第六章控制系統(tǒng)計算機(jī)輔助設(shè)計課件

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控制系統(tǒng)計算機(jī)輔助設(shè)計

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控制系統(tǒng)計算機(jī)輔助設(shè)計采用MATLAB，不僅可以解決控制系統(tǒng)的分析問題，還能解決控制系統(tǒng)的設(shè)計問題，并使設(shè)計過程大大簡化，大大提高設(shè)計效率。本章將詳細(xì)介紹如何利用MATLAB提供的功能函數(shù)進(jìn)行控制系統(tǒng)的設(shè)計。從內(nèi)容安排上，本章將分別介紹工程上幾種常見的控制系統(tǒng)設(shè)計方法及其基本原理、設(shè)計步驟和相應(yīng)的MATLAB功能函數(shù)，然后分別以實例介紹控制系統(tǒng)的具體設(shè)計過程，并對設(shè)計結(jié)果進(jìn)行校驗和MATLAB仿真。采用MATLAB，不僅可以解決控制系統(tǒng)的分析問題，還能解決控概述本章介紹控制系統(tǒng)中的計算機(jī)輔助設(shè)計，即在給定受控對象數(shù)學(xué)模型和系統(tǒng)性能指標(biāo)的條件下，采用MATLAB函數(shù)工具，設(shè)計一個能夠達(dá)到給定性能指標(biāo)的控制器(又稱為校正器或者調(diào)節(jié)器)，也就是確定控制器的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。這里，受控對象數(shù)學(xué)模型主要是指傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式；系統(tǒng)性能指標(biāo)主要包括頻域指標(biāo)(含增益裕量、相位裕量、剪切頻率等)、時域指標(biāo)(含穩(wěn)態(tài)誤差、靜態(tài)誤差系數(shù)K、超調(diào)量、峰值時間、調(diào)節(jié)時間等)、最優(yōu)控制中的線性二次型指標(biāo)等。本章要設(shè)計的控制器主要包括常用的超前/滯后校正器(包括超前校正器、滯后校正器、滯后-超前校正器)、比例積分微分(PID)控制器(包括P、PI、PD、PID四種控制器)和線性二次型狀態(tài)反饋最優(yōu)控制器。設(shè)計超前/滯后校正器主要采用Bode圖設(shè)計法，設(shè)計PID控制器主要采用Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式，最優(yōu)控制器設(shè)計主要是求解代數(shù)黎卡提(Riccati)方程。設(shè)計工具就是MATLAB提供的有關(guān)控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的功能函數(shù)。概述本章介紹控制系統(tǒng)中的計算機(jī)輔助設(shè)計，即在給定受概述單位負(fù)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖6.1所示。圖中控制器Gc(s)就是要設(shè)計的控制器，可以是超前/滯后校正器或者是PID控制器。概述單位負(fù)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖6.1所示超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計主要就是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)、剪切頻率及其相位裕量、-180°相位穿越頻率及其增益裕量來進(jìn)行設(shè)計。對于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為，設(shè)在處，若系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值=1，在Bode圖中即，則稱為系統(tǒng)的剪切頻率或者叫0dB線穿越頻率。Bode圖如圖6.2所示，相位裕量定義為(6.1)式中，表示系統(tǒng)開環(huán)頻率特性在處的相位角。設(shè)在處，若系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的相位角=－180°，則角頻率稱為-180°相位穿越頻率。Bode圖如圖6.2所示，增益裕量幅值定義為(6.2)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計超前/滯后校正器的Bode超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

增益裕量幅值用分貝(dB)表示為(6.3)在系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性中，通常用相位裕量和增益裕量來描述系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。根據(jù)自動控制理論，若相位裕量(＞0)越大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越好，如圖6.2(a)所示；若，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若＜0，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,如圖6.2(b)所示。系統(tǒng)相位裕量表示使系統(tǒng)達(dá)到臨界狀態(tài)所需要的附加相移。若增益裕量(＞0)越大或者越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越好，如圖6.2(a)所示；若增益裕量=0或者=1，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若增益裕量＜0或者＜1，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，如圖6.2(b)所示。圖6.2Bode圖超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計增益裕量幅值用分貝超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

一.超前校正器的Bode圖設(shè)計1.超前校正器的基本特性超前校正器的等效RC電路如圖6.3所示，該電路的傳遞函數(shù)可為(6.4)式中阻抗容易看出，總是小于1。那么，超前校正器的一般公式為

(6.5)超前校正器的幅頻特性和相頻特性分別為(6.6)(6.7)圖6.3超前校正器的等效RC電路超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計一.超前校正器的Bode超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

因總是小于1，則相位角總是大于0，所以又把該校正器稱為相位超前校正器。幅值取常用對數(shù)再乘以20，得到對數(shù)幅頻特性(單位用分貝dB表示)為(6.8)為了直觀表達(dá)超前校正器的幅頻特性和相頻特性，現(xiàn)在假設(shè)式6.5中T=0.2，因，分別取0.2、0.5、0.8三個值時，執(zhí)行以下MATLAB程序繪制超前校正器的Bode圖，圖6.4超前校正器的Bode圖(T=0.2)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計因總是小于1，則超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

