彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程第四版第八章課件

第八章空間問題的解答第五節(jié)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)第四節(jié)按應(yīng)力求解空間問題第三節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力第二節(jié)半空間體受重力及均布?jí)毫Φ谝还?jié)按位移求解空間問題第六節(jié)扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬第七節(jié)橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第八節(jié)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)例題習(xí)題的提示和答案教學(xué)參考資料第八章空間問題的解答第五節(jié)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)第四節(jié)1.取u,v,w為基本未知函數(shù)。按位移求解2.將應(yīng)變用位移來表示，可以引用幾何方程。將應(yīng)力先用應(yīng)變表示（應(yīng)用物理方程），再代入幾何方程，也用位移來表示：在直角坐標(biāo)系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，即§8－1按位移求解空間問題1.取u,v,w為基本未知函數(shù)。按位移其中體積應(yīng)變按位移求解3.將式(a)代入平衡微分方程，得在V內(nèi)求解位移的基本方程：其中體積應(yīng)變按位移求解3.將其中拉普拉斯算子V內(nèi)基本方程其中拉普拉斯算子V內(nèi)基本方程4.將式代入應(yīng)力邊界條件，得用位移表示的應(yīng)力邊界條件：邊界條件位移邊界條件仍為:4.將式代入應(yīng)力邊界條件，（2）上的應(yīng)力邊界條件(c),（3）上的位移邊界條件(d)。

歸結(jié)：按位移求解空間問題，位移u,v,w

必須滿足：

按位移求解這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。（1）V內(nèi)的平衡微分方程(b),（2）上的應(yīng)力邊界條件(c),（3）上的位移邊界優(yōu)點(diǎn)在空間問題中，按位移求解方法尤為要：3.近似解法中，按位移法求解得到廣泛的應(yīng)用。2.未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應(yīng)力求解時(shí)，沒有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。1.能適用于各種邊界條件。優(yōu)點(diǎn)在空間問題中，按位移求解方法尤為要：3.近按位移求解空間軸對(duì)稱問題在柱坐標(biāo)中，可以相似地導(dǎo)出：位移

應(yīng)滿足：

軸對(duì)稱問題（1）V內(nèi)的平衡微分方程，按位移求解空間軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題（1）V內(nèi)的平衡微軸對(duì)稱的拉普拉斯算子為其中體積應(yīng)變軸對(duì)稱問題（2）上的應(yīng)力邊界條件。

（3）上的位移邊界條件。軸對(duì)稱的拉普拉斯算子為其中體積應(yīng)變軸對(duì)稱問1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊界條件（8-4）。2、試導(dǎo)出空間軸對(duì)稱問題中用位移表示的平衡微分方程（書中式（8-4）），并將上的應(yīng)力邊界條件用位移來表示。

思考題1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊界條件思考題設(shè)有半空間體，受自重體力及邊界的均布?jí)毫。§8－2半空間體受重力

