八年級數(shù)學(xué)競賽講座：第31講 完全平方數(shù)和完全平方式

PAGE8（8）第三十一講完全平方數(shù)和完全平方式n是自然數(shù)，若存在自然數(shù)mn=m2n的性質(zhì)有：任何一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字只能是個位數(shù)字是的數(shù)一定不是平方數(shù)；個位數(shù)字和十位數(shù)字都是奇數(shù)的兩位以上的數(shù)一定不是完全平方數(shù)，個位數(shù)字為偶數(shù)的數(shù)，也一定不是完全平方數(shù)；在相鄰兩個平方數(shù)之間的數(shù)一定不是平方數(shù)；(4任何整數(shù)平方之后，只能是3n3n+1的形式，從而知，形如3n+25n，5n+1，5n+45n+25n+3相鄰兩個整數(shù)之積不是完全平方數(shù)；如果自然數(shù)nn那么它的所有正因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)；481，例題求解】n3n+13思路點撥3n+1=m23m，因此，m=3k+1m=3k+2(krn=3k+1，則n

m213k22k．3∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+(k+1)2．m=3k+2，則n

m2124k13∴n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2．故n+13【例】一個正整數(shù)，如果加上100是一個平方數(shù)，如果加上168，則是另一個平方數(shù)，求這個正整數(shù)思路點撥 引入?yún)?shù)，利用奇偶分析求解．設(shè)所求正整數(shù)為x，則x+100=m2 ①x+168==n2 ②其中m，n都是正整數(shù)，②—①得n2—m2=68，即（n—m）(n+m)=22×17． ③因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶數(shù)．注意到0<n—m<n+m，由③可得nm2nm2解得n=18．代人②得x=156，即為所求．【例】一個正整數(shù)若能表示為兩個正整數(shù)的平方差，則稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)1開始數(shù)起，試問第1998思路點撥1不能表為兩個正整數(shù)的平方差，所以11的奇正整數(shù)有2k+1=(k+1－k2(k=，?1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)44k，4k=(k+1)2—(k—1)2(k=2，3444不能表示為兩個正整數(shù)平方差，所以4424k+2(k=0，1，2，34k+2=x2—y2=(x+y)(x－y)，其中x，yx，y(x+y)(x－y)44k+24x，yy)4k+2x，yx2—y2=4k+24k+2因此，在正整數(shù)列中前四個正整數(shù)只有31998=(1+665)+，×(665+1)=266，所以2664是第19962665是第19972666不是“智慧數(shù)”，因此2667是第199819982667．【例abcde(1)它的各位數(shù)字均不為零；它是一個完全平方數(shù)；它的萬位上的數(shù)字a是一個完全平方數(shù)，干位和百位上的數(shù)字順次構(gòu)成的兩位數(shù)bc上的數(shù)字順次構(gòu)成的兩位數(shù)de也都是完全平方數(shù)．試求出滿足上述條件的所有五位數(shù)．思路點撥 設(shè)M2abcde，且am2(一位數(shù))，bcn2 (兩位數(shù))，det2 (兩位數(shù))，則M2m2104n2102t2 ①由式①知M2(m102t)2m21042mt102t2 ②比較式①、式②得n2=2mt．因為n22的倍數(shù)，故n24n2=163664．當(dāng)n2=16時，得mt8，則m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合條件，舍去；M21166441616．n2=36時，得mt18m=2，3，1，t=9，6，18M24368193636．當(dāng)n2=64時，得mt32．則m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合條件，舍去．因此，滿足條件的五位數(shù)只有4個：11664，41616，43681，93636．【例5】(2002年北京)能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎?若能夠，請舉出一例；若不能夠；請說明理由．思路點撥不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)．理由如下：441401．若存在正整數(shù)滿足nn 2002m2；i，j=1，2，3，4，rn是正整數(shù)；因為2002被4除余2，所以nn 被4除應(yīng)余2i j i j或3．n，nn

