形.2）假如兩個圖形對于某直線對稱，那么對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直均分.3）假如兩個圖形對于某直線對稱，那么對應(yīng)線段（對應(yīng)的中線、高線、角均分線等）相等，對應(yīng)角相等.4）對應(yīng)點的連線相互平行（或在同向來線上）.注：（1）如何判斷軸對稱圖形上的對應(yīng)點和對應(yīng)線段.判斷兩個點能否是對應(yīng)點：判斷的標(biāo)準(zhǔn)是連結(jié)兩個對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直均分.若找到了對應(yīng)點，則對應(yīng)線段自然就找到了.2）軸對稱的應(yīng)用利用軸對稱能夠解決線段之和最小的問題.①將軍飲馬②建橋問題(要求橋垂直兩岸)方法：作A點對于直線l1的對稱點A，方法：作BCl2，使BCd，連結(jié)連結(jié)AB交l1于點P,點P即AC交l1于點D，作DEl1交所找的地點.l2于點E，DE即為建橋地點.利用軸對稱性質(zhì)作圖（1）求作對稱軸（2）求作與已知圖形成軸對稱的圖形方法：先確立圖形的兩個對應(yīng)點，再作方法：①確立代表已知圖形的重點點；典型例題以這兩個對應(yīng)點為端點的線段的垂直②分別作出這些重點點對于對例1.數(shù)的運(yùn)算中會有一些風(fēng)趣的對稱現(xiàn)象，比方“1的金字塔”，你能發(fā)現(xiàn)此中的規(guī)律嗎？按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律把下邊的式子增補(bǔ)完好.112121；111212321；111112；1111112.剖析：察看可知11112123n321n個1例2.以下圖是由小正方形構(gòu)成的“L”圖案，請你在圖中添一個小正方形，使它變?yōu)檩S對稱圖形，要求用三種方法.剖析：要想增添圖形使原圖變?yōu)檩S對稱圖形，第一要確立對稱軸.①②③例3.以以下圖所示，需要在高速公路旁邊修筑一個飛機(jī)場，使飛機(jī)場到A,B兩個城市的距離之和最小，請作出機(jī)場的地點.剖析：利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作A對于公路的對稱點A，連結(jié)AB，與公路的交點就是點P的地點.解：如圖②，點P就是飛機(jī)場所在的地點.例4.公路公路圖①圖②以以下圖所示，正方形紙片ABCD的邊長為8，將其沿EF折疊，則圖中①②③④四個三角形的周長之和為多少？①剖析：折疊前后的兩個圖形對于折痕成軸對稱，②所以BEBE，BCBC，CFCF，于是圖中③④①②③④四個三角形的周長之和正方形的周長.正方形的周長為8432.例5.以以下圖所示，在RtABC中，ABC90，A30，將BC向BA方向折疊，使點C落在BA上的C處，折痕為BE，請你研究AC與EC有什么樣的關(guān)系？并說明原因.剖析：折疊后BCE和BCE是以BE為對稱軸的兩個三角形，以此為打破口獲得BCEBCE，再由A30，能夠獲得ACEC，則ACEC.解：ACEC，原因以下：因為CE與CE對于BE對稱，所以ECEC，CECB.在RtABC中，A30，所以C90A903060.所以ECB60.所以AECECBA603030.所以AAEC.所以ACEC.例6.以以下圖①所示，已知AOB內(nèi)必定點P，試在OA,OB上各找一點M，N,使得PMN的周長最短.剖析：利用“兩點之間，線段最短”的原理，經(jīng)過軸對稱找到對應(yīng)的點，就能夠找出知足最小值的點.圖①圖②解：如圖②所示，作點p對于OA,OB的對應(yīng)點P1,P2,連結(jié)12，分別交OA,OB于點M,N.利用軸對稱的性質(zhì)可得1PPPMPM,P2NPN,所以PMN的周長為12.因為P1,P2是定點，兩點PMPNMNPMMNPN之間，線段最短，所以P1MMNP2N最小，即圖②中的點M,N即為所求的點.例7.已知MON小于60，A,D分別是OM,ON上的點，因為實質(zhì)設(shè)計的需要，需在OM和ON上分別找出點C,B，使ABBCCD最短，應(yīng)如何找？剖析：解“兩線+兩點”型最短路線問題需要經(jīng)過兩次軸對稱變換，獲得所需的點與最短路線.