2021-2022學(xué)年湖南省邵陽市邵東市高一下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年湖南省邵陽市邵東市第一中學(xué)高一下學(xué)期第

三次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題.已知復(fù)數(shù)z=2，則W在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算化簡可得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而可得其共聊復(fù)數(shù)，確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.2i 2i（l+i） -2+2i【詳解】解：由題意可得z=「=/|、/ =-l+i,1-1 + 2則其共規(guī)復(fù)數(shù)N=故復(fù)數(shù)）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（T，T），在第三象限.故選：C..已知向量1=（2,1）,|5|=屈，,/=5,則a與5的夾角為（）A.45, B.60 C.120 D.135?！敬鸢浮緿［分析］根據(jù)卜=25,利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可構(gòu)造方程求得cos<a,b>,結(jié)合向量夾角范圍可得結(jié)果.TOC\o"1-5"\h\z【詳解】???d=（2,l）,.?.同= =石，卜-司=a2-2a-5+b2=|a|2-2|a|-|fe|cos<a,6>+|^|=15-10-^cos<a,b>=25,解得：cos<a,b>= ->2又<4,6>e［o,句，半，即。與5的夾角為135。.故選：D..已知互不重合的直線機(jī)，〃，互不重合的平面a,p,下列命題正確的是（ ）A.若"ua,m//n,則zn〃a B.若"ua,tnLn,則，C.若a〃?，m//a,則機(jī)〃4 D.若。〃￡,aua,則。〃/【答案】D【分析】ABC選項(xiàng)，可舉出反例，D選項(xiàng)，可證明面面平行的性質(zhì)證得.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，“ua,m//n,則6〃a或mua,故A錯(cuò)誤：對(duì)于B選項(xiàng)，"ua,m±n,則,〃_La或小ua或機(jī)與a斜交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，a//p,m//a,則相〃夕或機(jī)u/7,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，a〃6，aua,根據(jù)面面平行，可證得線面平行，即?！?故選：D..設(shè)a=logj2,b=（g）,c=3?則（）A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<b<c【答案】D【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，并與0,1比較可得答案【詳解】由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：”=呵2<帽1=°,0?=&嚴(yán)<17hl所以有a<%<c.故選：D..設(shè)在AABC中，角A8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若AcosC+ccos8=asinA,則AA3C的形狀為（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【答案】B【分析】利用正弦定理可得sin（8+C）=sin2A,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得7TsinA=l,A=~,從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)锳cosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理可得sinBcosC+sinCeosB=sin2A,sin（B-i-C）=sin2A=>sinA=sin2A,jr所以sinA=l,A=5，所以是直角三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑..某班有〃位同學(xué)，統(tǒng)計(jì)一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分與方差.在第一次計(jì)算時(shí)漏過了一位同學(xué)的成績，算得〃-1位同學(xué)的平均分和方差分別為1、s：,所以只好再算第二次，算得〃位同學(xué)的平均分和方差分別為石、S；,若已知該漏過了的同學(xué)的得分恰好為X，貝IJ（）A.&=/,s：=s； B.xt=x2,s：<s；C.X|=%,s：>s； D.X]<Xj>s：=s；【答案】C【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的定義分別計(jì)算出工、S：、石、S）再進(jìn)行大小比較即可.TOC\o"1-5"\h\z【詳解】設(shè)這個(gè)班〃位同學(xué)的成績分別是4,a2 a. a?,第一次漏過了第i位同學(xué)的成績，第一次計(jì)算時(shí)總分是故s：>s；,故選：C.7.