微觀至介觀尺度的模擬方法概述講解課件

微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬1微觀至介觀尺度的模擬主要研究內(nèi)容：微結(jié)構(gòu)演化（動(dòng)力學(xué)控制）微結(jié)構(gòu)與其性質(zhì)之間關(guān)系結(jié)構(gòu)演化的方向——熱力學(xué)控制微結(jié)構(gòu)變化路徑——?jiǎng)恿W(xué)控制

結(jié)構(gòu)演化的這種非平衡特性導(dǎo)致了各種各樣的晶格缺陷結(jié)構(gòu)及其相互作用機(jī)制。微觀至介觀尺度的模擬主要研究內(nèi)容：2尺度/m特性、現(xiàn)象或缺陷10-10～10-7點(diǎn)缺陷，原子團(tuán)簇，短程有序，在玻璃態(tài)和界面中的結(jié)構(gòu)單元，位錯(cuò)芯，裂紋尖端，原子核10-9～10-5失穩(wěn)分解，涂層，薄膜，表面腐蝕10-9～10-4二嵌段共聚物，三嵌段共聚物，星形共聚物，大質(zhì)量的非熱變化，界面網(wǎng)格，位錯(cuò)源，堆積效應(yīng)10-9～10-3粒子、沉積物，枝晶，共晶，共析10-8～10-5微裂紋，裂紋，粉末，磁疇，內(nèi)應(yīng)力10-8～10-4堆垛層錯(cuò)，微帶，微孿晶，位錯(cuò)通道10-8～10-3聚合物中的球晶，存在于金屬、陶瓷、玻璃及聚合物中的結(jié)構(gòu)疇或晶粒團(tuán)簇（對于多晶或非晶的情況）10-8～10-2聚合物中的構(gòu)象缺陷團(tuán)簇10-8～10-1位錯(cuò)，位錯(cuò)壁，旋錯(cuò)，磁壁，亞晶粒，大角晶界，界面10-7～10-1晶粒，剪切帶，復(fù)合材料的第二相10-7～100擴(kuò)散，對流，熱傳遞，電流傳輸10-7～100微結(jié)構(gòu)逾滲路徑(斷裂，再結(jié)晶，界面潤濕，擴(kuò)散，腐蝕，電流，布洛赫壁)10-6～101表面，樣品斷面收縮，斷面微結(jié)構(gòu)的實(shí)物空間和時(shí)間尺度尺度/m特性、現(xiàn)象或缺陷10-10～10-7點(diǎn)缺陷，原子團(tuán)3微觀至介觀尺度的模擬非平衡因素→材料性質(zhì)的多樣性應(yīng)用性質(zhì)材料微結(jié)構(gòu)機(jī)制微觀至介觀尺度的模擬非平衡因素→材料性質(zhì)的多樣性4微觀至介觀尺度的模擬介觀尺度模擬的特點(diǎn)：處理的原子數(shù)目巨大(≈1023個(gè)/cm3)。排除了（1）嚴(yán)格求解薛定諤方程（2）由唯象原子論方法(如與經(jīng)驗(yàn)勢相聯(lián)系的分子動(dòng)力學(xué))來完成。

必須建立能覆蓋較寬尺度范圍的恰當(dāng)?shù)慕橛^尺度模擬方法，以便給出遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過原子尺度的預(yù)測。微觀至介觀尺度的模擬介觀尺度模擬的特點(diǎn)：5微觀至介觀尺度的模擬連續(xù)體模型原子運(yùn)動(dòng)方程的嚴(yán)格解或近似解

