信息光學(xué)(第二版)08-二維線性系統(tǒng)分析4-線性不變系統(tǒng)、抽課件

二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)間隔為3的脈沖陣列,基頻為1/3在有限空間區(qū)域不為零,|x|<25三角波,底寬為2輸入:0-25-3325............xg(x)1二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)間隔為3二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)輸入頻譜:輸入:間隔為1/3的脈沖陣列包絡(luò),半寬為1

窄帶譜,半寬1/50f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-2二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)輸入頻譜二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)傳遞函數(shù)H(f)1f01-12-2二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)傳遞函數(shù)二維線性不變系統(tǒng)G’(f)=G(f).H(f)f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20二維線性不變系統(tǒng)G’(f)=G(f).H(f)f0-1二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)輸出頻譜:G’(f)f0-1/31/32/3-2/350/31-12-2G’(f)=G(f).H(f)二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)輸出頻輸出:輸出頻譜:輸出:輸出頻譜:第一章二維線性系統(tǒng)分析

Analysisof2-DimensionalLinearSystem

§1.4抽樣定理SamplingTheorem問題的提出:對于一個連續(xù)的信號(模擬信號),是否必須連續(xù)地發(fā)送,才能傳遞信號所包含的全部信息?答:為了完全描述一個頻帶受限制的信號(帶限信號),可以對它在離散點(diǎn)(時間或空間點(diǎn))進(jìn)行抽樣.抽樣定理若函數(shù)g(x,y)不包括高于Bx

和By的頻率分量,則此函數(shù)可以由一系列間隔(X,Y)等于或小于1/(2Bx)和1/(2By)處的函數(shù)值完全決定.

X,Y:時/空域,間隔;Bx,By:頻域,帶寬第一章二維線性系統(tǒng)分析

Analysisof2-Dim§1.4抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣上式表明,抽樣后的函數(shù)gs(x,y)由間距分別為X和Y的d函數(shù)陣列構(gòu)成,每個d函數(shù)下的體積正比于該點(diǎn)的函數(shù)值.將連續(xù)函數(shù)g(x,y)在間隔為X和Y的分立的空間點(diǎn)上抽樣,就是與梳函數(shù)相乘的過程.抽樣后的函數(shù)系列用gs(x,y)表達(dá):g(x)0x=x0xcomb(x/X).0gs(x)#§1.4抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣上式表明,抽樣后的函數(shù)g§1.4抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣：二維情形§1.4抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣：二維情形§1.4抽樣定理抽樣函數(shù)gs(x,y)的頻譜經(jīng)過抽樣后函數(shù)的頻譜,是原連續(xù)函數(shù)的頻譜以間隔1/X,1/Y重復(fù)平移并疊加.§1.4抽樣定理抽樣函數(shù)gs(x,y)的頻譜經(jīng)過抽樣后函§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

抽樣后函數(shù)gs(x,y)的頻譜如果G

(fx,fy)頻帶無限制,則這些頻譜函數(shù)必然會疊加Gs(fx,fy)即使G

(fx,fy)是頻帶有限的函數(shù),若X,Y取值不合適,這些重復(fù)的頻譜函數(shù)之間也會互相重疊.fxGs(fx)01/X1/X只有使這些頻譜函數(shù)互不重疊,才有可能用濾波的方法,從中提取出原函數(shù)的頻譜,進(jìn)而求出原函數(shù).fxGs(fx)0§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

抽樣后函數(shù)gs(x,y)§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條件fxG(fx)-BxBx0Gs(fx,fy)(2)原函數(shù)抽樣時,在x方向和y方向抽樣點(diǎn)的間隔X和Y不得大于1/(2Bx)和1/(2By),(1)g(x,y)是限帶函數(shù),其頻譜G

(fx,fy)僅在頻率平面上一個有限區(qū)域上不為零.2Bx,2By:帶寬:包圍的最小矩形在fx和fy方向上的寬度.則Gs中各個區(qū)域(間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會重疊fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用濾波的方法,提取出原函數(shù)的頻譜G,進(jìn)而求出原函數(shù).§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條件fxGs(fx)-BxBx01/X則Gs中各個區(qū)域(間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會重疊,有可能用濾波的方法,提取出原函數(shù)的頻譜G,進(jìn)而求出原函數(shù).稱為奈奎斯特(Niquest)間隔只要以小于或等于奈奎斯特間隔對g(x,y)抽樣,則gs(x,y)的頻譜就是G

(fx,fy)的周期性復(fù)現(xiàn),包含了g(x,y)的全部信息.§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波為了從gs(x,y)中還原出g(x,y),將gs(x,y)通過一個理想低通濾波器,只允許所有頻率|fx|<Bx,|fy|<By

