三角函數知識點總結與同步練習題

..必修四第一章三角函數1.1任意角與弧度制一、任意角和弧度制1、角的概念的推廣定義：一條射線OA由原來的位置,繞著它的端點O按一定的方向旋轉到另一位置OB,就形成了角,記作：角或可以簡記成。注意：〔1"旋轉"形成角,突出"旋轉"〔2"頂點""始邊""終邊""始邊"往往合于軸正半軸〔3"正角"與"負角"——這是由旋轉的方向所決定的。2、角的分類：由于用"旋轉"定義角之后,角的范圍大大地擴大了?？梢詫⒔欠譃檎恰⒘憬呛拓摻?。正角：按照逆時針方向轉定的角。零角：沒有發(fā)生任何旋轉的角。負角：按照順時針方向旋轉的角。3、"象限角"為了研究方便,我們往往在平面直角坐標系中來討論角,角的頂點合于坐標原點,角的始邊合于軸的正半軸。角的終邊落在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限的角角的終邊落在坐標軸上,則此角不屬于任何一個象限,稱為軸線角。4、常用的角的集合表示方法<1>、終邊相同的角：〔1終邊相同的角都可以表示成一個0到360的角與個周角的和?！?所有與終邊相同的角連同在內可以構成一個集合即：任何一個與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數個周角的和注意：1、2、是任意角3、終邊相同的角不一定相等,但相等的角的終邊一定相同。終邊相同的角有無數個,它們相差360°的整數倍。4、一般的,終邊相同的角的表達形式不唯一。<2>、終邊在坐標軸上的點：終邊在x軸上的角的集合：終邊在y軸上的角的集合：終邊在坐標軸上的角的集合：<3>、終邊共線且反向的角：終邊在y=x軸上的角的集合：終邊在軸上的角的集合：<4>、終邊互相對稱的角：若角與角的終邊關于x軸對稱,則角與角的關系：若角與角的終邊關于y軸對稱,則角與角的關系：若角與角的終邊在一條直線上,則角與角的關系：角與角的終邊互相垂直,則角與角的關系：二、弧度與弧度制<1>、弧度與弧度制：弧度制—另一種度量角的單位制,它的單位是rad讀作弧度定義：長度等于的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。oorC2rad1radrl=2roAAB如圖：AOB=1rad,AOC=2rad,周角=2rad注意：1、正角的弧度數是正數,負角的弧度數是負數,零角的弧度數是02、角的弧度數的絕對值〔為弧長,為半徑3、用角度制和弧度制來度量零角,單位不同,但數量相同〔都是0用角度制和弧度制來度量任一非零角,單位不同,量數也不同。4、在同一個式子中角度、弧度不可以混用。<2>、角度制與弧度制的換算弧度定義：對應弧長等于半徑所對應的圓心角大小叫一弧度角度與弧度的互換關系：∵360=rad180=rad∴1=注意：正角的弧度數為正數,負角的弧度數為負數,零角的弧度數為零.三、弧長公式和扇形面積公式；1.2任意角的三角函數一、三角函數定義如圖,設銳角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點,它與原點的距離>?！?比值叫做的正弦,記作,即；〔2比值叫做的余弦,記作,即；〔3比值叫做的正切,記作,即；〔4比值叫做的余切,記作,即；〔5比值叫做的正割,記作,即；〔6比值叫做的余割,記作,即．二、三角函數的定義域、值域①的始邊與軸的非負半軸重合,的終邊沒有表明一定是正角或負角,以及的大小,只表明與的終邊相同的角所在的位置；②根據相似三角形的知識,對于確定的角,六個比值不以點在的終邊上的位置的改變而改變大?。虎郛敃r,的終邊在軸上,終邊上任意一點的橫坐標都等于,所以與無意義；同理,當時,與無意義；④除以上兩種情況外,對于確定的值α,比值、、、、、分別是一個確定的實數,所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角為自變量,一比值為函數值的函數,以上六種函數統(tǒng)稱為三角函數。三角函數的定義域、值域函數定義域值域三．三角函數的符號由三角函數的定義,以及各象限內點的坐標的符號,我們可以得知：①正弦值對于第一、二象限為正〔,對于第三、四象限為負〔；②余弦值對于第一、四象限為正〔,對于第二、三象限為負〔；③正切值對于第一、三象限為正〔同號,對于第二、四象限為負〔異號．說明：若終邊落在軸線上,則可用定義求出三角函數值。為正全正為正為正四、誘導公式1、由三角函數的定義,就可知道：終邊相同的角三角函數值相同。即有：,,其中．,這組公式的作用是可把任意角的三角函數值問題轉化為0～2π間角的三角函數值問題．2、三角函數誘導公式〔的本質是：奇變偶不變〔對而言,指取奇數或偶數,符號看象限〔看原函數,同時可把看成是銳角.誘導公式的應用是求任意角的三角函數值,其一般步驟：〔1負角變正角,再寫成2k+,；<2>轉化為銳角三角函數五、三角函數線的定義：〔Ⅳ〔Ⅱ〔Ⅰ〔Ⅲ設任意角的頂點在原點,始邊與軸非負半軸重合,終邊與單位圓相交與點,過作軸的垂線,垂足為；過點作單位圓的切線,它與角的終邊或其反向延長線交與點.〔Ⅳ〔Ⅱ〔Ⅰ〔Ⅲ由四個圖看出：當角的終邊不在坐標軸上時,有向線段,于是有,,．我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。