2022-2023學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)講練-特殊平行四邊形重難點(diǎn)突破專題(專項(xiàng)練習(xí))

專題1.30特殊平行四邊形重難點(diǎn)突破專題（專項(xiàng)練習(xí)）一、填空題類型一、最值問題.如圖，正方形ABC。，E是對(duì)角線30上一動(dòng)點(diǎn)，DFYBD,且= 連接CE,CF,EF,若AB=2,則E廠長度的最小值為..如圖，矩形ABCE（中，AB=2,AD=4,E為BC的中點(diǎn)，尸為。E上一動(dòng)點(diǎn)，P為AF中.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,AE>=5,點(diǎn)P在邊上，點(diǎn)。在邊BC上，且AP=CQ,連接CP,QD,則PC+3的最小值為.二、解答題類型二、條件（結(jié)論）探究型.如圖，在四邊形A8CQ中，AB//CD,AB^AD,CB=CD,點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F,連接OF（1）求證：四邊形ABCZ）是菱形；（2）試探究8E滿足什么條件時(shí)，NEFD=NBCD,并說明理由..已知aABC是等邊三角形，點(diǎn)8,。關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接AO,CD.(1)求證：四邊形ABC。是菱形；(2)在線段AC上任取一點(diǎn)尸(端點(diǎn)除外)，連接PD將線段尸。繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在8A延長線上的點(diǎn)。處.請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)點(diǎn)尸在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，NOPQ的大小是否發(fā)生變化？說明理由.(3)在滿足(2)的條件下，探究線段AQ與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明..已知，在正方形ABCC中，連接對(duì)角線80,點(diǎn)E為射線CB上一點(diǎn)，連接AE.尸是AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸于尸，尸M交直線8。于M,連接ME、MC.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在CB邊上時(shí).①依題意補(bǔ)全圖1:②猜想/MEC與NMCE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在CB邊的延長線上時(shí)，補(bǔ)全圖2,并直接寫出AE與MC之間的數(shù)量關(guān).小明學(xué)習(xí)了特殊的四邊形后，對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，如圖1,我們把兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是.(2)性質(zhì)探究：通過探究，直接寫出垂美四邊形ABCO的面積S與兩條對(duì)角線AC、8力之間的數(shù)量關(guān)系：.(3)問題解決：如圖2,分別以RtzXABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外做正方形ACFG和正方形ABOE,連結(jié)BG、CE交于點(diǎn)N,CE交AB于點(diǎn)M,連結(jié)GE.①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；②已知AC=4,AB=5,則四邊形BCGE的面積為.類型三、坐標(biāo)系中的特殊四邊形.圖，平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=H+15(kxO)經(jīng)過點(diǎn)C(3,6),與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3.線段8平行于X軸，交直線y=于點(diǎn)0,連接OC,AD.(1)填空：k=，點(diǎn)。的坐標(biāo)是()；(2)求證：四邊形OAOC是平行四邊形：(3)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿對(duì)角線0。以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)。為止；動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，沿對(duì)角線。。以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)。為止.設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為?秒.①當(dāng)『=2時(shí)，aCPQ的面積是.②在點(diǎn)尸，。運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)CP_LCQ時(shí)請(qǐng)直接寫出此時(shí)/的值 .H.如圖，在以點(diǎn)。為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(40),(叫,點(diǎn)C在y軸上，且BC〃x軸，a,方滿足卜-3|+^/^4=0.點(diǎn)尸從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O-A-B-C-O的路線運(yùn)動(dòng)(回到。為止)(1)直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；(2)求出使得三角形CPO的面積是四邊形0ABe面積的一半的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)f秒后(twO),是否存在點(diǎn)P到x軸的距離為5個(gè)單位長度的情況.若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xQy中的兩點(diǎn)A和C,給出如下定義：若A,C是某個(gè)矩形對(duì)角線的頂點(diǎn)，且該矩形的每條邊均與％軸或＞軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)a,c的“對(duì)角矩形”，下圖為“對(duì)角矩形''的示意圖.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1)①當(dāng)r=4時(shí)，點(diǎn)A,C的“對(duì)角矩形”的面積S的值為②若點(diǎn)a,C的“對(duì)角矩形”的面積是8,則r的值為；(2)若點(diǎn)A,C的“對(duì)角矩形”是正方形，求直線AC的解析式.類型四、特殊平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題.如圖所示，在矩形ABCD中，Afi=24cm,BC=10cm,點(diǎn)P從A開始沿AB邊以4m/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從C開始沿8邊以2m/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)尸，。分別從A,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為rs.(1)當(dāng)f=2時(shí)，求尸，。兩點(diǎn)之間的距離.(2)當(dāng)r為何值時(shí)，線段AQ與。尸互相平分？(3)當(dāng)，為何值時(shí)，四邊形APQ。的面積為矩形ABCO面積的1O.如圖，在矩形ABC。中,M是邊AO的中點(diǎn),P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且PELMC,PF1BM,垂足分別為E，F(xiàn).(1)當(dāng)矩形ABCC的長與寬滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形PEMF是矩形？證明你的結(jié)論.(2)若四邊形尸EMF是矩形，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形PEMF是正方形？證明你的結(jié)論.類型五、特殊平行四邊形中的折疊問題.如圖，將長方形ABCO沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在E處，若AB=3,BC=9,則:(1)試判斷折疊后重疊部分三角形ACF的形狀，并證明；(2)求重疊部分三角形ACF的面積..如圖，將矩形紙片A8CO折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AO上的點(diǎn)E處，折痕的一端點(diǎn)G在邊8c上，另一端尸在AO上，AB=8,BG=10.(1)求證：四邊形BGE尸為菱形；(2)求尸G的長.