在如圖的平面圖形中，已知0M=1,ON=2,NMON=120,麗'=2新S,西=2麗，則BC0M的值為BA.-15 B.-9C.-6 D.0【答案】C【詳解】分析：連結(jié)例M結(jié)合幾何性質(zhì)和平面向量的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：如圖所示，連結(jié)MN,由麗=2而，麗=2NA可知點(diǎn)M,N分別為線段AB,AC上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則阮=3麗=3（兩一兩'），由題意可知:OM~=I2=1?OMON=Ix2xcosl20==-1>結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則可得：BCOM=3(pN-OM}OM=3ONOM-3OM2=-3-3=-6.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.8.如圖所示，正方體中，點(diǎn)。為底面ABC。的中心，點(diǎn)尸在側(cè)面BCG4的邊界及其內(nèi)部移動(dòng)，若DQLOP,則異面直線。E與AB所成角的余弦值的最大值為()A.\ B.立 C.正 D.正3 2 3 3【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出異面直線與AB所成角的余弦值的最大值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2A(2,0,0),8(2,2,0),A(0,0,2),0(1,1,0),^0=(1,1,-2),AB=(0,2,0)設(shè)P(a,2,6),a,be[0,2],因?yàn)橄?麗=0,OP=(a-1,1,6)

所以4-1+1-乃=0,a=2b,則P（2瓦2,b）在側(cè)面4ROA內(nèi)取一點(diǎn)Q,使得QP//A3,則。(3,0力)易知三角形?！鉷為直角三角形，則卜。S(印，4由|=卜3(行力。；)卜蠲|函=2,印=(26,2,6-2),|麗="從+4+從+4-46=45從-46+8. -4 42 4 2 36設(shè)丫=5從一4人+8,對(duì)稱軸為，則'min=5x；^_4xm+8=>^-2x5105 25 5 5故選：CB.C.VxeR,fW=fB.C.VxeR,fW=f二、多選題9.已知函數(shù)/(x)=Acos(5+0)(A>O,@>O,O<0V/)的部分圖象如圖所示，則下列說函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)仁，0卜寸稱

D函數(shù)/⑶在聞上無最小值【答案】BC【分析】由圖可知A=2,O=2,進(jìn)而結(jié)合(招，2)待定系數(shù)得〃x)=2cos(2x+專再依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：由圖可知，A=2,f=-舟=g，2萬所以7=乃=絲，即0=2,所以/(x)=2cos(2x+。)，co再將1-專，2%弋入得2=2cos2x(-總+夕，即l=cos[-?+s],所以-三+(P=2k7T,keZ,即9=2+2攵萬/￡2,6 6因?yàn)?＜。＜左，所以3=1，即f(x)=2cos(2x+7｝故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；rrjr jrk7T令2x+m=W+ZiMeZ,解得x=J+—MeZ,即函數(shù)的對(duì)稱中心為62 62旨容O^eZ,所以當(dāng)&=0時(shí)，函數(shù)，(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)加對(duì)稱，故B正確；因?yàn)閂xeR,/。)=/(署-1),即函數(shù)/(x)關(guān)于x=||對(duì)稱，由函數(shù)圖像易知正確，故C正確；當(dāng)xe(0,g)時(shí)，2x+9e[?,?],所以當(dāng)2x+J=t,即x=當(dāng)時(shí)函數(shù),⑶取得最小值-2,故D錯(cuò)誤.故選：BC.在RSABC中，C。是斜邊48上的高，如圖，則下列等式成立的是( )c\BC[=BABCAc\BC[=BABCA.\AC^=AC-AB\AB^=ACCD【答案】ABD【分析】由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可得：AC-AB=\AD\\AB\,BABC=\BA\\BD\,再結(jié)合直角三角形中的射影定理可得選項(xiàng)A,B正確，由|?！海?麗的符號(hào)可得選項(xiàng)D.(acab)x(ba-bc)C錯(cuò)誤，由三角形全等可得選項(xiàng)D正確，綜合可得解.【詳解】解：由恁?福=國網(wǎng)cosA=M|AM，由射影定理可得阿=元加,即選項(xiàng)A正確，由麗辰=網(wǎng)網(wǎng)8$8=1網(wǎng)到，由射影定理可得同=BABC,即選項(xiàng)B正確，由衣?