第二章一元函數(shù)微分學(xué)-1導(dǎo)數(shù)概念

第二章一元函數(shù)微 導(dǎo)數(shù)的概三.導(dǎo)數(shù)的幾何意四.函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的 導(dǎo)數(shù)的概一、實(shí)變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)其中st0為物體在時(shí)刻t0離開(kāi)起點(diǎn)的位移(即距離),求在任一時(shí)刻t0物體的瞬時(shí)速度.設(shè)在時(shí)刻t0的位移為st0,任取從時(shí)刻到t0t這樣一個(gè)時(shí)間間隔t,物體的移位為st0

st0tssst0tst0s st0tst0vt 速度t越小，用平均速度t0的瞬時(shí)速度就越準(zhǔn)確.因此,我們規(guī)定,當(dāng)t0時(shí),平均速度的極限（如果存在的話(huà)),稱(chēng)為物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，記為vt0, v

t

s t

st0tst0 切線(xiàn)問(wèn)y割線(xiàn)的極限位置——M 切線(xiàn)問(wèn)題割線(xiàn)的極限位置—— 旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置直線(xiàn)MT就稱(chēng)為曲線(xiàn)CM處的切線(xiàn)

yf(N yyf(x)NMTOx0x設(shè)M(xyyf(x)NMTOx0x割線(xiàn)MN的斜率為tanf(x0x)f(x0)N曲,x 切線(xiàn)MT的斜率為ktanlimlimf(x0x)f(x0) 二、導(dǎo)數(shù)的定定義設(shè)函yfx)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域Nx0內(nèi)有定義 當(dāng)自變量x在x0處取得增量x時(shí),相地函y取得增量yfxxfx),如果 當(dāng)x0時(shí)的極限存在,則稱(chēng)函yfx)x0處可導(dǎo),并稱(chēng)這個(gè)極限值為函yfx)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),fx0yx

xx0

df(x)

xx0 f(x) f(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)

x

x f(x) f(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)

x

x fx在點(diǎn)x0fx0fx0均存在且相等f(wàn)b均存在,fx在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo).記為fxDa,b.三、由定義求求增量yfx0xfx0算比

yf(x0x)f(x0) 求極限

x

limy x0fx的導(dǎo)函fxlimfxxfx) 例1求yfxx2的導(dǎo)fx)f解f1limylimf1xfx0

(1x)212xx2lim2xfxlimfxxfx

xx2x22xxx2 2xx2x.f1fxx12xx1例2求函fxC(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解fx)limfxxf limCC 即即(C)記住例 設(shè)函數(shù)f(x)sinx,求(sinx)及(sin 解(sin

sin(xx)sin x sinx2即(sinx)cos2即(sinx)cos記住

2cos(sin

x4

cos

22x 224cosxcosxsin例 解xn

(xx)nlim[nxn1n(n1)xn2xxn1]nxn1 2!記住xn)nxn記住更一般地(x)x1. ( 1 x例如 x

x 2x22x(x1)(1)x111例 求函數(shù)f(x)ax(a0,a1)的導(dǎo)數(shù) axx

axx0,ax0,ax1～xlnxx

1ax

xln axln

ax)axln記住(ex) e記住例 求函數(shù)ylogax(a0,a1)的導(dǎo)數(shù)解ylimlogaxxloga lim1log(1xx0 lim1x (logax)(logax)xlna (lnx)1x

ln

記住xln記住 例 討論函數(shù)f(x)f(0x)f

x在x0處的可導(dǎo)性y解 x

ylimf(0x)f(0)limx x0limf(0x)f(0)

x 即f(0) 函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)不可導(dǎo)四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意yyyyf(TMoxfx0表示yfx)在點(diǎn)Mx0fx0處的切線(xiàn)的斜率,即fx0tan,(為傾角切線(xiàn)方程為yy0fx0xx0yy01f(x(xx00例8求雙曲y1在點(diǎn)

,2)處的切線(xiàn)的1 解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線(xiàn)斜率為1k

x2

x

x2

x

x2

所求切線(xiàn)方程y24x1),4xy42

y21x1),2x8y15 物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng):路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體 v(t)limsdst0 交流電路:電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流i(t)limqdqt0 非均勻的物體:質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積導(dǎo)數(shù)為物體的線(xiàn)五、可導(dǎo)與連續(xù)的定理（可導(dǎo)的必要條件設(shè)函數(shù)fx在點(diǎn)x0可導(dǎo) 則yfx在點(diǎn)x0必連續(xù)證設(shè)函fx)在點(diǎn)x0可導(dǎo)limyf(x

yf(x)x0

(x

yf(x0)xlimylim[f(x0)xx]x x函數(shù)fx)在點(diǎn)x0連續(xù)

x例9討論函fx)xsinx

xx0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性解sin1是有界函數(shù) limxsin1 f(0)limf(x)

fx)在x0處連續(xù)1x0

y

(0

0x0

sin當(dāng)x0時(shí) y在1和1之間振蕩而極限不存在fx)在x0處不可導(dǎo)例10討論函fx)ex在點(diǎn)x0的可導(dǎo)性 ex ,xfxex1,xef0xf

,xex

f0

f0xf0

ex

limx

x0f0

例 研究函數(shù)fx3x2在x0點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性 解limfx fx在x0連續(xù)

y xf0limfxf xx x33

0

①fx在點(diǎn)x0處不連續(xù)②③fx在點(diǎn)x0處左、右導(dǎo)數(shù)存在但不相等 fx0fx0x例12確定函fxx

,x

表達(dá)axb,x常數(shù)a、的值,使函數(shù)在x4處可導(dǎo)解函數(shù)在x4處可導(dǎo)必連續(xù) 從而limfxlimfxf x即limfx4ablimfxx

4ab

f4

fx

f4

axb

b

x

x f4

fx

4

xx