2022年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽模擬試卷試題及答案解析（一）

清北學(xué)堂第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽模擬題1考試時(shí)間180分鐘320分一、位力定理（40分）位力定理是力學(xué)中描述穩(wěn)定的多自由度孤立體系的總動(dòng)能和總勢(shì)能時(shí)間平均之間的一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系。此數(shù)學(xué)關(guān)系的意義在于對(duì)于那些無(wú)法求得精確解的非常復(fù)雜的系統(tǒng)，可以通過(guò)此定理獲得一些有意義的結(jié)論。本題旨在帶領(lǐng)大家從證明此定理到初步體會(huì)其在不同系統(tǒng)中的實(shí)際應(yīng)用。（1）位力定理的證明(1.1.1)我們定義這樣一個(gè)量：I=i=iNpi?ri求和是對(duì)整個(gè)多質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)進(jìn)行的，其中pi（1.1.2）我們假設(shè)這個(gè)系統(tǒng)的相互作用勢(shì)能的形式如下Vij=?A（1.1.3）接上小問(wèn)，請(qǐng)求出在天體系統(tǒng)和彈簧系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)關(guān)系。（2）本小問(wèn)討論位力定理在熱力學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用。（1.2.1）利用上一問(wèn)的結(jié)論，請(qǐng)推導(dǎo)出理想氣體壓強(qiáng)p和分子平均動(dòng)能E，分子數(shù)密度n的關(guān)系。我們假設(shè)理想氣體分子之間沒(méi)有任何的相互作用。（1.2.2）接上小問(wèn)，請(qǐng)推出光子氣體系統(tǒng)中的壓強(qiáng)p和分子平均動(dòng)能E，分子數(shù)密度n的關(guān)系二、簡(jiǎn)單相對(duì)論（69分）以下反應(yīng)是高能物理早期的一個(gè)重要反應(yīng)：p+p→在這個(gè)反應(yīng)中，來(lái)自加速器的高能質(zhì)子撞擊靜質(zhì)子而產(chǎn)生π+介子和氘核D。已知質(zhì)子、π+介子和氘核D(2.1)計(jì)算實(shí)驗(yàn)室參照系中入射質(zhì)子動(dòng)能的閾值Tmin(2.2)假定入射質(zhì)子的動(dòng)能為第（1）問(wèn)中求得的閾值的Tmin兩倍，試計(jì)算該反應(yīng)中產(chǎn)生的π+介子的動(dòng)量的可能的最大值。（2.3)續(xù)第（2）問(wèn)，設(shè)在質(zhì)心系中這一反應(yīng)是各向同性的，即在質(zhì)心系中任意方向單位立體角內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)π+介子的概率相同。求：在實(shí)驗(yàn)室參照系中，在質(zhì)子入射方向上單位立體角內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)π+介子的概率。三、簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)（20分）有一小蟲(chóng)子沿正方形盤(pán)上的一軌道運(yùn)動(dòng)，正方形盤(pán)放在一光滑水平面上，正方形盤(pán)和蟲(chóng)子的質(zhì)量分別為M,m，軌跡相對(duì)盤(pán)為y=bsin2πxR，盤(pán)的邊長(zhǎng)為2R.（3.1）請(qǐng)寫(xiě)出正方形盤(pán)繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（3.2）求出蟲(chóng)子運(yùn)動(dòng)到x=R的時(shí)候正方形盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。你可以保留定積分（蒲公英語(yǔ)）（3.3）bR=0.5四、復(fù)雜動(dòng)力學(xué)（81分）圖2是車(chē)的簡(jiǎn)化模型，該車(chē)前后各有一圓柱體作為輪子，輪子結(jié)構(gòu)如圖3。每個(gè)輪子的質(zhì)量為m2，圓柱輪由外半徑為R，內(nèi)半徑為0.8R，質(zhì)量為0.8m2的圓柱殼和總質(zhì)量為0.2m2的8根輻條組成。質(zhì)量為m1的車(chē)身對(duì)稱(chēng)地架在輪子上（車(chē)身與輪軸之間是固定的，其長(zhǎng)為L(zhǎng)，厚度為t。前后輪中心之間間距為l，圓柱輪中心到車(chē)身底部距離為?(4.1)通過(guò)量綱分析可知每一個(gè)圓柱車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=am2R現(xiàn)在考慮車(chē)剎車(chē)時(shí)剎車(chē)片給前輪的阻力矩為M。