及均布?jí)毫栴}設(shè)有半空間體，受自重體力及邊界采用按位移求解：

考慮對(duì)稱性：本題的任何x面和y面均為對(duì)稱面，∴可設(shè)位移u,v,w應(yīng)滿足平衡微分方程及邊界條件。采用按位移求解：（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式自然滿足，第三式成為常微分方程，求解方程積分兩次,得（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式求解方程積分兩次,相應(yīng)的應(yīng)力為求解方程相應(yīng)的應(yīng)力為求解方程（2）在z=0的負(fù)z面，應(yīng)力邊界條件為邊界條件由式(d)求出A，得應(yīng)力解為（2）在z=0的負(fù)z面，應(yīng)力邊界條件為邊界條件由式(d)求出位移解為其中B為z向剛體平移，須由約束條件確定。若z=h為剛性層，則由可以確定B。若為半無限大空間體，則沒有約束條件可以確定B；位移解為其中B為z向剛體平移，須由約束條件確定。側(cè)面壓力與鉛直壓力之比，稱為側(cè)壓力系數(shù)。即側(cè)壓力系數(shù)側(cè)面壓力與鉛直壓力之比，稱為側(cè)壓力系數(shù)。即側(cè)當(dāng)時(shí)，側(cè)向變形最大，側(cè)向壓力也最大，說明物體的剛度極小，接近于流體。當(dāng)時(shí)，正應(yīng)力不引起側(cè)向變形。說明物體的剛度極大，接近于剛體。討論：討論：思考題1、如果圖中的問題改為平面應(yīng)力問題，或平面應(yīng)變問題，試考慮應(yīng)如何按位移求解？思考題1、如果圖中的問題改為平面應(yīng)力問題，2.若將空間問題的伽遼金位移函數(shù)向平面應(yīng)變問題簡(jiǎn)化，將得到什么形式的表達(dá)式？再轉(zhuǎn)向平面應(yīng)力問題，又將得到什么形式的表達(dá)式？并與平面問題的位移函數(shù)相比較（參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”和第二章教學(xué)參考資料）。3.試用伽遼金位移函數(shù)的表達(dá)式(8-9),導(dǎo)出式(8-10)（參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）。2.若將空間問題的伽遼金位移函數(shù)向平面3.試用伽設(shè)有半空間體，在o點(diǎn)受有法向集中力F。本題為空間軸對(duì)稱問題。應(yīng)用柱坐標(biāo)求解，而位移,而和應(yīng)滿足:

§8-3半空間體在邊界上受

法向集中力問題設(shè)有半空間體，在o點(diǎn)受有法向集中力F。（1）平衡微分方程（書中（8-4））求解條件其中（1）平衡微分方程（書中（8-4））求解條件其中（2）在z=0的邊界上，除原點(diǎn)o以外的應(yīng)力邊界條件為（3）由于z=0邊界上o點(diǎn)有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脫離體，應(yīng)用圣維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：（2）在z=0的邊界上，除原點(diǎn)o以外的應(yīng)力（3）由于z=0邊布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的解答為由于軸對(duì)稱，其余的5個(gè)平衡條件均為自然滿足。布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的解答為其中其中應(yīng)力特征：（3）水平截面上的全應(yīng)力，指向F作用點(diǎn)

o。

邊界面上任一點(diǎn)的沉陷，（2）水平截面上的應(yīng)力與彈性常數(shù)無關(guān)。（1）當(dāng)當(dāng)應(yīng)力特征：（3）水平截面上的全應(yīng)力，若單位力均勻分布在的矩形面積上，其沉陷解為：將F代之為，對(duì)積分，便得到書上公式。分布力若單位力均勻分布在的矩形面積試由位移函數(shù)的表達(dá)式(8-11)，導(dǎo)出式(8-12)。（參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）2.

試由拉甫位移函數(shù)的表達(dá)式(8-14)，導(dǎo)出式(8-15)。（參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）思考題試由位移函數(shù)的表達(dá)式(8-11)，導(dǎo)出式(8-12)。（§8－4按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題的方法：按應(yīng)力求解形變可以通過物理方程用應(yīng)力表示。位移要通過對(duì)幾何方程的積分，才能用形變或應(yīng)力表示，其中會(huì)出現(xiàn)待定的積分函數(shù)。2.其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示:1.取σx…

τyz…為基本未知函數(shù)。

§8－4按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解因此,位移邊界條件等用應(yīng)力表示時(shí)，既復(fù)雜又難以求解。所以按應(yīng)力求解通常只解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。因此,位移邊界條件等用應(yīng)力表示時(shí)，既復(fù)雜又難3.在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程

