關(guān)于幾種特殊矩陣的逆矩陣求法探討Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式關(guān)于幾種特殊矩陣的逆矩陣求法探討數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)2008級(jí)范佳利指導(dǎo)教師劉學(xué)文摘要：矩陣是高等代數(shù)中非常重要的內(nèi)容之一，而在矩陣?yán)碚撝休^為基礎(chǔ)的就是求矩陣的逆矩陣。本文在階方陣求逆的方法基礎(chǔ)上，歸納了幾類特殊矩陣逆的求法，并從中找出一些初步的、具有應(yīng)用價(jià)值的規(guī)律，簡(jiǎn)化了類似矩陣求逆問題的計(jì)算。關(guān)鍵詞：階矩陣；逆矩陣；伴隨矩陣；線性變換Abstract:Matrixinlinearalgebraisaveryimportantpartofcontent,Andthematrixinversematrixisofmoreimportantpiece,Inthispapertheinversesquarenorderbasedonmethod,Thethreekindsofspecialinversematrixisalsogiven,Andfindoutsomepreliminaryhasapplicationvalueofthelaw,Simplifytheinverseproblemofsimilarmatrixcalculation.Keyword:ordermatrix;inversematrix;adjointmatrix;linearconversion矩陣是高等代數(shù)的一個(gè)最基本的概念，其內(nèi)容貫穿于高等代數(shù)的始終，而矩陣問題中的求逆是矩陣內(nèi)容中不可或缺的重要的一部分。本文在矩陣的逆的概念和相關(guān)性質(zhì)、及其求逆矩陣的基本方法的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出幾類特殊矩陣的逆矩陣的求法。1逆矩陣的基本概念與判定、性質(zhì)逆矩陣的定義定義1[1]對(duì)于級(jí)方陣，如果存在n級(jí)方陣，使得，則稱是可逆矩陣（可逆的），稱為的逆矩陣并記為.注1可逆矩陣必為方陣，其逆必唯一，且與為同階方陣，即.1.2可逆矩陣的判定整理為word格式整理為word格式整理為word格式定理1[1]設(shè)矩陣為階可逆矩陣，矩陣可逆的充要條件是存在階矩陣使得.定理2[1]設(shè)矩陣為可逆矩陣，則以下幾個(gè)命題是等價(jià)的：矩陣可逆；矩陣的行列式；矩陣的伴隨矩陣可逆；矩陣的伴隨矩陣的行列式；定理3[1]矩陣可逆的充要條件是存在階矩陣使得().定理4[1]矩陣可逆的充要條件是矩陣為滿秩矩陣(即).定理5[1]矩陣可逆的充要條件是矩陣與單位矩陣等價(jià)(對(duì)矩陣施行初等變換可以使矩陣轉(zhuǎn)化為單位矩陣)定理6[1]矩陣可逆的充要條件是以矩陣為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解唯一.定理7[1]矩陣可逆的充要條件是矩陣可表示為一些初等矩陣的乘積.定理8[1]矩陣可逆的充要條件是矩陣的特征值均不為0.可逆矩陣的性質(zhì)若可逆，則也可逆且；若可逆，則也可逆且;若可逆，數(shù)，則也可逆且；若，都可逆，則也可逆且.若；若；整理為word格式整理為word格式整理為word格式可推廣為：若均可逆，則可逆且；若可逆，若，若可逆，則；若可逆，則；注2若為同階可逆矩陣，則不一定可逆.如不可逆.注3(4)的逆命題成立，即若可逆，則也可逆.這是因?yàn)椋河捎诳赡妫?所以也可逆.2逆矩陣的求法2.1定義法利用定義，當(dāng)條件中有矩陣方程時(shí)，通過矩陣運(yùn)算規(guī)律從矩陣方程中湊出的形式，從而可得.這一方法適用于抽象矩陣求逆.2.2公式法當(dāng)級(jí)方陣可逆時(shí)，有.其中是的伴隨矩陣.其中：.整理為word格式整理為word格式整理為word格式2.3初等變換法設(shè)階矩陣，作矩陣，然后對(duì)此矩陣施以初等行變換,若把子塊變?yōu)?則子塊將變?yōu)?即同樣也可以作矩陣，然后對(duì)此矩陣只施以初等列變換，即2.4高斯-約當(dāng)法由定義，設(shè)（均為維向量），則，若將改寫成，則。具體方法如下：寫出的矩陣形式=由矩陣乘法寫成方程形式經(jīng)消元后將上式轉(zhuǎn)化為如下形式即所以整理為word格式整理為word格式整理為word格式2.5分塊矩陣法定理1[3]矩陣是一個(gè)滿秩矩陣，若中存在階非零主子式，則一定可以分解成一個(gè)下三角分塊矩陣與一個(gè)上三角分塊矩陣的乘積，并且對(duì)于零元素特別多的矩陣，可以考慮用分塊矩陣求逆，為可逆矩陣，則,，.解線性方程組法設(shè)是非奇異矩陣，且令.因?yàn)?，從而由分塊矩陣性質(zhì)可知，計(jì)算的問題等價(jià)于求解下列個(gè)線性方程組.，求解上述方程組即可求得的個(gè)列向量，也就求得.