【011】已知正方形ABCD中,E為對角線BD上一點,過E點作EF⊥精

【011】已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFLBD交BC于F,連接DF,G為DF中點，連接EG,CG.(1)求證：EG=CG;(2)將圖①中4BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45o,如圖②所示，取DF中點G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(3)將圖①中ABEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？(均不要求證明)第24題圖③第24題圖③TOC\o"1-5"\h\z解：(1)證明：在RtAFCD中，;G為DF的中點，，CG=FD.1分同理，在Rt^DEF中，EG=FD.2分CG=EG.3分(1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.4分證法一：連接AG,過G點作MNXAD于M,與EF的延長線交于N點.在△DAG與△DCG中，???AD=CD,/ADG=/CDG,DG=DG,△DAGDCG.AG=CG.5分在△DMG與^FNG中，:/DGM=/FGN,FG=DG,/MDG=/NFG,△DMGFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.6分在RtAAMG與Rt^ENG中，「AM=EN,MG=NG,AAMG^AENG.AG=EG.EG=CG.8分證法二：延長CG至M,使MG=CG,連接MF,ME,EC,4分在△DCG與^FMG中，???FG=DG,/MGF=/CGD,MG=CG,?.△DCGFMG.MF=CD,/FMG=/DCG.MF//CD//AB.5分，在Rt^MFE與Rt^CBE中，???MF=CB,EF=BE,..△MFECBE.ZMEC=ZMEF+ZFEC=ZCEB+ZCEF=90°.△MEC為直角三角形MG=CG，.=EG=MC.8分(1)中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG.其他的結(jié)論還有:EG±CG.……10分1

【012］如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標(biāo)原點，且與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點.拋物線yax2bxc與y軸交于點分別與圓O相切于點A和點C.(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸交x軸于點E,連結(jié)DE,并延長DE交圓O于F,求EF的長.(3)過點B作圓O的切線交DC的延長線于點P,判斷點P是否在拋物線上，說明理由.【012］解：(1)圓心O在坐標(biāo)原點，圓O的半徑為1,D,與直線yx交于點M、N,且MA、NC點A、B、C、D,與直線yx交于點M、N,且MA、NC丫拋物線與直線yx交于點M、N,且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C,M(1,1)、N(1,1).丫點D、M、N在拋物線上，將D(01)、M(1,1)、N(1,1)的坐標(biāo)代入c12yaxbxc,得：1abc解之，得:又DE1,DB2,FD4_55EFFDDE拋物線的解析式為：yx2(2),.,y又DE1,DB2,FD4_55EFFDDE拋物線的解析式為：yx2(2),.,yx2x1x1拋物線的對稱軸為x-,2連結(jié)BF,BFD90°,人-lc人-DE△BFDs^EOD,——DB4.5.53.55210(3)點P在拋物線上.設(shè)過D、C點的直線為：ykxb,

將點C(1,0)D(01)的坐標(biāo)代入ykxb,得：k1,b1,10分直線DC為：10分過點B作圓O的切線BP與x軸平行，P點的縱坐標(biāo)為y1,將y1代入yx1,得：x2.P點的坐標(biāo)為(2,1),當(dāng)x2時，y2_2_x2x122211,所以，P點的坐標(biāo)為(2,1),當(dāng)x2時，y2_2_x2x122211,所以，P點在拋物線yx2x1上.12分【013］如圖，拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,0)C(0,2)三點.(1)求出拋物線的解析式;(2)P是拋物線上一動點，過P作PMx軸，垂足為M,是否存在P點，使得以A,P,M為頂點的三角形與4OAC相似？若存在，請求出符合條件的點若不存在，請說明理由；(3)在直線AC上方的拋物線上有一點D,

使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標(biāo).【013］解：(1)該拋物線過點C(0,2),可設(shè)該拋物線的解析式為yax2bx2.P的坐標(biāo);(第26題圖)將A(4,0),B(1,0)代入,16a4b20,ab20.解得125.2125一此拋物線的解析式為y-x125一此拋物線的解析式為y-x—x2.22(3分)(2)存在.(4分)如圖，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m,1o5則P點的縱坐標(biāo)為一m—m2,22當(dāng)1m4時，125一AM4m,PM-m-m2.22又：COAPMA90,①當(dāng)AMPM①當(dāng)AMPMAOOC△APMs/XACO,解得②當(dāng)解得m21m2