A'.圖，一張矩形紙片ABC。，點(diǎn)E在邊AB上，將ABCE沿直線C￡對(duì)折，點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上，記為點(diǎn)F.(1)若AB=4,BC=3,求AE的長.(2)連接。凡若點(diǎn)D,F,E在同一條直線上，且。尸=2,求AE的長..如圖1,在四邊形ABC￡>中，AB//DC,AB=AD,對(duì)角線AC、80交于點(diǎn)O,AC平分Z&AD.(1)求證：四邊形ABC。是菱形；(2)如圖2,點(diǎn)E是C。邊上一點(diǎn)，將四邊形沿著BE翻折得到四邊形4DEB,若點(diǎn)次恰好落在邊OC的中點(diǎn)處，且B￡>'=20，求菱形ABC。的周長.

DAA圖2DAA圖2.如圖，折疊矩形ABC。的一邊40,使點(diǎn)。落在BC邊上的點(diǎn)尸處，AE是折痕.(1)如圖1,若AB=4,AA5,求折痕AE的長；⑵如圖2,若AE=。，且EC：FC=3：4,求矩形ABC。的周長..綜合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識(shí)，掌握了許多新技能.例如教材八年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)"~"折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣.在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：對(duì)折矩形紙片A8CC,使AO與BC重合，折痕為EF,把紙片展平：再一次折疊紙片，使點(diǎn)4落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,折痕為BM,把紙片展平，連接AM如圖①;(1)折痕所在直線是否是線段AN的垂直平分線？請(qǐng)判斷圖中aABN是什么特殊三角形？請(qǐng)寫出解答過程.(2)繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)8,得到折痕BG,把紙片展平，如圖②，求NGBN的度數(shù).(3)拓展延伸：如圖③，折疊矩形紙片A8C。，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)4處，并且折痕交8c邊于點(diǎn)7,交4。邊于點(diǎn)S,把紙片展平，連接A4'交S7于點(diǎn)。，連接A7；求證：四邊形是菱形.圖①圖②圖①圖②圖③.如圖，已知以AABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作等邊三角形A8。、8CE和ACF.(1)求證：四邊形4OEF是平行四邊形；(2)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形4OEF是菱形？是矩形？并說明理由；(3)這樣的平行四邊形AOE尸是否總是存在？請(qǐng)說明理由.

20.如圖，矩形。A8C中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)是(6,8),將矩形OA8C沿直線BO折疊，使得點(diǎn)C恰好落在對(duì)角線08上的點(diǎn)￡處，折痕8。所在直線與y軸、x軸分別交于點(diǎn)。、F.(1)求線段OE的長；(2)求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)用在直線y= 上，則在直線8。上是否存在點(diǎn)尸，使以C、。、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；不存在，說明理由.參考答案【解析】【分析】過C作CE_LB￡>『點(diǎn)E',根據(jù)正方形的性質(zhì)易得aEBCga血(SAS),進(jìn)而得至I]CE=CF,NBCE=ZDCF,易得到是等腰直角三角形，進(jìn)而求出跖=0CE，節(jié)E運(yùn)動(dòng)到E'時(shí)，CE最小，最小值即為CE的長度，此時(shí)E尸最小值為EF=0C￡，求出CE'即可求解.【詳解】解：過C作CE」8￡>丁點(diǎn)￡,如圖：???四邊形A8CO是正方形，二CD=BC,NDBC=NBDC=45°.DF上BD，：.ZFDB=90°,：.NFDC=2FDB-ZBDC=90°-45°=45°,，NFDC=NEBC.在a￡BC和△F￡)C中BE=DF■NEBC=NFDC,BC=CD；.aEBC%FDC(SAS),:.CE=CF,ABCE=NDCF.'：NBCF+NECD=9Q。,/.ZDCF+ZECD=90°,即NEC/=90。，A 是等腰直角三角形，?*-EF=辰E..?.當(dāng)CE最小時(shí)，Ef最小，.?.當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到￡時(shí)，CE最小，最小值即為CE的長度，此時(shí)E尸最小值為即=0C￡.AB=2,CEA.BD,：.CE'=-BD=-xy/2x2=42,2 2E尸最小值為0CE'=0x0=2.故答案為：2.【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求出= 是解答關(guān)鍵.2忘【解析】【分析】取AD中點(diǎn)，，連接B”，CH,設(shè)BH與AE的交點(diǎn)為O,連接CO,可證四邊形DEB”是平行四邊形，可得BH〃DE,由三角形中位線定理可得可得點(diǎn)P在8”上，當(dāng)CFLB”時(shí)，PC有最小值，即可求解.