麗=|得回cos(%-ZA8)<0,又網(wǎng)。>0,即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，由圖可知RtMCD^RtMBC,所以忸［=|A圳CD|,,2{acab\x(babc\由選項(xiàng)A,B可得CD 匕 即選項(xiàng)D正確，AB故選ABD.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、直角三角形中的射影定理及三角形全等，屬中檔題..已知aABC中，角4、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c且a=6,4sinB=5sinC,有以下四個(gè)命題中正確命題有( )A.△ABC的面積的最大值為40B.滿足條件的△ABC不可能是直角三角形C.當(dāng)A=2C時(shí)，AABC的周長為15D.當(dāng)A=2C時(shí)，若。為△ABC的內(nèi)心，則AAO8的面積為近【答案】ACD【分析】對(duì)于4,運(yùn)用圓的方程和三角形的面積公式，即可得到所求最大值；對(duì)于B,考慮勾股定理的逆定理，即可判斷；對(duì)于C,運(yùn)用正弦定理可得46=5c,運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換，即可得到所求周長；對(duì)于。，運(yùn)用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換、三角形的面積公式和等積法，即可得到所求面積.【詳解】以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，可得B(-3,0),C(3,0),4sinB=5sinC,可得4b=5c,設(shè)A(m,n),可得4J(m-3j+”2=5J(/w+3j+”2，平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),,,82 41 , 40?8PWm2+n2+—m+9=0,化為(m+不)2+n2=(—)2,41 40 i40則A的軌跡為以(-；,0),半徑為;的圓，可得△ABC的面積的最大值為:x6x；=40,

4a=6,4sinB=5sinC即4/?=5c,設(shè)b=5f,c=4r,由36+16產(chǎn)=25產(chǎn)，可得，=],滿足條件的△ABC可能是直角三角形，故8錯(cuò)誤；。=6,4sinB=5sinC,A=2Cf可得B=tt-3C,由正弦定理可得4Q5c,可得匕=彳,bsinBbsinB5c 5c可得而森通;碇二砌壽而TOC\o"1-5"\h\z- 5 , 3 3由sinC/O,可得：4cos-C-1=—,解得：cosC=-,或—（舍去）,4 4 4sinC=>/1-cos2C= ，可得sinA=2sinCcosC=2x： ,6c3a=y/1>可得：C=4,b=5,則a+b+c=15,-T-T故C對(duì);。=6,4sin8=5sinC,A=2C,可得8=ti-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=羋，4TOC\o"1-5"\h\z, 5c 5c由4=一^，可得W=三=一1?sin8sinC sin(乃一3。)sinCsinC(4cos2C-l)5 3 3由sinC#）,可得：4cos2C-1=-,解得：cosC=~,或-二（舍去）,4 4 4sinC=J]—cos?C=乎，可得:sinA=2sinCcosC=2x^ ,6c3a=V7，可得：c=4,b=5,~8~~4~SaABC=gbcsinA=；x5x4x豆Z=2 2 8 4" 015"r=設(shè)△45。的內(nèi)切圓半徑為R,則=2'丁=業(yè),a+b+c―—t2— 2SaSaABO=故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題.12.如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZABC=60°,M為8c的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折成aAqM,連接8c和4。，N為反。的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說AM1B.CCN的長為定值A(chǔ)B1與CN的夾角為5D.當(dāng)三棱錐用-AM。的體積最大時(shí)，三棱錐用-AMD的外接球的表面積是8?！敬鸢浮緼BD【分析】利用線面垂直證明線線垂直，判斷A選項(xiàng)；取A￡＞中點(diǎn)E,連接EN,EC,結(jié)合余弦定理，求得CN,并判斷B選項(xiàng)：利用幾何法將4片與CN的夾角轉(zhuǎn)化為EN與CN的夾角，判斷C選項(xiàng)：將幾何體還原為長方體，求得外接球半徑，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).A選項(xiàng)：由題意在菱形ABC。中，AB=2,M為BC的中點(diǎn)，所以AM=，8C=1aB=1,2 2又NABC=60。，所以且將aABM沿直線AM翻折成,所以AM1B.M,又與Mn8C=M,AM_L平面與MC,又B,Cu平面4MC,所以AMJ.Bg,故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：如圖所示，取AO中點(diǎn)E,連接EN,EC,所以EC//AM,且EC=AM,又因?yàn)镹為修。