:從幾何方程消去位移，導(dǎo)出六個(gè)相容方程：（2）相容方程（六個(gè)）:（1）平衡微分方程（三個(gè)）。V內(nèi)方程3.在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程:從幾何方程消去位移，導(dǎo)出六個(gè)再代入物理方程，導(dǎo)出用應(yīng)力表示的相容方程。(書中（8-12））。4.假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件，在上，應(yīng)滿足書中式（7-5）。應(yīng)力邊界條件再代入物理方程，導(dǎo)出用應(yīng)力表示的相容方程。(（1）V內(nèi)的三個(gè)平衡微分方程；其中(1),(3)是靜力平衡條件；(2),(4)是位移連續(xù)條件。按應(yīng)力求解歸納為,應(yīng)力分量應(yīng)滿足：按應(yīng)力求解歸納（4）對(duì)于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。（3）上的三個(gè)應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）；（2）V內(nèi)的六個(gè)相容方程；（1）V內(nèi)的三個(gè)平衡微分方程；其中(1),（1）物體滿足連續(xù)性條件導(dǎo)出形變和位移之間的幾何方程導(dǎo)出相容方程。對(duì)于相容方程說明如下：相容方程說明所以相容方程是位移的連續(xù)性條件。（2）形變滿足相容方程對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)物體保持連續(xù)；形變不滿足相容方程對(duì)應(yīng)的位移不存在物體不保持連續(xù)。（1）物體滿足連續(xù)性條件導(dǎo)出形變和位（3）相容方程的導(dǎo)出及對(duì)(2)的證明，可參見有關(guān)書籍。例如：（4）相容方程必須為六個(gè)。相容方程和平衡微分方程的數(shù)目大于未知函數(shù)的數(shù)目，是由于微分方程提高階數(shù)所需要的。（3）相容方程的導(dǎo)出及對(duì)(2)的證明，可例如：（4）相容式是由方程提高階數(shù)得出的，但式增加的解不是原式的解。幾何方程中，形變?yōu)?階導(dǎo)數(shù)；但在相容方程中形變以2階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)。因?yàn)槲⒎址匠烫岣唠A數(shù)會(huì)增加解答，所以增加的方程數(shù)目正好用來消去增加的解答。式是由方程提高階數(shù)得出的，但式在按應(yīng)力求解空間問題中，力學(xué)家提出了幾種應(yīng)力函數(shù)，用來表示應(yīng)力并簡(jiǎn)化求解的方程。應(yīng)力函數(shù)應(yīng)用這些應(yīng)力函數(shù)，也已求出了一些空問題之解。但這些應(yīng)力函數(shù)不具有普遍性（不是普遍存在的）。在按應(yīng)力求解空間問題中，力學(xué)家提出了幾種應(yīng)力函數(shù)，用思考題1、試考慮：從空間問題的相容方程，可以導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的相容方程，卻不能直接導(dǎo)出平面應(yīng)力問題的相容方程，為什么？

(見例題4)2、在表面均受到法向壓力q作用的任意形狀的空間體，其應(yīng)力分量是

試證明這些應(yīng)力分量是該問題之解（對(duì)于多連體還應(yīng)滿足位移單值條件）。思考題扭轉(zhuǎn)問題也是空間問題的一個(gè)特例。§8-5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的特性來簡(jiǎn)化空間問題，就建立了扭轉(zhuǎn)問題的基本理論（1854-1856年，圣維南）。扭轉(zhuǎn)問題扭轉(zhuǎn)問題也是空間問題的一個(gè)特例。§8-5等扭轉(zhuǎn)問題的提出:（1）等截面柱體；（2）無體力作用，（3）柱體側(cè)面無面力作用，柱體上下端面的面力，合成一對(duì)力矩M。扭轉(zhuǎn)問題的提出:（1）等截面柱體；引用按應(yīng)力求解空間問題的方法—應(yīng)力應(yīng)滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)相容方程及上的應(yīng)力邊界條件。按應(yīng)力求解引用按應(yīng)力求解空間問題的方法—應(yīng)力應(yīng)滿足3個(gè)因此只有，代入3個(gè)平衡微分方程得1.由扭轉(zhuǎn)問題特性,

∵上下端面（）上無面力∴設(shè)