nnnn

2002被4除余2，與正1 2 3 4

1 2 12整數(shù)的平方被4除余0或1不符，所以正整數(shù)n，n，n，n中至多有—個是偶數(shù)，至少有三個是奇數(shù)．1 2 3 4在這三個奇數(shù)中，被413則它們的乘積被4除余1，與nn 被4除余2或3的結(jié)論矛盾．i j綜上所述，不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得褥它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)．【例6】使得(n2—19n+91)為完全平方數(shù)的自然數(shù)n的個數(shù)是多少?思路點撥若(n2—19n+91)處在兩個相鄰整數(shù)的完全平方數(shù)之間，則它的取值便固定了．∵n219n+91=(n-9)2+(10n)當(dāng)n>10(n－10)2<n2－19n+19<(n-9)2∴當(dāng)n>10時(n2—19n+19)不會成為完全平方數(shù)∴當(dāng)n≤10時，(n2—19n+91)才是完全平方數(shù)經(jīng)試算，n=9n=10n2—19n+912【例7】(“我愛數(shù)學(xué)”夏令)已知a，a，，a 的值都是1或—1，設(shè)m是這2002個數(shù)的兩兩乘積1 2 2002之和．求m)求m思路點撥 (1)(a1a2a2002)2a12a22a200222m20022m，m(a1a2a2002)22002．2當(dāng)aa a 1或時，m取最大值2003001．1 2 2002當(dāng)a，a，，a 中恰有1001個1，1001個時，m取最小值1 2 2002因為大于2002的最小完全平方數(shù)為452=2025aa1 2

必為偶數(shù)，所以，當(dāng)2002aa a 46或46；1 2 2002即a，a，，a 中恰有1024個1，978個或恰有1024個，978個1時，m取最小值1 2 20021(4622002)57．2【例】(全國競賽題)如果對一切xx的二次三項式ax2bxc證明：、2babcc(2)xax2bxc思路點撥(1)x=0cl2；x=±1，得abcm2，abcn2，其中nm2n22cm2n2都是整數(shù)．2b2k+l(k是整數(shù))，令x=416al2h2，其中h2a16a416a16a4k242．而h2l2(hl)(hlhl(hl)(hl、l(hl)(hl)4因此，16ah2l2，從而2b是偶數(shù)是整數(shù)，am2cb ^也是整數(shù)．(2ax2bxc不一定對xa=b=c=x=1ax2bxc=8不是平方數(shù)．令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a—2b+c=k2，其中h、k為整數(shù)．兩式相減得4b=h2—k2=(h+k)(h—k)．由于4b=2(2b)是偶數(shù)，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h—k)能被4整除．因此，b是整數(shù)，am2cb也是整數(shù)．學(xué)力訓(xùn)練(A級)a1．(ft東省競賽如果 是整數(shù)，那么a滿( )aA．a(chǎn)>0，且a是完全平方數(shù) B．a(chǎn)<0，且是完全平方數(shù)C．a(chǎn)≥0，且a是完全平方數(shù) D．a(chǎn)≤0，且是完全平方數(shù)2．設(shè)n是自然數(shù)，如果n2的十位數(shù)字是7，那么n2的末位數(shù)字( )A．1 C．5 3．(五羊杯，初設(shè)自然數(shù)N是完全平方數(shù)至少是3位數(shù)，它的末2位數(shù)字不是00，且去掉此2數(shù)字后，剩下的數(shù)還是完全平方數(shù)，則N的最大值．使得n2—19n+95為完全平方數(shù)的自然數(shù)n的值．自然數(shù)n減去52的差以及n加上37的和都是整數(shù)的平方，則．56，它們的平方數(shù)的末兩位數(shù)字相同，則這兩個數(shù)分別是 ．是否存在一個三位數(shù)abc (a，b，c取從1到9的自然)，使得abcbcacab為完全平方?求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積加l，其和必為完全平方數(shù)．（B級）1．若x是自然數(shù)，設(shè)yx42x32x22x1，則( )A．y一定是完全平方數(shù) B．存在有限個，使y是完全平方數(shù)C．y一定不是完全平方數(shù) D．存在無限多個，使y是完全平方數(shù)已知a和b是兩個完全平方數(shù)的個位數(shù)字為l，十位數(shù)字為的個位數(shù)為6，十位數(shù)字為y，( )A．x，y都是奇數(shù) 都是偶數(shù)C．x是奇數(shù)，y是偶數(shù) 為偶數(shù)，y為奇數(shù)若四位數(shù)xxyy是一個完全平方數(shù)，則這個四位數(shù)．設(shè)m是一個完全平方數(shù)，則比m大的