的中點(diǎn)，所以EN//AB、,且EN=；A4=1又由A選項(xiàng)得4W_LBC,ZABC=60°,所以/84知=/44知=30。且4知=6，所以Z7VEC=3O。，EC=6,在aCEN中，由余弦定理得：CN?=CE 1 1 7X/(2)=22+-x2-5=——<0,/(3)=23+-x3-5= 1 1 7X/(2)=22+-x2-5=——<0,/(3)=23+-x3-5=3->0,4 2 4 4所以f(x)的零點(diǎn)毛e(2,3),正確；C選項(xiàng)：由B選項(xiàng)得硒〃AB-所以與CN的夾角。即為EN與4片所成角，IT JT0W0,-,CN=EN=\,且NNEC=30。，所以NCNE=120°,所以。=一，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤：D選項(xiàng)：當(dāng)三棱錐4-AM。的體積最大時(shí)，B|M_L平面ABC。，由四邊形ABC￡>為菱形，且NABC=60。，ZBAM=30°,可知AMLAD,故三棱錐用-AMO的外接球即為其所在矩形的外接球，故外接球半徑R=gjA￡)2+AA/2+qM2=：j4+3+l=。,外接球表面積5=4萬代=8萬，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑.三、填空題.函數(shù)/(x)=2*+；x-5的零點(diǎn)七e[a-l,a],aeN*,則。=.【答案】3【分析】易知f(x)=2*+1x-5是增函數(shù)，再由零點(diǎn)存在定理結(jié)合天€也-1,0,0€叱求解.【詳解】因?yàn)閥=2',y=Jx-5均為增函數(shù)，所以f(x)=2*+1x-5是增函數(shù)，4故答案為：3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子各一次，第一枚出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為m,第二枚出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)記為〃，則加22〃的概率為.【答案】!。254【分析】結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出正確答案.【詳解】由題意可得，拋擲兩次骰子出現(xiàn)的總可能數(shù)為6x6=36種，其中滿足％22〃的有：（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（6,3）,共9種，故所求的概率3=364故答案為：7.在△回（?中，角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,已知A=8,且—fecosA=ccosA+acosC,若3c邊上的中線長AD=夕，則△ABC的面積為3個(gè)小球相切，并與正方體盒蓋相切，無論怎樣翻轉(zhuǎn)盒子，五球相切不松動(dòng)，則小球半徑的最大值為;大球體積的最小值為.【答案】 0至叵兀24【分析】當(dāng)正方體盒內(nèi)四個(gè)小球最大時(shí)，四個(gè)小球相切，且與正方體側(cè)面相切，易求此時(shí)小球半徑r為正方體棱長的!，大球球心與四個(gè)小球球心構(gòu)成一個(gè)正四棱錐，根據(jù)大球和正方體盒蓋相切即可求出大球半徑，從而求出大球體積.【詳解】由題意，正方體盒內(nèi)四個(gè)小球最大時(shí)，四個(gè)小球相切，且與正方體側(cè)面相切，此時(shí)小球半徑「=逑=0,則小球體積最大值為9兀/=辿兀，4 3 3顯然大球此時(shí)最小，大球球心。與四個(gè)小球球心a,o2,a,,構(gòu)成一個(gè)正四棱錐，O02=2r=20，側(cè)棱Oq=R+后，設(shè)正方形q。2。3。4的中心M,則0、乩=2,高OH、= 冏=4R+何—2^=正+2以-2,將0區(qū)向兩端延長交上底面于〃，交下底面于K,貝I］：HK^OH+OHl+HlK^R+OHi+r=4y/2, C故R+J/?2+20r_2+夜=4夜，即JR2+26R-2=36-R,解得/?=丁.大球體積的最小值為乎］=3手兀.四、解答題17.從某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]頻數(shù)62638228“頻率組距0.0400.0380.0360.0340.0320.0300.0280.0260.0240.0220.0200.0180.0160.0140.0120.0100.0080.0060.0040.0021 1 一一一一一」一一一一31 1 1L 1_ 1_1 11---? ii—? ?? I?1 1? ?I I 1 I ? ___j????———i■ 1 1??1?1_ Lt 」一一一__I1?1??了75 85 95105115 125 田盧二廠代質(zhì)量指標(biāo)值（1）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)、眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）及中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？