假設(shè)沒(méi)有輪子脫離地面。引入無(wú)量綱常數(shù)b=2?(4.2)若前后輪均做純滾動(dòng)，求剛剎車(chē)時(shí)加速度a，前后輪均做純滾動(dòng)時(shí),MR(4.3)若前輪純滾動(dòng)、后輪滑動(dòng)，求剛剎車(chē)時(shí)加速度a，前輪純滾動(dòng)、后輪滑動(dòng)時(shí)MR滿(mǎn)足的條件，能達(dá)到前輪純滾動(dòng)、后輪滑動(dòng)時(shí)Rl滿(mǎn)足的條件，以及沒(méi)有輪子脫離地面的條件(4.4)若前后輪均滑動(dòng)，求剛剎車(chē)時(shí)加速度a。五、互LC震蕩（35分）我們知道電感有自感和互感.但是,雖然我們有“互電容”的概念,其并不能與互感很好地對(duì)應(yīng).我們現(xiàn)在來(lái)構(gòu)造一種與互感相對(duì)應(yīng)的概念“互容”:若兩個(gè)電容器的電容量分別為C1和C2,且它們之間的互容系數(shù)為N,則U1=Q考慮四塊的面積為S的平行極板,依次編號(hào)為a–d.極板a和極板c看作一個(gè)電容器,極板間距為d1;極板b和極板d看作一個(gè)電容器,極板間距為d2;極板b和極板c的間距為d.其中d<d1(5.1)求這兩個(gè)電容器之間的互容系數(shù).(5.2)設(shè)有兩個(gè)LC電路,電路中分別有電容C1與C2,電感L1與L2.兩個(gè)電容之間的互容系數(shù)為N,兩個(gè)電感之間的互感系數(shù)為M.求電路的振動(dòng)頻率.若該振動(dòng)由多個(gè)頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成,六、地鐵站閘機(jī)（75分）某地鐵站的出入站閘機(jī)采用三錕閘設(shè)計(jì).三錕閘是這樣一種裝置:考慮三維空間中的三根長(zhǎng)度均為l的細(xì)硬輕桿,每根桿都有一端被固定在點(diǎn)O處,且它們兩兩之間的夾角被固定為α.顯然存在一條過(guò)O的軸z使得三錕閘繞z軸有2π3旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng).z軸與地面的夾角被適當(dāng)?shù)剡x取,以至于三錕閘在初始狀態(tài)可以與地面達(dá)成這樣一種相對(duì)位形:其中一根桿與地面平行,另外兩根桿的自由端的連線也與地面平行.有一堵固定在地面上的墻,其位置滿(mǎn)足:在初始狀態(tài)下,三錕閘的水平桿垂直于墻,且墻面緊貼在水平桿的自由端.將通過(guò)閘機(jī)的人簡(jiǎn)化為剛性長(zhǎng)方體.人通過(guò)閘機(jī)的過(guò)程中,長(zhǎng)方體推動(dòng)三錕閘繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng),長(zhǎng)方體的一個(gè)面緊貼地面,另一個(gè)面緊貼墻面。長(zhǎng)方體足夠高（6.1）求滿(mǎn)足以下條件的長(zhǎng)方體的最大寬度w0:人能完全通過(guò)閘機(jī),且長(zhǎng)方體的厚度可以任意大（6.2）接上問(wèn),若長(zhǎng)方體的寬度大于w0,求滿(mǎn)足以下條件的長(zhǎng)方體的最大橫截面積:人能完全通過(guò)閘機(jī).只需寫(xiě)出它是什么函數(shù)在什么區(qū)間上的最大值即可.（6.3）長(zhǎng)方體的寬度為w.人在完全通過(guò)閘機(jī)的過(guò)程中,與桿之間存在滑動(dòng)摩擦,摩擦系數(shù)為μ.在三錕閘的轉(zhuǎn)軸內(nèi)有滑動(dòng)摩擦力矩,其大小恒定為K.求人在緩慢地完全通過(guò)閘機(jī)的過(guò)程中,對(duì)桿做的功.可以保留積答案解析一、位力定理（40分）位力定理的證明（1.1.1）根據(jù)動(dòng)量定理和速度的定義：dIdt考慮到系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)，一個(gè)周期后還原I不變，所以有dIdt所以有i（1.1.2）根據(jù)勢(shì)能的定義：FFijr考慮到非相對(duì)論情形下物體動(dòng)能為：Ek所以有p?帶入上一問(wèn)的結(jié)論后就有：n（1.1.3）對(duì)于天體，n=?1對(duì)于彈簧n（1.2.1）系統(tǒng)受力僅僅來(lái)自于器壁的壓強(qiáng)：dF=pdS所以有r?所以有?N(1.2.2)對(duì)于光子E=所以有?3pVNEV或者p=u為光子氣體的內(nèi)能密度。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：共40分1，2，4，5，6，7，8，10，12，16式各4分。