（薛定諤方程或分子動(dòng)力學(xué)）——替換為——平均本征結(jié)構(gòu)關(guān)系式介觀尺度機(jī)理和本構(gòu)定律的復(fù)雜性和多樣性，導(dǎo)致建立介觀尺度模型的方法的不唯一性。微觀至介觀尺度的模擬連續(xù)體模型6空間及時(shí)間離散化介觀尺度模擬方法空間及時(shí)間離散化位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)(晶體塑性，復(fù)原，織構(gòu)，斷裂)相場動(dòng)力學(xué)或廣義Ginzburg-Landau模型(超導(dǎo)電性，擴(kuò)散，相變，晶粒生長)確定性或概率性元胞自動(dòng)機(jī)(擴(kuò)散，熱傳遞，相變，再結(jié)晶，晶粒生長)多態(tài)動(dòng)力學(xué)波茨(Potts)模型(相變，再結(jié)晶，晶粒生長)幾何拓?fù)浜徒M分模型(相變，再結(jié)晶，晶粒生長)拓?fù)渚W(wǎng)格和頂點(diǎn)模型(晶界動(dòng)力學(xué)，網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)，成核，復(fù)原，晶粒生長)典型應(yīng)用領(lǐng)域中的主要介觀尺度模擬方法空間及時(shí)間離散化介觀尺度模擬方法空間及時(shí)間離散化位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)相7微觀至介觀尺度的模擬介觀模擬方法的共同特點(diǎn)：不明顯地包含原子尺度動(dòng)力學(xué)，而是理想化地把材料作為連續(xù)體。由均勻性基體將晶格缺陷之間的相互作用耦合在一起?？刂品匠讨型ǔ２伙@含內(nèi)秉空間或時(shí)間標(biāo)度。含有單個(gè)晶格缺陷的連續(xù)體介觀尺度模型通常由一系列唯象的偏微分速率和本征結(jié)構(gòu)方程組表述。采用有限差分法、有限元法或蒙特卡羅方法可以對這些微分方程近行求解。微觀至介觀尺度的模擬介觀模擬方法的共同特點(diǎn)：不明顯地包含原子8微觀至介觀尺度的模擬時(shí)空標(biāo)度參數(shù)和離散度的確定由微分方程及其系數(shù)、變量所擁有的特點(diǎn)和性質(zhì)決定。作為態(tài)變量(例如原子濃度，位鍺密度，結(jié)構(gòu)參數(shù)，位移或品格取向)，通常被并進(jìn)空間格柵坐標(biāo)；控制微分方程被用于局域或整體情況，這取決于相互作用的性質(zhì)(短程或長程)。能夠利用連續(xù)體近似方法對介觀尺度的結(jié)構(gòu)演化進(jìn)行預(yù)測、意義重大，因?yàn)槲ㄏ髴B(tài)方程和結(jié)構(gòu)演化定律已在介觀尺度進(jìn)行很好地研究，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的獲得比在微觀尺度更容易，而且數(shù)據(jù)信息比在宏觀尺度更詳細(xì)。微觀至介觀尺度的模擬時(shí)空標(biāo)度參數(shù)和離散度的確定由微分方程及其9第6章元胞自動(dòng)機(jī)6.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)是描述和處理復(fù)雜系統(tǒng)在離散空間-時(shí)間上演化規(guī)律的算法，通常采用對晶格格座的局域或整體的確定性和概率性變換規(guī)則進(jìn)行具體操作?？臻g變量可以代表實(shí)空間、動(dòng)量空間或波矢空間。其晶格定義為具有固定數(shù)目的點(diǎn)，一般是規(guī)則晶格，但其維數(shù)及大小可以是任意的。它表述了系統(tǒng)由基礎(chǔ)實(shí)體形成的構(gòu)象。這些“基礎(chǔ)實(shí)體”可以是任意大小的連續(xù)體型體積單元、原子顆粒、晶格缺陷或生物界中的動(dòng)物等等。第6章元胞自動(dòng)機(jī)6.1基本原理10元胞自動(dòng)機(jī)的原理應(yīng)用于城市規(guī)劃元胞自動(dòng)機(jī)的原理應(yīng)用于城市規(guī)劃116.1基本原理基本實(shí)體，由廣義態(tài)變量(諸如無量綱數(shù)、粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、顏色、血壓或動(dòng)物種類等)進(jìn)行量化表述。在每一個(gè)獨(dú)立的格座，這些態(tài)變量的實(shí)際取值都是確定的。并且認(rèn)為，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)代表有限個(gè)可能的離散狀態(tài)中的一個(gè)態(tài)。通過將某些變換規(guī)則應(yīng)用于每個(gè)結(jié)點(diǎn)狀態(tài)，就會(huì)發(fā)生自動(dòng)機(jī)的演化。這些規(guī)則決定著晶格格座的狀態(tài)；對于局域規(guī)則，格座狀態(tài)是其前一狀態(tài)及近鄰格點(diǎn)(座)狀態(tài)的函數(shù)，而在整體變換規(guī)則下，則為所有格座狀態(tài)的函數(shù)。傳統(tǒng)元胞自動(dòng)機(jī)大多采用局域變換規(guī)則。6.1基本原理基本實(shí)體，由廣義態(tài)變量(諸如無量綱數(shù)、粒子密126.1基本原理對于在規(guī)則晶格結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用是比較容易。對于非均勻介質(zhì)，在討論的晶格區(qū)域采用較小的晶格間距比較妥當(dāng)；而且，還必須考慮對變換速率進(jìn)行合理修正和重正化。元胞自動(dòng)機(jī)以離散時(shí)間步發(fā)展演化。經(jīng)過一個(gè)時(shí)間間隔，要對所有結(jié)點(diǎn)的態(tài)變量值同時(shí)更新。廣義微結(jié)構(gòu)元胞自動(dòng)機(jī)可以采用元胞或格座的離散空間格柵，在空間上通常被認(rèn)為是均勻的，所有格座都是等價(jià)的，并被排布在規(guī)則晶格上，其中的變換規(guī)則在各處都是一樣的。假定它們是有限個(gè)可能狀態(tài)中的一個(gè)，并對所有元胞狀態(tài)同步更新。此外，它們與常規(guī)自動(dòng)機(jī)不同的是，格座變換既可以按照確定性定律，也可以按照概率性定律。6.1基本原理對于在規(guī)則晶格結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用是比較容易。136.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)方法為模擬動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的演化提供了一種直接的手段，這些動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)包含有大量基于短程相互作用或長程相互作用的相似組元。對于簡單的物理系統(tǒng)，時(shí)間是其惟一個(gè)獨(dú)立變量(自變量)。這種直接方法，就相當(dāng)于利用有限差分近似法給出偏微分方程組的離散解。元胞自動(dòng)機(jī)方法對“基礎(chǔ)實(shí)體”類型和選用的變換規(guī)則沒有任何限制。它們可以描述：簡單有限差分模擬中態(tài)變量值的分布，混合算法的色問題，“教室里的兒童健康情況”，在任何變換條件下的模糊集合元素，以及元胞的初級生長與衰減過程等。6.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)方法為模擬動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的演化提供了一種146.1基本原理例如，用于計(jì)算高次多項(xiàng)式系數(shù)或裴波那契數(shù)的帕斯卡三角形，可以作為一維元胞自動(dòng)機(jī)。其中規(guī)則三角晶格各個(gè)格座對應(yīng)的值，可通過在其上方的兩個(gè)數(shù)之和給出。在這種情況下、自動(dòng)機(jī)的“基礎(chǔ)實(shí)體”是一些無量綱的整數(shù)，其變換定律是求和法則。一維元胞自動(dòng)機(jī)模型帕斯卡三角形示意圖6.1基本原理例如，用于計(jì)算高次多項(xiàng)式系數(shù)或裴波那契數(shù)的帕斯156.1基本原理另一種自動(dòng)機(jī)是由立方晶格組成的，這時(shí)每個(gè)點(diǎn)具有一種顏色，并能按照下述簡單的變換規(guī)則進(jìn)行轉(zhuǎn)換：“如果某點(diǎn)有超過50％的近鄰格點(diǎn)(座)是藍(lán)色，則該點(diǎn)就由原色變成紅色”；或者“當(dāng)有超過75％的近鄰格點(diǎn)是紅色時(shí)，那么所考察格點(diǎn)的顏色也轉(zhuǎn)換為紅色”。若要描述學(xué)校里孩子們之間的相互傳染問題，我們可以通過一個(gè)規(guī)則，亦即“如果一個(gè)教室里有50％的孩子得病．則該教室里其他所有孩子就被感染”，定義一個(gè)元胞自動(dòng)機(jī)。為了使上述簡單唯象模型變得更加合理、真實(shí)、可信，應(yīng)該增加更多的變換規(guī)則。上面的例子可補(bǔ)充這樣的規(guī)則：“經(jīng)過一定數(shù)目的時(shí)間步之后，受感染的孩子已康復(fù)”或“每個(gè)孩子只能被感染一次’’等等。6.1基本原理另一種自動(dòng)機(jī)是由立方晶格組成的，這時(shí)每個(gè)點(diǎn)具有166.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)并不簡單地等同于普通模擬方法，例如各種有限差分法、有限元法、伊辛(Ising)法、波茨(Potts)方法等。元胞自動(dòng)機(jī)具有廣泛的適用性和多功能的特點(diǎn)，是離散計(jì)算方法的普遍化推廣。這種靈活適用性是基于這樣一個(gè)事實(shí)：除了采用簡明的數(shù)學(xué)表達(dá)式作為變量和變換規(guī)則之外，如果需要的話，自動(dòng)機(jī)能夠包括任何元素或規(guī)則。6.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)并不簡單地等同于普通模擬方法，例如各176.1基本原理在材料科學(xué)中，有時(shí)對常規(guī)有限差分計(jì)算方法補(bǔ)充一些“如果…就…”規(guī)則可以為處理“數(shù)學(xué)上的奇點(diǎn)(即非光滑函數(shù)表述中的臨界或自發(fā)效應(yīng))問題提供了一種簡單有效的途徑。事實(shí)上，這些規(guī)則經(jīng)常出現(xiàn)在微結(jié)構(gòu)模擬中。例如，在離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬中，“如果兩個(gè)反平行螺位錯(cuò)相互靠近到其間距小于5個(gè)伯格斯矢量時(shí)，它們就會(huì)自發(fā)湮沒”；在斷裂力學(xué)或彈簧模型中，會(huì)經(jīng)常包含這樣的規(guī)則：“如果裂紋速度達(dá)到某一個(gè)值，試驗(yàn)樣品將自發(fā)損壞”；在重結(jié)晶模擬中，會(huì)經(jīng)常遇到這樣的規(guī)則：“如果晶體局城取向誤差達(dá)到某一個(gè)值，格座將滿足成核的動(dòng)力學(xué)非穩(wěn)定性臨界條件?！被颉熬钟騼?chǔ)存的彈性能達(dá)到某個(gè)臨界值，格座將滿足成核的熱力學(xué)非穩(wěn)定性條件”。6.1基本原理在材料科學(xué)中，有時(shí)對常規(guī)有限差分計(jì)算方法補(bǔ)充一186.1基本原理如果對主微分方程補(bǔ)充上述所說的“如果…就…”的變換規(guī)則，我們就可以對復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特性進(jìn)行模擬。通常而言，所考察粒子之間的局域相互作用是這一問題的根本基礎(chǔ)。盡管元胞自動(dòng)機(jī)模擬一般是在基本尺度層次(例如原子、原子團(tuán)簇、位錯(cuò)段、亞晶粒)上完成的，但是作為對連續(xù)體空間進(jìn)行離散化和映射處理的派生方法，本身不存在物理特征線度或時(shí)間刻度的內(nèi)秉標(biāo)定問題。對連續(xù)體系統(tǒng)的元胞自動(dòng)機(jī)模擬，需要定義相應(yīng)的基本單元和對應(yīng)的變換規(guī)則，以便恰當(dāng)?shù)卣宫F(xiàn)系統(tǒng)在給定層次上的行為特性。6.1基本原理如果對主微分方程補(bǔ)充上述所說的“如果…就…”的196.1基本原理從物理角度看，分子動(dòng)力學(xué)表示的是真正的微觀模型，而在使用元胞自動(dòng)機(jī)方法時(shí)，并不局限任何特定體系，可適用于任何系統(tǒng)。與蒙特卡羅方法相比，由元胞自動(dòng)機(jī)方法得到的平衡系綜的熱力學(xué)量，在物理上更缺少依據(jù)和基礎(chǔ)。由于這個(gè)原因，在進(jìn)行元胞自動(dòng)機(jī)計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)之前，一個(gè)重要工作就是，檢驗(yàn)基本模擬單元是否切實(shí)體現(xiàn)了“基礎(chǔ)物理實(shí)體”的特性。由于元胞自動(dòng)機(jī)的應(yīng)用并不局限于微觀體系，所以它為在微結(jié)構(gòu)模擬中實(shí)現(xiàn)不同空間及時(shí)間尺度的方法之間的跨越，提供了一個(gè)非常方便的數(shù)值工具。6.1基本原理從物理角度看，分子動(dòng)力學(xué)表示的是真正的微觀模型206.2CA在材料中的多面性由于在考慮大量可能的空間態(tài)變量及變換規(guī)則時(shí)所展現(xiàn)的廣泛適用性和靈活性。元胞自動(dòng)機(jī)方法在對由再結(jié)晶、晶粒生長及相變現(xiàn)象等形成的微結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬時(shí)，表現(xiàn)出特有的多面性。例如，對于再結(jié)晶和晶粒生長，元胞自動(dòng)機(jī)可以離散化方式同時(shí)描述局域結(jié)晶結(jié)構(gòu)及其形成過程。為了實(shí)現(xiàn)對這些特性的描述，一般是將局域晶體取向g、儲(chǔ)存的彈性能(即某種近似可測量，諸如位錯(cuò)密度ρ或局域泰勒因子M)以及溫度T作為態(tài)變量。這些變量都是因變量，也就是它們依賴于自變量，諸如空間坐標(biāo)(x1，x2，x3)和時(shí)間t等。6.2CA在材料中的多面性由于在考慮大量可能的空間態(tài)變量及216.2CA在材料中的多面性就特定的研究對象，狀態(tài)參量應(yīng)包含在所使用的各種局域結(jié)構(gòu)演化定律之中。根據(jù)局域的信息、數(shù)據(jù)及變換規(guī)律，可以對諸如復(fù)原、成核及其生長等現(xiàn)象的機(jī)理結(jié)出相應(yīng)合理的唯象解釋。通過確定二維或三維空間格柵所對應(yīng)的態(tài)變量，元胞自動(dòng)機(jī)模擬可以應(yīng)用于對微結(jié)構(gòu)的非均勻性質(zhì)的研究，其中包括諸如第二相、微帶、剪切帶、過渡帶、異相界面、晶界和孿晶等。這些局域性缺陷結(jié)構(gòu)，可以借助其態(tài)變量的相應(yīng)值或梯度值進(jìn)行表述；用高位錯(cuò)密度和大的局域晶格曲率表征剪切帶的特性。對于一個(gè)給定雜質(zhì)含量的晶界遷移率m，可以采用相鄰晶粒之間的取向偏差Δg和晶界法線的空間取向n來表征。6.2CA在材料中的多面性就特定的研究對象，狀態(tài)參量應(yīng)包含226.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述在元胞自動(dòng)機(jī)中，鄰接格座的局域相互作用，是通過一套確定性或概率件變換規(guī)則具體確定的。在時(shí)間(t+Δt)時(shí)，對應(yīng)于某特定格座的態(tài)變量值ξ將由目前狀態(tài)(t0)(或最接近的幾個(gè)態(tài)t0，t0-Δt等)及其鄰近格點(diǎn)的狀態(tài)決定。若只考慮最鄰近的兩個(gè)時(shí)間步，則對于一維元胞自動(dòng)機(jī)的演化來說，可以用公式寫成下式形式：表示在時(shí)間t0時(shí)對應(yīng)于結(jié)點(diǎn)j的態(tài)變量值；j+1和j-1表示格點(diǎn)j的兩個(gè)最近鄰結(jié)點(diǎn)。f具體指定了描述變換規(guī)則的函數(shù)。(6.1)6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述在元胞自動(dòng)機(jī)中，鄰接格座的局域相236.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述幾種鄰接狀態(tài)馮·諾伊曼鄰接結(jié)點(diǎn)狀態(tài)僅取決于最鄰近結(jié)點(diǎn)摩爾鄰接結(jié)點(diǎn)狀態(tài)取決于最鄰近結(jié)點(diǎn)和次鄰近結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展摩爾鄰接考慮兩層鄰近的元胞馬哥勒斯鄰接每次考慮一個(gè)2×2的元胞塊鄰接類型影響系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換速率和演化形態(tài)。

6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述幾種鄰接狀態(tài)241,11,21,32,12,22,33,13,23,31,11,21,32,12,22,33,13,23,3圖6.1馮諾依曼鄰接和摩爾鄰接1,11,21,32,12,22,33,13,23,31,1256.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述對于擴(kuò)展配置，一維情況下，考慮兩個(gè)鄰近時(shí)間步時(shí)的轉(zhuǎn)換規(guī)則可以寫為：其中n表示單位晶格元胞變換規(guī)則的作用范圍。(6.2)6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述對于擴(kuò)展配置，一維情況下，考慮兩266.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述元胞自動(dòng)機(jī)存在眾多可行的變換規(guī)則。