如圖6.4所示。MATLAB程序如下：s=tf('s');%定義拉普拉斯變換，若按第4句Gc=alfa*(T*s+1)/(alfa*T*s+1)輸入模型，須先寫該句T=0.2;foralfa=0.2:0.3:0.8Gc=alfa*(T*s+1)/(alfa*T*s+1);%超前校正器的傳遞函數(shù)bode(Gc),holdon%bode()函數(shù)畫Bode圖，holdon命令是指在同一坐標(biāo)圖中畫線endgtext('alfa=0.2');%程序運行后，在圖上出現(xiàn)十字鼠標(biāo)，在十字鼠標(biāo)處單擊可打印’alfa=0.2’gtext('alfa=0.5');gtext('alfa=0.8');gtext('alfa=0.2');gtext('alfa=0.5');gtext('alfa=0.8');由圖6.4可知，超前校正器的基本特性是，其相頻曲線具有正相移(超前相位角)。超前校正器主要是利用它的相位超前特性，但需要附加增益，以抵消低頻段增益下降。超前校正器是一個高通濾波器，抗高頻干擾的性能較差，所以，一般不能取得太小，＞0.1。采用超前校正設(shè)計可使校正后系統(tǒng)相位裕量增加，從而提高了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，同時也增加了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，為了減少誤差，需使用大增益的超前校正器，故工程上常采用由集成運算放大器構(gòu)成的有源超前校正器。超前校正器也會使校正后系統(tǒng)的剪切頻率比校正前大，這樣會使階躍響應(yīng)過程加快，增加了系統(tǒng)帶寬。所以要求穩(wěn)定性好、超調(diào)量小和動態(tài)響應(yīng)過程快的系統(tǒng)經(jīng)常采用這個方法。

超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計如圖6.4所示。MATLA超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

2.超前校正器的Bode圖設(shè)計步驟在給出受控對象傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)(穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)、相位裕量或者剪切頻率)的要求下，超前校正器的Bode圖設(shè)計步驟如下：(1)根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開環(huán)增益K。(2)根據(jù)求得的開環(huán)增益K，畫出系統(tǒng)校正前的Bode圖，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率。檢驗這些性能指標(biāo)是否符合要求。若不符合，則進(jìn)行下一步。(3)計算需要增加的最大相位超前量，即+(5°～10°)(6.9)式中，P0是校正后期望的相位裕量，Pm是校正前的相位裕量，另外，式中還增加5°～10°，意思是考慮了系統(tǒng)在校正前后剪切頻率的移動所帶來的原系統(tǒng)相位的滯后量，一般在5°～10°。(4)再由最大相位超前量求超前校正器中，即

(6.10)式中，。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計2.超前校正器的Bode超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(5)確定系統(tǒng)超前校正后的剪切頻率。在Bode圖中，剪切頻率就是對應(yīng)產(chǎn)生期望相位裕量P0的頻率。因為在處的增加量為20lg=10lg，所以應(yīng)該選在未校正系統(tǒng)的處，當(dāng)被補(bǔ)償后，則=10lg。也就是，在未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的對數(shù)幅值為10lg處所對應(yīng)的頻率就是系統(tǒng)超前校正后的剪切頻率。求剪切頻率可采用MATLAB中的插值函數(shù)yi=spline(x,y,xi)來計算，spline函數(shù)的基本用法是：在yi=spline(x,y,xi)中，y是x的函數(shù)，即y=f(x)，x和y是一一對應(yīng)關(guān)系，均是有多個元素的向量，即x=[x1，x2，…，xn]，y=[y1，y2，…，yn]；現(xiàn)已知xi在閉區(qū)間[x1，xn]中，則可采用yi=spline(x,y,xi)函數(shù)求取xi對應(yīng)的yi。在超前校正設(shè)計中，現(xiàn)已知未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性，采用MATLAB函數(shù)[mag,phase,w]=bode(G)可得到對數(shù)幅頻特性曲線上每個頻率w值對應(yīng)的對數(shù)幅值mag和相位角phase。再用函數(shù)wc=spline(mag,w,am)可計算出am=10lg所對應(yīng)的頻率wc，即系統(tǒng)超前校正后的剪切頻率。spline函數(shù)的用法詳見MATLAB的幫助信息。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(5)確定系統(tǒng)超前校正后超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(6)求超前校正器傳遞函數(shù)中的T，即

(6.11)(7)在系統(tǒng)中串聯(lián)一個增益為的放大器，可補(bǔ)償超前校正器引入帶來的增益損失，則超前校正器的傳遞函數(shù)可寫為

(6.12)(8)根據(jù)校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制Bode圖，驗證系統(tǒng)性能指標(biāo)。校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為，其中是超前校正器傳遞函數(shù)，是校正前系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。(9)繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(6)求超前校正器傳遞函超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

3．超前校正器的設(shè)計舉例【例6.1】在圖6.1中，已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為

(6.13)試設(shè)計系統(tǒng)的超前校正器，使之滿足：(1)在斜坡信號r(t)=v0t作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess≤0.001v0；(2)校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm范圍為：43°～50°。解：(1)由穩(wěn)態(tài)誤差要求，求系統(tǒng)開環(huán)增益K。根據(jù)自動控制理論和題目要求，該系統(tǒng)在斜坡信號r(t)=v0t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差≤0.001v0(6.14)所以，系統(tǒng)開環(huán)增益K≥1000，取K=1000。則被控對象的傳遞函數(shù)為(6.15)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計3．超前校正器的設(shè)計舉例超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(2)繪制系統(tǒng)校正前的Bode圖和單位階躍響應(yīng)曲線，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm。繪制系統(tǒng)校正前Bode圖的MATLAB程序如下：>>s=tf('s');G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));margin(G)注：margin()函數(shù)用于繪制Bode圖，計算并顯示出增益裕量Gm及其穿越頻率，相位裕量Pm及其剪切頻率。上述程序運行后，得到系統(tǒng)校正前的Bode圖如圖6.5所示。該被控對象構(gòu)成單位負(fù)反饋系統(tǒng)后，繪制該系統(tǒng)在校正前的單位階躍響應(yīng)曲線的MATLAB程序如下：>>s=tf('s');G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));sys=feedback(G,1);%feedback(G,1)函數(shù)是用G構(gòu)成單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)sysstep(sys)%step(sys)函數(shù)是畫出閉環(huán)系統(tǒng)sys的單位階躍響應(yīng)曲線超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(2)繪制系統(tǒng)校正前的B超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

