中考數(shù)學(xué)線段的和差最值復(fù)習(xí)課件

專題復(fù)習(xí)----“線段和（差）的最值”專題復(fù)習(xí)----“線段和（差）的最值”1我們初中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)過的平面圖形有線段、角、三角形、四邊形和圓，而線段和的最值問題都基于圖形的軸對稱性來確定問題中點(diǎn)的位置，從而求線段和的最值，同時這部分題目的考查也會滲透在平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)的題目中，因此將這塊放在二輪復(fù)習(xí)中進(jìn)行專題復(fù)習(xí)。設(shè)計思想我們初中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)過的平面圖形有線段、角、三角形、四2從歷年的中考數(shù)學(xué)題型來看，經(jīng)常會考查距離最值的問題，并且這部分題目在中考中失分率很高，應(yīng)該引起我們的重視。幾何極值問題在教材中雖然沒有專題講解，但卻給出了它的模型。初學(xué)時大家的認(rèn)知水平和理解水平有限，處理這類問題時我們并沒有進(jìn)行拓展和延伸，因此在初三的綜合復(fù)習(xí)中對此進(jìn)行專題復(fù)習(xí)是很有必要的。本課我們共同來解決線段和的最值問題復(fù)習(xí)指導(dǎo)從歷年的中考數(shù)學(xué)題型來看，經(jīng)常會考查距離最值的問題，并且這部3課本原型（七年級(下)）如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？ABPA`P理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短用途：求兩條線段和的最小值課本原型（七年級(下)）如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向4應(yīng)用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點(diǎn)同側(cè)）：如圖1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，畫出一點(diǎn)P使PA+PB取最小值。模型二：（兩點(diǎn)異側(cè)）：如圖2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，畫出一點(diǎn)P使PA+PB取最小值。B'lPA圖1BABlP圖2應(yīng)用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點(diǎn)同側(cè)）：如圖1，點(diǎn)P5【典型例題】例1.（“兩定一動”）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,4)，B(0,2)，點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，求當(dāng)PA+PB最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)．yxBAOP類型“兩點(diǎn)同側(cè)”在x軸上確定一點(diǎn)P使PA+PB最小，因此先作B（A）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（A′），連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P。由B(0,2)，所以B′(0,-2)，因為A(3,4)，所以易求直線AB′：y=2x-2,所以點(diǎn)P（1，0）B′【典型例題】例1.（“兩定一動”）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)6變式訓(xùn)練如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為ABONMPB′變式訓(xùn)練如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在⊙O上7【典型例題】例2.（“兩動一定”）如圖，在銳角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，請你求出BM+MN的最小值．ABCDNMN′N′解析：AD是角平分線，所以具有軸對稱，先作N′與N關(guān)于AD對稱，所以MN′=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN′最小，所以當(dāng)B，M，N′在一條直線上時最小，此時為BN′的長度，而BN′最小時即為BN′與AC垂直時最小，易求得BM+MN的最小值為4【典型例題】例2.（“兩動一定”）如圖，在銳角△ABC中，A8變式訓(xùn)練練習(xí)1，如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠CDB的平分線DE交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P,Q分別是DE和DC上的動點(diǎn)，則PQ+PC的最小值（）A.2B.C.4D.

ABCDQPE變式訓(xùn)練練習(xí)1，如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠CDB的平9【變式訓(xùn)練】練習(xí)2，如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP=10，Q、R分別是OB、OA上的動點(diǎn)，求△PQR周長的最小值．BPAOP1P2

QR【變式訓(xùn)練】練習(xí)2，如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一10【典型例題】例3.(“兩動兩定”)如圖，直線l1、l2交于O，A、B是兩直線間的兩點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，先到l1上一點(diǎn)P，再從P點(diǎn)到l2上一點(diǎn)Q，再回到B點(diǎn)，求作P、Q兩點(diǎn)，使AP＋PQ＋QB最小。QPA′B′解析：由前面的知識積累可以得知：先作出點(diǎn)A′與A關(guān)于直線l1對稱，則PA=PA′，然后再作B′與B關(guān)于l2對稱，則QB=QB′連接A′B′交l1，l2于點(diǎn)P，Q，則AP+PQ+QB=PA′+PQ+QB′，當(dāng)四點(diǎn)共線時，AP+PQ+QB最小。ABOl1l2【典型例題】例3.(“兩動兩定”)如圖，直線l1、l2交于O11【變式訓(xùn)練】已知,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1,3)、B(4,2)，請問在x軸上是否存在點(diǎn)C，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得圍成的四邊形ADCB周長最短.xyAOBA′DCB′【變式訓(xùn)練】已知,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)12反思總結(jié)