【詳解】解：如圖，取AC中點(diǎn)，，連接BH,CH,設(shè)8”與AE的交點(diǎn)為O,連接CO,如圖所示：???四邊形4BCO是矩形，：.AB=CD=2,AD=BC=4,AD//BC,NBAH=NCDH=90。,?點(diǎn)E是8c中點(diǎn)，點(diǎn)，是AO中點(diǎn)，：.AH=CE=DH=BE=AB=CD=2,四邊形BECH是平行四邊形，ZAHB=ZABH=1x90°=45°,2Z.DHC=Z.DCH=1x90°=45°,2BH//DE,,點(diǎn)P是A尸的中點(diǎn)，點(diǎn)”是A。的中點(diǎn)，：?PH〃ED，.?.點(diǎn)P在BH上,ZAHB=Z.DHC=45。，ZBHC=180°-45°-45°=90°,BHLCH,:點(diǎn)P在BH上,.?.當(dāng)CPL8H時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與，重合，PC有最小值，在RtACDH中，CH=y/CDr+DH2=272...PC的最小值為2&，故答案為：2&.【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵.13【解析】【分析】連接8P,在8A的延長線」二截取AE=A8=6,連接PE,CE,PC+QD=PC+PB,則尸C+。。的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=6,則PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,根據(jù)勾股定理可得結(jié)果.【詳解】解：如圖，連接8P,EE在矩形A8CO中，AD//BC,AD=BC,；A%CQ,：.AD-AP=BC-CQ,：.DP^QB,DP//BQ,.??四邊形DPBQ是平行四邊形，：.PB//DQ,PB=DQ,則PC+QD=PC+PB,則PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=6,連接PE,...以是8E的垂直平分線，：.PB=PE,:.PC+PB=PC+PE,連接CE,則PC+QD=PC+PB=PC+PE>CE,?；BE=2AB=12,BC=AD=5,CE=^BE2+BC2=V122+52=13.的最小值為13.故答案為：13.【點(diǎn)撥】本題考查的是最短線路問題，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.4.⑴見解析(2)當(dāng)8E_LC￡)時(shí)，NEFD=NBCD,理由見解析【解析】【分析】(1)首先利用SSS定理證明AABC四△AOCu]■得/BAC=ND4C,由平行線的性質(zhì)可得ZCAD=ZACD,再根據(jù)等角對(duì)等邊可得AO=C￡>,再由條件A8=A￡),CB=C?？傻肁B=CB=CD=AD,可得四邊形A8CQ是姜形；(2)首先證明ABCF且ADCF可得NCBF=NCDF,再根據(jù)BE工CD可得NBEC=NDEF=90。,進(jìn)而得到/EFD=/8C￡>AB=AD證明：在△ABC和△AOC中，<CB=CC,AC=AC.,.△ABC^AADC(SSS).：.ZBAC=ZDAC.\'AB//CD,：.ZBAC=ZACD.：.ZDAC=ZACD.：.AD=CD.\"AB=AD,CB=CD,.\AB=CB=CD=AD.，四邊形ABC。是菱形.解：當(dāng)8E_LC￡)時(shí)，NEFD=NBCD.理由：由(1)知四邊形A8C7)為菱形，NBCF=NDCF.BC=DC在ABC廠和△OCT中，-NBCF=ZDCF,CF=CF：.△BCF^ADCF(SAS).NCBF=ACDF.'：BEVCD,：.ZBEC=ZDEF=90°.：.NBCD+NCBF=NEFD+NCDF=90°:,NEFD=NBCD.【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，同角或等角的余角相等，靈活運(yùn)用三角形全等的判定及性質(zhì)是解本題的關(guān)健.5.⑴見解析(2)NOPQ大小不變，理由見解析(3)CP=AQ,證明見解析【解析】【分析】(1)連接8。，由等邊三角形的性質(zhì)可得4c垂直平分8D,繼而得出AB=8C=CO=AO,便可證明；(2)連接PB,過點(diǎn)P作交AB丁點(diǎn)E,PFLAB丁點(diǎn)F,可證明VAPE是等邊■：角形，由等腰三角形三線合一證明NAPb=NEPb,NQPF=NBPF,即可求解；(3)由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得其尸=尸E,QF=BF,即可證明.(1)連接BD,???△ABC是等邊三角形，,.AB=BC=AC,?.?點(diǎn)8,C關(guān)于直線AC對(duì)稱，.?.AC垂直平分BD,：.DC=BC,AD=AB,：.AB=BC=CD=AD,???四邊形48co是菱形：當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上的位置發(fā)生變化時(shí)，NDP。的大小不發(fā)生變化，始終等于60。，理由如下：??將線段尸。繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在BA延長線上的點(diǎn)。處，：.PQ=PD,??△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC,ABAC=ZASC=ZACB=60°,連接P8,過點(diǎn)P作尸E〃CB交AB于點(diǎn)E,PFLABp點(diǎn)凡D C則ZAPE=ZACB=60°,ZAEP=ZABC=60°,ZAPE=NBAC=60°=ZAEP,.'