解：如右圖所示，作點A對于ON的對稱點A,點D對于OM的對稱點D，連結(jié)AD,分別交OM,ON于點C,B，則點B,C就是所求的點，此時ABBCCD最短.例8.以以下圖，EFG與ABC對于某直線成軸對稱，請用不一樣的方法確立對稱軸.剖析：確立對稱軸的重點是利用對稱軸垂直均分對應(yīng)點的連線和對應(yīng)邊或其延伸線的交點在對稱軸上.解：以以下圖①②③④.方法一：如圖①，連結(jié)對應(yīng)C，F(xiàn)和對應(yīng)點A，D，再取C，F(xiàn)和方法二：如圖②，連結(jié)對應(yīng)的中點，連結(jié)，C，F(xiàn)，再作C，F(xiàn)的垂直均分線，直線就是所求作的方法三：如圖③，連結(jié)對應(yīng)方法四：如圖④，延伸線段BC和C，F(xiàn)，再延伸線段BC和EF交EF交于點M，再②延伸線段BA①于點，過點作的垂線，和交于點，連結(jié)，直A類變式練習(xí)：1.以下交通標(biāo)記中是軸對稱圖形的是()④③2.以下圖形中,對稱軸的條數(shù)最少的圖形是()A．圓B．正六邊形C．正方形D．等邊三角形3.在以下圖的幾何圖形中，必定是軸對稱圖形的有（）A．2個B．3個C．4個D．5個直線l是一條河,P、Q兩地相距8km，P、Q兩地到l的距離分別為2km、5km，欲在l上的某點M處修筑一個水泵站，向P、Q兩地供水．現(xiàn)有以下四種鋪設(shè)方案,圖中實線表示鋪設(shè)的管道,則鋪設(shè)的管道最短的是()數(shù)的運(yùn)算中會有一些風(fēng)趣的對稱形式，模仿等式①的形式填空，并查驗等式能否建立。①1223113221；②12462______③18891______④24231______如圖是對于直線MN的對稱圖形,你能把圖形補(bǔ)全嗎?B類如圖，在△ABC中，DE是AC的中垂線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長是_______cm．將一個正方形紙片挨次按圖a,b的方式對折，而后沿圖c中的虛線裁剪成圖d款式，將紙睜開攤平，所獲得的圖形是圖中的（）9.如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的高，點E、F是AD的三均分點，若ABCA的面積為12cm2，則圖中暗影部分的面積為cm2E10.已知等腰三角形的兩條邊長分別為2和5，則它的周長為（）．FA．9B．12C．9或12D．5

BDC以下三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角（每個極點處各取一個外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．此中是等邊三角形的有（）．A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④12.如圖：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF，則∠DEF（）．A、90°B、75°C、70°D、60°13.如圖,AD是ABC的中線,ADC60,BC6,把ABC沿直線AD折疊,點C落在C處,連結(jié)BC,試求BC的長度.如圖,AD是△ABC的角均分線,DE和DF分別是△ABD和△ADC的高.AD垂直均分EF嗎?試說明原因.類15.如圖10-25，△ABC中，ABACBD，那么1與2之間的關(guān)系知足（）A、122B、2121800C、1321800D、312180016.以以下圖①所示，已知AOB的大小為，P是AOB內(nèi)部的一個定點，且OP2，點E,F分別是OA,OB上的動點，若PEF周長的最小值為2，求的值.以下圖，a、b為一條河流的兩岸，E、F為兩燈塔，若一條小船從E塔出發(fā)，先到a岸取燃料，而后再到b岸取圖①照明燈，最后回到F塔，問小船應(yīng)走哪條路線才能使整個航程最短？請你畫出前進(jìn)路線。已知∠MON=40°，P為∠MON內(nèi)一點，A為OM上的點，B為ON上的點，問當(dāng)△PAB的周長取最小值時，∠APB等于多少度？19.以以下圖所示，在△ABC中，ABBC,BDAC于D,F是BC邊上隨意一點，延伸AB到E使得BEBF，連結(jié)EF。