上述程序運行后，得到系統(tǒng)校正前的單位階躍響應(yīng)曲線如圖6.6所示。由圖6.5可知，該系統(tǒng)校正前的增益裕量Gm為-6.01dB、相位裕量Pm為-1.28°，顯然系統(tǒng)的增益裕量Gm和相位裕量Pm均為負(fù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定，從圖6.6也驗證了這一點，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是發(fā)散的。需要對系統(tǒng)進(jìn)行超前校正。圖6.5系統(tǒng)校正前的Bode圖圖6.6系統(tǒng)校正前的單位階躍響應(yīng)曲線超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計上述程序運行后，得到系統(tǒng)校超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(3)求超前校正器的傳遞函數(shù)。校正后系統(tǒng)的相位裕度Pm范圍為：43°～50°，取Pm=45°，按超前校正器設(shè)計步驟，編寫的MATLAB程序如下：>>s=tf('s');G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));[mag,phase,w]=bode(G);[Gm,Pm]=margin(G);QWPm=45;FIm=QWPm-Pm+5;FIm=FIm*pi/180;alfa=(1-sin(FIm))/(1+sin(FIm));adb=20*log10(mag);am=10*log10(alfa);wc=spline(adb,w,am);%該句用法，前已說明T=1/(wc*sqrt(alfa));alfat=alfa*T;Gc=tf([T1],[alfat1])上述程序部分語句注釋：[mag,phase,w]=bode(G);該句只計算Bode圖上多個頻率點w對應(yīng)的幅值mag和相位phase，三個變量w,mag,phase均為有多個元素的矢量。該句不繪Bode圖。[Gm,Pm]=margin(G);該句只計算Bode圖的增益裕量Gm和相位裕量Pm，不繪Bode圖。Gc=tf([T1],[alfat1])；該句是以[T1]為分子，[alfat1]為分母構(gòu)成傳遞函數(shù)Gc上述程序運行后，得到超前校正器的傳遞函數(shù)(6.16)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(3)求超前校正器的傳遞超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(4)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，根據(jù)該開環(huán)傳遞函數(shù)繪制Bode圖，其MATLAB程序如下：>>s=tf('s');G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));Gc=(0.07555*s+1)/(0.009329*s+1);margin(Gc*G)上述程序部分語句注釋：margin(*G)；該句中*G表示和G串聯(lián)構(gòu)成開環(huán)傳遞函數(shù)，margin(*G)函數(shù)繪制Bode圖。上述程序運行后，校正后系統(tǒng)的Bode圖如圖6.7所示。由圖6.7可知，校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm為47.7°，滿足本題目相位裕量Pm范圍為43°～50°的設(shè)計要求。校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖6.8所示，系統(tǒng)經(jīng)過超前校正后，是穩(wěn)定的，其MATLAB程序如下：>>s=tf('s');G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));Gc=(0.07555*s+1)/(0.009329*s+1);step(feedback(Gc*G,1))超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(4)校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

圖6.7校正后系統(tǒng)的Bode圖圖6.8校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計圖6.7校正后系統(tǒng)的B超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

二.滯后校正器的Bode圖設(shè)計1.滯后校正器的基本特性滯后校正器的等效RC網(wǎng)絡(luò)圖如圖6.9所示，滯后校正器的傳遞函數(shù)為

(6.17)式中，阻抗；；容易看出，總是大于1。相位滯后校正器的幅頻特性和相頻特性分別為(6.18)(6.19)因大于1，則總是小于0，所以又把該校正器稱為相位滯后校正器。對幅值取常用對數(shù)再乘以20，得到對數(shù)幅頻特性(單位用分貝dB表示)為(6.20)可見，因大于1，則小于0。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計二.滯后校正器的Bode超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

為了直觀表達(dá)滯后校正器的幅頻特性和相頻特性，現(xiàn)在假設(shè)式(6.17)中T=1，因，分別等于1.5、2.0、2.5三個值時，執(zhí)行以下MATLAB程序，繪制相位滯后校正器的Bode圖，如圖6.10所示。MATLAB程序如下：>>s=tf('s');T=1;forbeta=1.5:0.5:2.5Gc=(T*s+1)/(beta*T*s+1);bode(Gc),holdonend滯后校正器的基本特性是，其相頻曲線具有負(fù)相移(滯后相位角)。滯后校正器是一個低通濾波器，其越大，高頻衰減越厲害。應(yīng)用滯后校正主要是利用其高頻衰減特性。采用滯后校正器將使校正后系統(tǒng)的剪切頻率比校正前小，系統(tǒng)的快速性能變差，但穩(wěn)定性能得以提高，這意味著滯后校正是以犧牲系統(tǒng)的快速性來換取系統(tǒng)穩(wěn)定性的。如果滯后校正器采用RC無源網(wǎng)絡(luò)，雖無增益損失，但有負(fù)載效應(yīng)之弊，故工程上常采用由集成運算放大器構(gòu)成的有源滯后校正器。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計為了直觀表達(dá)滯后校正器的幅超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

圖6.10滯后校正器的Bode圖(T=1)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計圖6.10滯后校正器的超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

2.滯后校正器的Bode圖設(shè)計步驟在給出受控對象傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)(穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)、相位裕量或者剪切頻率)的要求下，滯后校正器的Bode圖設(shè)計步驟如下：(1)根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開環(huán)增益K。(2)根據(jù)求得的開環(huán)增益K，畫出系統(tǒng)校正前的Bode圖，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率。檢驗這些性能指標(biāo)是否符合要求。若不符合，則進(jìn)行下一步。(3)根據(jù)題目對滯后校正后系統(tǒng)的期望相位裕量P0，確定一個新的剪切頻率。其方法是：先由期望相位裕量P0(單位：角度)計算校正前系統(tǒng)在處的相位角，即＝－180°＋P0＋(5°～12°)(6.21)式中，(5°～12°)為相位滯后網(wǎng)絡(luò)在處引起的相位滯后量。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計2.滯后校正器的Bode超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