的頻率分量無畸變地通過,而將此區(qū)域以外的頻率分量完全阻塞.fxGs(fx)-BxBx01/X此理想低通濾波器的頻率特性為頻域中的門函數(shù)§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波為了§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波用頻域中寬度2Bx和2By的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù):

濾波過程

:根據(jù)卷積定理，在空間域得到:

§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波用頻域中寬§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波若取最大允許的抽樣間隔，即X=1/(2Bx)，Y=1/(2By)

，則用函數(shù)的抽樣值計算出原函數(shù)：原函數(shù)在分立點(diǎn)上的抽樣值插值函數(shù)插值:由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計算非抽樣點(diǎn)函數(shù)值空域中等效于：§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波若取最大允§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示g(x)0xcomb(x/X)x.0=x0gs(x)*Xcomb(Xfx)01/Xfx-1/X......fxG(fx)-BxBx0=fxGs(fx)0Bx-Bx3Bx-3Bx1/X-1/XX<1/(2Bx)F.T.F.T.F.T.抽樣fxrect(fx/2Bx)-BxBx0.fxG(fx)-BxBx0=?F.T.F.T.還原§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示g(x)0xcomb(x§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示x0gs(x)2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bxx0gs(x)-XX2X-2X*=Sinc函數(shù)稱為內(nèi)插函數(shù)頻域濾波相當(dāng)于空域的插值運(yùn)算連續(xù)函數(shù)具有的信息內(nèi)容等效于一系列的信息抽樣.重新恢復(fù)連續(xù)函數(shù)所必需的離散值的最小數(shù)目由抽樣定理決定.§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示x0gs(x)2Bxsi§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示抽樣空域g(x,y)頻域G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)還原低通濾波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y)=gs(x,y)*

h(x,y)G(fx,fy)=Gs(fx,fy)·H(fx,fy)抽樣定理表明:

在一定條件下可以由插值準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)。 一個連續(xù)的限帶函數(shù)可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟失任何信息。

§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示抽樣空域g(x,y)頻§1.4抽樣定理

抽樣定理的適用性在數(shù)學(xué)上,限帶函數(shù)在空域上一定是無限擴(kuò)展的函數(shù)函數(shù)不可能在空域和頻域都被限制在某一范圍內(nèi).只要信號存在于有限的時空范圍,就會有所有的頻率分量.嚴(yán)格的限帶函數(shù)在物理上是不存在的.但是,實(shí)際信號的大部分能量被一定范圍的頻率分量所攜帶.高頻分量攜帶的能量甚少.由于忽略高頻分量,所引入的誤差可以忽略,故可近似看作限帶函數(shù).因而抽樣理論在信息的傳輸和處理中有重要的意義.§1.4抽樣定理

抽樣定理的適用性但是,實(shí)際信號的大部分能§1.4抽樣定理3、空間帶寬積若限帶函數(shù)g(x,y)在頻域中|fx|<Bx,|fy|<By

以外恒等于零,即函數(shù)的帶寬為Bx和By,則函數(shù)在空域中|x|<X

和|y|<Y的范圍內(nèi)最少的抽樣點(diǎn)數(shù)為:空域中的面積頻域中的面積在該區(qū)域中函數(shù)可以用16XYBxBy個值近似表示.定義:空間帶寬積SW(SBP)=16XYBxBy§1.4抽樣定理3、空間帶寬積若限帶函數(shù)g(x§1.4抽樣定理3、空間帶寬積空間帶寬積的物理意義空間信號(圖像、場分布)的信息容量成像系統(tǒng)、信息存儲、處理系統(tǒng)，存儲和處理信息的能力空間物體的自由度數(shù)或自由參數(shù)數(shù)N

若g(x,y)為實(shí)函數(shù)，每個抽樣值為一個實(shí)數(shù)，N=SW

若g(x,y)為復(fù)函數(shù)，每個抽樣值為一個復(fù)數(shù)，N=2SW

不變性，不隨空間位移或頻移變化

(空間尺度變化引起頻譜尺寸相反變化.)§1.4抽樣定理3、空間帶寬積空間帶寬積的物理意§1.4抽樣定理3、空間帶寬積

空間信號(圖像、場分布)的信息容量成像系統(tǒng)、信息存儲、處理系統(tǒng)，存儲和處理信息的能力例液晶顯示屏尺寸為250×250(mm2),每個像元的尺寸為0.25×0.25(mm2),計算:1.像元總數(shù)2.最高空間頻率3.空間帶寬積§1.4抽樣定理3、空間帶寬積空間信號(圖像、作業(yè)P22：1.5作業(yè)P22：1.5第一章復(fù)習(xí)