馮﹒諾伊曼鄰接的一維二進(jìn)制元胞自動(dòng)機(jī)，每一個(gè)時(shí)間步，即ξj=0或ξj=1，轉(zhuǎn)換規(guī)則采取的形式，其轉(zhuǎn)換規(guī)則有28個(gè)。其中之一6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述元胞自動(dòng)機(jī)存在眾多可行的變換規(guī)則27該轉(zhuǎn)換規(guī)則可以以(01011010)2的編碼形式表示。在元胞自動(dòng)機(jī)方法中，一般采用數(shù)字編碼方式簡化表述相關(guān)變換規(guī)則。該轉(zhuǎn)換規(guī)則可以以(01011010)2的編碼形式表示。在元胞286.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述變換規(guī)則的數(shù)目可以由k(kn)計(jì)算得到，其中k為元胞的狀態(tài)數(shù)，n為包含芯元胞在內(nèi)的鄰近元胞的數(shù)目。對于具有摩爾鄰接的二維元胞自動(dòng)機(jī)（n=9），假設(shè)每個(gè)元胞具有兩個(gè)可能的狀態(tài)，則該系統(tǒng)將具有22·9=262144個(gè)不同的轉(zhuǎn)變規(guī)則。6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述變換規(guī)則的數(shù)目可以由k(kn)296.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類沃爾弗拉姆（Wolfram）基于動(dòng)力學(xué)行為的差異將元胞自動(dòng)機(jī)分為四類。(1)平穩(wěn)型：自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時(shí)間運(yùn)行后，元胞空間趨于一個(gè)空間平穩(wěn)的獨(dú)一無二的構(gòu)形，這里空間平穩(wěn)即指每一個(gè)元胞處于固定狀態(tài)，不隨時(shí)間變化而變化。(2)周期型：產(chǎn)生周期性重復(fù)的短周期結(jié)構(gòu)，或者產(chǎn)生穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。在這種元胞自動(dòng)機(jī)中同時(shí)呈現(xiàn)出局部和整體的排列次序。這種自動(dòng)機(jī)可以看作是一個(gè)濾波器（Filter），這來自于給定轉(zhuǎn)換規(guī)則的離散數(shù)據(jù)的本質(zhì)。在向空間中這種系統(tǒng)形成閉環(huán)。6.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類沃爾弗拉姆（Wolfram）基于動(dòng)力306.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類(3)混沌型：自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時(shí)間運(yùn)行后，元胞自動(dòng)機(jī)形成非周期的混沌結(jié)構(gòu)。至少在經(jīng)過一定的時(shí)間后，這種結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特征與初始結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特征大致相同。由第三種元胞自動(dòng)機(jī)生成的結(jié)構(gòu)通常為自相似的分形排列。對于任意的初始配置，經(jīng)過大量的時(shí)間步后，這些結(jié)構(gòu)具有相同的統(tǒng)計(jì)特征。人們對這類自動(dòng)機(jī)在幾何方面的應(yīng)用具有很大的興趣。這種自動(dòng)機(jī)是最常用的一種元胞自動(dòng)機(jī)。6.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類(3)混沌型：316.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類(4)復(fù)雜型：第四類元胞自動(dòng)機(jī)產(chǎn)生穩(wěn)定的，周期性的，可以維持任意長時(shí)間的傳播結(jié)構(gòu)。一些元胞自動(dòng)機(jī)在經(jīng)歷一定時(shí)間步以后衰退，即所有元胞的狀態(tài)變?yōu)榱恪Ｒ恍┑谒念愒詣?dòng)機(jī)可以形成穩(wěn)定的周期性結(jié)構(gòu)。通過對這些恰當(dāng)?shù)膫鞑ソY(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)置，可以得到具有任意循環(huán)長度的最終狀態(tài)。在演化過程中，第四類元胞自動(dòng)機(jī)表現(xiàn)出高度的不可逆性。這種元胞自動(dòng)機(jī)可以呈現(xiàn)出重要的局域排列。6.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類(4)復(fù)雜型：326.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法

將確定性元胞自動(dòng)機(jī)變?yōu)榉谴_定性的基本方法有兩種:第一種方法就是隨機(jī)地選擇所研究的晶格格點(diǎn)，而不是系統(tǒng)化地按順序選擇，但是要使用確定性變換規(guī)則；第二種方法就是用概率性變換代替確定性變換，但要系統(tǒng)地研究所有格點(diǎn)。主要討論第二種方法，并將之歸為概率性或隨機(jī)性元胞自動(dòng)機(jī)。6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法將確定性元胞自動(dòng)機(jī)變?yōu)榉谴_定性336.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法概率性元胞自動(dòng)機(jī)，就其基本過程和要素方面而言，非常相似于普通的元胞自動(dòng)機(jī)，只不過轉(zhuǎn)變規(guī)則由確定性的換成了隨機(jī)性的。設(shè)有N個(gè)格點(diǎn)組成一個(gè)一維鏈，其中每個(gè)格點(diǎn)有k個(gè)可能的狀態(tài)Sv=0,1,2,...,k-1。從而整個(gè)鏈共有kN個(gè)不同的排列方式。由（S1,S2,…,SN）描述的某給定晶格狀態(tài)用下式整數(shù)標(biāo)記：(6.3)6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法概率性元胞自動(dòng)機(jī)，就其基本過程和346.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法假設(shè)每個(gè)狀態(tài)i的存在概率為Pi。作為時(shí)間的函數(shù)的Pi(t)，按照其轉(zhuǎn)變概率以離散時(shí)間步t=0,1,2,…的方式變換發(fā)展。如果只考慮鄰近的時(shí)間步(t-1)，這一規(guī)則可用下式給出：轉(zhuǎn)移概率Tij就表示由前一時(shí)刻的j狀態(tài)轉(zhuǎn)變到i狀態(tài)的概率。對于離散型元胞自動(dòng)機(jī)方法，轉(zhuǎn)移矩陣Tij是由局部規(guī)則決定：(6.4)(6.5)6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法假設(shè)每個(gè)狀態(tài)i的存在概率為Pi。356.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法和分別表示狀態(tài)j和i的格點(diǎn)變量；因而，變量的轉(zhuǎn)換只有其最近鄰及其自己的狀態(tài)有關(guān)。雖然概率性元胞自動(dòng)機(jī)與Metropolis蒙特卡洛算法之間具有一定的相似性，但二者之間還是有差別的。這種差別主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，蒙特卡洛方法每個(gè)時(shí)間步只更新一個(gè)格點(diǎn)，而概率元胞自動(dòng)機(jī)像大多數(shù)自動(dòng)機(jī)一樣，每次要全部一起更新；第二，元胞自動(dòng)機(jī)沒有本征的長度或時(shí)間標(biāo)度。元胞自動(dòng)機(jī)的標(biāo)定參數(shù)主要是由構(gòu)成物理模型的基礎(chǔ)來決定，而不是由所采用的元胞自動(dòng)機(jī)算法來決定。6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法和分別表示狀態(tài)j366.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法元胞自動(dòng)機(jī)與波茨蒙特卡羅自旋模型的區(qū)別：(1)元胞自動(dòng)機(jī)對微觀體系不存在內(nèi)稟標(biāo)度，如果選擇合適的基礎(chǔ)單元，并且建立與場變量相匹配的代數(shù)、微分或積分方程，那么元胞自動(dòng)機(jī)可以用于任意空間和時(shí)間尺度上的問題處理。蒙特卡羅方法對于微觀體系是有內(nèi)稟標(biāo)度的。(2)在蒙特卡羅方法中，廣義自旋格座是隨機(jī)抽樣順序考察的，而元胞自動(dòng)機(jī)則是同步一起更新。(3)元胞自動(dòng)機(jī)比多態(tài)波茨模型使用了更多的確定性或概率性變換規(guī)則。6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法元胞自動(dòng)機(jī)與波茨蒙特卡羅自旋模型376.6非平衡現(xiàn)象的模擬6.6.1熱力學(xué)模擬

在金屬的熱變形過程中，會(huì)發(fā)生諸如再結(jié)晶、連續(xù)與非連續(xù)型晶粒生長和不連續(xù)沉淀等非平衡轉(zhuǎn)變現(xiàn)象和微結(jié)構(gòu)瞬態(tài)問題。按照微結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，這些轉(zhuǎn)變現(xiàn)象都是由于高角晶界的運(yùn)動(dòng)引起的。由于吉布斯自由焓存在梯度，原子或原子團(tuán)將從一個(gè)晶粒越遷轉(zhuǎn)移到其鄰近晶粒。對同相界面，其凈驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)(6.6)6.6非平衡現(xiàn)象的模擬6.6.1熱力學(xué)模擬(6.6)386.6.1熱力學(xué)模擬在實(shí)際材料中，各種貢獻(xiàn)都將影響到局域自由焓的值。(1)在冷加工金屬中，位錯(cuò)密度ρ的增加對所儲(chǔ)存的彈性能的貢獻(xiàn)，在對驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)中占最大的份額。Δρ是界面兩邊的位錯(cuò)密度差；μ為各向同性極限下的體剪切模量；b表示伯格矢量的大小。如果將存在于元胞壁的位錯(cuò)(ρw)和元胞內(nèi)的位錯(cuò)(ρi)的貢獻(xiàn)分別表述。(6.7)(6.8)ρw只能用亞晶粒尺寸D和亞晶粒壁的界面能γsub表述6.6.1熱力學(xué)模擬在實(shí)際材料中，各種貢獻(xiàn)都將影響到局域自由396.6.1熱力學(xué)模擬(2)作用于各晶粒上的拉普拉斯壓強(qiáng)或毛細(xì)壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)。對于常見的晶粒粒度分布和球形晶粒α為2～3的常數(shù)；γ為界面能；1/R為曲率。對于薄膜，還有來自表面能梯度的貢獻(xiàn)：式中，B表示薄膜寬度；h為膜厚；Δγ代表表面能變化量。(6.9)(6.10)6.6.1熱力學(xué)模擬(2)作用于各晶粒上的拉普拉斯壓強(qiáng)或毛細(xì)406.6.1熱力學(xué)模擬(3)在過飽和態(tài)，對驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)還有一項(xiàng)化學(xué)貢獻(xiàn)。其對應(yīng)的轉(zhuǎn)變稱為非連續(xù)沉淀。kB為波耳茲曼常數(shù)；Ω為原子體積；T1為（數(shù)值）實(shí)驗(yàn)中的實(shí)際溫度；T0為相應(yīng)于T1時(shí)過飽和濃度的平衡溫度；c0為濃度。