再根據(jù)校正前系統(tǒng)的相位角計算出對應(yīng)的頻率，就是要求的期望剪切頻率的值。其MATLAB程序是：fic=-180+P0+5;%P0為期望相位裕量P0[mu,pu,w]=bode(G0);%G0為受控對象傳遞函數(shù)wc2=spline(pu,w,fic);%計算期望剪切頻率的值(即wc2)MATLAB的spline()函數(shù)的使用方法前已述及。如果已經(jīng)確定了一個新的剪切頻率，可以不進(jìn)行第(3)步的計算，而直接進(jìn)入第(4)步。確定新的剪切頻率的一般方法可形象理解為：在原系統(tǒng)的Bode圖上，將原剪切頻率向左移，移到使相位裕量達(dá)到期望的相位裕量P0，這時的剪切頻率便是新的剪切頻率。根據(jù)該剪切頻率，可設(shè)計合適的滯后校正器，使校正后的系統(tǒng)達(dá)到期望的相位裕量，從而使系統(tǒng)控制性能更好。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計再根據(jù)校正前系統(tǒng)的相位角超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(4)由新的剪切頻率求滯后校正器中，因為經(jīng)串聯(lián)滯后校正后的系統(tǒng)在剪切頻率處的對數(shù)幅值等于0，即(6.22)(6.23)所以(6.24)式中，為校正后系統(tǒng)在剪切頻率處的對數(shù)幅值，即

(6.25)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(4)由新的剪切頻率超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(5)確定滯后校正器中T。根據(jù)自動控制理論，距離剪切頻率越遠(yuǎn)，滯后校正器的滯后特性對系統(tǒng)影響越小，所以，選得越小越好；但如果太小，滯后校正器對剪切頻率的相位滯后量的影響又不大。所以，一般選擇為～(6.26)至此，滯后校正器設(shè)計完畢。(6)繪制系統(tǒng)經(jīng)過滯后校正后的Bode圖，并驗證系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)是否滿足設(shè)計要求。(7)繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(5)確定滯后校正器超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

3．滯后校正器的設(shè)計舉例【例6.2】在圖6.1中，已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為(6.27)試設(shè)計系統(tǒng)的滯后校正器，使之滿足：(1)在斜坡信號r(t)=v0t作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess≤0.02v0；(2)校正后系統(tǒng)的相位裕度Pm范圍為：43°～50°；(3)校正后系統(tǒng)的剪切頻率≥3.6rad/s。解：(1)由穩(wěn)態(tài)誤差要求，求系統(tǒng)開環(huán)增益K。根據(jù)自動控制理論和題目要求，該系統(tǒng)在斜坡信號r(t)=v0t作用下的穩(wěn)態(tài)誤差≤0.02v0(6.28)所以，系統(tǒng)開環(huán)增益求K≥50，取K=50。則被控對象的傳遞函數(shù)為(6.29)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計3．滯后校正器的設(shè)計舉例超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(2)繪制系統(tǒng)校正前的Bode圖和閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率。繪制系統(tǒng)校正前Bode圖的MATLAB程序如下：s=tf('s');G=50/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));figure(1)%該句是開出第1個圖形窗口，準(zhǔn)備繪制Bode圖margin(G)figure(2)%該句是開出第2個圖形窗口，準(zhǔn)備繪制單位階躍響應(yīng)曲線step(feedback(G,1))上述程序運行后，得到校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm=6.44dB，相位裕量Pm=9.3528°，剪切頻率=15.3rad/s。顯然校正前系統(tǒng)的相位裕量Pm＜43°，不滿足設(shè)計要求。開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖如圖6.11所示。校正前閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖6.12所示，系統(tǒng)在動態(tài)響應(yīng)中不穩(wěn)定，處于振蕩狀態(tài)。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(2)繪制系統(tǒng)校正前的B超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

圖6.11系統(tǒng)校正前的Bode圖圖6.12系統(tǒng)校正前的單位階躍響應(yīng)曲線超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計圖6.11系統(tǒng)校正前的超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(3)求滯后校正器的傳遞函數(shù)。校正后系統(tǒng)的相位裕度Pm范圍為：43°～50°，取Pm=46°，按滯后校正器設(shè)計步驟，編寫的MATLAB程序如下：s=tf('s');K=50;G0=K/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));P0=46;fic=-180+P0+5;[mu,pu,w]=bode(G0);wc2=spline(pu,w,fic);d1=conv(conv([10],[0.21]),[0.011]);na=polyval(K,j*wc2);da=polyval(d1,j*wc2);G=na/da;g1=abs(G);%abs()函數(shù)是取絕對值，這里表示求復(fù)數(shù)G的模(或頻率特性的幅值)。L=20*log10(g1);alfa=10^(L/20);T=1/(0.1*wc2);alfat=alfa*T;Gc=tf([T1],[alfat1])figure(1)margin(Gc*G0)figure(2)step(feedback(Gc*G0,1))超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(3)求滯后校正器的傳遞超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

上述程序部分語句注釋：d1=conv(conv([10],[0.21]),[0.011]);該語句中conv([10],[0.21])是把(s+0)與(0.2*s+1)相乘得到s*(0.2*s+1)，d1=conv(conv([10],[0.21]),[0.011])是把s*(0.2*s+1)與(0.01*s+1)相乘得到s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1)，即多項式d1=0.02s^3+0.3s^2+s+0。da=polyval(d1,j*wc2);該句是用j*wc2代替多項式d1=0.02s^3+0.3s^2+s+0中的s，計算出復(fù)數(shù)，該句計算后da=1.5870+2.0567j。na=polyval(K,j*wc2);也一樣，該句na=50。上述程序運行后，得到滯后校正器的傳遞函數(shù)為(6.30)上述程序運行后，得到校正后系統(tǒng)的Bode圖如圖6.13所示。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計上述程序部分語句注釋：超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