①三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上,三條有向線段中兩條在單位圓內,一條在單位圓外。②三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與的終邊的交點。③三條有向線段的正負：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值,與軸或軸反向的為負值。④三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前,終點字母在后面。注：〔1三角函數線的特征是：正弦線MP"站在軸上<起點在軸上>"、余弦線OM"躺在軸上<起點是原點>"、正切線AT"站在點處<起點是>".〔2三角函數線的重要應用是比較三角函數值的大小和解三角不等式。六、同角三角函數的基本關系式：〔1平方關系：〔2倒數關系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,〔3商數關系：同角三角函數的基本關系式的主要應用是,已知一個角的三角函數值,求此角的其它三角函數值。在運用平方關系解題時,要根據已知角的范圍和三角函數的取值,盡可能地壓縮角的范圍,以便進行定號；在具體求三角函數值時,一般不需用同角三角函數的基本關系式,而是先根據角的范圍確定三角函數值的符號,再利用解直角三角形求出此三角函數值的絕對值。1.3三角函數的誘導公式知識點1：誘導公式〔二sin〔180°+=－sincos〔180°+=－costg〔180°+=tg〔2結構特征：①函數名不變,符號看象限〔把看作銳角時②把求〔180°+的三角函數值轉化為求的三角函數值。知識點2：誘導公式〔三sin〔－=－sincos〔－=costg〔－=－tg結構特征：①函數名不變,符號看象限〔把看作銳角②把求〔－的三角函數值轉化為求的三角函數值知識點3：誘導公式〔四Sin<π－α>＝SinCos<π－α>＝－cosαTen<π－α>＝－tanα知識點4：誘導公式〔五知識點5：誘導公式〔六1.4三角函數的圖像與性質一、正弦函數余弦函數的圖象〔1函數y=sinx的圖象第一步：在直角坐標系的x軸上任取一點,以為圓心作單位圓,從這個圓與x軸的交點A起把圓分成n<這里n=12>等份.把x軸上從0到2π這一段分成n<這里n=12>等份.〔預備：取自變量x值—弧度制下角與實數的對應.第二步：在單位圓中畫出對應于角,,,…,2π的正弦線正弦線〔等價于"列表".把角x的正弦線向右平行移動,使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合,則正弦線的終點就是正弦函數圖象上的點〔等價于"描點".第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來,就得到正弦函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象．根據終邊相同的同名三角函數值相等,把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動,每次移動的距離為2π,就得到y(tǒng)=sinx,x∈R的圖象.把角x的正弦線平行移動,使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合,則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數y=sinx的圖象.〔2余弦函數y=cosx的圖象用幾何法作余弦函數的圖象,可以用"反射法"將角x的余弦線"豎立"[把坐標軸向下平移,過作與x軸的正半軸成角的直線,又過余弦線A的終點A作x軸的垂線,它與前面所作的直線交于A′,那么A與AA′長度相等且方向同時為正,我們就把余弦線A"豎立"起來成為AA′,用同樣的方法,將其它的余弦線也都"豎立"起來．再將它們平移,使起點與x軸上相應的點x重合,則終點就是余弦函數圖象上的點．]也可以用"旋轉法"把角的余弦線"豎立"〔把角x的余弦線O1M按逆時針方向旋轉到O1M1位置,則O1M1與O1M長度相等,方向相同.根據誘導公式,還可以把正弦函數x=sinx的圖象向左平移單位即得余弦函數y=cosx的圖象.正切函數y=tanx的圖像：二、五點法作圖用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖〔描點法：正弦函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖象中,五個關鍵點是：<0,0><,1><,0><,-1><2,0>余弦函數y=cosxx[0,2]的五個點關鍵是<0,1><,0><,-1><,0><2,1>只要這五個點描出后,圖象的形狀就基本確定了．因此在精確度不太高時,常采用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖,要求熟練掌握．三、奇偶性請同學們觀察正、余弦函數的圖形,說出函數圖象有怎樣的對稱性？其特點是什么？<1>余弦函數當自變量取一對相反數時,函數y取同一值。