(6.11)6.6.1熱力學(xué)模擬(3)在過飽和態(tài)，對驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)還有一項(xiàng)化學(xué)416.6.1熱力學(xué)模擬(4)其他因素對總壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)在總的驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)中，還要考慮冷加工或硬化金屬間化合物中由于損失長程有序而產(chǎn)生的貢獻(xiàn)。更進(jìn)一步還應(yīng)當(dāng)考慮來自于磁性、彈性及溫度場等梯度的貢獻(xiàn)，但是這類貢獻(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用中意義不大。(5)可能的反驅(qū)動(dòng)力雜質(zhì)阻力以及在有序化合金中高角晶界運(yùn)動(dòng)在遠(yuǎn)處產(chǎn)生疇的結(jié)構(gòu)。6.6.1熱力學(xué)模擬(4)其他因素對總壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)426.6.2動(dòng)力學(xué)模擬為使原級再結(jié)晶能夠啟動(dòng)，要在熱力學(xué)、力學(xué)和動(dòng)力學(xué)方面有一定的不穩(wěn)性。第一類不穩(wěn)定性就是成核，第二類就是有凈驅(qū)力，第三類就是高角晶界的運(yùn)動(dòng)。在再結(jié)晶過程中，主要是非均勻成核。可能成核的格點(diǎn)所處的區(qū)域應(yīng)該具有非常高的位錯(cuò)密度和較小的子晶粒尺寸，以及具有較大的局域晶格取向偏差。例如：剪切帶、微帶、遷移帶、存在高角晶界、在沉淀周圍的形變區(qū)等。6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬為使原級再結(jié)晶能夠啟動(dòng)，要在熱力學(xué)、力436.6.2動(dòng)力學(xué)模擬采用垂直通過均勻晶界的各向同性單原子擴(kuò)散過程，則用于描述界面運(yùn)動(dòng)的對稱速率方程可以寫為：表示界面速度；vD是德拜頻率；λgb表示通過界面時(shí)的跳變寬度；c表示平面內(nèi)自擴(kuò)散截體缺陷的固有濃度（如晶界空位或源的重組）；n表示晶界片的法向矢量；ΔGt是與轉(zhuǎn)變有關(guān)的吉布斯焓;kB為波耳茲曼常數(shù);T為絕對溫度。(6.12)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬采用垂直通過均勻晶界的各向同性單原子擴(kuò)446.6.2動(dòng)力學(xué)模擬將焓、熵及驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)帶入式（6.12），則有：p為驅(qū)動(dòng)力（如儲(chǔ)存的彈性能或界面曲率）；Ω為原子體積；ΔSf表示形成熵；ΔHf表示形成焓；ΔSm表示運(yùn)動(dòng)熵；ΔHm表示運(yùn)動(dòng)焓。(6.13)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬將焓、熵及驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)帶入式（6.12），456.6.2動(dòng)力學(xué)模擬ΔSf主要是振動(dòng)熵，而ΔSm包含有組態(tài)和振動(dòng)兩者的貢獻(xiàn)，則式（6.13）變?yōu)?考慮到雙曲函數(shù)中的是個(gè)小量(6.14)(6.15)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬ΔSf主要是振動(dòng)熵，而ΔSm包含有組態(tài)466.6.2動(dòng)力學(xué)模擬晶界遷移率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)阿倫烏斯分析的著名唯象表達(dá)式：式中，m表示遷移率，Qgb表示晶界運(yùn)動(dòng)的激活能。比較式（6.15）和式（6.16）兩式中的系數(shù)，則有：晶界運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)圖像。

(6.16)(6.17)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬晶界遷移率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)阿倫烏斯分析的著名唯476.6.2動(dòng)力學(xué)模擬在原級再結(jié)晶的初級階段，局域復(fù)原過程促進(jìn)了晶核的形成。在其最后階段，位錯(cuò)湮滅及重新排列將引起所儲(chǔ)存能量的不斷降低，從而使局域驅(qū)動(dòng)力明顯減小，最終導(dǎo)致再結(jié)晶速度減慢。ρ(t)是作為時(shí)間t的函數(shù)的位錯(cuò)密度，ρ0表示形變后的位錯(cuò)密度，τ為弛豫時(shí)間。(6.18)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬在原級再結(jié)晶的初級階段，局域復(fù)原過程促486.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法冷加工金屬中原級再結(jié)晶模擬的確定性元胞自動(dòng)機(jī)方法。假定成核和新結(jié)晶晶粒長大所需驅(qū)動(dòng)力均來源于局域位錯(cuò)密度的梯度；并且當(dāng)有碰撞時(shí)生長終止。起始數(shù)據(jù)應(yīng)包括格柵幾何參數(shù)和態(tài)變量取值等信息，例如，溫度、成核概率、晶界遷移率、位錯(cuò)密度和晶體取向。這些數(shù)據(jù)必須能夠描述作為空間函數(shù)的初始微結(jié)構(gòu)的主要特征。原級再結(jié)晶的物理過程：復(fù)原、成核和晶核生長。6.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法冷加工金屬中原級再結(jié)晶模擬的496.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法(1)復(fù)原階段位錯(cuò)密度與驅(qū)動(dòng)力相聯(lián)系并對成核速度有潛在的影響。在簡單的有限差分公式中，因子f與弛豫時(shí)間τ、溫度T和時(shí)間ti有關(guān)。(2)在成核階段各元胞或元胞團(tuán)簇由變形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樵俳Y(jié)晶狀態(tài)。(6.19)6.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法(1)復(fù)原階段(6.19)506.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法根據(jù)所構(gòu)造模型的物理基礎(chǔ)，相對周圍的形變基體，其晶核取向可有三種情況：即相同取向相似取向（Δg≤15o）不同取向（Δg≥15o）相同或相似取向的晶核只能存在于高角晶界，而當(dāng)取向偏差明顯不同時(shí)晶粒會(huì)生長進(jìn)入近鄰晶粒。

把這些反映晶粒取向特性的臨界條件，以及產(chǎn)生的晶核應(yīng)與基體有相似取向的規(guī)則結(jié)合起來，就相當(dāng)于給出一個(gè)取向成核的假說。6.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法根據(jù)所構(gòu)造模型的物理基礎(chǔ)，相516.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法(3)生長階段在生長階段，對于每個(gè)晶?？蓤?zhí)行一個(gè)循環(huán)，這個(gè)循環(huán)遍及所有屬于目標(biāo)晶粒表面的元胞，可以確定表面元胞與其非再結(jié)晶近鄰元胞兩者結(jié)晶取向偏差Δg和溫度T的函數(shù)。在原級晶界的情況下，局域驅(qū)動(dòng)力取決于非再結(jié)晶元胞的實(shí)際位錯(cuò)密度ρ。驅(qū)動(dòng)力和遷移率決定著晶界運(yùn)動(dòng)的速度；晶界速度即是指在單個(gè)時(shí)間增量內(nèi)的生長量。6.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法(3)生長階段526.6.4概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法在概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法中，通過采用權(quán)重隨機(jī)抽樣方案把確定性積分用統(tǒng)計(jì)積分代替，為此，必須把式（6.15）或式（6.16）分解成確定性部分和概率性部分w，即有：其中為晶界速度，并且;(6.20)(6.21)6.6.4概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法在概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法中，通536.6.4概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法模擬應(yīng)是在空間網(wǎng)格上進(jìn)行，其給定標(biāo)度λm大于原子尺度。如果有轉(zhuǎn)變現(xiàn)象發(fā)生，則晶粒將按生長（或收縮），而不是b3，為了校正標(biāo)定尺度根據(jù)λm及時(shí)間標(biāo)度（1/v）可知，對統(tǒng)計(jì)積分施加這樣一個(gè)頻率是不合適的。利用沖擊頻率v0把上述方程歸一化(6.22)(6.23)6.6.4概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法模擬應(yīng)是在空間網(wǎng)格上進(jìn)行，其546.6.4概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法其中由網(wǎng)格大小及選取的沖擊頻率決定；由溫度及實(shí)驗(yàn)輸入數(shù)據(jù)決定。例如，晶界特征性質(zhì)依賴于取向偏差和平面傾角，驅(qū)動(dòng)力取決于所存儲(chǔ)的彈性能和局域曲率。(6.24)6.6.4概率性元胞自動(dòng)機(jī)解法其中(6.24)556.7CA方法在材料科學(xué)中的應(yīng)用6.7.1再結(jié)晶的模擬(1)動(dòng)態(tài)再結(jié)晶過程HY-100鋼的顯微組織轉(zhuǎn)變MQian等采用動(dòng)態(tài)再結(jié)晶(DRX)的原理和元胞自動(dòng)機(jī)（CA）的方法建立的模型，對HY-100鋼的顯微組織轉(zhuǎn)變和塑性流變特征進(jìn)行了模擬。動(dòng)態(tài)再結(jié)晶的理論模型為只有當(dāng)位錯(cuò)密度或應(yīng)變達(dá)到臨界值時(shí)，再結(jié)晶才能發(fā)生，其中臨界值是與溫度和應(yīng)變速率有關(guān)的。初始顯微組織按正常的晶粒長大的算法構(gòu)建的，初始的晶粒與基體的取向是在0～1800之間分布的。模擬的點(diǎn)陣為200×150，對應(yīng)于400nm×300nm的區(qū)域。6.7CA方法在材料科學(xué)中的應(yīng)用6.7.1再結(jié)晶的模擬56圖6.2應(yīng)變速率0.01s-1、溫度1100℃下HY-100鋼

的組織轉(zhuǎn)變和應(yīng)力應(yīng)變曲線圖6.2應(yīng)變速率0.01s-1、溫度1100℃下HY-1057圖6.3應(yīng)變速率0.01s-1下的應(yīng)力應(yīng)變曲線

（a）實(shí)驗(yàn)結(jié)果（b）理論模擬模擬結(jié)果表明，影響再結(jié)晶的因素有很多，但關(guān)鍵變量為位錯(cuò)密度。圖6.3應(yīng)變速率0.01s-1下的應(yīng)力應(yīng)變曲線