.^APE是等邊三角形，:.AP=EP=AE,?：PFLAB,.?.ZAPF=/EPF,，?點(diǎn)3,。關(guān)于直線AC對(duì)稱，點(diǎn)尸在線段AC上，；.PB=PD,ZDPA=ZBPA,APQ=PD,\PFLAB.NQPF=NBPF,??NQPF-NAPF=/BPF-NEPF,即NQ附=/BPE,：?NDPQ=ND*ZQPA=ZBPA-ZBPE=NAPE=60°；AQ=CPf證明如下：??AC=A8,AP=AE,\AC-AP=AB-AE,BPCP=BEf?；AP=EP,PFLAB,:AF=FE,.PQ=PD,PFLAB,??QF=BF,；?QF?AF=BF—EF,BPAQ=BE,.'.AQ=CP.【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.6.(1)①見解析；②ZMEC=NMCE,見解析(2)見解析，AE=42CM.【解析】【分析】(1)①根據(jù)題意作圖；②連接AM,利用ASA證明△AQMgZ\C￡)M,推出MA=MC,即可得到NMEONMCE；(2)利用ASA證明△AOMgZXCQM,推出AM=MC,ZMAD=ZMCD,再證明△EMA是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解.(1)BEC②NMEC=NMCE,證明：連接AM,?.?F是的中點(diǎn)，F(xiàn)MLAE,：.MA=ME,???四邊形ABC。是正方形，8。是對(duì)角線，:.NADM=NCDM,AD=CD,[NAO=CO在"OM和aCOM中，\NAOM=NCDM,[DMDM：./\ADM^/^CDM(ASA),.,.MA=MC,:.ME=MC,：.ZMEC=ZMCE,(2)解：AE=&CM,證明：補(bǔ)全圖如圖所示，連接MA,是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)MLAE,?.,四邊形ABCO是正方形，8。是對(duì)角線,ZADM=ZCDM,AD=CD,fZAD=CD在AAQM和△COM中，\ZADM=NCDM,[DM=DM.".△ADAf^ACDA/(ASA),：.MA=MC,ZMAD=ZMCD,■:NMEC=NMCE,：.ZMEC+ZMAD=ZDCM+ZMCE=90°,tJADZ/CE,/.ZDAE+ZCEA=180°,/./MAE+/ME4=90。，二ZAME=90°,...△EMA是等腰直角三角形，：.AE=y/2AM=42CM.【點(diǎn)撥】本題主要考查正方形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩者性質(zhì)定理并能靈活使用.7.(1)菱形和正方形(2)-AC-BD⑶①證明見解析：②竽【解析】【分析】(1)由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；(2)四邊形ABCD的面積=A48c的面積+△ADC的面積=；ACBO+；ACDO-；ACBD-,(3)①連接CG、BE,證出NGA8=NC4E,由SAS證明AGA8且△CAE,得出8G=CE,ZABG^ZAEC,再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理求出NBMW=90。，得出8GLCE即可：②根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合(2)的結(jié)論計(jì)算即可.(1)?.?在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形、正方形，菱形和正方形一定是垂美四邊形;故答案為：菱形、正方形：四邊形ABCD的面積=4ABC的面積+△ADC的面積=,4080+14。。。=，AC8。；2 2 2故答案為：\acbd-.2證明：連接CG、BE,如圖2所示：,：四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形,AZF=ZCAG=ZBAE=90°,FG=AG=AC=CF,AB=AE,：.ZCAG+^BAC=ZBAE+ZBAC,即NGA8=ZCAE,在CAE中，'AG=AC?NGAB=ZCAEAB=AEAGA8，CAE(SAS),:.bg=ce9nabg=naec,又?:NAEC+ZAME=90°NAME=NBMN,:.ZABG十N3MN=90。/BNM=90。ABG1CE,??四邊形BCGE為垂美四邊形；9：FG=CF=AC=49NAC5=90。，AB=5,*,BC=yjA52—AC2=3?BF=BC+CF=7,在T/Abfg中，BG=JbF+下G，=J72+4?=相，:?CE=BG=底,??四邊形BCGE為垂美四邊形，二四邊形BCGE的面積=1BGCE=口，2 2故答案為：—【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題目，考查的是垂美四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.8.(1)-3,8,6(2)見解析⑶①9②5+而或5-9【解析】【分析】(1)代入。點(diǎn)坐標(biāo)求出k的值，再根據(jù)線段CD平行于X軸，交匕線y=9于點(diǎn)。，得出。4點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,代入反比例函數(shù)解析式求解即可；(2)先通過點(diǎn)的坐標(biāo)求出OA=CQ,再根據(jù)題意得出。4〃8,即可證明;3（3）①作C7/LOQ與從設(shè)〃的坐標(biāo)為（見:⑼，由勾股定理得?！?+。”2=。