線性代數(shù)試題附標(biāo)準(zhǔn)答案

棗莊學(xué)院線性代數(shù)習(xí)題和答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共

一個(gè)是符合題目要求的,1.設(shè)行列式a11a21a12a22二mA.m+nB.C.n-m-(m+n)D.m-n2.設(shè)矩陣A=00,則3./A.C.<1303.設(shè)矩陣B.0127D.0020第一部分選擇題（共28分）14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)O錯(cuò)選或未選均無(wú)分。IS恁潤(rùn)屬彩瘞睞a13a11a23 a21=n,則行列式A-1等于()a11a21a12+a13a22+a23-1,A*是A的伴隨矩陣，則A中位于（1,2）的元素是（）4,A.-6B.6C.2D.t2.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式 AB=AC,則必有（）A.A=0B.BHC時(shí)A=0C.AC0時(shí)B=CD.|A|。0時(shí)B=C.已知3X4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（AT）等于（）A.1B.2C.3D.46.設(shè)兩個(gè)向量組a1,

A.有不全為0的數(shù)入

溝熠金富^愛(ài)建譴凈。B.有不全為0的數(shù)殘鴦樓靜鑄瀚湃淑?I。C.有不全為0的數(shù)r鋼極鎮(zhèn)檜豬^錐。D.有不全為0的數(shù)入2,入2,"s和31, 32,…,3s均線性相關(guān)，則（）入s使入1“1+入2a2+…+入s"s=0和入131+入232+…入s3s=0?,入s使入1(a1+31)?,Xs使入1(a1-31)?,入s和不全為0的數(shù)+入2(“2+^2)+…+入s(as+Bs)=0(as-3s)=01+入2a2+…+Xsas=0和（il3l+（i232+3+（is3s=0彈貿(mào)攝爾霽斃攘磚鹵尻。.設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（）A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個(gè)r階子式不等于0D.所有r階子式都不為0.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組， 刀i,刀2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.刀i+刀2是Ax=0的一個(gè)解B.-刀i+1刀2是Ax=b的一個(gè)解2 2C.刀1-刀2是Ax=0的一個(gè)解D.2rl1-刀2是Ax=b的一個(gè)解.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（）A.秩（A）＜nB.秩（A尸n-1C.A=0D.方程組Ax=0只有零解.設(shè)A是一個(gè)n（＞3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A.如存在數(shù)入和向量a使Aa=Xa,則a是A的屬于特征值入的特征向量如存在數(shù)入和非零向量a,使（入E-A）a=0,則入是A的特征值C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如入1,入2,入3是A的3個(gè)互不相同的特征值， “1,a2,"3依次是A的屬于入1,入2,入3的特征向量，則"1,a2,"3有可能線性相關(guān)養(yǎng)拎篋忘類蔣薔。11.設(shè)入0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入°的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為 k,則必有（）kw3B.k<3C.k=3D.k>3.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.|A|2必為1B.|A|必為1C.A-1=AT D.A的行（列）向量組是正交單位向量組.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC則（）A.A與B相似A與B不等價(jià)A與B有相同的特征值A(chǔ)與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）2A.33 &4)1b.34C.10[002-30-35/2A.33 &4)1b.34C.10[002-30-35/D.102,二、填空題（本大題共第二部分非選擇題（共72分）10小題，每小題2分，共20分）不寫(xiě)解答過(guò)程，將正確的答案寫(xiě)在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。 廈礴懇蹣駢畤翥繼^騷。1 1 1.35 692536.設(shè)A=門B=J23)則A+2B=-24.設(shè)A=(aij)3x3, |A|=2,Aj表示|A|中’素詢的代數(shù)余J式(i,j=1,2,3)(anA21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=.煢楨廣鯽獻(xiàn)選塊網(wǎng)踴淚.設(shè)向量(2,-3,5)與向量(-4,6,a)線性相關(guān)，則a=.，則.設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若刀1,刀2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為.鵝婭盡揖偶慘屣蘢.設(shè)A是mXn矩陣，A的秩為r(<n),則齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中含有解的個(gè)數(shù)為..設(shè)向量a、3的長(zhǎng)度依次為2數(shù)為..設(shè)向量a、3的長(zhǎng)度依次為2和3,.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|二8,已知I0.設(shè)矩陣A=1；-210106之，已知8」則向量a+3與a-3的內(nèi)積(a+3,a-3)二.A有2個(gè)特征值-1和4,則另一特征值為.<2，1是它的一個(gè)特征向量，則)a所對(duì)應(yīng)的特征值為.24.設(shè)實(shí)二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為.、計(jì)算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分).設(shè)A=3-1.試計(jì)算行列式0、計(jì)算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分).設(shè)A=3-1.試計(jì)算行列式0013-521B=1-23-140.求(1)ABT；⑵|4A|.’4.設(shè)矩陣A=111