（a）實(shí)586.7.1再結(jié)晶的模擬(2)熱加工過程中Ti-6Al-4V合金顯微組織轉(zhuǎn)變

圖6.4在1050℃、應(yīng)變速率為1.0s-1下的模擬結(jié)果；

應(yīng)變分別為：(a)0.7;(b)5.0;(c)15.0;(d)45.06.7.1再結(jié)晶的模擬(2)熱加工過程中Ti-6Al-4V合596.7.2晶粒長大的模擬(1)花福安等結(jié)合晶粒生長的統(tǒng)計(jì)分析理論和概率性轉(zhuǎn)變規(guī)則，建立了基于曲率驅(qū)動(dòng)機(jī)制的晶粒正常生長的二維元胞自動(dòng)機(jī)模型，并基于該模型對等溫條件下晶粒正常生長的各種現(xiàn)象進(jìn)行了模擬。將規(guī)則正方形網(wǎng)格劃分作為模擬區(qū)域。網(wǎng)格邊界選擇周期性邊界條件，鄰居關(guān)系為交替Moore型。6.7.2晶粒長大的模擬(1)花福安等結(jié)合晶粒生長的統(tǒng)計(jì)分606.7.2晶粒長大的模擬元胞自動(dòng)機(jī)模型的概率轉(zhuǎn)變規(guī)則如下：(1)隨機(jī)選取處于晶界上的元胞Ci，如果該元胞所屬晶粒的生長速率vi<0，其六個(gè)鄰居元胞Cn(i)(n=1，2，??，6)所屬的晶粒中只要有一個(gè)晶粒的生長速率vi>0，則屬于晶粒i的元胞Ci可以轉(zhuǎn)變其狀態(tài)，屬于晶粒j。(2)滿足上述條件的元胞能否實(shí)現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)變，還取決于元胞所處晶界的遷移速率vi，由vi元胞尺寸lc和元胞自動(dòng)機(jī)時(shí)間步長Δt可以確定一個(gè)晶界元胞的轉(zhuǎn)變概率p為：同時(shí)程序自動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)r(0≤r≤1)，如果P>r，轉(zhuǎn)變發(fā)生；否則，轉(zhuǎn)變被拒絕。6.7.2晶粒長大的模擬元胞自動(dòng)機(jī)模型的概率轉(zhuǎn)變規(guī)則如下：616.7.2晶粒長大的模擬(3)元胞可能與多個(gè)晶粒相鄰，這時(shí)元胞的晶粒狀態(tài)轉(zhuǎn)變存在多種可能性，轉(zhuǎn)變規(guī)則采用隨機(jī)選取一個(gè)相鄰晶粒的方法確定元胞的最終狀態(tài)值。6.7.2晶粒長大的模擬(3)元胞可能與多個(gè)晶粒相鄰，這時(shí)62圖6.5晶粒不同時(shí)刻的形貌

圖6.5晶粒不同時(shí)刻的形貌636.7.2晶粒長大的模擬(2)連續(xù)冷卻時(shí)低碳鋼中的奧氏體轉(zhuǎn)變Y.J.Lan等利用二維元胞自動(dòng)機(jī)方法對連續(xù)冷卻時(shí)低碳鋼中的奧氏體分解為鐵素體的現(xiàn)象進(jìn)行了模擬。圖6.6CA模型中六邊形格柵(a)以及鄰近元胞(b)示意圖6.7.2晶粒長大的模擬(2)連續(xù)冷卻時(shí)低碳鋼中的奧氏體轉(zhuǎn)64圖6.7不同冷卻速率時(shí)

的鐵素體含量示意圖γ-α界面的穩(wěn)定性受冷卻速率的影響較小，且鐵素體晶粒的組織形貌基本上都是等軸的。另外，當(dāng)奧氏體晶粒直徑在18μm左右時(shí)，最后的鐵素體含量會(huì)隨冷卻速率的增大而有略微減小。圖6.7不同冷卻速率時(shí)

的鐵素體含量示意圖γ-α界面的穩(wěn)656.7.2晶粒長大的模擬冷卻速率越大，鐵素體的晶粒密度也越大，但平均晶粒尺寸會(huì)減小。圖6.8冷卻速率對晶粒

尺寸的影響6.7.2晶粒長大的模擬圖6.8冷卻速率對晶粒

尺寸的影66微觀至介觀尺度的模擬微觀至介觀尺度的模擬67微觀至介觀尺度的模擬主要研究內(nèi)容：微結(jié)構(gòu)演化（動(dòng)力學(xué)控制）微結(jié)構(gòu)與其性質(zhì)之間關(guān)系結(jié)構(gòu)演化的方向——熱力學(xué)控制微結(jié)構(gòu)變化路徑——?jiǎng)恿W(xué)控制

結(jié)構(gòu)演化的這種非平衡特性導(dǎo)致了各種各樣的晶格缺陷結(jié)構(gòu)及其相互作用機(jī)制。微觀至介觀尺度的模擬主要研究內(nèi)容：68尺度/m特性、現(xiàn)象或缺陷10-10～10-7點(diǎn)缺陷，原子團(tuán)簇，短程有序，在玻璃態(tài)和界面中的結(jié)構(gòu)單元，位錯(cuò)芯，裂紋尖端，原子核10-9～10-5失穩(wěn)分解，涂層，薄膜，表面腐蝕10-9～10-4二嵌段共聚物，三嵌段共聚物，星形共聚物，大質(zhì)量的非熱變化，界面網(wǎng)格，位錯(cuò)源，堆積效應(yīng)10-9～10-3粒子、沉積物，枝晶，共晶，共析10-8～10-5微裂紋，裂紋，粉末，磁疇，內(nèi)應(yīng)力10-8～10-4堆垛層錯(cuò)，微帶，微孿晶，位錯(cuò)通道10-8～10-3聚合物中的球晶，存在于金屬、陶瓷、玻璃及聚合物中的結(jié)構(gòu)疇或晶粒團(tuán)簇（對于多晶或非晶的情況）10-8～10-2聚合物中的構(gòu)象缺陷團(tuán)簇10-8～10-1位錯(cuò)，位錯(cuò)壁，旋錯(cuò)，磁壁，亞晶粒，大角晶界，界面10-7～10-1晶粒，剪切帶，復(fù)合材料的第二相10-7～100擴(kuò)散，對流，熱傳遞，電流傳輸10-7～100微結(jié)構(gòu)逾滲路徑(斷裂，再結(jié)晶，界面潤濕，擴(kuò)散，腐蝕，電流，布洛赫壁)10-6～101表面，樣品斷面收縮，斷面微結(jié)構(gòu)的實(shí)物空間和時(shí)間尺度尺度/m特性、現(xiàn)象或缺陷10-10～10-7點(diǎn)缺陷，原子團(tuán)69微觀至介觀尺度的模擬非平衡因素→材料性質(zhì)的多樣性應(yīng)用性質(zhì)材料微結(jié)構(gòu)機(jī)制微觀至介觀尺度的模擬非平衡因素→材料性質(zhì)的多樣性70微觀至介觀尺度的模擬介觀尺度模擬的特點(diǎn)：處理的原子數(shù)目巨大(≈1023個(gè)/cm3)。排除了（1）嚴(yán)格求解薛定諤方程（2）由唯象原子論方法(如與經(jīng)驗(yàn)勢相聯(lián)系的分子動(dòng)力學(xué))來完成。

必須建立能覆蓋較寬尺度范圍的恰當(dāng)?shù)慕橛^尺度模擬方法，以便給出遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過原子尺度的預(yù)測。微觀至介觀尺度的模擬介觀尺度模擬的特點(diǎn)：71微觀至介觀尺度的模擬連續(xù)體模型原子運(yùn)動(dòng)方程的嚴(yán)格解或近似解