試判斷直線EF與BD的地點關(guān)系，并說明原因。以下圖，已知這兩個三角形，思慮如何把每個三角形紙片只剪一刀將它分紅兩個等腰三角形？試一試，在圖中畫出剪的印跡，并標(biāo)出每個內(nèi)角的度數(shù)。第3、4節(jié)簡單的軸對稱圖形及利用軸對稱進(jìn)行設(shè)計知識點聚焦線段的軸對稱性1）線段是軸對稱圖形，它的對稱軸有兩條，一條是這條線段的垂直均分線，另一條是線段所在的直線.2）線段的垂直均分線：垂直于一條線段，而且均分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直均分線（簡稱中垂線）.（3）線段垂直均分線的性質(zhì)：線段的垂直均分線上的點（隨意一點）到這條線段兩個端點的距離相等.（4）線段垂直均分線的判斷：到線段的兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直均分線上.角的軸對稱性1）角是軸對稱圖形：角的均分線所在的直線是它的對稱軸.2）角均分線的性質(zhì)：角均分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.3）角均分線的判斷：到角的兩邊距離相等的點在這個角的均分線上.注：①角的對稱軸是角均分線所在的直線，而不是角均分線.②在運(yùn)用角均分線的性質(zhì)時，必定要注意“角均分線上的點”和“與角兩邊垂直”這兩個條件.等腰三角形的軸對稱性1）定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底的夾角叫作底角.2）性質(zhì)：①等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是它的頂角均分線所在的直線；②等腰三角形的頂角均分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（三線合一）；③等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊平等角”）.注：等腰三角形的頂角均分線、底邊上的中線、底邊上的高不是它的對稱軸，而是這三條線段所在的直線才是等腰三角形的對稱軸.等邊三角形的軸對稱性1）定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形，也叫正三角形.2）性質(zhì)：①等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸；②等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，而且每個內(nèi)角都等于60.3）判斷:①三邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都是60的三角形是等邊三角形；③有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形.鑲邊與剪紙的原理及方法（1）原理：軸對稱和軸對稱圖形性質(zhì).（2）鑲邊與剪紙中的對稱軸：紙上折痕所在的直線就是相鄰兩個圖案的對稱軸.照鏡子與水中的倒影“照鏡子”時，鏡子改變了物體的左、右方向；“水中的倒影”與本來的物體是上、下相反.例1.以以下圖，是在一面鏡子里看到的圖像，請寫出第①個圖表示的實質(zhì)數(shù)字和第②個圖表示的實質(zhì)時間.剖析：鏡面對稱的特色是上下不變，左右相反.解：第①個圖表示的實質(zhì)數(shù)字是810076，第②個圖表示的實質(zhì)時間是8:30.例2.以以下圖，是汽車牌照在水中的倒影，試判斷該車的實質(zhì)牌照.剖析：水中的倒影與本來的物體是上下相反，解決時可將紙張沿著車輪所在水平線對折，從紙張的另一面看到的牌照就是車牌上的牌照.解：該車的實質(zhì)牌照是“云F21678”.例3.已知以以下圖①所示，在兩條公路OA，OB的鄰近有C，D兩個商場，現(xiàn)準(zhǔn)備在兩條公路的交錯路口鄰近安裝一個監(jiān)控攝像頭，要求攝像頭的P的地點離兩個商場的距離相等，且到兩條公路的距離也相等，請你畫出攝像頭P的地點.剖析：攝像頭P到公路的距離相等，則P的地點應(yīng)在AOB的角均分線上，到C，D兩個商場的距離相等，則P應(yīng)在C，D連線的垂直均分線上.