2,算出C”的長度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間求出PQ的長度即可求解；②先確定四邊形CFQ是矩形，根據(jù)對(duì)角線相等確定PQ的長度，再根據(jù)P、。的位置分情況計(jì)算即可.???直線y=丘+15（女x0）經(jīng)過點(diǎn)C（3,6）,;.6=3&+15,k=3）?.?線段C￡＞平行于x軸，交宜線y=[x于點(diǎn)。，4點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,,3,6=寸二.x=8,.??點(diǎn)。的坐標(biāo)是（8,6）,故答案為：-3,8,6；由（1）知，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（8,6）,?.?直線y=-3x+15與x軸交于點(diǎn)A,.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5,0）,:點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,6）,.'.CD=8—3=5，，OA=CD=5,乂?.?線段8平行于x軸，OA//CD,，四邊形Q4OC為平行四邊形；①作CHA.OD與H,

???//點(diǎn)在直線"二力上,433C，2=（山-3）3C，2=（山-3）2+（丁-6）2,0/72=（布-8）2+（為一6冷由勾股定理得，CH2+DH2=CD2>即（m-3）2+（36一6）2+（m-8）2+（-m-6）2=52,24解得m=或8（舍去），；.CH=3,.?OD=V82+62=10-；.r=2時(shí)，PQ=OD-t-t=10-2-2=6,.?.SQQ=g.PQ.C”=gx6x3=9,故答案為：9；②由（2）知，四邊形Q4DC是平行四邊形,與AC互相平分，又???點(diǎn)尸、Q的運(yùn)動(dòng)速度相同，?.尸。與AC互相平分,???四邊形C陽。是平行四邊形，當(dāng)CP_LCQ時(shí)，，四邊形C%Q是矩形，-.OD=10,當(dāng)04r45時(shí)，PQ=lO-2t,當(dāng)54r410時(shí)，PQ=2r-10,當(dāng)P、。運(yùn)動(dòng)至四邊形C四。為矩形時(shí)，PQ=AC,AC=J(5-3>+62=2屈.當(dāng)04/45時(shí)，PQ=10-2t=2y/10,解得r=5-J而，當(dāng)54/V10時(shí)，PQ=2t-\0=2>/\0,解得，=5+Ji5,綜上，點(diǎn)?，。運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)cp，cq時(shí)，i的值為5+或5-Ji6,故答案為：5+JiU或5-Jid.【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.9.(l)A(3,0),8(3,4),C(0,4)(2)314(3)(3,1)^(0,y)【解析】【分析】(1)直接根據(jù)矩形的性質(zhì)寫出坐標(biāo)即可；(2)當(dāng)2點(diǎn)在線段AB上時(shí)滿足要求，此時(shí)尸點(diǎn)橫坐標(biāo)與A點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，即可作答；(3)點(diǎn)P可能運(yùn)動(dòng)到AB或BC或OC上，所以進(jìn)行分類討論.(1)V|a-3|+^-4=0,a—3=0,6—4=0,a=3,b—4,根據(jù)平面直角坐標(biāo)系得，A(3,0),8(3,4),:BC〃x軸,；.C點(diǎn)、8點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，C(0,4).⑵?.?A(3,0),5(3,4),二ABJ_x軸，???3C〃x軸，.-.BC±AB,;可得四邊形OA8C是矩形，即四邊形OABC的面積為：/邊彩88c=OCx3=4x3=12,當(dāng)F點(diǎn)在線段AB上時(shí)，即有尸點(diǎn)橫坐標(biāo)與A點(diǎn)橫坐標(biāo)相等為3,Sac”=；x℃xR=gx4x3=6則有%8P=-S四迪形(MBC，此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3,當(dāng)P點(diǎn)在線段OA或者線段BC上時(shí)，Smop=3*℃*P*=21此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)小于A點(diǎn)橫坐標(biāo)，即P<3,:,Smop=2以<6,,,^ACOP*^^KHiniOABC，故此時(shí)尸點(diǎn)不滿足要求；當(dāng)P點(diǎn)在OC上時(shí)，顯然*C8=。，不滿足要求；綜上：P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3；存在，如圖2—0,點(diǎn)可能運(yùn)動(dòng)到A8或8c或OC1上，①當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到AB上時(shí),2/<7,70<Z<—, A=2t—OA=2f—3,2"3=L2解得：f=2,AJA=2x2—3=1,??點(diǎn)4的坐標(biāo)為(3,1)；7②當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到BC上時(shí)，742/410,即54r45,點(diǎn)鳥到x的距離為4,解得：r=8,?,?