由圖6.13可知，滯后校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm=45.7°，比選擇的相位裕量Pm=46°少了0.3°，但是已滿足本題目設(shè)計要求。滯后校正后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖6.14所示，表明系統(tǒng)經(jīng)過滯后校正后是穩(wěn)定的。圖6.13系統(tǒng)校正前的Bode圖圖6.14系統(tǒng)校正前的單位階躍響應(yīng)曲線超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計由圖6.13可知，滯后校正超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

三.滯后-超前校正器的Bode圖設(shè)計1.滯后-超前校正器的作用滯后-超前校正器是既有滯后校正的作用又有超前校正作用的校正器，它不僅能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，還可以減少超調(diào)量、加快系統(tǒng)響應(yīng)速度。其傳遞函數(shù)為(6.31)式中，為滯后校正器傳遞函數(shù)，＞1；為超前校正器傳遞函數(shù)，0＜＜1。2.滯后-超前校正器的Bode圖設(shè)計步驟在給出受控對象傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)(穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)、相位裕量或者剪切頻率)的條件下，滯后-超前校正器的Bode圖設(shè)計步驟如下：(1)根據(jù)系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差的要求，求出系統(tǒng)開環(huán)增益K。(2)根據(jù)求得的開環(huán)增益K，畫出系統(tǒng)校正前的Bode圖和階躍響應(yīng)曲線，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率。檢驗這些性能指標(biāo)是否符合要求。若不符合，則進(jìn)行下一步。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計三.滯后-超前校正器的B超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(3)滯后校正器傳遞函數(shù)參數(shù)的確定。滯后校正器傳遞函數(shù)為(6.32)式中，＞1，應(yīng)該遠(yuǎn)小于校正前系統(tǒng)的剪切頻率。工程上一般選擇=0.1(6.33)并且=8～10(6.34)(4)選擇校正后系統(tǒng)的期望剪切頻率。要考慮兩點，一是在該期望剪切頻率處，使得原系統(tǒng)串聯(lián)滯后校正器后的綜合幅頻值衰減到0dB；二是在該期望剪切頻率處，超前校正器提供的相位超前量達(dá)到系統(tǒng)期望相位裕量的要求。(5)超前校正器傳遞函數(shù)參數(shù)的確定。超前校正器傳遞函數(shù)為，＜1(6.35)若原系統(tǒng)串聯(lián)滯后校正器后的幅頻分貝值為，那么，在原系統(tǒng)串聯(lián)滯后校正器后再串聯(lián)超前校正器后，在經(jīng)過滯后-超前校正后的期望剪切頻率處，應(yīng)該滿足下式：(6.36)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(3)滯后校正器傳遞函數(shù)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

即(6.37)那么(6.38)同時，因為(6.39)則，T2由下式確定(6.40)(6)繪制系統(tǒng)經(jīng)過滯后-超前校正后的Bode圖，并驗證系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)是否滿足設(shè)計要求。(7)繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計即超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

3．滯后-超前校正器的設(shè)計舉例【例6.3】在圖6.1中，已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為(6.41)試設(shè)計系統(tǒng)的滯后-超前校正器，使之滿足。(1)在單位斜坡信號r(t)=t作用下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)Kv=10s-1；(2)校正后系統(tǒng)的相位裕量Pm范圍為：50°～60°；(3)校正后系統(tǒng)的剪切頻率≥1rad/s。解：(1)由穩(wěn)態(tài)誤差要求，求系統(tǒng)開環(huán)增益K。根據(jù)自動控制理論和題目要求，由速度誤差系數(shù)定義并有(6.42)所以，原系統(tǒng)開環(huán)增益K=10。則被控對象的傳遞函數(shù)為(6.43)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計3．滯后-超前校正器的設(shè)計超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(2)繪制系統(tǒng)校正前的Bode圖和閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，并計算校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm、相位裕量Pm、剪切頻率。繪制系統(tǒng)校正前Bode圖的MATLAB程序如下：s=tf('s');G0=10/(s*(0.8*s+1)*(0.6*s+1));figure(1)margin(G0)figure(2)step(feedback(G0,1))上述程序運行后，得到系統(tǒng)校正前的Bode圖和閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線分別如圖6.15和圖6.16所示。校正前系統(tǒng)的增益裕量Gm=-10.7dB、相位裕量Pm=-29.6°、剪切頻率=2.49rad/s。愿系統(tǒng)的增益裕量Gm和相位裕量Pm均為負(fù)值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，階躍響應(yīng)曲線也是發(fā)散的。超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(2)繪制系統(tǒng)校正前的B超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

(3)求滯后-超前校正器的傳遞函數(shù)。按滯后-超前校正器的Bode圖設(shè)計方法和步驟，先計算滯后校正器的參數(shù)，然后計算超前校正器的參數(shù)，最后繪制原系統(tǒng)與滯后-超前校正器串聯(lián)后的開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖，以及構(gòu)成單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。其MATLAB程序如下：超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計(3)求滯后-超前校正器超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

wc2=3;%wc2為可調(diào)參數(shù)s=tf('s');G0=10/(s*(0.8*s+1)*(0.6*s+1));[Gm,Pm,wc1]=margin(G0);alfa1=9;T1=1/(0.1*wc1);alfat1=alfa1*T1;Gc1=tf([T11],[alfat11])%計算并顯示滯后校正器傳遞函數(shù)sope=G0*Gc1;%計算原系統(tǒng)與滯后校正器串聯(lián)后的傳遞函數(shù)num=sope.num{1};den=sope.den{1};na=polyval(num,j*wc2);da=polyval(den,j*wc2);G=na/da;g1=abs(G);L=20*log10(g1);alfa=10^(L/20);T=1/(wc2*(alfa)^(1/2));alfat=alfa*T;Gc2=tf([T1],[alfat1])%計算并顯示超前校正器傳遞函數(shù)G=G0*Gc1*Gc2;%Gc1*Gc2即為滯后-超前校正器的傳遞函數(shù)sys=feedback(G,1);figure(1)margin(G)figure(2)step(sys)超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計wc2=3;%wc2為超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