二者的交點就是攝像頭P的地點.圖②解：如圖②，（圖①1）作AOB的角均分線OE；（2）連結(jié)CD，作線段CD的垂直均分線交射線OE于點P，則點P即為所要安裝的攝像頭的地點.例4.以以下圖①，ABC的三邊長分別為a,b,c,三條角均分線的交點為P，過點P作PD垂直BC，垂足為D，且PD長為h,求ABC的面積.剖析：有角均分線的性質(zhì)可知，點P到三角形三邊的距離相等.解：如圖②，連結(jié)PA,PB,PC，過點P分別作此外兩邊的垂線段PE和PF.由角均分圖①圖②線的性質(zhì)可知，這三條線段的長相等，均為h.所以SABCSABPSACPSBCP1ah1bh1ch=1h(abc).2222例5.已知：如圖，ABC中，ABAC，直線DE交AB，BC于D、F，交AC延伸線于E.若DFEF.求證：BDCE.剖析：欲證明線段相等，要么將兩條線段變換到一個三角形中，證明兩邊對應(yīng)的角相等，或結(jié)構(gòu)兩條線段所在的兩個三角形全等.解：過點D作DM∥AC交BC于F，則DMBACB，MDFE.BDDM.在DFM和EFC中，例6.以下圖：P、Q是ABC的邊BC上的兩點，且PBPQQCPAAQ,求BAC的度數(shù).剖析：依據(jù)題意得PAQ為等邊三角形，進(jìn)而得出APQ、AQP、PAQ的度數(shù)，在由三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求得PAB、QAC的度數(shù)，進(jìn)而使得問題得以解決.解：過程略，BAC120例7.已知如圖，在ABC中，BAC90，ABAC,BE均分ABC，CEBE，求證：CE1BD.2剖析：因為角是軸對稱圖形，角均分線是對稱軸，利用全等變換--沿BE翻折BEC至BEF，不難發(fā)現(xiàn)1CF即可.CECF，再證BD2解：過程略.注：此題是采納結(jié)構(gòu)法解題，但在結(jié)構(gòu)的過程中會有一些困難，但結(jié)構(gòu)的過程卻能提高思想能力，一般利用條件結(jié)構(gòu)等腰三角形解答幾何問題有以下三種門路：①利用“角均分線”結(jié)構(gòu)等腰三角形；(如圖①)②利用“垂直均分線”結(jié)構(gòu)等腰三角形；（如圖②）③利用外角性質(zhì)結(jié)構(gòu)等腰三角形.（如圖③）例8.已知：以以下圖所示，點C在線段AB上，在AB的同旁作等邊ADC和等邊BCE，如圖②連結(jié)AE、BD交DC、CE于M、N，連結(jié)M、N.如圖③如圖①（1）求證：AEBD；（2）求證：CMN為等邊三角形；（3）假如把BEC繞著點C旋轉(zhuǎn)隨意角度，上述結(jié)論中哪些仍建立？試說明原因.剖析：求證線段相等，一般在圖形中找三角形全等，或許轉(zhuǎn)變到同一個三角形中求證兩邊對應(yīng)的角相等，此題中易找到ACEDCB，證明三角形為等邊三角形常用到有一個角為60的三角形為等邊三角形這條定理判斷.答案：（1）證明：ADC和BCE均為等邊三角形，ACDC，CECB，ACDBCE60，ACEDCB,ACEDCB(SAS).AEBD.（2）證明：ACDBCE60，DCE60,ACMDCN.又ACDC，且由（1）的結(jié)論可知CAMDCN，ACMDCN(SAS).CMCN,而MCN60，CMN為等邊三角形.（3）結(jié)論（1）仍建立，結(jié)論（2）不建立.同理證：當(dāng)BEC旋轉(zhuǎn)隨意角度后，ACEDCB老是建立的，故（1）建立；但DCE不必定為60，故CMN不必定為等邊三角形.例9.以下圖，AD是ABC的角均分線，且ABACDC.求證：C2B.剖析：已知條件“ABACDC”，如安在條件中轉(zhuǎn)變這一條件呢？想到作協(xié)助線，最常見的作法是“截長補(bǔ)短法”.又由BADCAD，想到利用這兩個角之間的相等關(guān)系結(jié)構(gòu)兩個全等三角形.證明：在AB上截取AEAC，連結(jié)DE（即把ACD沿AD翻折得AED），在AED和ACD中，AEAC，EADCAD，ADAD,AEDACD(SAS)DEDC,AEDC，又ABACDCAEDEAEBE,DEBE,BEDB，CAEDBEDB2B.變式練習(xí)：1.已知：如圖，已知ABC，C（1）分別畫出與ABC對于x軸、ABy軸對稱的圖形