（薛定諤方程或分子動(dòng)力學(xué)）——替換為——平均本征結(jié)構(gòu)關(guān)系式介觀尺度機(jī)理和本構(gòu)定律的復(fù)雜性和多樣性，導(dǎo)致建立介觀尺度模型的方法的不唯一性。微觀至介觀尺度的模擬連續(xù)體模型72空間及時(shí)間離散化介觀尺度模擬方法空間及時(shí)間離散化位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)(晶體塑性，復(fù)原，織構(gòu)，斷裂)相場動(dòng)力學(xué)或廣義Ginzburg-Landau模型(超導(dǎo)電性，擴(kuò)散，相變，晶粒生長)確定性或概率性元胞自動(dòng)機(jī)(擴(kuò)散，熱傳遞，相變，再結(jié)晶，晶粒生長)多態(tài)動(dòng)力學(xué)波茨(Potts)模型(相變，再結(jié)晶，晶粒生長)幾何拓?fù)浜徒M分模型(相變，再結(jié)晶，晶粒生長)拓?fù)渚W(wǎng)格和頂點(diǎn)模型(晶界動(dòng)力學(xué)，網(wǎng)格動(dòng)力學(xué)，成核，復(fù)原，晶粒生長)典型應(yīng)用領(lǐng)域中的主要介觀尺度模擬方法空間及時(shí)間離散化介觀尺度模擬方法空間及時(shí)間離散化位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)相73微觀至介觀尺度的模擬介觀模擬方法的共同特點(diǎn)：不明顯地包含原子尺度動(dòng)力學(xué)，而是理想化地把材料作為連續(xù)體。由均勻性基體將晶格缺陷之間的相互作用耦合在一起。控制方程中通常不顯含內(nèi)秉空間或時(shí)間標(biāo)度。含有單個(gè)晶格缺陷的連續(xù)體介觀尺度模型通常由一系列唯象的偏微分速率和本征結(jié)構(gòu)方程組表述。采用有限差分法、有限元法或蒙特卡羅方法可以對這些微分方程近行求解。微觀至介觀尺度的模擬介觀模擬方法的共同特點(diǎn)：不明顯地包含原子74微觀至介觀尺度的模擬時(shí)空標(biāo)度參數(shù)和離散度的確定由微分方程及其系數(shù)、變量所擁有的特點(diǎn)和性質(zhì)決定。作為態(tài)變量(例如原子濃度，位鍺密度，結(jié)構(gòu)參數(shù)，位移或品格取向)，通常被并進(jìn)空間格柵坐標(biāo)；控制微分方程被用于局域或整體情況，這取決于相互作用的性質(zhì)(短程或長程)。能夠利用連續(xù)體近似方法對介觀尺度的結(jié)構(gòu)演化進(jìn)行預(yù)測、意義重大，因?yàn)槲ㄏ髴B(tài)方程和結(jié)構(gòu)演化定律已在介觀尺度進(jìn)行很好地研究，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的獲得比在微觀尺度更容易，而且數(shù)據(jù)信息比在宏觀尺度更詳細(xì)。微觀至介觀尺度的模擬時(shí)空標(biāo)度參數(shù)和離散度的確定由微分方程及其75第6章元胞自動(dòng)機(jī)6.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)是描述和處理復(fù)雜系統(tǒng)在離散空間-時(shí)間上演化規(guī)律的算法，通常采用對晶格格座的局域或整體的確定性和概率性變換規(guī)則進(jìn)行具體操作。空間變量可以代表實(shí)空間、動(dòng)量空間或波矢空間。其晶格定義為具有固定數(shù)目的點(diǎn)，一般是規(guī)則晶格，但其維數(shù)及大小可以是任意的。它表述了系統(tǒng)由基礎(chǔ)實(shí)體形成的構(gòu)象。這些“基礎(chǔ)實(shí)體”可以是任意大小的連續(xù)體型體積單元、原子顆粒、晶格缺陷或生物界中的動(dòng)物等等。第6章元胞自動(dòng)機(jī)6.1基本原理76元胞自動(dòng)機(jī)的原理應(yīng)用于城市規(guī)劃元胞自動(dòng)機(jī)的原理應(yīng)用于城市規(guī)劃776.1基本原理基本實(shí)體，由廣義態(tài)變量(諸如無量綱數(shù)、粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、顏色、血壓或動(dòng)物種類等)進(jìn)行量化表述。在每一個(gè)獨(dú)立的格座，這些態(tài)變量的實(shí)際取值都是確定的。并且認(rèn)為，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)代表有限個(gè)可能的離散狀態(tài)中的一個(gè)態(tài)。通過將某些變換規(guī)則應(yīng)用于每個(gè)結(jié)點(diǎn)狀態(tài)，就會(huì)發(fā)生自動(dòng)機(jī)的演化。這些規(guī)則決定著晶格格座的狀態(tài)；對于局域規(guī)則，格座狀態(tài)是其前一狀態(tài)及近鄰格點(diǎn)(座)狀態(tài)的函數(shù)，而在整體變換規(guī)則下，則為所有格座狀態(tài)的函數(shù)。傳統(tǒng)元胞自動(dòng)機(jī)大多采用局域變換規(guī)則。6.1基本原理基本實(shí)體，由廣義態(tài)變量(諸如無量綱數(shù)、粒子密786.1基本原理對于在規(guī)則晶格結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用是比較容易。對于非均勻介質(zhì)，在討論的晶格區(qū)域采用較小的晶格間距比較妥當(dāng)；而且，還必須考慮對變換速率進(jìn)行合理修正和重正化。元胞自動(dòng)機(jī)以離散時(shí)間步發(fā)展演化。經(jīng)過一個(gè)時(shí)間間隔，要對所有結(jié)點(diǎn)的態(tài)變量值同時(shí)更新。廣義微結(jié)構(gòu)元胞自動(dòng)機(jī)可以采用元胞或格座的離散空間格柵，在空間上通常被認(rèn)為是均勻的，所有格座都是等價(jià)的，并被排布在規(guī)則晶格上，其中的變換規(guī)則在各處都是一樣的。假定它們是有限個(gè)可能狀態(tài)中的一個(gè)，并對所有元胞狀態(tài)同步更新。此外，它們與常規(guī)自動(dòng)機(jī)不同的是，格座變換既可以按照確定性定律，也可以按照概率性定律。6.1基本原理對于在規(guī)則晶格結(jié)構(gòu)方面的應(yīng)用是比較容易。796.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)方法為模擬動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的演化提供了一種直接的手段，這些動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)包含有大量基于短程相互作用或長程相互作用的相似組元。對于簡單的物理系統(tǒng)，時(shí)間是其惟一個(gè)獨(dú)立變量(自變量)。這種直接方法，就相當(dāng)于利用有限差分近似法給出偏微分方程組的離散解。元胞自動(dòng)機(jī)方法對“基礎(chǔ)實(shí)體”類型和選用的變換規(guī)則沒有任何限制。它們可以描述：簡單有限差分模擬中態(tài)變量值的分布，混合算法的色問題，“教室里的兒童健康情況”，在任何變換條件下的模糊集合元素，以及元胞的初級生長與衰減過程等。6.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)方法為模擬動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的演化提供了一種806.1基本原理例如，用于計(jì)算高次多項(xiàng)式系數(shù)或裴波那契數(shù)的帕斯卡三角形，可以作為一維元胞自動(dòng)機(jī)。其中規(guī)則三角晶格各個(gè)格座對應(yīng)的值，可通過在其上方的兩個(gè)數(shù)之和給出。在這種情況下、自動(dòng)機(jī)的“基礎(chǔ)實(shí)體”是一些無量綱的整數(shù)，其變換定律是求和法則。一維元胞自動(dòng)機(jī)模型帕斯卡三角形示意圖6.1基本原理例如，用于計(jì)算高次多項(xiàng)式系數(shù)或裴波那契數(shù)的帕斯816.1基本原理另一種自動(dòng)機(jī)是由立方晶格組成的，這時(shí)每個(gè)點(diǎn)具有一種顏色，并能按照下述簡單的變換規(guī)則進(jìn)行轉(zhuǎn)換：“如果某點(diǎn)有超過50％的近鄰格點(diǎn)(座)是藍(lán)色，則該點(diǎn)就由原色變成紅色”；或者“當(dāng)有超過75％的近鄰格點(diǎn)是紅色時(shí)，那么所考察格點(diǎn)的顏色也轉(zhuǎn)換為紅色”。若要描述學(xué)校里孩子們之間的相互傳染問題，我們可以通過一個(gè)規(guī)則，亦即“如果一個(gè)教室里有50％的孩子得?。畡t該教室里其他所有孩子就被感染”，定義一個(gè)元胞自動(dòng)機(jī)。為了使上述簡單唯象模型變得更加合理、真實(shí)、可信，應(yīng)該增加更多的變換規(guī)則。上面的例子可補(bǔ)充這樣的規(guī)則：“經(jīng)過一定數(shù)目的時(shí)間步之后，受感染的孩子已康復(fù)”或“每個(gè)孩子只能被感染一次’’等等。6.1基本原理另一種自動(dòng)機(jī)是由立方晶格組成的，這時(shí)每個(gè)點(diǎn)具有826.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)并不簡單地等同于普通模擬方法，例如各種有限差分法、有限元法、伊辛(Ising)法、波茨(Potts)方法等。元胞自動(dòng)機(jī)具有廣泛的適用性和多功能的特點(diǎn)，是離散計(jì)算方法的普遍化推廣。這種靈活適用性是基于這樣一個(gè)事實(shí)：除了采用簡明的數(shù)學(xué)表達(dá)式作為變量和變換規(guī)則之外，如果需要的話，自動(dòng)機(jī)能夠包括任何元素或規(guī)則。6.1基本原理元胞自動(dòng)機(jī)并不簡單地等同于普通模擬方法，例如各836.1基本原理在材料科學(xué)中，有時(shí)對常規(guī)有限差分計(jì)算方法補(bǔ)充一些“如果…就…”規(guī)則可以為處理“數(shù)學(xué)上的奇點(diǎn)(即非光滑函數(shù)表述中的臨界或自發(fā)效應(yīng))問題提供了一種簡單有效的途徑。事實(shí)上，這些規(guī)則經(jīng)常出現(xiàn)在微結(jié)構(gòu)模擬中。例如，在離散位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模擬中，“如果兩個(gè)反平行螺位錯(cuò)相互靠近到其間距小于5個(gè)伯格斯矢量時(shí)，它們就會(huì)自發(fā)湮沒”；在斷裂力學(xué)或彈簧模型中，會(huì)經(jīng)常包含這樣的規(guī)則：“如果裂紋速度達(dá)到某一個(gè)值，試驗(yàn)樣品將自發(fā)損壞”；在重結(jié)晶模擬中，會(huì)經(jīng)常遇到這樣的規(guī)則：“如果晶體局城取向誤差達(dá)到某一個(gè)值，格座將滿足成核的動(dòng)力學(xué)非穩(wěn)定性臨界條件。”或“局域儲(chǔ)存的彈性能達(dá)到某個(gè)臨界值，格座將滿足成核的熱力學(xué)非穩(wěn)定性條件”。6.1基本原理在材料科學(xué)中，有時(shí)對常規(guī)有限差分計(jì)算方法補(bǔ)充一846.1基本原理如果對主微分方程補(bǔ)充上述所說的“如果…就…”的變換規(guī)則，我們就可以對復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為特性進(jìn)行模擬。通常而言，所考察粒子之間的局域相互作用是這一問題的根本基礎(chǔ)。盡管元胞自動(dòng)機(jī)模擬一般是在基本尺度層次(例如原子、原子團(tuán)簇、位錯(cuò)段、亞晶粒)上完成的，但是作為對連續(xù)體空間進(jìn)行離散化和映射處理的派生方法，本身不存在物理特征線度或時(shí)間刻度的內(nèi)秉標(biāo)定問題。對連續(xù)體系統(tǒng)的元胞自動(dòng)機(jī)模擬，需要定義相應(yīng)的基本單元和對應(yīng)的變換規(guī)則，以便恰當(dāng)?shù)卣宫F(xiàn)系統(tǒng)在給定層次上的行為特性。6.1基本原理如果對主微分方程補(bǔ)充上述所說的“如果…就…”的856.1基本原理從物理角度看，分子動(dòng)力學(xué)表示的是真正的微觀模型，而在使用元胞自動(dòng)機(jī)方法時(shí)，并不局限任何特定體系，可適用于任何系統(tǒng)。與蒙特卡羅方法相比，由元胞自動(dòng)機(jī)方法得到的平衡系綜的熱力學(xué)量，在物理上更缺少依據(jù)和基礎(chǔ)。由于這個(gè)原因，在進(jìn)行元胞自動(dòng)機(jī)計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)之前，一個(gè)重要工作就是，檢驗(yàn)基本模擬單元是否切實(shí)體現(xiàn)了“基礎(chǔ)物理實(shí)體”的特性。由于元胞自動(dòng)機(jī)的應(yīng)用并不局限于微觀體系，所以它為在微結(jié)構(gòu)模擬中實(shí)現(xiàn)不同空間及時(shí)間尺度的方法之間的跨越，提供了一個(gè)非常方便的數(shù)值工具。6.1基本原理從物理角度看，分子動(dòng)力學(xué)表示的是真正的微觀模型866.2CA在材料中的多面性由于在考慮大量可能的空間態(tài)變量及變換規(guī)則時(shí)所展現(xiàn)的廣泛適用性和靈活性。元胞自動(dòng)機(jī)方法在對由再結(jié)晶、晶粒生長及相變現(xiàn)象等形成的微結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬時(shí)，表現(xiàn)出特有的多面性。例如，對于再結(jié)晶和晶粒生長，元胞自動(dòng)機(jī)可以離散化方式同時(shí)描述局域結(jié)晶結(jié)構(gòu)及其形成過程。為了實(shí)現(xiàn)對這些特性的描述，一般是將局域晶體取向g、儲(chǔ)存的彈性能(即某種近似可測量，諸如位錯(cuò)密度ρ或局域泰勒因子M)以及溫度T作為態(tài)變量。這些變量都是因變量，也就是它們依賴于自變量，諸如空間坐標(biāo)(x1，x2，x3)和時(shí)間t等。6.2CA在材料中的多面性由于在考慮大量可能的空間態(tài)變量及876.2CA在材料中的多面性就特定的研究對象，狀態(tài)參量應(yīng)包含在所使用的各種局域結(jié)構(gòu)演化定律之中。根據(jù)局域的信息、數(shù)據(jù)及變換規(guī)律，可以對諸如復(fù)原、成核及其生長等現(xiàn)象的機(jī)理結(jié)出相應(yīng)合理的唯象解釋。通過確定二維或三維空間格柵所對應(yīng)的態(tài)變量，元胞自動(dòng)機(jī)模擬可以應(yīng)用于對微結(jié)構(gòu)的非均勻性質(zhì)的研究，其中包括諸如第二相、微帶、剪切帶、過渡帶、異相界面、晶界和孿晶等。這些局域性缺陷結(jié)構(gòu)，可以借助其態(tài)變量的相應(yīng)值或梯度值進(jìn)行表述；用高位錯(cuò)密度和大的局域晶格曲率表征剪切帶的特性。對于一個(gè)給定雜質(zhì)含量的晶界遷移率m，可以采用相鄰晶粒之間的取向偏差Δg和晶界法線的空間取向n來表征。6.2CA在材料中的多面性就特定的研究對象，狀態(tài)參量應(yīng)包含886.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述在元胞自動(dòng)機(jī)中，鄰接格座的局域相互作用，是通過一套確定性或概率件變換規(guī)則具體確定的。在時(shí)間(t+Δt)時(shí)，對應(yīng)于某特定格座的態(tài)變量值ξ將由目前狀態(tài)(t0)(或最接近的幾個(gè)態(tài)t0，t0-Δt等)及其鄰近格點(diǎn)的狀態(tài)決定。若只考慮最鄰近的兩個(gè)時(shí)間步，則對于一維元胞自動(dòng)機(jī)的演化來說，可以用公式寫成下式形式：表示在時(shí)間t0時(shí)對應(yīng)于結(jié)點(diǎn)j的態(tài)變量值；j+1和j-1表示格點(diǎn)j的兩個(gè)最近鄰結(jié)點(diǎn)。f具體指定了描述變換規(guī)則的函數(shù)。(6.1)6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述在元胞自動(dòng)機(jī)中，鄰接格座的局域相896.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述幾種鄰接狀態(tài)馮·諾伊曼鄰接結(jié)點(diǎn)狀態(tài)僅取決于最鄰近結(jié)點(diǎn)摩爾鄰接結(jié)點(diǎn)狀態(tài)取決于最鄰近結(jié)點(diǎn)和次鄰近結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展摩爾鄰接考慮兩層鄰近的元胞馬哥勒斯鄰接每次考慮一個(gè)2×2的元胞塊鄰接類型影響系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換速率和演化形態(tài)。