一、基本概念頻譜,振幅譜,位相譜線性系統(tǒng),脈沖響應(yīng)，線性空不變系統(tǒng)，傳遞函數(shù)濾波（高通濾波,低通濾波）抽樣定理,奈奎斯特間隔第一章復(fù)習(xí)

一、基本概念頻譜,振幅譜,位相譜第一章復(fù)習(xí)

二、基本技能簡單和復(fù)合孔徑的數(shù)學(xué)描述：矩孔、圓孔、單縫、多縫、線光柵、位相板等；脈沖函數(shù)的運(yùn)算，卷積和相關(guān)的運(yùn)算，圖解表示；常用基本函數(shù)的傅里葉變換和逆變換，利用傅里葉變換的性質(zhì)和定理求較復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換，圖解表示。第一章復(fù)習(xí)

二、基本技能簡單和復(fù)合孔徑的數(shù)學(xué)描述：矩孔、圓孔第一章復(fù)習(xí)

三、綜合能力利用傅里葉變換及其定理求解一些特殊函數(shù)的積分；會用解析法和圖解法處理線性空不變系統(tǒng)的輸入輸出問題（空域、頻域）.第一章復(fù)習(xí)

三、綜合能力利用傅里葉變換及其定理求解一些特殊函二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)間隔為3的脈沖陣列,基頻為1/3在有限空間區(qū)域不為零,|x|<25三角波,底寬為2輸入:0-25-3325............xg(x)1二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)間隔為3二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)輸入頻譜:輸入:間隔為1/3的脈沖陣列包絡(luò),半寬為1

窄帶譜,半寬1/50f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-2二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)輸入頻譜二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)傳遞函數(shù)H(f)1f01-12-2二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)傳遞函數(shù)二維線性不變系統(tǒng)G’(f)=G(f).H(f)f0-1/31/3G(f)2/3-2/350/31-12-20二維線性不變系統(tǒng)G’(f)=G(f).H(f)f0-1二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)輸出頻譜:G’(f)f0-1/31/32/3-2/350/31-12-2G’(f)=G(f).H(f)二維線性不變系統(tǒng)例:P221.4(2)輸出頻輸出:輸出頻譜:輸出:輸出頻譜:第一章二維線性系統(tǒng)分析

Analysisof2-DimensionalLinearSystem

§1.4抽樣定理SamplingTheorem問題的提出:對于一個連續(xù)的信號(模擬信號),是否必須連續(xù)地發(fā)送,才能傳遞信號所包含的全部信息?答:為了完全描述一個頻帶受限制的信號(帶限信號),可以對它在離散點(diǎn)(時間或空間點(diǎn))進(jìn)行抽樣.抽樣定理若函數(shù)g(x,y)不包括高于Bx

和By的頻率分量,則此函數(shù)可以由一系列間隔(X,Y)等于或小于1/(2Bx)和1/(2By)處的函數(shù)值完全決定.

X,Y:時/空域,間隔;Bx,By:頻域,帶寬第一章二維線性系統(tǒng)分析

Analysisof2-Dim§1.4抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣上式表明,抽樣后的函數(shù)gs(x,y)由間距分別為X和Y的d函數(shù)陣列構(gòu)成,每個d函數(shù)下的體積正比于該點(diǎn)的函數(shù)值.將連續(xù)函數(shù)g(x,y)在間隔為X和Y的分立的空間點(diǎn)上抽樣,就是與梳函數(shù)相乘的過程.抽樣后的函數(shù)系列用gs(x,y)表達(dá):g(x)0x=x0xcomb(x/X).0gs(x)#§1.4抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣上式表明,抽樣后的函數(shù)g§1.4抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣：二維情形§1.4抽樣定理

1、函數(shù)的抽樣：二維情形§1.4抽樣定理抽樣函數(shù)gs(x,y)的頻譜經(jīng)過抽樣后函數(shù)的頻譜,是原連續(xù)函數(shù)的頻譜以間隔1/X,1/Y重復(fù)平移并疊加.§1.4抽樣定理抽樣函數(shù)gs(x,y)的頻譜經(jīng)過抽樣后函§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

抽樣后函數(shù)gs(x,y)的頻譜如果G

(fx,fy)頻帶無限制,則這些頻譜函數(shù)必然會疊加Gs(fx,fy)即使G

(fx,fy)是頻帶有限的函數(shù),若X,Y取值不合適,這些重復(fù)的頻譜函數(shù)之間也會互相重疊.fxGs(fx)01/X1/X只有使這些頻譜函數(shù)互不重疊,才有可能用濾波的方法,從中提取出原函數(shù)的頻譜,進(jìn)而求出原函數(shù).fxGs(fx)0§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

抽樣后函數(shù)gs(x,y)§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條件fxG(fx)-BxBx0Gs(fx,fy)(2)原函數(shù)抽樣時,在x方向和y方向抽樣點(diǎn)的間隔X和Y不得大于1/(2Bx)和1/(2By),(1)g(x,y)是限帶函數(shù),其頻譜G