∵側(cè)面無任何面力，∴因此只有，代入3個(gè)平衡微分方程得由式(a)前兩式，得僅為（x,y）的函數(shù)；第三式成為又由偏導(dǎo)數(shù)的相容性，存在一個(gè)應(yīng)力函數(shù)由式(a)前兩式，得僅為（x,y）的又由偏導(dǎo)數(shù)對(duì)比式(b)和(c)，兩個(gè)切應(yīng)力均可用一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)

表示為對(duì)比式(b)和(c)，兩個(gè)切應(yīng)力均可用一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)由此得出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的方程：2.將式（d）代入6個(gè)相容方程，前三式和第六式自然滿足，其余兩式為代入（d），得C為待定常數(shù)。相容方程由此得出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的方程：2.將式（d）而得3.考察側(cè)面邊界條件前兩式自然滿足，第三式成為邊界條件而∴在S上為常數(shù)。又由于中常數(shù)不影響應(yīng)力，∴得的側(cè)面邊界條件為考察上端面（z=0）的邊界條件。在小邊界z=0上，應(yīng)用圣維南原理，有∴在S上為常數(shù)。又由于中常數(shù)不影響應(yīng)力，∴在z=0負(fù)面上，只有?！鄺l件自然滿足，而其余三個(gè)條件為在z=0負(fù)面上，只有將式代入，并應(yīng)用條件，經(jīng)過運(yùn)算（見書P.168），式的前兩式自然滿足，而由后一式得出關(guān)于的端面邊界條件為將式代入，并應(yīng)用條件，經(jīng)扭轉(zhuǎn)問題歸納為求一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)滿足：歸納（1）A內(nèi)方程（2）側(cè)面S上邊界條件（3）端面上邊界條件扭轉(zhuǎn)問題歸納為求一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，注解：（3）扭轉(zhuǎn)問題中的變量為x,y，∴仍屬于二維問題。（2）空間問題按應(yīng)力求解的全部條件均已考慮并滿足。（1）另一端面上的邊界條件自然滿足。注解：（3）扭轉(zhuǎn)問題中求位移分量：根據(jù)上面的應(yīng)力，代入物理方程，可以求出對(duì)應(yīng)的形變；再代入幾何方程，并進(jìn)行積分，求出對(duì)應(yīng)的位移為其中，為單位桿件長(zhǎng)度的扭角。求位移求位移分量：其中，并且還得出對(duì)比式（e），得出常數(shù)C的物理意義，并且還得出對(duì)比式（e），得出常數(shù)C的物理意義，思考題試考慮：上面建立的分析方法是精確的理論還是近似的理論，其中提出的一些假設(shè)是否完全成立？

思考題試考慮：上面建立的分析方法是精確§8－6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬對(duì)于物理現(xiàn)象不同，但數(shù)學(xué)描述相同的問題，可以應(yīng)用比擬方法來求解。薄膜問題—設(shè)有一薄膜，張?jiān)谒竭吔缟?，并受到微小的氣體壓力q?！?－6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬對(duì)于物理現(xiàn)象薄膜斜率在面分別為薄膜斜率在面分別為薄膜只能承受均勻拉力，不能承受彎矩，扭矩，剪力和壓力。取出一個(gè)微小單元abcd,各邊上的作用力均為，但薄膜的斜率不同。薄膜問題薄膜斜率在面分別為薄膜斜率在面分平衡條件：平衡條件：得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率為薄膜與邊界平面（xy面）之間的2倍體積是薄膜的邊界條件為薄膜比擬得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率為扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題未知函數(shù)A內(nèi)方程從數(shù)學(xué)上看，薄膜問題和扭轉(zhuǎn)問題的數(shù)學(xué)方程相同，比較如下：