6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述幾種鄰接狀態(tài)901,11,21,32,12,22,33,13,23,31,11,21,32,12,22,33,13,23,3圖6.1馮諾依曼鄰接和摩爾鄰接1,11,21,32,12,22,33,13,23,31,1916.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述對于擴(kuò)展配置，一維情況下，考慮兩個(gè)鄰近時(shí)間步時(shí)的轉(zhuǎn)換規(guī)則可以寫為：其中n表示單位晶格元胞變換規(guī)則的作用范圍。(6.2)6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述對于擴(kuò)展配置，一維情況下，考慮兩926.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述元胞自動(dòng)機(jī)存在眾多可行的變換規(guī)則。

馮﹒諾伊曼鄰接的一維二進(jìn)制元胞自動(dòng)機(jī)，每一個(gè)時(shí)間步，即ξj=0或ξj=1，轉(zhuǎn)換規(guī)則采取的形式，其轉(zhuǎn)換規(guī)則有28個(gè)。其中之一6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述元胞自動(dòng)機(jī)存在眾多可行的變換規(guī)則93該轉(zhuǎn)換規(guī)則可以以(01011010)2的編碼形式表示。在元胞自動(dòng)機(jī)方法中，一般采用數(shù)字編碼方式簡化表述相關(guān)變換規(guī)則。該轉(zhuǎn)換規(guī)則可以以(01011010)2的編碼形式表示。在元胞946.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述變換規(guī)則的數(shù)目可以由k(kn)計(jì)算得到，其中k為元胞的狀態(tài)數(shù)，n為包含芯元胞在內(nèi)的鄰近元胞的數(shù)目。對于具有摩爾鄰接的二維元胞自動(dòng)機(jī)（n=9），假設(shè)每個(gè)元胞具有兩個(gè)可能的狀態(tài)，則該系統(tǒng)將具有22·9=262144個(gè)不同的轉(zhuǎn)變規(guī)則。6.3元胞自動(dòng)機(jī)的一般表述變換規(guī)則的數(shù)目可以由k(kn)956.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類沃爾弗拉姆（Wolfram）基于動(dòng)力學(xué)行為的差異將元胞自動(dòng)機(jī)分為四類。(1)平穩(wěn)型：自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時(shí)間運(yùn)行后，元胞空間趨于一個(gè)空間平穩(wěn)的獨(dú)一無二的構(gòu)形，這里空間平穩(wěn)即指每一個(gè)元胞處于固定狀態(tài)，不隨時(shí)間變化而變化。(2)周期型：產(chǎn)生周期性重復(fù)的短周期結(jié)構(gòu)，或者產(chǎn)生穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。在這種元胞自動(dòng)機(jī)中同時(shí)呈現(xiàn)出局部和整體的排列次序。這種自動(dòng)機(jī)可以看作是一個(gè)濾波器（Filter），這來自于給定轉(zhuǎn)換規(guī)則的離散數(shù)據(jù)的本質(zhì)。在向空間中這種系統(tǒng)形成閉環(huán)。6.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類沃爾弗拉姆（Wolfram）基于動(dòng)力966.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類(3)混沌型：自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時(shí)間運(yùn)行后，元胞自動(dòng)機(jī)形成非周期的混沌結(jié)構(gòu)。至少在經(jīng)過一定的時(shí)間后，這種結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特征與初始結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特征大致相同。由第三種元胞自動(dòng)機(jī)生成的結(jié)構(gòu)通常為自相似的分形排列。對于任意的初始配置，經(jīng)過大量的時(shí)間步后，這些結(jié)構(gòu)具有相同的統(tǒng)計(jì)特征。人們對這類自動(dòng)機(jī)在幾何方面的應(yīng)用具有很大的興趣。這種自動(dòng)機(jī)是最常用的一種元胞自動(dòng)機(jī)。6.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類(3)混沌型：976.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類(4)復(fù)雜型：第四類元胞自動(dòng)機(jī)產(chǎn)生穩(wěn)定的，周期性的，可以維持任意長時(shí)間的傳播結(jié)構(gòu)。一些元胞自動(dòng)機(jī)在經(jīng)歷一定時(shí)間步以后衰退，即所有元胞的狀態(tài)變?yōu)榱?。一些第四類元胞自?dòng)機(jī)可以形成穩(wěn)定的周期性結(jié)構(gòu)。通過對這些恰當(dāng)?shù)膫鞑ソY(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)置，可以得到具有任意循環(huán)長度的最終狀態(tài)。在演化過程中，第四類元胞自動(dòng)機(jī)表現(xiàn)出高度的不可逆性。這種元胞自動(dòng)機(jī)可以呈現(xiàn)出重要的局域排列。6.4元胞自動(dòng)機(jī)的分類(4)復(fù)雜型：986.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法