此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等為背景，這些問題的設(shè)置背景有都有一個共同點(diǎn)，那就是：都有一個“軸對稱性”的圖形共同點(diǎn)，解題時只有從變化的背景中提取出“建奶站問題”的數(shù)學(xué)模型，再通過找定直線（在那條直線上確定點(diǎn)就作定點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)）的對稱點(diǎn)，從而將問題轉(zhuǎn)化為上面的類型進(jìn)行求解，但有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此類問題中會含有定長的線段，依然可以轉(zhuǎn)化為“建奶站問題”來進(jìn)行求解。反思總結(jié)此類試題往往以角、三角形、菱形、13【課時練習(xí)】1、如圖1，等邊△ABC的邊長為6，AD是邊BC上的中線，M是AD上的動點(diǎn)，E是邊AC上的一點(diǎn)，若AE=2，EM+CM的最小值為________。2、如圖2，菱形ABCD中，∠BAD=600，M是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，若PM+PB的最小值是3，則AB長為________.圖1圖2【課時練習(xí)】1、如圖1，等邊△ABC的邊長為6，AD是邊BC143.如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=600，P是OB上一動點(diǎn)，PA+PC的最小值為________。4．在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且BE=5，EC=7，點(diǎn)P是BD上的一動點(diǎn)，則PE+PC的最小值是

．圖3AOBCABCDPE圖43.如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,15謝謝！請批評指正2014年3月謝謝！請批評指正2014年3月16課本原型（七年級（下））如圖所示，在三角形ABC中，分別量出三個三角形的三邊長度，計算三角形的任意兩邊之差并與第三邊比較，你能得到什么結(jié)論？BAC即：三角形任意兩邊之差小于第三邊AB-AC﹤BC課本原型（七年級（下））如圖所示，在三角形ABC中，分別量出17應(yīng)用：求兩條線段差的最大值A(chǔ)、理論依據(jù)：三角形兩邊之差小于第三邊B、用途：求兩條線段差的最大值當(dāng)P在直線運(yùn)動到D時，（AB－AC）取最大PBCD應(yīng)用：求兩條線段差的最大值A(chǔ)、理論依據(jù)：三角形兩邊之差小于第18【常見模型】模型一：兩點(diǎn)同側(cè)：如圖1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動。畫出一點(diǎn)P，使|PA－PB|取最大值；模型二：兩點(diǎn)異側(cè)：如圖2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，畫出一點(diǎn)P,使|PA－PB|取最大值；PBAlB'BPAl圖1圖2【常見模型】模型一：兩點(diǎn)同側(cè)：如圖1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動。畫19【典型例題】例1：已知：點(diǎn)A(0,1)，B(3,4)，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動時，當(dāng)|PA-PB|的值最大時，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)yxOABPP分析：“兩點(diǎn)同側(cè)”當(dāng)點(diǎn)P、A、B不在一條直線上時，|PA-PB|<AB，所以當(dāng)|PA-PB|的值最大時，此時點(diǎn)p、A、B在一條直線上，即直線AB與x軸的交點(diǎn)為P。解析：當(dāng)|PA-PB|取最大時，此時點(diǎn)P、A、B在一條直線上，設(shè)直線AB：y=kx+b將A(0,1)

B(3,4)代入解得k=1,b=1所以直線AB：y=x+1，又因為點(diǎn)P在x軸上，易求點(diǎn)P（-1，0）【典型例題】例1：已知：點(diǎn)A(0,1)，B(3,4)，點(diǎn)P在20【典型例題】例2：已知：點(diǎn)A(0,1)，B(3,0)，點(diǎn)P在直線x=2上運(yùn)動時，當(dāng)|PA-PB|的值最大時，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)yxOABx=2PB1P分析：“兩點(diǎn)異側(cè)”由題知：|PA-PB|<AB，所以當(dāng)|PA-PB|的值最大時，先找出點(diǎn)B關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)Bl，連接AB與直線x=2的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時滿足：|PA-PB|<的值最大；解析：點(diǎn)B與點(diǎn)Bl關(guān)于直線x=2對稱，B（3,0），得B′（1，0）；易求直線AB′