邊界條件扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題從數(shù)學(xué)上邊界條件切應(yīng)力/斜率扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題于是求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的問題，可以化為求薄膜垂度z的問題：只要使M對(duì)應(yīng)于2V，則邊界條件扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題于是求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的問薄膜比擬的應(yīng)用：（3）通過薄膜比擬,提出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的假設(shè)。（2）通過薄膜比擬,直接求解薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題。（1）通過薄膜比擬試驗(yàn),求解扭轉(zhuǎn)問題。薄膜比擬的應(yīng)用：（3）通過薄膜比擬,扭轉(zhuǎn)問題已歸結(jié)為求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)滿足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,§8－7橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)求φ的條件扭轉(zhuǎn)問題已歸結(jié)為求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，式中的C為常數(shù)，其特解十分簡(jiǎn)單；而式的通解為調(diào)和函數(shù)。C可以由式求出。式中的C為常數(shù)，其特解十分簡(jiǎn)單；而橢圓截面桿受M的扭轉(zhuǎn)，可以由式(a),(b),(c)求解。1.為了滿足式(b)，可取在橢圓邊界上橢圓截面桿橢圓截面桿受M的扭轉(zhuǎn)，可以由式(a),(b),(c)2.將式(d)代入(a)，解出3.再將式(d)及(e)代入式(c)，求出從而得出2.將式(d)代入(a)，解出3.再將式(d)及(e求出單位長(zhǎng)度桿件的扭角：求出單位長(zhǎng)度桿件的扭角：z向的位移為可見橫截面不保持為平面。只有當(dāng)a=b的圓截面時(shí)，w=0，才保持為平面。z向的位移為對(duì)于的狹矩形截面，從薄膜比擬來看,在邊界條件中，長(zhǎng)邊上應(yīng)嚴(yán)格滿足§8－8矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)而短邊(x=±b)是次要的，可忽略。狹矩形截面桿1.狹矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

對(duì)于的狹矩形截面，從薄膜比擬來看,在（2）在方程中，應(yīng)主要考慮y向的導(dǎo)數(shù)，而可忽略x向的導(dǎo)數(shù)，∴由式和，可得可簡(jiǎn)化為（2）在方程中，應(yīng)主要考慮y向的導(dǎo)數(shù)，由式和（3）將代入求出

∴狹矩形桿的解答為（3）將代入矩形截面桿2.一般矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

以狹矩形桿解答為基礎(chǔ)，再迭加一個(gè)修正解的方法,進(jìn)行求解：矩形截面桿2.一般矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)滿足條件是由上式可導(dǎo)出F應(yīng)滿足的條件:應(yīng)滿足條件是由上式可導(dǎo)出F應(yīng)滿足的條件:從式（h）可解出F，再由式（g）得，然后求出應(yīng)力等解答（用雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的級(jí)數(shù)表示）。書中列出了簡(jiǎn)化的結(jié)果，見式（8-34）和（8-35）。從式（h）可解出F，再由式（g）得3.薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)（2）從薄膜比擬可見，當(dāng)狹矩形的a,b相同時(shí)，直線形和曲線形截面的薄膜是相似的，∴它們的相同。（1）薄壁桿件截面都是狹矩形

∴可以直接引用式的解答。薄壁桿件3.薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)（2）從薄膜比擬可見，當(dāng)狹矩形的a,b相（3）對(duì)于若干個(gè)狹矩形組成的構(gòu)件，b.總扭矩是各個(gè)截面的扭矩之和，由此解出a.各個(gè)截面的扭角相同，b.總扭矩是各個(gè)截面的扭矩之和，由此解出a.各個(gè)截面的扭（4）閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)設(shè)閉口薄壁桿的厚度為，中心線長(zhǎng)為s，中心線包圍的面積為A，應(yīng)用薄膜比擬，取外邊界上，則內(nèi)邊界上的不能再任意選擇，應(yīng)取，如圖，相當(dāng)于有一塊無重鋼板懸掛于邊界上。由薄膜比擬：（4）閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)扭矩解出切應(yīng)力yxozxzoyq