不符合題意;③當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC上時(shí)，10<2r<14,即5347,AO=OA+A8+8C+OC-2r=14-2r,TOC\o"1-5"\h\z，“C 1，?14—2,=-t,2解得：，=1，“C28- 14??fit?=-2x—+14=—,5 5??點(diǎn)乙的坐標(biāo)為(0,晟),綜上所述，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒后，存在點(diǎn)尸到x軸的距離為卜個(gè)單位長度的情況，點(diǎn)的P坐標(biāo)為:(3,1)或喟).V尸3尸2 BX【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、絕對(duì)值與二次根式的非負(fù)性、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì).(1)①6；②5或-3(2)直線AC的解析式為y=-x+2或y=x【解析】【分析】(1)①求出C(4,-1),根據(jù)“對(duì)角矩形''的定義得到8(1,-1),求出48、BC,再根據(jù)公式計(jì)算面積；②求出AB=1-(-1)=2,BC=|/-1|,利用面積公式得到2”1|=8,求出f即可；(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB^BC,歹I］得力程"1|=2，解得心或匚-1；利用待定系數(shù)法求出解析式.解：①當(dāng)r=4時(shí)，C(4,-1),???四邊形ABC。為“對(duì)角矩形”，A(I,1),：.B(1,-1),：.AB=\+\=2,8c=4-1=3,，“對(duì)角矩十夕'的面積S=2x3=6,故答案為：6②???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為。,一1)..".AB=1-<-1)=2,BC=|r-l|,:點(diǎn)A,C的“對(duì)角矩形''的面積是8,

/.2|r-l|=8,解得/=5或z=-3；故答案為:5或-3：???點(diǎn)4,C的“對(duì)角矩形''是正方形,：.AB=BC,.,?|r-l|=2,解得片3或01；：.C(3,-1)或(-1,-1),設(shè)直線AC的解析式為廣*x+6,將A(1,1),C(3,-1)代入得Z+b=l3k+b=-l???直線AC的解析式為產(chǎn)-x+2；設(shè)直線4c的解析式為產(chǎn)〃3+〃，將A(1,1),C(-L-1)代入得m+幾m+幾=1—m+n=—l解得〃=0直線AC的解析式為廣x；綜上，直線AC的解析式為y=-x+2或y=x.【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解一元一次方程，正確理解矩形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)25/61cm(2)4s(3)3s【解析】【分析】(1)當(dāng)仁2秒時(shí)，表示出QC,AP的長，利用勾股定理求出PQ的長即可.(2)根據(jù)線段AQ與/”互相平分，則四邊形APQD4為矩形，也就是分別用含，的代數(shù)式表示，解出即可.(3)用，表示出四邊形的面積，再求出矩形面積的。進(jìn)而得出即可.O解：連接PQ,過。點(diǎn)P作PE，。。于點(diǎn)E,如圖所示:；AB=24cm,BC=lOcm,點(diǎn)尸從A開始沿A8邊以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)QA從C開始沿CO邊2cm/s的速度移動(dòng)，.?.當(dāng)f=2秒時(shí)，℃=4cm,AP=8cm,D0=24-QC=2Ocm,則EQ=12cm,?*.PQ=yjQE2+PE2=V102+122=2而i(cm),，P，Q兩點(diǎn)之間的距離2而cm.VAP=4/,00=24-27,當(dāng)線段AQ與QP互相平分，則四邊形APQZ)為矩形時(shí)，則4P=。。，即4z=24-2r,解得：t=4,故，為4s時(shí)，線段AQ與。尸互相平分.在AB上，/.S=^(DQ+AP)AD=-(4z+24-2r)xl02=10/+120(0<r<6),S矩"c。=10x24=240,.-.10z+120=-x240,8解得：/=3,.1為3秒時(shí)，四邊形APQ￡＞的面積為矩形面積的。.O【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度得出QC以及4尸的長是解題關(guān)鍵.12.(1)當(dāng)A￡>=2AB時(shí)，四邊形PEM尸是矩形，理由見解析(2)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)時(shí)，矩形尸EMF是正方形，理由見解析【解析】【分析】(1)當(dāng)AD=2AB時(shí)，四邊形尸EM尸是矩形.根據(jù)矩形的性質(zhì)推出NA=N/)=90。，AM=DM=~^AD.得到ZABM=ZAMB=45°,/DCM=NDMC=45。,求出ZfiA/C=180°-45°-45°=90°,即可證得結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊8c的中點(diǎn)時(shí)，矩形PEMF是正方形；證明△BFPgZ\CEP(AAS),得到= 由此得到四邊形PEM尸是正方形.當(dāng)AD=2■時(shí)，四邊形FEM/是矩形.證明：?.,四邊形A8C￡>是矩形，M是邊AD的中點(diǎn)，AZA=Z￡>=90°,AM=DM=-AD.2?.