2mi2,m2AMOCPMOAmi4,m2當(dāng)1m4時,類似地可求出當(dāng)m1m2（舍去），P（21）.（6分）125-時，AAPMs^CAO,即2（4m）-m—m2.225（均不合題意，舍去）P（2,1）.（7分）4解得②當(dāng)解得m21m2

2mi2,m2AMOCPMOAmi4,m2當(dāng)1m4時,類似地可求出當(dāng)m1m2（舍去），P（21）.（6分）125-時，AAPMs^CAO,即2（4m）-m—m2.225（均不合題意，舍去）P（2,1）.（7分）4時，P（5,2）.（8分）當(dāng)m1時，P（3,14）.綜上所述，符合條件的點P為（2,1）或（5,2）或（3,14）.（9分）12（3）如圖，設(shè)D點的橫坐標(biāo)為t（0t4）,則D點的縱坐標(biāo)為一t22過D作y軸的平行線交AC于E.由題意可求得直線AC的解析式為y5-t2.2-x2.2（10分）E點的坐標(biāo)為1o52.DE-t2-t2221t221t222t.,（11分）Sa一°ADAC-22t4t24t（t2）2當(dāng)t2時,△DAC面積最大.D（2,1）.（13分）【014】在平面直角坐標(biāo)中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點OA旋轉(zhuǎn)了45°.A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點.現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)A點第一次落在直線yx上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線yx于點M,BC邊交x軸于點N（如圖）.（1）求邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（3）設(shè)MBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論【014］（1）解：:A點第一次落在直線yx上時停止旋轉(zhuǎn)，，

_.45_.452???OA在旋轉(zhuǎn)過程中所才3過的面積為45一—-.4分(2)解：.MN//AC,..BMNBAC45,BNMBCA45.???BMNBNM.BMBN.又「BABC，?-AMCN.又.OAOC,OAMOCN,?.OAMOCN...AOMCON.1AOM-(9045.，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為2458分(3)答：p值無變化.證明：延長BA交y軸于E點，則AOE45°AOM,CON90°45°AOM45°AOM,：.AOECON.又「OAOC9AB的長為6.⑴求二次函數(shù)的解析式；OAE180°90°90°OCN.「.OAEOCN.，OE9AB的長為6.⑴求二次函數(shù)的解析式；⑵在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA+PD最小，求出點P的坐標(biāo);⑶在拋物線上是否存在點Q,使^QAB與4ABC相似？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由.