在運行上述程序中，采用湊試法，調(diào)節(jié)wc2的值，直到滿足系統(tǒng)要求的性能指標(biāo)為止。在本例中，當(dāng)wc2=3時，繪制經(jīng)滯后-超前校正后的Bode圖和單位階躍響應(yīng)曲線分別如圖圖6.17和圖6.18所示。從圖6.17和圖6.18上可看出，校正后系統(tǒng)的增益裕量Gm=19.3dB、相位裕量Pm=55.3°、剪切頻率=1.19rad/s，均滿足題目設(shè)計要求，系統(tǒng)在20s后趨于穩(wěn)定。這時，滯后校正器的傳遞函數(shù)為(6.44)超前校正器的傳遞函數(shù)為(6.45)那么，滯后-超前校正器的傳遞函數(shù)為(6.46)請讀者驗證：在例6.3中，如果只進(jìn)行滯后校正或者超前校正，能否達(dá)到性能指標(biāo)要求？超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計在運行上述程序中，采用湊試超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計

超前/滯后校正器的Bode圖設(shè)計PID控制器設(shè)計

PID(比例、積分、微分)控制器是基于經(jīng)典控制理論的一種控制策略，其算法簡單實用，PID控制并不要求受控對象的精確數(shù)學(xué)模型，這使得PID控制在工業(yè)生產(chǎn)過程控制中，應(yīng)用十分廣泛。一.PID控制器的傳遞函數(shù)1.連續(xù)PID控制器的傳遞函數(shù)如圖6.1所示，連續(xù)PID控制器的一般表達(dá)式為(6.47)式中，比例系數(shù)Kp、積分系數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd分別是對系統(tǒng)誤差信號e(t)及其積分與微分的加權(quán)系數(shù)。PID控制器設(shè)計PID(比例、積分、微分)控制器是基于經(jīng)典PID控制器設(shè)計

PID控制器通過對誤差信號e(t)的加權(quán)計算，得到控制信號u(t)，驅(qū)動受控對象，使得誤差e(t)按減少的方向變化，從而達(dá)到控制要求。對式(6.47)作拉普拉斯變換，整理后，得到連續(xù)PID控制器的傳遞函數(shù)(6.48)式中，Kp是比例系數(shù)，Ti=是積分時間常數(shù)，Td=是微分時間常數(shù)。當(dāng)Ti→∞，Td=0時，，這叫比例(P)控制器；當(dāng)Td=0時，，這叫比例積分(PI)控制器；當(dāng)Ti→∞時，，這叫比例微分(PD)控制器；當(dāng)Ti≠∞，Td≠0時，，這叫比例積分微分(PID)控制器。顯然，Kp、Ti、Td三個參數(shù)一旦確定，PID控制器的性能也就確定下來。PID控制器設(shè)計PID控制器通過對誤差信號e(t)的加權(quán)計PID控制器設(shè)計

為避免純微分運算，常常用一階超前環(huán)節(jié)去近似純微分環(huán)節(jié)，PID控制器的傳遞函數(shù)為(6.49)式中，N→∞時，則為純微分運算。實際中，N不必過大，一般N=10，就可以逼近實際的微分效果。2.離散PID控制器如果采樣周期T很短，在第k個采樣周期的誤差e(t)的導(dǎo)數(shù)可近似表示為(6.50)在k個采樣周期內(nèi)對誤差e(t)的積分可近似表示為(6.51)所以，離散PID控制器的表達(dá)式為(6.52)離散PID控制器可簡寫為(6.53)PID控制器設(shè)計為避免純微分運算，常常用一階超前環(huán)節(jié)去近似PID控制器設(shè)計

由式(6.53)可知，PID控制器的輸出控制信號與誤差的累加有關(guān)，會給控制帶來不利影響。由式(6.53)可推導(dǎo)出第(k-1)個采樣周期的控制信號u(k-1)，其表達(dá)式為(6.54)用式(6.53)減式(6.54)，并整理后，可得到離散增量式PID控制器的表達(dá)式 (6.55)由(6.55)可知，PID控制器輸出的控制信號由計算，即控制器的第

k次輸出等于控制器的上一次輸出加上增量即可。增量只與最近三個誤差變量、、有關(guān)，有利于計算和提高控制性能。在計算機(jī)控制中經(jīng)常采用離散增量式PID控制。離散PID控制器的脈沖傳遞函數(shù)為(6.56)式中，Kp、Ki和Kd分別是比例系數(shù)、積分系數(shù)、微分系數(shù)。PID控制器設(shè)計由式(6.53)可知，PID控制器的輸出控PID控制器設(shè)計

二.PID參數(shù)對控制性能的影響前已述及，PID控制器的Kp、Ti、Td三個參數(shù)的大小決定了PID控制器的比例、積分、微分控制作用的強(qiáng)弱。下面舉例分別分析Kp、Ti、Td三個參數(shù)中一個參數(shù)發(fā)生變化而另兩個參數(shù)保持不變時，對系統(tǒng)控制性能的影響。

【例6.4】某電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)如圖6.19所示，采用PID控制器。試?yán)L制系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線，分析Kp、Ti、Td三個參數(shù)對控制性能的影響。PID控制器設(shè)計二.PID參數(shù)對控制性能的影響PID控制器設(shè)計

1.比例系數(shù)Kp對控制性能的影響采用比例控制，即當(dāng)比例系數(shù)Kp分別取1、2、3、4、5，且Ti→∞，Td=0時，根據(jù)圖6.19繪制該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，其MATLAB程序如下：s=tf('s');G1=59/(s+59);G2=13.33/s;G12=feedback(G1*G2,1);G3=23647/(s+599);G4=5.2;G=G12*G3*G4;forKp=1:1:5Gc=feedback(Kp*G,0.0118);step(Gc),holdonendaxis([0,0.2,0,130]);%該語句劃定橫坐標(biāo)范圍為[0,0.2]，縱坐標(biāo)范圍為[0,130]gtext('Kp=1');gtext('Kp=2');gtext('Kp=3');gtext('Kp=4');gtext('Kp=5');PID控制器設(shè)計1.比例系數(shù)Kp對控制性能的影響PID控制器設(shè)計