*AD=2AB=2CD9：.AB=AM=DM=CD,：.ZABM=ZAMB=45°,NDCM=NDMC=45。,：.ZBMC=180°-45°-45°=90°,又,；PE工MC,PFIBM,：.ZMEP=ZMFP=90。,，四邊形尸是矩形，即當(dāng)4)=2AB時(shí)，四邊形PEM尸是矩形.當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到邊8C的中點(diǎn)時(shí)，矩形尸是正方形，此時(shí)8P=CP.證明：???四邊形PEMF為矩形，NPFM=/PFB=NPEC=90。.ZFBP=NECP=45°在△8FP和aCEP中，<NPFB=NPEC,BP=CPAfiFP^ACEP(AAS),PF=PE.又1?四邊形FE例尸是矩形，...矩形FEMF是正方形，即當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形PEMF是正方形.【點(diǎn)撥】此題考查了證明四邊形是矩形，證明四邊形是正方形，掌握矩形及正方形的判定定理及正確的論證方法是解題的關(guān)鍵.(1)A4FC是等腰三角形~15⑵萬【解析】【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ND4c=N4CB,再由圖形折疊的性質(zhì)可得到N4CB=NACE,繼而可得出ND4C=N4CE,這即可判斷出后重疊部分三角形的形狀：(2)設(shè)AF長為x,則CP=x,FD=9-.x,在宜角三角形CO尸中，利用勾股定理可求出X,繼而利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算求解.解：AAFC是等腰三角形.理由如下：?.?四邊形ABCO是矩形，：.AD//BC,：.ZDAC=ZACB,由圖形折疊的性質(zhì)可知；ZACB=ZACE,:.ZDAC=ZACE....△AFC是等腰三角形；設(shè)AF=CF=x,則F￡>=9-x,在R3CDF中，(9-x)2+32=/,解得：戶5,：.AF=5,：.S^AFC=^AFxCD^^x5x3=—.2 2 2故重疊部分面積為5.【點(diǎn)撥】此題考查了圖形的折疊變換，能夠根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理求出4尸的長是解答此題的關(guān)鍵.(1)見解析；(2)FG=4瓜【解析】【分析】(1)由四邊形ABCO是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，易證得AEFG是等腰三角形，即可得EF=BG,又由EF〃BG,即可得四邊形BGEF為平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得四邊形8GEF為菱形；(2)過點(diǎn)尸作尸K,8G于K,可得四邊形48K尸是矩形，然后根據(jù)勾股定理，即可求得4尸的長，繼而求得FG的長.證明：?.?四邊形ABCD是矩形，：.AD//BC,：.ZEFG=NBGF,?.?圖形翻折后點(diǎn)8與點(diǎn)E五合，GF為折線，:.NBGF=NEGF,:.NEFG=NEGF,：.EF=GE,圖形翻折后BG與GE完全重合，：.BG=GE,：.EF=BG,四邊形8GM為平行四邊形，，四邊形8GE尸為菱形；解：過點(diǎn)F作尸KLBG于K,則/FKB=90。,'：NA=NABK=NFKB=9G0,，四邊形A8KF是矩形，...尸K=A8=8,BK=AF,在取AA8尸中，AB=8,NA=90°,BF=BG=1Q,'-AF=JbF?-AB?=6?：.BK=AF=6,：.GK=BG-8K=10-6=4,FG=yjFK2+KG2=>/82+42=4石.【點(diǎn)撥】此題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(1)AE=—(2)AE=2【解析】【分析】(1)根據(jù)勾股定理和折疊的性質(zhì)，求出AF=2,設(shè)A￡=x,則BE=4-x=FE,然后利用勾股定理，即可求出答案；(2)由折疊的性質(zhì)，得到。C=OE,又點(diǎn)￡>,F,E在同一條直線上，NEFC=NB,然后證明ACDF義ZSEA,即可求出答案.解：如圖1,矩形紙片ABC。中，：AB=4,BC=3,故由勾股定理可得AC=5.由折疊知：FC=BC=3,NEFC=N8=90。，BE=FE.：.AF=AC-FC^5-3=2.設(shè)AE=x,則BE=4—x=FE.在心△APE中，22+(4-x)2=x2,解得：x=g.AE=~.2：如圖2,矩形紙片ABC。中，D CDC//AB.:?/DCE=/BEC,由折疊知：/BEC=NFEC,:?/DCE=/FEC,：.DC=DE.又丁點(diǎn)O,F,E在同一條宜線上，NEFC=NB,；?NDFC=900,:.4DFC=ND4E=90。，而CF=CB=DA,：.^CDF^^DEA,：.AE=DF=2.【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折總的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確地運(yùn)用折疊的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.(1)證明見解析⑵16【解析】【分析】(1)運(yùn)用平行線性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，證得NOCA=ND4C,從而得到CO=A￡>,通過等量代換可得，CD=AB,由A8〃CQ,得四邊形ABCO是平行四邊形，結(jié)合AQ=AB,得到平行四邊形A8CD是菱形.