0—5-13132-4-1二30,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28.給定向量組a28.給定向量組a1=<1[

與214)(0]-1419」試判斷a429.設(shè)矩陣A=試判斷a429.設(shè)矩陣A=是否為<1-22<3?a-24-131，-1203220623a3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。2,-6.J求：(1)秩(A)；(2)A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。30.設(shè)矩陣A=’030.設(shè)矩陣A=’0-2\2-2424的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D,使丁1AT=D.「3.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形2 2 2f(X1,X2,X3)=X1+2X2-3x3+4X1X2-4X1X3-4X2X3,并寫(xiě)出所用的滿秩線性變換。四、證明題(本大題共2小題，每小題5分，共10分).設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.設(shè)刀0是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，E1,E2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.試證明(1)刀1=刀0+21,刀2二刀0+E2均是Ax=b的解；

（2）Y]0,Y]1,Y）2線性無(wú)關(guān)。答案：一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）6，3 37）匕與77418.19.18.19.20.21.22.2-刀1））,c為任意常數(shù)r]1+C(r]2-r]12-刀1））,c為任意常數(shù)n-r-5-21- 2 2 2 2Z1- 2 2 2 2Z1Z2Z3-Z4三、計(jì)算題(本大題共117小題,解(1)ABT=3每小題6分，共42分）22.4V18=V18=181*10，61010J10J(2)|4A|=43A|=64|A|,而|A|二3-1--2.所以14A|=64?(-2)=-1283.526.解211|A|二3-1--2.所以14A|=64?(-2)=-1283.526.解21110-5-13132-41S5

-110

巧110-5-13131-1005-11-511-51-105-6-512-5-6-52-5=30-10=40.27.解27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而(A-2E)-12-12(A-2E)-12-12-4-56-3-34130、032、10-1——上10-102240112<34-191?13112/「3 -8-6"2-9-6L-212 9j28.解一所以B=(所以B=(A-2E)-1A=1L1-4-5623%1023,「1035「1035、01120011p000」TOC\o"1-5"\h\z0 1 1 20 0 8 800—14—14/,1 0 0 2、0 10 10 0 11\0 0 0 0/1)所以a4=2a1+a2+a3,組合系數(shù)為(2,1,1)解二考慮54=x151+x2a2+x3a3)—2x1+x2+3x3=0即解二考慮54=x151+x2a2+x3a3)—2x1+x2+3x3=0即F1-3x2=T2x22x3=43x14x2-x3=9.方.組有唯一解(2,29.解對(duì)矩陣A施行初等行變換1,1)組合系數(shù)為2,1,1).1000-2039-10260683-2300(1)秩(B)-1200=3，086-212-2-222''與-2711000所以秩(A)=秩-2300(B)-1200=3.08302-10」=B.(2)由于A(2)由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B(niǎo)的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。為叢媽翅為瞻債蛭練浮B是階梯形，B的第1、2、4列是的第1、2、4列是A的列向量組的一(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)30.解A的屬于特征值入=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為

E1=(2,-1,0)T,E2=(2,0,1)T

,'275/5”1275/15"刀1=々,'275/5”1275/15"刀1=々5/5,刀2=475/15<0，芳/3,經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得「1/3、3=2/3E3=2,經(jīng)單位化得Y]'2V5/5所求正交矩陣為T=-75/5<0■彳0 0'對(duì)角矢I陣D=010K00-8」2石5/151/3”475/15 2/3552石5/151/3”475/15 2/355/3 -2/3,/5/5-475/151/32/3.)-2/3j31.解f(X1,X2,X3)=(X1+2X2-2x3)2-2X22+4X2X3-7X32=(X1+2X2-2X3)-2(X2-X3)-5X31/32/3.)-2/3jy1=X1+2x2-2x3設(shè)'V2= X2-X3,J3= X34-2因其系數(shù)矩陣C=01\004x1=y1-2y2即5X2=y2+y3 ,X3= y3、01可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(X1,X2,X3)的標(biāo)準(zhǔn)形y12-2y22-5y32.四、證明題(本大題共2小題，每小題5分，共10分).證由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2..證由假設(shè)Ar]0=b