【015】⑴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-h)2+k;頂點C的橫坐標(biāo)為4,且過點(0,1J3)927_?.y=a(x-4)+k一片16ak①9又?.?對稱軸為直線x=4,圖象在x軸上截得的線段長為6A(1,0),B(7,0)--0=9a+k②由①②解得a=E3,k=—g二.二次函數(shù)的解析式為：y=213(x-4)2-<3⑵???點A、B關(guān)于直線x=4對稱PA=PB「.PA+PD=PB+PDDB「.當(dāng)點P在線段DB上時PA+PDX得最小值TOC\o"1-5"\h\zDB與對稱軸的交點即為所求點P設(shè)直線x=4與x軸交于點M.PM//OD/BPMWBDO又/PBMhDBO33——BPM^ABDOfMBMPM9三3..點P的坐標(biāo)為(4,I3)DOBO733⑶由⑴知點C(4,?3),又.「AM=3在RtAAMO^,cotZACM=1,?./ACM=60,AC=BC/ACB=120①當(dāng)點Q在x軸上方時，過Q作QNLx軸于N如果AB=BQ由△AB6△ABQWBQ=6/ABQ=120,則/QBN=60，QN=3；3,BN=3,ON=10,此時點Q(10,373),如果AB=AQ由對稱性知Q(-2,33)②當(dāng)點Q在x軸下方時，△QAB^是△ACB此時點Q的坐標(biāo)是(4,v3),經(jīng)檢驗，點(10,3寸3)與(-2,3、3)都在拋物線上°AX4XB綜上所述，存在這樣的點Q°AX4XB綜上所述，存在這樣的點Q1使^QAB^△ABC點Q的坐標(biāo)為(10,3有)或(-2,3<3)或(4,73).【016］如圖9,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點B(6,NTy*A(3,3).,7OZ3/c6、xm"/\求m的值和這個一次函數(shù)的解析式;(3)第(2)問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D,求過A、B、D三點的二次函數(shù)的解析式；(4)在第(3)問的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點巳使四邊形OECD的面積§與四邊形OABD的面積S滿足：S1-S3?若存在，求點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【016】解：(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為yk1x(k10),因為yk1x的圖象過點A(3,3),所以33kl,解得k11.TOC\o"1-5"\h\z這個正比例函數(shù)的解析式為yx.(1分)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y壇(k20).因為yk2■的圖象過點A(3,3),所以xx_k2.一._9.3解得k29.這個反比例函數(shù)的解析式為y1.(2分)9933-⑵因為點B(6,m)在y—的圖象上，所以m——,則點B6,—.(3分)x622設(shè)一次函數(shù)解析式為yk3xb(k30).因為yk3xb的圖象是由yx平移得到的,3所以k31,即yxb.又因為yxb的圖象過點B6,一,所以2TOC\o"1-5"\h\z3一..一.99—6b,解得b—,一次函數(shù)的解析式為yx—.(4分)222一一、，99(3)因為yx—的圖象交y軸于點D,所以D的坐標(biāo)為0,一.22設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax2bxc(a0).39因為yax2bxc的圖象過點A(3,3)、B6,一、和D0,一1a2解得1a2解得b4,9c2（6分）9a3bc3,3-所以36a6bc—,（5分）29c.2TOC\o"1-5"\h\z129這個二次函數(shù)的解析式為y-x24x9.22一一9一9(4)-yx一父x軸于點C,點C的坐標(biāo)是一，0,22

如圖所示，451881一.4假設(shè)存在點1522cEd,y0)，使S1-S81427「四邊形CDOE如圖所示，451881一.4假設(shè)存在點1522cEd,y0)，使S1-S81427「四邊形CDOE的頂點E只能在x軸上方，y00,S1SaocdSaoce19919-----"y。22222819819273一-y0——,y0-.vE(xo,y。)在二次函數(shù)的圖象上,842212.93,一_.一-x04x0——.解得X02或X。6.222,3,當(dāng)x06時，點E6,-與點B重合，這時CDOE不是四邊形，故x026舍去,—3-點E的坐標(biāo)為2,--(8分)【017］如圖，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A(1,0),B(0,2)兩點，頂點為D.(1)求拋物線的解析式；(2)將4OAB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后，點B落到點C的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點C,求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式；(3)設(shè)(2)中平移后，所得拋物線與y軸的交點為B1,頂點為D1,若點N在平移后的拋物線上，且滿足4NBB1的面積是4NDD1面積的2倍,(第26題)求點N的坐標(biāo).【017］解：(1)已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A(1,0),B(0,2),解得所求拋物線的解析式為yx23x2.⑵.「A(1,0),B(0,2),⑵.「A(1,0),B(0,2),OA1,OB2可得旋轉(zhuǎn)后C點的坐標(biāo)為(31)當(dāng)x3時，由yx23x2得y2,可知拋物線yx23x2過點(3,2)將原拋物線沿y軸向下平移1個單位后過點C.(3)丁點N在y其對稱軸為xy(3)丁點N在y其對稱軸為xy圖②10分TOC\o"1-5"\h\z2_.平移后的拋物線解析式為：yx3x12_....2_.、x3x1上，可設(shè)N點坐標(biāo)為(x°,xo3xo1)9_一,、一x23x1配方得y3①當(dāng)0xo—時，如圖①，2'SANBB12SANDD1TOC\o"1-5"\h\z1x2113x1x02212x°xo1此時x23x011N點的坐標(biāo)為(1,1).…3②當(dāng)x0—時，如圖②2一一113同理可得11x021x03222x032.此時x03x011點N的坐標(biāo)為(31).綜上，點N的坐標(biāo)為(1,1)或(31)【018］如圖，拋物線yax2bx4a經(jīng)過A(1,0)、C(0,4)兩點，與x軸交于另一點B.(1)求拋物線的解析式；(2)已知點D(m,m1)在第一象限的拋物線上,求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，連接BD,且DBP45°,求點P的坐標(biāo).點P為拋物線上一點,【018］解：（1）;拋物線y2axbx4a經(jīng)過A(1,0),C(0,4)兩點,ab4a0,