如果不能，那么質(zhì)量指標(biāo)值應(yīng)該定為不低于多少？【答案】（1）平均數(shù)約為100,眾數(shù)為100,中位數(shù)為99.7（2）不能,90.4【分析】（1）根據(jù)運(yùn)用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)方法計(jì)算即可；（2）計(jì)算質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品的頻率，用樣本頻率進(jìn)行估計(jì)即可.【詳解】（1）質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為：80x0.06+90x0.26+100x0.38+110x0.22+120x0.08=100,質(zhì)量指標(biāo)值的樣本眾數(shù)為史￥電=100,所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)約為100,眾數(shù)為100,由上可知中位數(shù)落在［95,105）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為X,則：0.06xl0+0.026xl0+0.038x(x-95)=0.5,得至1]工之99.7,因此，中位數(shù)為99.7.(2)質(zhì)量指教不低于95的產(chǎn)品所占比例約為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計(jì)值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)伸長的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定；0.38+0.22+0.08=0.68離0.8還差0.12,故012=0.026xy,yb4.6故質(zhì)量指標(biāo)不低于95-4.6=90.4..aABC中，瓦c分別為角A,B,C的對(duì)邊，且滿足acos2c=acosC-csinA.(1)求角C:(2)若aABC為銳角三角形，c=12,求aA8C面積S的最大值.【答案】(1)C=(或C=/；(2)36(&+1).【分析】(1)根據(jù)acos2C=acosC-csinA,由正弦定理得到：sinAcos2C=sinAcosC—sinCsinA,即cos2C=cos?！猻inC求解；TT(2)由(1)根據(jù)為銳角三角形，得到。=:，然后利用余弦定理結(jié)合基本不等4式得到"的范圍求解.【詳解】(1)因?yàn)閍cos2C=acosC-csinA,由正弦定理可得：sinAcos2。=sinAcosC—sinCsinA,因?yàn)锳￡(0,1),sinA00,所以cos2C=cosC-sinC,所以cos?C—sin2C=cosC—sinC，即(cosC-sinC)(cosC+sinC—1)=0,所以€：0§。-3皿。=0或85。+§皿?！?=0,即cosC=sinC或cosC+sinC-l=0,jr①若cosC=sinC?則C=一,4②若cosC+sinC-l=0,則sin(c+2]=—,I4j2E、，7 _TC5/r -兀 rr—冗因?yàn)?<C+:〈二，所以7，即C=4 4 4 4 4 2綜上，c=f或c=W.4 2TT(2)因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以C二:，4因?yàn)镃?=144=a2+h2-2ahcos—=a2+ft2-41ah>lab-yjlah=(2-y/2)ab,4

144 r-即匚方=72（2+a）（當(dāng)且僅當(dāng)。=b等號(hào)成立）.—x72(2+^)=36(>/2+—x72(2+^)=36(>/2+1)4即△ABC面積S的最大值是36（夜+1）.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，底面ABC是正三角形，AB=AAi=2y/2,BC邊上的中點(diǎn)為。.（1）求四棱錐的體積;（2）求三棱柱ABC-A4G截去三棱銖c,-ACD后所得幾何體的表面積.【答案】（1）華（2）3>/3+>/15+18【分析】（1）利用錐體體積公式去求四棱錐￡-A484的體積；（2）分別求得所剩幾何體各個(gè)面的面積即可求得三棱柱A8C-ABiG截去三棱錐G-ACD后所得幾何體的表面積.【詳解】（1）設(shè)A4邊上的中點(diǎn)為￡連接GE,GE1.A4，又面A4G1面AB/A，面A4GC面A.B.BA=AB,,則C,E1平面AfBtBA,即CE為四棱錐G-A4BA的高，C,E=#0-曲=娓所以四棱錐G-A&BA的體積vc =-S..BAC,￡=!（2近『?卡=婭.V]—D|DtS3 'D|0/1I 3\ 3BB(2)由題意得AD=J(2&)L(a)2=76,C,D= +(&.=屈,AC,=J(2何+(2⑸=4,從而ao2+gep=ac：,所以a。log，所以后而E'所以；(a+2碼.2&+；(2&)2+(2何+負(fù)2可+點(diǎn)(2&)2+而=6+4+8+26+&+后=18+3肉岳所以三棱柱ABC-A4G截去三棱錐G-ACD后所得幾何體的表面積為3^+715+18.20.如圖，線段AC是圓。