(fx,fy)僅在頻率平面上一個有限區(qū)域上不為零.2Bx,2By:帶寬:包圍的最小矩形在fx和fy方向上的寬度.則Gs中各個區(qū)域(間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會重疊fxGs(fx)-BxBx01/X有可能用濾波的方法,提取出原函數(shù)的頻譜G,進(jìn)而求出原函數(shù).§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條件fxGs(fx)-BxBx01/X則Gs中各個區(qū)域(間隔為1/X,1/Y)的頻譜就不會重疊,有可能用濾波的方法,提取出原函數(shù)的頻譜G,進(jìn)而求出原函數(shù).稱為奈奎斯特(Niquest)間隔只要以小于或等于奈奎斯特間隔對g(x,y)抽樣,則gs(x,y)的頻譜就是G

(fx,fy)的周期性復(fù)現(xiàn),包含了g(x,y)的全部信息.§1.4抽樣定理二、函數(shù)的抽樣

由抽樣值還原出原函數(shù)的條§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波為了從gs(x,y)中還原出g(x,y),將gs(x,y)通過一個理想低通濾波器,只允許所有頻率|fx|<Bx,|fy|<By

的頻率分量無畸變地通過,而將此區(qū)域以外的頻率分量完全阻塞.fxGs(fx)-BxBx01/X此理想低通濾波器的頻率特性為頻域中的門函數(shù)§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波為了§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波用頻域中寬度2Bx和2By的位于原點(diǎn)的矩形函數(shù)作為濾波函數(shù):

濾波過程

:根據(jù)卷積定理，在空間域得到:

§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波用頻域中寬§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波若取最大允許的抽樣間隔，即X=1/(2Bx)，Y=1/(2By)

，則用函數(shù)的抽樣值計算出原函數(shù)：原函數(shù)在分立點(diǎn)上的抽樣值插值函數(shù)插值:由抽樣點(diǎn)函數(shù)值計算非抽樣點(diǎn)函數(shù)值空域中等效于：§1.4抽樣定理2、原函數(shù)的復(fù)原

理想低通濾波若取最大允§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示g(x)0xcomb(x/X)x.0=x0gs(x)*Xcomb(Xfx)01/Xfx-1/X......fxG(fx)-BxBx0=fxGs(fx)0Bx-Bx3Bx-3Bx1/X-1/XX<1/(2Bx)F.T.F.T.F.T.抽樣fxrect(fx/2Bx)-BxBx0.fxG(fx)-BxBx0=?F.T.F.T.還原§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示g(x)0xcomb(x§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示x0gs(x)2Bxsinc(2Bx)fx012Bx12Bxx0gs(x)-XX2X-2X*=Sinc函數(shù)稱為內(nèi)插函數(shù)頻域濾波相當(dāng)于空域的插值運(yùn)算連續(xù)函數(shù)具有的信息內(nèi)容等效于一系列的信息抽樣.重新恢復(fù)連續(xù)函數(shù)所必需的離散值的最小數(shù)目由抽樣定理決定.§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示x0gs(x)2Bxsi§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示抽樣空域g(x,y)頻域G(fx,fy)comb(x/X)comb(y/Y)gs(x,y)Gs(fx,fy)還原低通濾波器h(x,y)H(fx,fy)g(x,y)=gs(x,y)*

h(x,y)G(fx,fy)=Gs(fx,fy)·H(fx,fy)抽樣定理表明:

在一定條件下可以由插值準(zhǔn)確恢復(fù)原函數(shù)。 一個連續(xù)的限帶函數(shù)可以由其離散的抽樣序列代替，而不丟失任何信息。

§1.4抽樣定理抽樣和還原的圖示抽樣空域g(x,y)頻§1.4抽樣定理

抽樣定理的適用性在數(shù)學(xué)上,限帶函數(shù)在空域上一定是無限擴(kuò)展的函數(shù)函數(shù)不可能在空域和頻域都被限制在某一范圍內(nèi).只要信號存在于有限的時空范圍,就會有所有的頻率分量.嚴(yán)格的限帶函數(shù)在物理上是不存在的.但是,實(shí)際信號的大部分能量被一定范圍的頻率分量所攜帶.高頻分量攜帶的能量甚少.由于忽略高頻分量,所引入的誤差可以忽略,故可近似看作限帶函數(shù).因而抽樣理論在信息的傳輸和處理中有重要的意義.§1.4抽樣定理

抽樣定理的適用性但是,實(shí)際信號的大部分能§1.4抽樣定理3、空間帶寬積若限帶函數(shù)g(x,y)在頻域中|fx|<Bx,|fy|<