將確定性元胞自動(dòng)機(jī)變?yōu)榉谴_定性的基本方法有兩種:第一種方法就是隨機(jī)地選擇所研究的晶格格點(diǎn)，而不是系統(tǒng)化地按順序選擇，但是要使用確定性變換規(guī)則；第二種方法就是用概率性變換代替確定性變換，但要系統(tǒng)地研究所有格點(diǎn)。主要討論第二種方法，并將之歸為概率性或隨機(jī)性元胞自動(dòng)機(jī)。6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法將確定性元胞自動(dòng)機(jī)變?yōu)榉谴_定性996.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法概率性元胞自動(dòng)機(jī)，就其基本過程和要素方面而言，非常相似于普通的元胞自動(dòng)機(jī)，只不過轉(zhuǎn)變規(guī)則由確定性的換成了隨機(jī)性的。設(shè)有N個(gè)格點(diǎn)組成一個(gè)一維鏈，其中每個(gè)格點(diǎn)有k個(gè)可能的狀態(tài)Sv=0,1,2,...,k-1。從而整個(gè)鏈共有kN個(gè)不同的排列方式。由（S1,S2,…,SN）描述的某給定晶格狀態(tài)用下式整數(shù)標(biāo)記：(6.3)6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法概率性元胞自動(dòng)機(jī)，就其基本過程和1006.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法假設(shè)每個(gè)狀態(tài)i的存在概率為Pi。作為時(shí)間的函數(shù)的Pi(t)，按照其轉(zhuǎn)變概率以離散時(shí)間步t=0,1,2,…的方式變換發(fā)展。如果只考慮鄰近的時(shí)間步(t-1)，這一規(guī)則可用下式給出：轉(zhuǎn)移概率Tij就表示由前一時(shí)刻的j狀態(tài)轉(zhuǎn)變到i狀態(tài)的概率。對于離散型元胞自動(dòng)機(jī)方法，轉(zhuǎn)移矩陣Tij是由局部規(guī)則決定：(6.4)(6.5)6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法假設(shè)每個(gè)狀態(tài)i的存在概率為Pi。1016.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法和分別表示狀態(tài)j和i的格點(diǎn)變量；因而，變量的轉(zhuǎn)換只有其最近鄰及其自己的狀態(tài)有關(guān)。雖然概率性元胞自動(dòng)機(jī)與Metropolis蒙特卡洛算法之間具有一定的相似性，但二者之間還是有差別的。這種差別主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，蒙特卡洛方法每個(gè)時(shí)間步只更新一個(gè)格點(diǎn)，而概率元胞自動(dòng)機(jī)像大多數(shù)自動(dòng)機(jī)一樣，每次要全部一起更新；第二，元胞自動(dòng)機(jī)沒有本征的長度或時(shí)間標(biāo)度。元胞自動(dòng)機(jī)的標(biāo)定參數(shù)主要是由構(gòu)成物理模型的基礎(chǔ)來決定，而不是由所采用的元胞自動(dòng)機(jī)算法來決定。6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法和分別表示狀態(tài)j1026.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法元胞自動(dòng)機(jī)與波茨蒙特卡羅自旋模型的區(qū)別：(1)元胞自動(dòng)機(jī)對微觀體系不存在內(nèi)稟標(biāo)度，如果選擇合適的基礎(chǔ)單元，并且建立與場變量相匹配的代數(shù)、微分或積分方程，那么元胞自動(dòng)機(jī)可以用于任意空間和時(shí)間尺度上的問題處理。蒙特卡羅方法對于微觀體系是有內(nèi)稟標(biāo)度的。(2)在蒙特卡羅方法中，廣義自旋格座是隨機(jī)抽樣順序考察的，而元胞自動(dòng)機(jī)則是同步一起更新。(3)元胞自動(dòng)機(jī)比多態(tài)波茨模型使用了更多的確定性或概率性變換規(guī)則。6.5概率性元胞自動(dòng)機(jī)方法元胞自動(dòng)機(jī)與波茨蒙特卡羅自旋模型1036.6非平衡現(xiàn)象的模擬6.6.1熱力學(xué)模擬

在金屬的熱變形過程中，會(huì)發(fā)生諸如再結(jié)晶、連續(xù)與非連續(xù)型晶粒生長和不連續(xù)沉淀等非平衡轉(zhuǎn)變現(xiàn)象和微結(jié)構(gòu)瞬態(tài)問題。按照微結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，這些轉(zhuǎn)變現(xiàn)象都是由于高角晶界的運(yùn)動(dòng)引起的。由于吉布斯自由焓存在梯度，原子或原子團(tuán)將從一個(gè)晶粒越遷轉(zhuǎn)移到其鄰近晶粒。對同相界面，其凈驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)(6.6)6.6非平衡現(xiàn)象的模擬6.6.1熱力學(xué)模擬(6.6)1046.6.1熱力學(xué)模擬在實(shí)際材料中，各種貢獻(xiàn)都將影響到局域自由焓的值。(1)在冷加工金屬中，位錯(cuò)密度ρ的增加對所儲(chǔ)存的彈性能的貢獻(xiàn)，在對驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)中占最大的份額。Δρ是界面兩邊的位錯(cuò)密度差；μ為各向同性極限下的體剪切模量；b表示伯格矢量的大小。如果將存在于元胞壁的位錯(cuò)(ρw)和元胞內(nèi)的位錯(cuò)(ρi)的貢獻(xiàn)分別表述。(6.7)(6.8)ρw只能用亞晶粒尺寸D和亞晶粒壁的界面能γsub表述6.6.1熱力學(xué)模擬在實(shí)際材料中，各種貢獻(xiàn)都將影響到局域自由1056.6.1熱力學(xué)模擬(2)作用于各晶粒上的拉普拉斯壓強(qiáng)或毛細(xì)壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)。對于常見的晶粒粒度分布和球形晶粒α為2～3的常數(shù)；γ為界面能；1/R為曲率。對于薄膜，還有來自表面能梯度的貢獻(xiàn)：式中，B表示薄膜寬度；h為膜厚；Δγ代表表面能變化量。(6.9)(6.10)6.6.1熱力學(xué)模擬(2)作用于各晶粒上的拉普拉斯壓強(qiáng)或毛細(xì)1066.6.1熱力學(xué)模擬(3)在過飽和態(tài)，對驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)還有一項(xiàng)化學(xué)貢獻(xiàn)。其對應(yīng)的轉(zhuǎn)變稱為非連續(xù)沉淀。kB為波耳茲曼常數(shù)；Ω為原子體積；T1為（數(shù)值）實(shí)驗(yàn)中的實(shí)際溫度；T0為相應(yīng)于T1時(shí)過飽和濃度的平衡溫度；c0為濃度。

(6.11)6.6.1熱力學(xué)模擬(3)在過飽和態(tài)，對驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)還有一項(xiàng)化學(xué)1076.6.1熱力學(xué)模擬(4)其他因素對總壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)在總的驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)中，還要考慮冷加工或硬化金屬間化合物中由于損失長程有序而產(chǎn)生的貢獻(xiàn)。更進(jìn)一步還應(yīng)當(dāng)考慮來自于磁性、彈性及溫度場等梯度的貢獻(xiàn)，但是這類貢獻(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用中意義不大。(5)可能的反驅(qū)動(dòng)力雜質(zhì)阻力以及在有序化合金中高角晶界運(yùn)動(dòng)在遠(yuǎn)處產(chǎn)生疇的結(jié)構(gòu)。6.6.1熱力學(xué)模擬(4)其他因素對總壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)1086.6.2動(dòng)力學(xué)模擬為使原級再結(jié)晶能夠啟動(dòng)，要在熱力學(xué)、力學(xué)和動(dòng)力學(xué)方面有一定的不穩(wěn)性。第一類不穩(wěn)定性就是成核，第二類就是有凈驅(qū)力，第三類就是高角晶界的運(yùn)動(dòng)。在再結(jié)晶過程中，主要是非均勻成核。可能成核的格點(diǎn)所處的區(qū)域應(yīng)該具有非常高的位錯(cuò)密度和較小的子晶粒尺寸，以及具有較大的局域晶格取向偏差。例如：剪切帶、微帶、遷移帶、存在高角晶界、在沉淀周圍的形變區(qū)等。6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬為使原級再結(jié)晶能夠啟動(dòng)，要在熱力學(xué)、力1096.6.2動(dòng)力學(xué)模擬采用垂直通過均勻晶界的各向同性單原子擴(kuò)散過程，則用于描述界面運(yùn)動(dòng)的對稱速率方程可以寫為：表示界面速度；vD是德拜頻率；λgb表示通過界面時(shí)的跳變寬度；c表示平面內(nèi)自擴(kuò)散截體缺陷的固有濃度（如晶界空位或源的重組）；n表示晶界片的法向矢量；ΔGt是與轉(zhuǎn)變有關(guān)的吉布斯焓;kB為波耳茲曼常數(shù);T為絕對溫度。(6.12)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬采用垂直通過均勻晶界的各向同性單原子擴(kuò)1106.6.2動(dòng)力學(xué)模擬將焓、熵及驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)帶入式（6.12），則有：p為驅(qū)動(dòng)力（如儲(chǔ)存的彈性能或界面曲率）；Ω為原子體積；ΔSf表示形成熵；ΔHf表示形成焓；ΔSm表示運(yùn)動(dòng)熵；ΔHm表示運(yùn)動(dòng)焓。(6.13)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬將焓、熵及驅(qū)動(dòng)壓強(qiáng)帶入式（6.12），1116.6.2動(dòng)力學(xué)模擬ΔSf主要是振動(dòng)熵，而ΔSm包含有組態(tài)和振動(dòng)兩者的貢獻(xiàn)，則式（6.13）變?yōu)?考慮到雙曲函數(shù)中的是個(gè)小量(6.14)(6.15)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬ΔSf主要是振動(dòng)熵，而ΔSm包含有組態(tài)1126.6.2動(dòng)力學(xué)模擬晶界遷移率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)阿倫烏斯分析的著名唯象表達(dá)式：式中，m表示遷移率，Qgb表示晶界運(yùn)動(dòng)的激活能。比較式（6.15）和式（6.16）兩式中的系數(shù)，則有：晶界運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)圖像。

(6.16)(6.17)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬晶界遷移率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)阿倫烏斯分析的著名唯1136.6.2動(dòng)力學(xué)模擬在原級再結(jié)晶的初級階段，局域復(fù)原過程促進(jìn)了晶核的形成。在其最后階段，位錯(cuò)湮滅及重新排列將引起所儲(chǔ)存能量的不斷降低，從而使局域驅(qū)動(dòng)力明顯減小，最終導(dǎo)致再結(jié)晶速度減慢。ρ(t)是作為時(shí)間t的函數(shù)的位錯(cuò)密度，ρ0表示形變后的位錯(cuò)密度，τ為弛豫時(shí)間。(6.18)6.6.2動(dòng)力學(xué)模擬在原級再結(jié)晶的初級階段，局域復(fù)原過程促1146.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法冷加工金屬中原級再結(jié)晶模擬的確定性元胞自動(dòng)機(jī)方法。假定成核和新結(jié)晶晶粒長大所需驅(qū)動(dòng)力均來源于局域位錯(cuò)密度的梯度；并且當(dāng)有碰撞時(shí)生長終止。起始數(shù)據(jù)應(yīng)包括格柵幾何參數(shù)和態(tài)變量取值等信息，例如，溫度、成核概率、晶界遷移率、位錯(cuò)密度和晶體取向。這些數(shù)據(jù)必須能夠描述作為空間函數(shù)的初始微結(jié)構(gòu)的主要特征。原級再結(jié)晶的物理過程：復(fù)原、成核和晶核生長。6.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法冷加工金屬中原級再結(jié)晶模擬的1156.6.3確定性元胞自動(dòng)機(jī)解法(1)復(fù)原階段位錯(cuò)密度與驅(qū)動(dòng)力相聯(lián)系并對成核速度有潛在的影響。在簡單的有限差分公式中，因子f與弛豫時(shí)間τ、溫度T和時(shí)間ti有關(guān)。(2)在成核階段各元胞或元胞團(tuán)簇由變形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>