上述程序運行后，在只有比例(P)控制作用下，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6.20所示。由圖6.20可知，隨著比例系數(shù)Kp的增加，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的幅值增大，超調(diào)量加大，系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，同時會減少穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除穩(wěn)態(tài)誤差。經(jīng)仿真調(diào)試，若Kp≥19時，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線變?yōu)榘l(fā)散型，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。也就是，比例系數(shù)Kp的無限增加，會使系統(tǒng)不穩(wěn)定。PID控制器設(shè)計上述程序運行后，在只有比例(P)控制作用下PID控制器設(shè)計

2．積分時間常數(shù)Ti對控制性能的影響采用PI控制，即當(dāng)固定比例系數(shù)Kp=1，積分時間常數(shù)Ti分別取0.03、0.05、0.07時，根據(jù)圖6.19繪制該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，其MATLAB程序如下：s=tf('s');G1=59/(s+59);G2=13.33/s;G12=feedback(G1*G2,1);G3=23647/(s+599);G4=5.2;G=G12*G3*G4;Kp=1;forTi=0.03:0.02:0.07PIGc=tf(Kp*[Ti1],[Ti0]);Gc=feedback(PIGc*G,0.0118);step(Gc),holdonendaxis([0,0.3,0,140]);gtext('Ti=0.03');gtext('Ti=0.05');gtext('Ti=0.07');PID控制器設(shè)計2．積分時間常數(shù)Ti對控制性能的影響PID控制器設(shè)計

上述程序運行后，在只改變積分時間常數(shù)Ti的作用下，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6.21所示。由圖6.21可知，隨著積分時間常數(shù)Ti的增加，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量降低，系統(tǒng)響應(yīng)速度稍有變慢。積分環(huán)節(jié)的主要作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。PID控制器設(shè)計上述程序運行后，在只改變積分時間常數(shù)Ti的PID控制器設(shè)計

3.微分時間常數(shù)Td對控制性能的影響采用PID控制，即當(dāng)固定比例系數(shù)Kp=0.01，Ti=0.005，微分時間常數(shù)Td分別取10、60、110時，根據(jù)圖6.19繪制該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，其MATLAB程序如下：s=tf('s');G1=59/(s+59);G2=13.33/s;G12=feedback(G1*G2,1);G3=23647/(s+599);G4=5.2;G=G12*G3*G4;Kp=0.01;Ti=0.005;forTd=10:50:110PIDGc=tf(Kp*[Ti*TdTi1],[Ti0]);Gc=feedback(PIDGc*G,0.0118);step(Gc),holdonendaxis([0,15,0,110]);gtext('Td=10');gtext('Td=60');gtext('Td=110');PID控制器設(shè)計3.微分時間常數(shù)Td對控制性能的影響s=PID控制器設(shè)計

上述程序運行后，在只改變Td的作用下，PID控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6.22所示。由圖6.22可知，隨著微分時間常數(shù)Td的增加，閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的響應(yīng)速度加快。微分環(huán)節(jié)的主要作用是提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。由于該環(huán)節(jié)對誤差的導(dǎo)數(shù)(即誤差變化率發(fā)生作用)，它能在誤差較大的變化趨勢時施加合適的控制，因此微分環(huán)節(jié)對于信號無變化或變化緩慢的系統(tǒng)不起作用。PID控制器設(shè)計上述程序運行后，在只改變Td的作用下，PIPID控制器設(shè)計

三.PID控制器的設(shè)計PID控制器的設(shè)計實際上就是PID控制器的比例系數(shù)Kp、積分時間常數(shù)Ti、微分時間常數(shù)Td三個參數(shù)的確定，本節(jié)著重介紹如何采用Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式整定PID參數(shù)，也就是PID控制器的設(shè)計。1.Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式Ziegler(齊格勒)和Nichols(尼柯爾斯)在1942年提出了PID參數(shù)的經(jīng)驗整定公式。這個公式是針對受控對象模型為帶延遲的一階慣性傳遞函數(shù)提出的，即(6.57)式中，K為比例系數(shù)，T為慣性時間常數(shù)，為純延遲時間常數(shù)。在實際過程控制系統(tǒng)中，大多數(shù)受控對象模型可以近似轉(zhuǎn)換成式(6.57)這樣的帶延遲的一階慣性傳遞函數(shù)。其近似轉(zhuǎn)換方法有多種，其中比較好的方法就是，在獲取受控對象階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)后，用最小二乘擬合方法擬合出系統(tǒng)的模型參數(shù)K、T、，詳見文獻(xiàn)[4]。PID控制器設(shè)計三.PID控制器的設(shè)計PID控制器設(shè)計

Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式見表6.1。由表可知，設(shè)計PID控制器的方法有兩種。第一種方法是，如果已知受控對象傳遞函數(shù)為類型，即已知由階躍響應(yīng)整定的參數(shù)(包括比例系數(shù)K、慣性時間常數(shù)T、純延遲時間)，通過查表，可計算出PID控制器的三個參數(shù)Kp、Ti、Td。這種方法適合式(6.57)這種傳遞函數(shù)類型和可近似轉(zhuǎn)換成式(6.57)的受控對象。PID控制器設(shè)計Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式PID控制器設(shè)計