4a4.解得13.拋物線的解析式為3x⑵點D(m,m1）在拋物線上,3m3.■點D在第一象限,點D的坐標(biāo)為(3,4).由(1)知OAOB,CBA45°.設(shè)點D關(guān)于直線BC的對稱點為點E.■■,C(0,4),CD//AB,且CD3,ECBDCBE點在y軸上，且CECD3.OE1,E(01)即點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標(biāo)為（0,1）.（3）方法一：作PF±AB于F,DE，BC于由(1)有:???DBPOBOC4,45°,CBDOBC45°,PBA.,「C(0,4),D(3,4),CD//OB且CD3.DCECBO45°,PAF*yDxODECE3.22vOBOC4,BC4.2,BEBCCE5.22，tanPBFtanCBD設(shè)PF3t,則BFDEBEOF355t4,P(5t4,3t).：P點在拋物線上,3t(5t4)23(5t4)4,t0(舍去)或t2225'266

一，—525方法二：過點方法二：過點D作BD的垂線交直線PB于點Q,過點D作DH±x軸于H.過Q點作QG，DH于G.PBD45°,QDDB.QDGBDH90°,又DQGQDGDQG△QDG9ADBHQGDH4,DGBH1.由(2)知D(3,4),Q(13)..??B(4,0),直線BP的解析式為y12y解方程組y3-x3x4,

12Xiyi4,0；X2y2【019］如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊,2,56625使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH,延長延長BC至M,使CM=|CF-EO|,再以CM、CO為邊作矩形CMNO⑴試比較EO、EC的大小，并說明理由,S四邊形CFGH(2)令m,請問m是否為定值？S四邊形CNMN；若是，請求出m的值；若不是，請說明理由⑶在(2)的條件下，若CO=1,CE=1,Q為AE上一點且QF=2,33拋物線y=mx2+bx+c經(jīng)過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式.(4)在(3)的條件下，若拋物線y=mx2+bx+c與線段AB交于點P,試問在直線BC上是否存在點K,使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似？若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標(biāo)？若不存在，請說明理由。點P的坐標(biāo)為266一,—

525【019](1)EO>EC,理由如下：由折疊知，EO=EF,點P的坐標(biāo)為266一,—

525【019](1)EO>EC,理由如下：由折疊知，EO=EF,在Rt^EFC中，EF為斜邊，，EF>EC,故EO>EC…2分m為定值?S四邊形cfgh=CF2=EF2—EC2=EO2—EC2=(EO+EC)(EO—EC)=CO?(EO—EC)S四邊形cmno=CM-CO=|CE—EO|-CO=(EO—EC)-CO.Sg邊形CFGH一mSra邊形cmno，、一1.2,12CO=1,CEQF—EF=EO=1——3333cos/FEC=—/FEC=60°,2

18060--FEA60OEA,EAO302一，2??.△EFQ為等邊二角形，EQ—3QF,,一1133作QILEO于I,EI=-EQIQ=—EQ—2323IO=211Q點坐標(biāo)為(包1)6分3333331.,.拋物線y=mx2+bx+c過點C(0,1),Q(——，一)，m=133???可求得b3,c=1.??拋物線解析式為yx23x12_(4)由(3),AO3EO33當(dāng)x2?3時，y(243)2332431工vAB3333??.P點坐標(biāo)為(至3,1)8分33.212…BP=1--AO33方法1:若^PBK與4AEF相似，而^AEF^AAEO,則分情況如下:2①bk3時,bk22,33萬一一，2①bk3時,bk22,33萬一一，4383八?'K點坐標(biāo)為(,1)或(,1)99…223一、,43.、②BK3時，BK—，K點坐標(biāo)為（1^,1）或（0,1）2.3233飛-310分故直線KP與y軸交點T的坐標(biāo)為571(0,—)或(0,—)或(0,—)或(0,1)333方法2:若^BPK與^AEF相似，或30°12分由（3）得：/BPK=30?；?0°,過P作PR±y軸于R,貝U/RTP=60①當(dāng)/RTP=30。時，RT^3e23②當(dāng)/RTP=60°時，RT^3-233