剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日復(fù)習(xí)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量力矩角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律若第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日本章主要內(nèi)容1剛體的運(yùn)動(dòng)2剛體的角動(dòng)量3剛體受到的力矩4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律5剛體的動(dòng)能定理6剛體的角動(dòng)量守恒定律第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日6.1剛體的運(yùn)動(dòng)與描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只代表物體的平動(dòng)，物體實(shí)際上是有形狀、大小的，它可以平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)，甚至更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。因此，對(duì)于機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究，只限于質(zhì)點(diǎn)的情況是不夠的。剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，無論在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變。即物體的形狀、大小都不變的固體稱為剛體（rigidbody）。剛體考慮了物體的形狀和大小，但不考慮它的形變，剛體同質(zhì)點(diǎn)一樣，也是一個(gè)理想化模型。第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日一、剛體的運(yùn)動(dòng)固聯(lián)在剛體上的任一條直線，在各個(gè)時(shí)刻的位置始終保持彼此平行的運(yùn)動(dòng)，叫做剛體的平動(dòng)。1.平動(dòng)剛才的動(dòng)畫演示了一個(gè)圓柱體的平動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，我們看到，剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的位移都是相同的。而且在任何時(shí)刻，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度也都相同。這時(shí)我們可以選取剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來代表剛體的運(yùn)動(dòng)。第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日2.轉(zhuǎn)動(dòng)如果剛體上所有各點(diǎn)繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動(dòng)，則稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。

轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸外各點(diǎn)在同一時(shí)間間隔內(nèi)走過的弧長雖然不一樣，但角位移全同。第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時(shí)間變化——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時(shí)間變化——一般轉(zhuǎn)動(dòng)第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日3.剛體的一般運(yùn)動(dòng)例如，一個(gè)車輪的滾動(dòng)，可以分解為車輪隨著轉(zhuǎn)軸的平動(dòng)和整個(gè)車輪繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。在研究剛體一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們一般將它分解為質(zhì)心的平動(dòng)（應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）和剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)（應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律）。第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日一個(gè)汽車輪子在地上的滾動(dòng)A、B、C、…各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都不相同繞過o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)oABCoo輪子的平動(dòng)ABCoABCoABABCCo剛體的運(yùn)動(dòng)＝平動(dòng)＋轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)：剛體上所有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都相同轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動(dòng)第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日二.剛體平動(dòng)的描述

剛體的平動(dòng)可用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)來代表整體的運(yùn)動(dòng)1。質(zhì)心的位矢設(shè)N個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1,m2,,mN，對(duì)應(yīng)的位矢定義：質(zhì)心的位矢質(zhì)心重心第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日2。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心的速度：質(zhì)心的加速度：設(shè)mi受力則：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：0——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)如同一質(zhì)點(diǎn)，只是將質(zhì)量全部集中于該點(diǎn)，所受的力是質(zhì)點(diǎn)系受的所有外力。注：質(zhì)心上可能既無質(zhì)量，又未受力。2第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日角位置θ角速度ω角加速度α·pro轉(zhuǎn)動(dòng)平面三.剛體（定軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)所受力矩力矩一般定義：此處即可是對(duì)某點(diǎn)也可是對(duì)某軸而言當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩就可以用標(biāo)量來表示。oo習(xí)慣上把定軸用z表示力矩表示為第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日oo.P1）在垂直oo的平面內(nèi)2）不在垂直oo的平面內(nèi)oo.P對(duì)剛體繞oo軸轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)計(jì)算力矩時(shí)只需考慮的力矩

總可分解成兩個(gè)分量：5合外力矩第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日oo1。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情況

法向力對(duì)軸的矩為零切向力對(duì)軸的矩二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律見右下平面圖第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日（剛體類似于多質(zhì)點(diǎn)系）設(shè)某剛體繞固定軸—Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)Zmi取質(zhì)量元mi，其到轉(zhuǎn)軸的距離ri受力如圖示，根據(jù)牛頓定律：各質(zhì)元加速度不同，但角加速度相同用ri乘以上式：將所有質(zhì)元相加：fifj0ro2。連續(xù)質(zhì)量分布剛體的情況第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日定義——?jiǎng)傮w對(duì)定軸（z軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則有——定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律由與牛頓定律比較：或Jmm反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日3。理解注意是合外力矩這條定律表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。內(nèi)力矩成對(duì)抵消，不能改變剛體的角動(dòng)量，因而不能改變剛體的角速度。這是角動(dòng)量定理在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形下的特例（1）（2）（3）第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日

質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量離散分布對(duì)剛體定義—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單質(zhì)點(diǎn)單位：kg?m2─質(zhì)量元─第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量─到轉(zhuǎn)軸的距離─到轉(zhuǎn)軸的距離三.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及計(jì)算第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日如圖套兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的細(xì)桿長l，桿繞空端轉(zhuǎn)動(dòng)，分析整個(gè)系統(tǒng)繞o點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將兩質(zhì)點(diǎn)換位再作計(jì)算。解：普通物理學(xué)教案例題1：

o2m

m

由om2m結(jié)論：第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日J(rèn)與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)因?yàn)橘|(zhì)量分布是對(duì)轉(zhuǎn)軸而言的，上例也可看作質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大。形狀和轉(zhuǎn)軸確定后，J與剛體的質(zhì)量有關(guān)AlFe討論影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)端點(diǎn)軸和中垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：普通物理學(xué)教案例題2：ABL/2L/2Cx取如圖坐標(biāo)取質(zhì)量元ABLx第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：普通物理學(xué)教案例題3：取質(zhì)量元Odm第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日求質(zhì)量為m、半徑為R均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：普通物理學(xué)教案例題4：這樣的一個(gè)圓盤可以視為半徑不等的有寬度的圓環(huán)拼接而成。任取其中一環(huán)利用前例環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量結(jié)果Rrdr第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日內(nèi)半徑為R1外半徑為R2質(zhì)量為m的勻質(zhì)中空?qǐng)A柱繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：普通物理學(xué)教案例題5：第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：普通物理學(xué)教案例題6：在球面取一圓環(huán)帶，半徑第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：普通物理學(xué)教案例題7：把球體看作無數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合

第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日如圖所示，滑輪半徑為r。（設(shè)繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)）①若m2與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求系統(tǒng)的加速度a及張力T1與T2；②若桌面光滑，再求。解：普通物理學(xué)教案例題8：力和力矩分析、方法1按隔離法建坐標(biāo)對(duì)質(zhì)點(diǎn)用牛頓定律對(duì)剛體用轉(zhuǎn)動(dòng)定律限制性條件第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日解得：若桌面光滑，摩擦力矩為零第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日解法2由系統(tǒng)角動(dòng)量定理取m1、m2、J為系統(tǒng)外力矩系統(tǒng)的角動(dòng)量（任一時(shí)刻）（對(duì)滑輪轉(zhuǎn)軸）第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日由角動(dòng)量定理由解得：再由牛頓定律可得張力。這也是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律(整體分析方法)第三十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日一根均質(zhì)細(xì)桿（m、L），一端可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。桿最初靜止在水平位置，由此下擺角求角加速度和角速度。解：普通物理學(xué)教案例題9：odm?gdm下擺過程重力矩做功以桿為對(duì)象取質(zhì)元當(dāng)桿處在下擺角時(shí)，該質(zhì)量元所受重力對(duì)o點(diǎn)的矩為重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩為：第三十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，可得：代入轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理第三十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日