二、簡(jiǎn)單相對(duì)論（69分）（2.1）設(shè)入射質(zhì)子動(dòng)量為p0E0=根據(jù)動(dòng)量守恒末態(tài)能量為Ef=其中Ec由能量守恒：Ef=所以p0min=那么T0min帶入數(shù)據(jù)后得到：T（2.2）根據(jù)能量守恒Ep2T0min所以Ec=繼續(xù)帶入數(shù)據(jù)后得到：Ec=同時(shí)，考慮到在質(zhì)心系中：Ec于是我們得到：pccE繼續(xù)帶入數(shù)據(jù)后得到：pc同時(shí)我們可以求出質(zhì)心速度為：βc=p代入數(shù)據(jù)后得到：βc=要使得動(dòng)量最大，就要求pcpmax代入數(shù)據(jù)后得到：pmax(2.3)在質(zhì)心系中物理過(guò)程是完全各向同性的，所以各個(gè)方向的概率都為：Pc然后我們換系：Plab考慮到θc那么Plab同時(shí)考慮到在質(zhì)心系中βπ利用相對(duì)論的動(dòng)量變換或者你可以直接默寫(xiě)角度變換(即光行差公式)dθlab=β評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：共69分1到23式各3分三、簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)（20分）（3.1）由垂直軸定理：I(3.2)考慮體系動(dòng)能：E=其中r=同時(shí)考慮到角動(dòng)量守恒后：L=積分：?=0(3.3)帶入數(shù)值后得到：?=?0.03rad評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：共20分1，2，3，4式各5分。四、復(fù)雜動(dòng)力學(xué)（81分）（4.1）對(duì)于軸部分：I1對(duì)于輪部分：I2所以I=所以有：α=262（4.2）受力分析如圖：考慮質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：N1m1對(duì)輪子的角動(dòng)量定理：IωIω考慮對(duì)于A點(diǎn)體系總角動(dòng)量L1,外力矩MLM1=?L1如果是純滾Rω1帶入后得到：a=考慮到條件：μN(yùn)帶入后分別得到：MR≤MR≤1同時(shí)要求N1≥0顯然在純滾的時(shí)候N1所以我們得到：MR≤(4.3)若前輪比后輪先滑動(dòng)：βm得到：Rl若后輪滑動(dòng)：f2=μ全部帶入之前算出來(lái)的式子后可以得到：a=同時(shí)要求N2得到：MR并且同時(shí)又有：μN(yùn)得到：MR(4.4)此時(shí)有f帶入計(jì)算后可以得到：a=?2M評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：共81分。1到27式各3分五、互LC震蕩（35分）（5.1）如圖所示,四塊極板將空間分割為五個(gè)部分,分別設(shè)為I–V.分別列出五塊區(qū)域中的電場(chǎng)(以向下為正):2從而電勢(shì)差U比較互容的定義,可得互容系數(shù)N（5.2）分別對(duì)兩個(gè)LC電路應(yīng)用Kirchhoff電壓定律,可得方程組Q1CQ2C定義電容矩陣C電感矩陣L從而可重寫(xiě)為C或者Q其中Q?Q1L其中Λ?q從而可重寫(xiě)為qq其解為qq2=從而可得解Q因此電路中的振動(dòng)是由頻率為ω1和ω經(jīng)過(guò)一番冗長(zhǎng)的計(jì)算后可得ω其中p評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：共35分1式中每一個(gè)小式子各2分，共10分2式中每個(gè)小式子3分，共6分3式3分6.7式各3分8式10分。六、地鐵站閘機(jī)（6.1）如圖所示,建立坐標(biāo)系.以人前進(jìn)的方向?yàn)閤軸和x'軸,z'軸水平,y,y',z初始時(shí),桿OA水平,于是可以寫(xiě)出初始時(shí)A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)x因?yàn)槿鶙U兩兩夾角為α,所以我們可以通過(guò)將它們的坐標(biāo)點(diǎn)乘來(lái)獲得β與α的關(guān)系x現(xiàn)在研究xyz坐標(biāo)系與x'y'z'x再考慮三根桿的旋轉(zhuǎn)變換.設(shè)三根桿旋轉(zhuǎn)了φ角后A在xyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為a?a令R于是可得三根桿轉(zhuǎn)了φ角后A在xyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)a其中a是A的初始坐標(biāo).將式全部展開(kāi)后化簡(jiǎn)可得a同時(shí)我們可以獲得B和C的坐標(biāo)b若長(zhǎng)方體的寬度小于等于三根桿的末端到墻的距離(三個(gè)中最小的那個(gè))的最大值,則它的厚度可以無(wú)限大.很明顯,當(dāng)三根桿的末端到墻的距離最大時(shí),應(yīng)有φ=w（6.2）設(shè)長(zhǎng)方體的寬度為w.假定長(zhǎng)方體可以完全通過(guò)三錕閘.令長(zhǎng)方體的厚度逐漸增加,直到它恰好能完全通過(guò)三錕閘.在臨界情況下,它剛好能夠把OA桿推至一個(gè)它不需要再推就能使它繼續(xù)通過(guò)的角度(即l?a'3?經(jīng)過(guò)上述討論可以得知,我們需要考察OB桿上與A點(diǎn)恰好具有相同的z'd在臨界情況下,寬度為l?a'3?S?代入可得S?φ=由題目中所說(shuō),長(zhǎng)方體的寬度大于w0,所以在研究