例如：f<->=,f<>=,即f<->=f<>；……由于cos<－x>=cosx∴f<-x>=f<x>.以上情況反映在圖象上就是：如果點〔x,y是函數y=cosx的圖象上的任一點,那么,與它關于y軸的對稱點<-x,y>也在函數y=cosx的圖象上,這時,我們說函數y=cosx是偶函數。定義：一般地,如果對于函數f<x>的定義域內任意一個x,都有f<-x>=f<x>,那么函數f<x>就叫做偶函數。例如：函數f<x>=x2+1,f<x>=x4-2等都是偶函數。<2>正弦函數觀察函數y=sinx的圖象,當自變量取一對相反數時,它們對應的函數值有什么關系？這個事實反映在圖象上,說明函數的圖象有怎樣的對稱性呢？函數的圖象關于原點對稱。也就是說,如果點〔x,y是函數y=sinx的圖象上任一點,那么與它關于原點對稱的點〔-x,-y也在函數y=sinx的圖象上,這時,我們說函數y=sinx是奇函數。定義：一般地,如果對于函數f<x>的定義域內任意一個x,都有f<－x>=－f<x>,那么函數f<x>就叫做奇函數。例如：函數y=x,y=都是奇函數。如果函數f<x>是奇函數或偶函數,那么我們就說函數f<x>具有奇偶性。注意：從函數奇偶性的定義可以看出,具有奇偶性的函數：〔1其定義域關于原點對稱；〔2f<-x>=f<x>或f<-x>=-f<x>必有一成立。因此,判斷某一函數的奇偶性時。首先看其定義域是否關于原點對稱,若對稱,再計算f<-x>,看是等于f<x>還是等于-f<x>,然后下結論；若定義域關于原點不對稱,則函數沒有奇偶性。四、.單調性從y＝sinx,x∈［－］的圖象上可看出：當x∈［－,］時,曲線逐漸上升,sinx的值由－1增大到1.當x∈［,］時,曲線逐漸下降,sinx的值由1減小到－1.結合上述周期性可知：正弦函數在每一個閉區(qū)間［－＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上都是增函數,其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間［＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上都是減函數,其值從1減小到－1.余弦函數在每一個閉區(qū)間［<2k－1>π,2kπ］<k∈Z>上都是增函數,其值從－1增加到1；在每一個閉區(qū)間［2kπ,<2k＋1>π］<k∈Z>上都是減函數,其值從1減小到－1.有關對稱軸：觀察正、余弦函數的圖形,可知y=sinx的對稱軸為x=k∈Z,y=cosx的對稱軸為x=k∈Z正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：函函數性質圖象定義域值域最值當時,；當時,．當時,；當時,．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸1.5函數的圖象一、相關定義函數的圖象上所有點向左〔右平移個單位長度,得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長〔縮短到原來的倍〔縱坐標不變,得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長〔縮短到原來的倍〔橫坐標不變,得到函數的圖象．函數的圖象上所有點的橫坐標伸長〔縮短到原來的倍〔縱坐標不變,得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點向左〔右平移個單位長度,得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長〔縮短到原來的倍〔橫坐標不變,得到函數的圖象．舉例說明：1、函數的圖象可以看作是把的圖象上所有的點的橫坐標伸長到原來的倍<縱坐標不變>而得到的。2.的圖象,可以看作是把函數的圖象上所有的點的橫坐標縮短<當時>或伸長<當時>到原來的倍<縱坐標不變>而得到的二、函數的性質：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數,當時,取得最小值為；當時,取得最大值為,則,,．練習1.1任意角與弧度制1、若,求和的范圍。2、〔1時針走過2小時40分,則分針轉過的角度是〔2將分針撥快10分鐘,則分針轉過的弧度數是．3、30；390；330是第象限角300；60是第象限角585；1180是第象限角2000是第象限角。4、〔1A={小于90°的角},B={第一象限的角},則A∩B=〔填序號.①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③{第一象限的角}④以上都不對〔2已知A={第一象限角},B={銳角},C={小于90°的角},那么A、B、C關系是〔B A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C5、寫出各個象限角的集合：6、〔1若角的終邊與角的終邊相同,則在上終邊與的角終邊相同的角為〔2若是終邊相同的角。那么在7、求所有與所給角終邊相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大負角：〔1；〔2．