：y=-x+1,因為點(diǎn)P在x=2上，所以聯(lián)立可解得：P(2,-1)【典型例題】例2：已知：點(diǎn)A(0,1)，B(3,0)，點(diǎn)P在21設(shè)計設(shè)想從近年的中考數(shù)學(xué)題型來看，經(jīng)常考查距離最值的問題，而這部分題目在中考分析中，失分率很高，應(yīng)該引起我們的重視，幾何極值問題在教課書雖然沒有專題講解，但卻給出了它的模型。學(xué)生對幾何極值模型的陌生由于當(dāng)時的學(xué)生理解水平有限等條件下，教師在當(dāng)時的教學(xué)中對教材例習(xí)題的拓展延伸程度相對低，因此在初三的綜合復(fù)習(xí)中對此進(jìn)行專題復(fù)習(xí)是很有必要的。所以我設(shè)計本節(jié)課的思路是想通過對此類題進(jìn)行深層次的挖掘、拓展、再創(chuàng)造，利用例題、習(xí)題的所潛在的價值，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式由“重結(jié)論輕過程”向“過程與結(jié)果”并重的方向發(fā)展，使學(xué)生挖掘隱含問題的本質(zhì)屬性，從而達(dá)到“做一題，通一類，會一片”的解題境界。希望能通過此了復(fù)習(xí)達(dá)到預(yù)想的目標(biāo)。在具體復(fù)習(xí)過程中，將此類問題歸類建模，我們知道，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。用模型分析實際事物，鍛煉我們的創(chuàng)新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法，因此在教學(xué)中，要洗染引導(dǎo)學(xué)生通過討論、分析和研究，熟悉并理解數(shù)學(xué)模型。設(shè)計設(shè)想從近年的中考數(shù)學(xué)題型來看，經(jīng)?？疾榫嚯x最值的問題，而22專題復(fù)習(xí)----“線段和（差）的最值”專題復(fù)習(xí)----“線段和（差）的最值”23我們初中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)過的平面圖形有線段、角、三角形、四邊形和圓，而線段和的最值問題都基于圖形的軸對稱性來確定問題中點(diǎn)的位置，從而求線段和的最值，同時這部分題目的考查也會滲透在平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)的題目中，因此將這塊放在二輪復(fù)習(xí)中進(jìn)行專題復(fù)習(xí)。設(shè)計思想我們初中數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)過的平面圖形有線段、角、三角形、四24從歷年的中考數(shù)學(xué)題型來看，經(jīng)常會考查距離最值的問題，并且這部分題目在中考中失分率很高，應(yīng)該引起我們的重視。幾何極值問題在教材中雖然沒有專題講解，但卻給出了它的模型。初學(xué)時大家的認(rèn)知水平和理解水平有限，處理這類問題時我們并沒有進(jìn)行拓展和延伸，因此在初三的綜合復(fù)習(xí)中對此進(jìn)行專題復(fù)習(xí)是很有必要的。本課我們共同來解決線段和的最值問題復(fù)習(xí)指導(dǎo)從歷年的中考數(shù)學(xué)題型來看，經(jīng)常會考查距離最值的問題，并且這部25課本原型（七年級(下)）如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？ABPA`P理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短用途：求兩條線段和的最小值課本原型（七年級(下)）如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向26應(yīng)用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點(diǎn)同側(cè)）：如圖1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，畫出一點(diǎn)P使PA+PB取最小值。模型二：（兩點(diǎn)異側(cè)）：如圖2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，畫出一點(diǎn)P使PA+PB取最小值。B'lPA圖1BABlP圖2應(yīng)用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點(diǎn)同側(cè)）：如圖1，點(diǎn)P27【典型例題】例1.（“兩定一動”）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,4)，B(0,2)，點(diǎn)P為x軸上一動點(diǎn)，求當(dāng)PA+PB最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)．yxBAOP類型“兩點(diǎn)同側(cè)”在x軸上確定一點(diǎn)P使PA+PB最小，因此先作B（A）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（A′），連接AB′與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P。由B(0,2)，所以B′(0,-2)，因為A(3,4)，所以易求直線AB′：y=2x-2,所以點(diǎn)P（1，0）B′【典型例題】例1.（“兩定一動”）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)28變式訓(xùn)練如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為ABONMPB′變式訓(xùn)練如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在⊙O上29【典型例題】例2.（“兩動一定”）如圖，在銳角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，請你求出BM+MN的最小值．ABCDNMN′N′解析：AD是角平分線，所以具有軸對稱，先作N′與N關(guān)于AD對稱，所以MN′=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN′最小，所以當(dāng)B，M，N′在一條直線上時最小，此時為BN′的長度，而BN′最小時即為BN′與AC垂直時最小，易求得BM+MN的最小值為4【典型例題】例2.（“兩動一定”）如圖，在銳角△ABC中，A30變式訓(xùn)練練習(xí)1，如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠CDB的平分線DE交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P,Q分別是DE和DC上的動點(diǎn)，則PQ+PC的最小值（）A.2B.C.4D.