hs(b)開口薄壁桿件(a)閉口薄壁桿件扭矩解出切應(yīng)力yxozxzoyqhs(b)開口薄壁桿件(a由此得出切應(yīng)力其中，代入得為了求扭角K,可考慮內(nèi)邊界上無重鋼板的平衡條件：由此得出切應(yīng)力其中，代由薄膜比擬，代入上式，求出當(dāng)薄壁桿厚度為常量時(shí)，由薄膜比擬，代入上式，求出當(dāng)思考題試比較：矩形中心線的邊長(zhǎng)為a×b，厚度為δ的矩形的閉口薄壁桿件,和矩形開口薄壁件的切應(yīng)力和扭角。思考題試比較：矩形中心線的邊長(zhǎng)為a×b，厚度為δ的矩形第八章例題例題1例題2例題3例題4例題第八章例題例題1例題2例題3例題4例題解：引用“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”§8-2中關(guān)于空間位移勢(shì)函數(shù)的解法，應(yīng)滿足泊松方程

例題1試證明位移勢(shì)函數(shù)能解任意彈性體受均布?jí)毫的問題。及邊界條件。解：引用“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”§8-2中關(guān)于空間位移取滿足泊松方程。由式（8-8）從求出應(yīng)力分量,在邊界面上，設(shè)法線的方向余弦為l,m,n,則面力分量是將應(yīng)力代入三個(gè)邊界條件，并求出取由此，得解答對(duì)于多連體，還應(yīng)從應(yīng)力求出位移，并校核多連體中的位移單值條件是否滿足。顯然，位移單值條件是滿足的。由此，得解答設(shè)有無限大彈性體（空間體），在體內(nèi)一小洞中受有集中力F的作用，如圖(a)，試用拉甫位移函數(shù)求解應(yīng)力分量，其中例題2設(shè)有無限大彈性體（空間體），在體內(nèi)一小洞中受有集中力及邊界條件。將ζ代入方程，顯然是滿足的。再將ζ代入應(yīng)力公式（8-16），求出應(yīng)力分量。

解：引用“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”§8-3中關(guān)于拉甫位移函數(shù)

ζ

的解法，ζ應(yīng)滿足重調(diào)和方程

及邊界條件。解：引用“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”§8-為了校核小洞中受集中力的邊界條件，在點(diǎn)o附近切出一薄板，圖(b)，應(yīng)用圣維南原理來考慮此薄板的平衡條件。由于應(yīng)力分量都是軸對(duì)稱的，且對(duì)于z=0的面又是反對(duì)稱的，只須考慮下列平衡條件：為了校核小洞中受集中力的邊界條件，在點(diǎn)o附近而從而得出各應(yīng)力分量為代入后得而從而得出各應(yīng)力分量為代入后得彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程第四版第八章課件其中而均為調(diào)和函數(shù)，滿足

例題3用代入法證明，下列的位移表達(dá)式是無體力時(shí)平衡微分方程的解答，其中而由于都是調(diào)和函數(shù)，代入無體力的平衡方程均能滿足。H.Neuber等曾用這一形式的解答求出一批回轉(zhuǎn)體的解。