8、求,使與角的終邊相同,且．9、若,則角與角的中變得位置關系是〔。A.重合B.關于原點對稱C.關于x軸對稱D.有關于y軸對稱10、將下列各角化成0到的角加上的形式〔1〔211、設集合,,求,.12、把化成弧度13、把化成度14、將下列各角從弧度化成角度〔1rad〔22.1rad〔315、已知扇形的周長是6cm,面積是2cm2,則扇形的中心角的弧度數是.16、若兩個角的差為1弧度,它們的和為,求這連個角的大小分別為。17、直徑為20cm的圓中,求下列各圓心所對的弧長⑴⑵18、〔1一個半徑為r的扇形,若它的周長等于弧所在的半圓的長,那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少？〔2一扇形的周長為20cm,當扇形的圓心角等于多少弧度時,這個扇形的面積最大？若是第二象限的角,試分別確定2,的終邊所在位置.20、已知是第三象限角,問是哪個象限的角？1.2任意角的三角函數1、已知角的終邊過點,求的六個三角函數值。2．已知角的終邊經過點P<x,-><x>0>．且cos＝,求sin、cos、tan的值3、已知,化簡：4、若sinθcosθ>0,則θ在<>A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限 D.第二、四象限5、已知且,〔1求角的集合；〔2求角終邊所在的象限；〔3試判斷的符號。6、求下列函數的定義域〔1〔27、填空：〔1的值為________〔2已知,則______,若為第二象限角,則________。8、確定下列三角函數值的符號：〔1〔2〔3〔49、求下列各式的值1.2.10、.利用三角函數線比較下列各組數的大?。?與2tan與tan3cot與cot〔1若,則的大小關系為___〔2若為銳角,則的大小關系為_〔3函數的定義域是_______12、利用單位圓寫出符合下列條件的角的范圍?！?；〔2；,〔3且；13、填空：〔1函數的值的符號為____〔答：大于0；〔2若,則使成立的的取值范圍是____〔3已知,,則＝____〔4已知,則＝___；＝____〔5已知,則的值為______14、已知,則等于A、B、C、D、1.3三角函數的誘導公式1.已知角α的終邊經過P<3a,-4a><a≠0>,求α角的正弦、余弦、正切、余切函數值．2.設α角終邊上的一點P的坐標是<x,y>,P點到原點的距離是r．<1>已知r,α,求P點的坐標；<2>已知α,y,求r；<3>已知α,x,求y．3.已知|cosθ|≤|sinθ|,求θ的取值范圍．4.化簡下列各式：<1>sin<α-π>sec<-α+4π>tg<α-3π>+tg2<3π-α>·csc2<2π+α>5..下列四個命題中可能成立的一個是〔A、B、C、D、是第二象限時,6.若,且是第二象限角,則的值為〔A、B、C、D、7.化簡的結果是〔A、B、C、D、8.若,則等于〔A、1B、2C、-1D、-29.的值為〔A、B、C、D、10、求下列三角函數的值<1>sin240o；<2>；<3>cos<-252o>；<4>sin〔-11、求下列三角函數的值<1>sin<-119o45′>；<2>cos；<3>cos<-150o>；<4>sin12、求值：〔1sin－cos－sin〔2sin<-1200o>·cos1290o+cos<-1020o>·sin<-1050o>+tan855o1.4三角函數的圖像1、已知函數的圖象恒過點,則可以是〔A、--B、C、—D、2．函數y＝sin2xcos2x的最小正周期是<>A.2πB.4πc.EQ\f<π,4>D.EQ\f<π,2>3.設,對于函數,下列結論正確的是〔A．有最大值而無最小值B．有最小值而無最大值C．有最大值且有最小值D．既無最大值又無最小值4.已知函數〔、為常數,,在處取得最小值,則函數是〔A．偶函數且它的圖象關于點對稱B．偶函數且它的圖象關于點對稱C．奇函數且它的圖象關于點對稱D．奇函數且它的圖象關于點對稱6－24－4圖4-4-16－24－4圖4-4-1A．B．C．D．6、要得到的圖象,只需將函數的圖象上所有的點的〔A．橫坐標縮短到原來的倍〔縱坐標不變,再向左平行移動個單位長度B．橫坐標縮短到原來的倍〔縱坐標不變,再向右平行移動個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍〔縱坐標不變,再向左平行移動個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍〔縱坐標不變,再向右平行移動個單位長度圖4-4-27、如圖4-4-2所示,某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數y=Asin〔ωx＋＋B．圖4-4-2〔1求這段時間的最大溫差；〔2寫出這段曲線的函數解析式.8、函數的圖象如圖所示,求其一個解析式.9、畫出下列函數的簡圖：〔1y＝1＋sinx,ｘ∈〔0,２π〕〔2ｙ＝－cosx,ｘ∈〔0,２π〕10、〔1化簡：〔2已知非零常數滿足,求的值；〔3已知求值：〔1；〔211、求下列函數的周期：〔1；〔2；〔3；〔4；〔5．12、用圖象求函數的定義域。1,.5函數的圖象單選題1、把函數的圖象向右平移φ個單位,所得的圖象正好關于y軸對稱,則φ的最小正值為