需要說明是，Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式適合于中比值范圍為：0.1≤≤1。如果比值過大，則表明系統(tǒng)的時間延遲很大，在控制中稱為大時間延遲系統(tǒng)，對這樣的系統(tǒng)可適當(dāng)予以補(bǔ)償，Smith補(bǔ)償器就是一種比較有效的方法，在文獻(xiàn)[4]中有詳細(xì)闡述。第二種方法是，如果已知受控對象頻域響應(yīng)參數(shù)(增益裕量Kc、剪切頻率，則)，那么通過表6.1中Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式，即可計算出PID控制器的三個參數(shù)Kp、Ti、Td。這種方法簡單實用，因為一旦提供了受控對象的傳遞函數(shù)G(包括非式(6.57)這種類型)，就可用MATLAB提供的函數(shù)[Gm,Pm,Wc]=margin(G)直接求出增益裕量Kc和剪切頻率Wc，再根據(jù)Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式中的頻域響應(yīng)法整定參數(shù)Kp、Ti、Td即可。PID控制器設(shè)計需要說明是，Ziegler-NicholsPID控制器設(shè)計

2.PID控制器的設(shè)計舉例【例6.5】如圖6.1，已知受控對象為一個帶延遲的慣性環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為

(6.58)試用Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式，分別計算P、PI、PID控制器的參數(shù)，并進(jìn)行階躍響應(yīng)仿真。解：由該系統(tǒng)傳遞函數(shù)可知，K=2，T=30，=10?？刹捎肸iegler-Nichols經(jīng)驗整定公式中階躍響應(yīng)整定法。PID控制器采用式(6.49)表示的模型，計算P、PI、PID控制器參數(shù)和繪制階躍響應(yīng)曲線的MATLAB程序如下：PID控制器設(shè)計2.PID控制器的設(shè)計舉例PID控制器設(shè)計

K=2;T=30;tau=10;s=tf('s');Gz=K/(T*s+1);[np,dp]=pade(tau,2);Gy=tf(np,dp);G=Gz*Gy;PKp=T/(K*tau)%階躍響應(yīng)整定法計算并顯示P控制器step(feedback(PKp*G,1)),holdonPIKp=0.9*T/(K*tau);%階躍響應(yīng)整定法計算并顯示PI控制器PITI=3*tau;PIGc=PIKp*(1+1/(PITI*s))step(feedback(PIGc*G,1)),holdonPIDKp=1.2*T/(K*tau);%階躍響應(yīng)整定法計算并顯示PID控制器PIDTI=2*tau;PIDTd=0.5*tau;PIDGc=PIDKp*(1+1/(PIDTI*s)+PIDTd*s/((PIDTd/10)*s+1))step(feedback(PIDGc*G,1)),holdon[PIDKp,PIDTI,PIDTd]%顯示PID控制器的三個參數(shù)Kp、Ti、Tdgtext('P');gtext('PI');gtext('PID');PID控制器設(shè)計K=2;T=30;tau=10;上述程序部分語句注釋：[np,dp]=pade(tau,2);該語句是把延遲環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)換為二階傳遞函數(shù)，并把其分子和分母分別放到np和dp中。上述程序運行后，得到的P、PI、PID控制器分別是PKp、PIGc、PIDGc，即PKp=1.5，，(6.59)式中，PID控制器的參數(shù)為：Kp=1.8，Ti=20，Td=5.0，則PID控制器的直觀表達(dá)式為(6.60)在P、PI、PID控制器作用下，分別對應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線如圖6.23所示。由圖6.23可知，用Ziegler-Nichols整定公式設(shè)計的P、PI、PID控制器，在它們的階躍響應(yīng)曲線中，P和PI兩者的響應(yīng)速度基本相同，因為兩種控制器求出的Kp不同，兩種控制的終值不同，PI比P的調(diào)節(jié)時間短一些，PID控制器的調(diào)節(jié)時間最短，但超調(diào)量最大。PID控制器設(shè)計

上述程序部分語句注釋：PID控制器設(shè)計PID控制器設(shè)計

PID控制器設(shè)計【例6.6】在圖6.1中，已知受控對象為一個四階的傳遞函數(shù)

(6.61)試用Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式，分別計算P、PI、PID控制器的參數(shù)，并進(jìn)行階躍響應(yīng)仿真。解：該受控對象傳遞函數(shù)不是帶延遲的一階慣性環(huán)節(jié)，根據(jù)表6-1的Ziegler-Nichols經(jīng)驗整定公式，可采用頻域響應(yīng)來整定P、PI、PID控制器的參數(shù)，利用MATLAB提供的margin()函數(shù)計算受控對象的頻域響應(yīng)參數(shù)(增益裕量Kc、剪切頻率，)，然后由表6.1計算P、PI、PID控制器的相應(yīng)參數(shù)，并分別繪制受控對象串聯(lián)P、PI、PID控制器后的階躍響應(yīng)曲線，PID控制器采用式(6.49)表示的模型，其MATLAB程序如下：PID控制器設(shè)計

【例6.6】在圖6.1中，已知受控對象為一個四階的傳遞函數(shù)PID控制器設(shè)計

s=tf('s');G=1/((0.1*s+1)^4);[Kc,Pm,Wc]=margin(G);%計算頻域響應(yīng)參數(shù)，增益裕量Kc和剪切頻率WcTc=2*pi/Wc;PKp=0.5*Kc%頻率響應(yīng)整定法計算并顯示P控制器step(feedback(PKp*G,1)),holdonPIKp=0.4*Kc;%頻率響應(yīng)整定法計算并顯示PI控制器PITI=0.8*Tc;PIGc=PIKp*(1+1/(PITI*s))step(feedback(PIGc*G,1)),holdonPIDKp=0.6*Kc;%頻率響應(yīng)整定法計算并顯示PID控制器PIDTI=0.5*Tc;PIDTd=0.12*Tc;PIDGc=PIDKp*(1+1/(PIDTI*s)+PIDTd*s/((PIDTd/10)*s+1))step(feedback(PIDGc*G,1)),holdon[PIDKp,PIDTI,PIDTd]gtext('P');gtext('PI');gtext('PID');PID控制器設(shè)計s=tf('s');PID控制器設(shè)計

上述程序運行后，得到的P、PI、PID控制器分別是PKp、PIGc、PIDGc，即PKp=2.0，，(6.62)式中，PID控制器的參數(shù)為：Kp=2.4，T