由于這n個(gè)方程組的系數(shù)矩陣相同，故可采用三角分解法進(jìn)行計(jì)算以節(jié)省工作量.三角分解法：設(shè)有方程組，并設(shè)，于是，其中于是求解的問題等價(jià)于求解兩方程組和整理為word格式整理為word格式整理為word格式3特殊矩陣逆的求法3.1類型一觀察此題有比較明顯的特點(diǎn)，現(xiàn)將矩陣分塊，可根據(jù)分塊矩陣逆矩陣性質(zhì)求矩陣的逆.分塊如下：整理為word格式整理為word格式整理為word格式可利用這個(gè)結(jié)論，在解決一些類似問題上可更加簡(jiǎn)便，如：則可直接利用以上結(jié)論，可清楚的得知：整理為word格式整理為word格式整理為word格式3.2類型23.2.1已知：觀察矩陣可發(fā)現(xiàn)此矩陣有一定的規(guī)律，如用公式法或者定義法，則計(jì)算肯定相對(duì)比較復(fù)雜。不妨從線性的角度來解答。先設(shè)線性方程組.其中，將這個(gè)方程相加，可得：由第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程得：由些得出整理為word格式整理為word格式整理為word格式從而類似的，從第個(gè)方程減去第個(gè)方程()可求出：.從第n個(gè)方程減去第一個(gè)方程，可求出：此線性方程組的解即為矩陣的逆.記分別令得由以上的解答，我們可知，這種類型的求矩陣逆利用線性方程組法比利用初等變換法簡(jiǎn)單得多.3.2.1已知：先設(shè)線性方程組則原方程組可寫成：由此得出整理為word格式整理為word格式整理為word格式從而記，從上述一次方程解得于是分別令得：3.3類型3已知矩陣此矩陣為對(duì)角線全為0，上三角和下三角全為1的特殊矩陣.當(dāng)然此題可用一般的初等變換法來求逆矩陣。但仔細(xì)觀察，我們可利用此矩陣的特殊特點(diǎn)來解答此題.可分析如下：令，則易算出：整理為word格式整理為word格式整理為word格式，其中讓即可求的逆矩陣.在此令便可求出矩陣，即為的逆矩陣.而此時(shí)矩陣即是矩陣,所以現(xiàn)依照以上的分析開始進(jìn)行計(jì)算：==令可解得：代入可得所求逆矩陣為：本題利用逆矩陣的定義，簡(jiǎn)便了計(jì)算，使題目變得更加容易解答.3.4類型4整理為word格式整理為word格式整理為word格式其中：和分別為兩組互不相同的個(gè)數(shù)，且觀察此矩陣，可發(fā)現(xiàn)，若矩陣去任一行和任一列所得到的階矩陣都與原矩陣同型，所以此題可以考慮用求伴隨矩陣的方法來求它的逆.令用第一行乘以（-1）加到其余的每一行得：將每行及每列的公因子提出來，等于整理為word格式整理為word格式整理為word格式將上述行列式的第1行乘以加到第行，得將此行列式按第1列展開降為階行列式，再將該階行列式的所有行和列的公共因子提出即得：所以由數(shù)學(xué)歸納法得由此可得出行列式中第整理為word格式整理為word格式整理為word格式其中：“”表示去掉該字母，于是從本題可以看出，此類題型的計(jì)算量是比較大的，利用伴隨矩陣公式法，找尋規(guī)律解答此題.3.5類型5觀察此矩陣，是一個(gè)有一定規(guī)律的矩陣，下三角全為0，上三角每一行的數(shù)以等比遞增.則現(xiàn)在可設(shè)一個(gè)矩陣H，由表示可得：又因?yàn)榫仃嚨膶?duì)角線全為0所以于是整理為word格式整理為word格式整理為word格式從而=利用這個(gè)結(jié)論，可以比較方便快速的解決填空選擇題，如：就可知上述的,所以直接代入可知：4結(jié)語通過上述歸納總結(jié)可以看出，在求逆矩陣的過程中，必須熟練的運(yùn)用可逆矩陣相關(guān)的定理以及結(jié)論，利用方法技巧可使得矩陣可逆的計(jì)算更加簡(jiǎn)便，而可逆矩陣的運(yùn)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止在大學(xué)數(shù)學(xué)中，在其他方面中也有及其廣泛的運(yùn)用，這就需要我們不斷的去探索和研究。參考文獻(xiàn):[1]田孝貴.高等代數(shù)[M].首都師范大學(xué)出版社，1994.[2]蘇明珍.陳曉萌.分塊矩陣求逆方法的探討[J].濱州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1996,5（2）：49-52.[3]沈劍華.數(shù)值計(jì)算基礎(chǔ)（第二版）[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，2004.整理為word格式整理為word格式整理為word格式[4]陳文燈.線性代數(shù)解題方法與技巧[M].中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2004.[5]李帥正.高等代數(shù)解題方法與技巧[M].高等教育出版社，2004.[6]張海濤.逆矩陣的求