ABCDQPE變式訓(xùn)練練習(xí)1，如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠CDB的平31【變式訓(xùn)練】練習(xí)2，如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP=10，Q、R分別是OB、OA上的動點(diǎn)，求△PQR周長的最小值．BPAOP1P2

QR【變式訓(xùn)練】練習(xí)2，如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一32【典型例題】例3.(“兩動兩定”)如圖，直線l1、l2交于O，A、B是兩直線間的兩點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)，先到l1上一點(diǎn)P，再從P點(diǎn)到l2上一點(diǎn)Q，再回到B點(diǎn)，求作P、Q兩點(diǎn)，使AP＋PQ＋QB最小。QPA′B′解析：由前面的知識積累可以得知：先作出點(diǎn)A′與A關(guān)于直線l1對稱，則PA=PA′，然后再作B′與B關(guān)于l2對稱，則QB=QB′連接A′B′交l1，l2于點(diǎn)P，Q，則AP+PQ+QB=PA′+PQ+QB′，當(dāng)四點(diǎn)共線時，AP+PQ+QB最小。ABOl1l2【典型例題】例3.(“兩動兩定”)如圖，直線l1、l2交于O33【變式訓(xùn)練】已知,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1,3)、B(4,2)，請問在x軸上是否存在點(diǎn)C，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得圍成的四邊形ADCB周長最短.xyAOBA′DCB′【變式訓(xùn)練】已知,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)34反思總結(jié)

此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等為背景，這些問題的設(shè)置背景有都有一個共同點(diǎn)，那就是：都有一個“軸對稱性”的圖形共同點(diǎn)，解題時只有從變化的背景中提取出“建奶站問題”的數(shù)學(xué)模型，再通過找定直線（在那條直線上確定點(diǎn)就作定點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)）的對稱點(diǎn)，從而將問題轉(zhuǎn)化為上面的類型進(jìn)行求解，但有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此類問題中會含有定長的線段，依然可以轉(zhuǎn)化為“建奶站問題”來進(jìn)行求解。反思總結(jié)此類試題往往以角、三角形、菱形、35【課時練習(xí)】1、如圖1，等邊△ABC的邊長為6，AD是邊BC上的中線，M是AD上的動點(diǎn)，E是邊AC上的一點(diǎn)，若AE=2，EM+CM的最小值為________。2、如圖2，菱形ABCD中，∠BAD=600，M是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，若PM+PB的最小值是3，則AB長為________.圖1圖2【課時練習(xí)】1、如圖1，等邊△ABC的邊長為6，AD是邊BC363.如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=600，P是OB上一動點(diǎn)，PA+PC的最小值為________。4．在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一定點(diǎn)，且BE=5，EC=7，點(diǎn)P是BD上的一動點(diǎn)，則PE+PC的最小值是

．圖3AOBCABCDPE圖43.如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,37謝謝！請批評指正2014年3月謝謝！請批評指正2014年3月38課本原型（七年級（下））如圖所示，在三角形ABC中，分別量出三個三角形的三邊長度，計算三角形的任意兩邊之差并與第三邊比較，你能得到什么結(jié)論？BAC即：三角形任意兩邊之差小于第三邊AB-AC﹤BC課本原型（七年級（下））如圖所示，在三角形ABC中，分別量出39應(yīng)用：求兩條線段差的最大值A(chǔ)、理論依據(jù)：三角形兩邊之差小于第三邊B、用途：求兩條線段差的最大值當(dāng)P在直線運(yùn)動到D時，（AB－AC）取最大PBCD應(yīng)用：求兩條線段差的最大值A(chǔ)、理論依據(jù)：三角形兩邊之差小于第40【常見模型】模型一：兩點(diǎn)同側(cè)：如圖1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動。畫出一點(diǎn)P，使|PA－PB|取最大值；模型二：兩點(diǎn)異側(cè)：如圖2，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，畫出一點(diǎn)P,使|PA－PB|取最大值；PBAlB'BPAl圖1圖2【常見模型】模型一：兩點(diǎn)同側(cè)：如圖1，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動。畫41【典型例題】例1：已知：點(diǎn)A(0,1)，B(3,4)，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動時，當(dāng)|PA-PB|的值最大時，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)yxOABPP分析：“兩點(diǎn)同側(cè)”當(dāng)點(diǎn)P、A、B不在一條直線上時，|PA-PB|<AB，所以當(dāng)|PA-PB|的值最大時，此時點(diǎn)p、A、B在一條直線上，即直線AB與x軸的交點(diǎn)為P。解析：當(dāng)|PA-PB|取最大時，此時點(diǎn)P、A、B在一條直線上，設(shè)直線AB：y=kx+b將A(0,1)

B(3,4)