的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于4,C的點(diǎn)，AC=2,BC=\,雨，底面ABC,M是P8上的動(dòng)點(diǎn)，且麗=4萬（0<2<1）,N是PC的中點(diǎn).（1）若4=g時(shí)，記平面AMN與平面ABC的交線為/,試判斷直線/與平面P8C的位置關(guān)系，并加以證明；（2）若平面PBC與平面4BC所成的角為￡,點(diǎn)M到平面辦C的距離是立，求2的值.【答案】（1）直線/〃平面PBC,證明見解析【分析】（1）可證MN〃平面ABC,從而得到MN〃/,故可得直線/〃平面PBC.7T（2）根據(jù)平面P8C與平面ABC所成的角為丁可得NPA4=45。，建立如圖所示的空間4直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)面距公式可求4的值.【詳解】（1）直線/〃平面尸BC,

證明：當(dāng)4=g時(shí)，歷是P8的中點(diǎn)，又因?yàn)镹是PC的中點(diǎn)，所以MN//BC,又BCu平面ABC,且MN.平面ABC,所以MN〃平面ABC,又MNu平面AWN,且平面4VMe平面ABC=/,所以MAW/,又因?yàn)?<Z平面PBC,MVu平面PBC,所以直線〃/平面尸8c.(2)因?yàn)锳C是圓。的直徑，所以NA8C=90°,由勾股定理得48=百，因?yàn)楦絁■平面ABC,BCu平面ABC,所以/V1JLBC,又ABLBC,ABr>PA=A,所以8cl.平面尸區(qū)4,而依u平面P84,故PB_LBC,故NPBA就是二面角P-8C-A的平面角，所以NP8A=45。，所以ABAB為等腰直角三角形，且尸A=A8=W，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,8c所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(6,o,o),8(0,0,0),C(0,l,0),P(Ao,73),AC=(-a/3,1,0),AP=(0,0,5/3),-6x+y=0-6x+y=0,

底=0,n-AC=0,所以《n-AP=0令x=l,貝!]y=6,z=0,得〃=(1,6,0),UUUUU, _ L\設(shè)尸M=APB=(-V32,0,-V32),所以點(diǎn)M所以點(diǎn)M到平面PAC的距d=iUuitri也L且罟，所以好.21.已知aABC中，ABC的對(duì)邊分別為a,6,c且而-=通.而+而.及+5.曲.（1）判斷aABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍：（2）如圖，三角形A,8,C的頂點(diǎn)A,C分別在44上運(yùn)動(dòng)，AC=2,BC=1,若直線4,直線4,且相交于點(diǎn)0,求0,8間距離的取值范圍.【答案】（1）為直角三角形，sinA+sinBe（L&]；（2）[1,1+72].【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，將原式化簡整理，得到前.正=0,推出BCLAC,即可得出三角形的形狀，再將sinA+sinB化為&sin（A+?J,結(jié)合角A的范圍，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，求出值域，即可得出結(jié)果；TT（2）記NACO=6,其中Oe0,-,由此得出OC=2cosO,再由余弦定理，得出OB2=2sin（29+?1+3,結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由麗2=福.北+麗?前麗可得麗?（而-北卜前?（威-京），rillULIlLITlUDi ULH2ilkULH El吃/膽 八s、i——?jiǎng)tAB-C8=BC＞所以BC+BCA8=0，則8c，（g+他卜。，所以BC-AC=O，TT因此BC_LAC，即BC_LAC,則aABC為直角三角形，C=-；所以A+B=（所以叱（0身，則A+T已彳因此sinA+sinB=sinA+sin[g_4J=sinA+cosA=0sin[A+因此sin因?yàn)锳+（仁岑），所以sin（A+?）n/，則sinA+sin5=>/2sinA+工I47T(2)不妨記NACO=〃，其中Oe0,~,則OC=ACcos6=2cosO,由余弦定理可得，OB2=OC2+CB2-2OCCBcos^+0^=4cos28+1+4sin8cos0=2cos2。+3+2sin2。=2&sin!2^4-—14-3,

7T因?yàn)椤！?7T因?yàn)椤！?，］,ITTT5乃所以如不~，T,則sin(26?+")e4i, ，]2OB2=2sin(26>+-^J+3e[l,3+【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解三角形中的邊長取值范圍問題時(shí)，可根據(jù)正弦定理或余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問題，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.22.已知函數(shù)f(x)=x|x-4+l.⑴當(dāng)a=2時(shí)，求/")的單調(diào)區(qū)間;當(dāng)。=0時(shí)，解不等式“2x-1)+〃x+2)>2；⑵若存在不丫(—，山2］,使得