<

>A、B、C、D、2、函數的最小正周期是

〔

A、B、C、D、3、函數與函數的周期之和為,則正實數的值為<

>A、B、C、D、4、右圖實際函數在區(qū)間上的圖像?為了得到這個函數的圖像,只要將的圖像上所有的點<

>A、向左平移個單位長度,再把所得點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變B、向左平移個單位長度,再把所得點的橫坐標伸長到原來的倍,縱坐標不變C、向左平移個單位長度,再把所得點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變D、向左平移個單位長度,再把所得點的橫坐標伸長到原來的倍,縱坐標不5、函數的最小正周期是〔

A、B、C、D、6、已知ω＞0,函數在上單調遞減．則ω的取值范圍是〔A、B、C、D、〔0,2]7、在內使成立的的取值范圍是〔A、B、C、D、8、函數的最小值等于<

>A、-3B、-2C、-1D、9、將函數,的圖象按平移后,得,的圖象,則〔A、B、C、D、10、在內,使成立的的取值范圍是<>A、B、C、D、11、已知,則函數的值域為〔

A、B、C、D、12、函數的單調減區(qū)間是〔

A、B、C、D、13、若想將函數的圖象進行平移,得到函數的圖象,下面可行的變換步驟是

<

>

向左平移個單位B、向右平移個單位C、向左平移個單位D、向右平移個單位14、將函數的圖象向右平移個單位后,其圖象的一條對稱軸方程為<

>A、B、C、D、15、已知,則函數y＝cos2x＋k<cosx-1>的最小值是<

>A、1B、-1C、2k＋1D、-2k＋116、函數的圖象〔

關于點對稱B、關于直線對稱C、關于點對稱D、關于直線對稱17、函數的最小正周期是,且則<

>A、B、C、D、18、定義在R上的函數既是偶函數又是周期函數.若的最小正周期是,且當時,,則的值為〔A、B、C、D、19、如圖是函數的圖象,則其解析式〔

A、B、C、D、20、若方程cos2+sin2=在上有兩個不同的實數解,則參數的取值范圍是<

>A、B、C、D、1.6三角函數模型的簡單應用單選題〔選擇一個正確的選項1、適合關系式的集合是〔

A、B、C、D、2.適合關系式,且在內的的個數有〔

A、1