(2)通過翻折性質(zhì)及已知條件，設(shè)D0E=￡)E=x則CD0=2x,BC=DC=4x,在RtABCE中,中,分別運(yùn)用勾股定理，建立關(guān)于x的方程，解方程，從而求出菱形的周長.(1)證明：'：AB//CD,：.ZCAB=ZDCA,為ND48的平分線，：.ZCAB=ZDAC,：.ZDCA=ZDAC,：.CD^AD,又,.?AC=AB：.CD^AB."：AB//CD,CD=AB,四邊形ABCD是平行四邊形，又,..4。=48,，平行四邊形ABC。是菱形；解：：四邊形AOEB沿著BE翻折得到四邊形AD￡B,且以恰好為0c的中點(diǎn),.,.BEA.CD,設(shè)ME=DE=x,則CW=2r,BC=DC=4x,在R38CE中，BC=4x,CE=3x,則BE="x,在心△8D0E中，BE2+E?2=b",Ax2+(y/ix)2=(2y/2)2,解得X=l,:.DC=4x=4,；?菱形A8C￡＞周長為16.【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理求直角三角形的邊長，運(yùn)用翻折性質(zhì)，大膽設(shè)未知數(shù)建立方程是解題的關(guān)鍵.17.⑴述2噌【解析】【分析】(I)由勾股定理求出8尸，CF的長，EF=DE=x,則CE=4-x,得出2?+(4-x)2=x2,解方程即可得解：(2)設(shè)EC=3x,則FC=4x,得出EF=￡)E=5x,AF=AD=y,則8F=y-4x,在RfAABF中，得出(8X)2+(y-4x)2=死則產(chǎn)10x,得出(10x)2+(5x)2=(石)2,解出x的值，求出和48的長，則答案可求出.(1)解：..?四邊形A8CO是矩形，ZABC=90°,AB=CD=4,AD=BC=5,由折置可知，AD=AF=5,DE=EF,???BF=ylAF2-AB2=V52-42=3，；?FC=BC?BF=5?3=2,設(shè)EF=DE=Xf則C￡=4-x,???C產(chǎn)+C￡：2=E產(chǎn)，/.22+(4-x)2=x2,解得：X=|,DE=)2：.AE=yjAD：.AE=yjAD2+DE2解：,:EC：FC=3：4,.,.設(shè)EC=3x,PllJFC=4x,:-EF=VCF2+CE2=5x,/?DE=5x,：.AB=CD=Sxf設(shè)AF=AD=yf則BF=y-4xf在RfAABF中,AB2+BF2=AF29/.(8x)2+(y-4x)2=y,解得產(chǎn)IOx,在放AAOE中，Aiy^DE^AE2,：.(10%)2+(5x)2=(石)2,解得4g或x=-g(舍去)，QAD=1Oa-2,AB=Sx=—,Q 46...矩形A8CO的周長為(2+1)x2=y.【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵.18.(1)折痕所在直線是線段4N的垂宜平分線，aABN是等邊三角形,過程見解析(2)15°(3)見解析【解析】【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得4V=BMAE=BE,NNEA=90。，垂直平分AN,NBAM=NBNM=90°,可證△ABN是等邊三角形；(2)由折疊的性質(zhì)可得/A8G=N”BG=45。，可求解：(3)由折卷的性質(zhì)可得AO=AO,AA'1.ST,由“AAS”可證△ASO絲△ATO,可得SO=TO,由菱形的判定可證四邊形SA7次是菱形.解：如圖①，,/對(duì)折矩形紙片ABCO,使AD與BC重合，.?.E尸垂直平分AB,：.AN=BN,AE=BE,NNEA=90°,???再?次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，垂直平分AN,NBAM=/BNM=90°,：.AB=BN,:.AB=AN=BN,...△ABN是等邊三角形， f圖①解：???折疊紙片，使點(diǎn)A落在8c邊上的點(diǎn)〃處，,ZABG=ZHBG=45°,:.NGBN=NABN-NA8G=15。，證明：?.?折疊矩形紙片A8C3,使點(diǎn)A落在8c邊上的點(diǎn)4處,.'ST垂宜平分4V,：.AO^A'O,AA'_LS7,'JAD//BC,：.ZSAO=ZTA'O,ZASO=ZA'TO,：.AASO^AA'TO(AAS)：.SO=TO,四邊形ASA7是平行四邊形，又'."'_LS7',四邊形SA以'是菱形.【點(diǎn)撥】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.19.(1)證明見解析；(2)當(dāng)48=AC時(shí)，四邊形ADE尸是菱形，當(dāng)NBAC=150。時(shí)，四邊形AOEF是矩形.理由見解析：(3)不總是存在，理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=AF,AB=BD,BC=BE,ZEBC=ZABD=60°,求出N￡>8E=NA8C,根據(jù)SAS推出△38ETZXA8C,根據(jù)全等得出￡>E=AC,求出。E=A尸，同理AQ=EF,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；⑵當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形4QEF是菱形，根據(jù)菱形的判定推出即可；當(dāng)N8AC=150。時(shí)，四邊形AOE尸是矩形，求出ND4F=90。，根據(jù)矩形的判定推出即可；(3)這樣的平行四邊形AOEF不總是存在，當(dāng)N8AC=60。時(shí)，此時(shí)四邊形AOE尸就不存在.證明：VAAfiD,△BCE和aACF是等邊三角形，：.AC=