解：當(dāng)無體力時(shí)，平衡微分方程是其中體積應(yīng)變由于都是調(diào)和函數(shù)，代入無例題4

平面應(yīng)力解答的近似性—試從空間問題按應(yīng)力求解的方法，來導(dǎo)出和考察平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力問題的基本理論。例題4解：（1）對(duì)于平面應(yīng)變問題，在常截面的很長(zhǎng)柱體（可以假設(shè)為無限長(zhǎng)），只有x,y方向的體力、面力和約束且沿z方向不變的條件下，由于任一橫截面（z面）均為對(duì)稱面，可以推論出，解：從式可以得出，在式中，表示等式左邊的物理量?jī)H為x,y的函數(shù)。從式可以得出，將式代入空間問題的平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力和位移邊界條件，可以得出平面應(yīng)變問題的全部方程和條件，而其余的方程和條件均為自然滿足。例如，將式代入空間問題的相容方程（書中式（8-10）、（8-11））得出而其余五式全部自然滿足。將式代入空間因此，從空間問題的基本理論，可以導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的理論。（2）對(duì)于平面應(yīng)力問題，在很薄的板，只受x,y方向的體力、面力和約束，且不沿板厚方向（z向）變化；又在板面上無任何面力的條件下，由板面的邊界條件因此，從空間問題的基本理論，可以導(dǎo)出平面應(yīng)變假設(shè)在彈性體內(nèi)因此，只有平面應(yīng)力和，并進(jìn)一步假設(shè)這就是平面應(yīng)力問題。由上兩式，還可得出假設(shè)在彈性體內(nèi)將式代入空間問題的相容方程（書中式），除了得出式外，還得出將式代入空間問題的相容方程在一般的情況下，由式得出的顯然不能滿足相容方程。由此可見，平面應(yīng)力問題的假設(shè)不能保證所有的相容條件都得到滿足。因此，平面應(yīng)力問題的理論是近似性的。在一般的情況下，由式得出的但是Clebsch,A.證明，在條件下從空間問題理論得出滿足所有相容方程的精確解答，是一般平面應(yīng)力問題（假設(shè)的解答，再補(bǔ)充一個(gè)沿板厚拋物線變化的修正解（與成正比）。對(duì)于充分薄的板，但是Clebsch,A.證明，在條件下因此，平面應(yīng)力問題的解答，顯然不能滿足所有的相容條件，但對(duì)薄板卻仍是一個(gè)很好的近似解。讀者可參閱§8-4的詳細(xì)證明。修正解遠(yuǎn)小于第一部分平面應(yīng)力問題的解，且只影響邊界附近的局部區(qū)域。因此，平面應(yīng)力問題的解答，顯然不能滿足所有的8-2提示：同上題。應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及應(yīng)力邊界條件（設(shè)若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。8-1提示：應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及應(yīng)力邊界條件（設(shè))。柱體的側(cè)面，在（x,y）平面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界（n=0,l,m為任意的），并應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件。第八章習(xí)題的提示和答案8-2提示：同上題。應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程、相由于空間體為任意形狀，因此，應(yīng)考慮一般的應(yīng)力邊界條件（7-5）：法線的方向余弦為l,m,n，邊界面為任意斜面，受到法向壓力q作用。為了考慮多連體中的位移單值條件，應(yīng)由應(yīng)力求出對(duì)應(yīng)的位移，然后再檢查是否滿足單值條件。8-3見§8-2的討論。8-4從書中式（8-2）和（8-12）可以導(dǎo)出。由結(jié)論可以看出位移分量和應(yīng)力分量等的特性。

由于空間體為任意形狀，因此，應(yīng)考慮一般的應(yīng)力邊界條件8-5為了求o點(diǎn)以下h處的位移，取出書中式（8-6）的，并作如下代換Z→h，R→ρ2＋a2，F(xiàn)→dF＝q2πρdp,然后從o→a

對(duì)積分。8-6引用布西內(nèi)斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是（1）求矩形中心點(diǎn)的沉陷，采用圖8-9（a）的坐標(biāo)系，8-5為了求o點(diǎn)以下h處的位移，取出書中代入并積分，再應(yīng)用部分積分得到，

a/2

a/2

b/2

b/2odxdyxyyxbadydx(a)(b)a/2a/2b/2b/2odxdyxyyxbadyd（2）求矩形角點(diǎn)處的沉陷，采用圖8-9(b)的坐標(biāo)系，（2）求矩形角點(diǎn)處的沉陷，采用圖8-9(b)8-8題中能滿足兩個(gè)圓弧處的邊界條件。然后，相似于上題進(jìn)行求式解。的兩倍。8-7題中已滿足邊界條件再由便可求出切應(yīng)力及扭角等。8-8題中能滿足兩個(gè)圓弧處的邊界條件8-9分別從橢圓截面桿導(dǎo)出圓截面桿的解答，和從矩形截面桿導(dǎo)出正方形截面桿的解答；并由，得出代入后進(jìn)行比較即可得出。8-10參見§8-8的討論。8-9分別從橢圓截面桿導(dǎo)出圓截面桿的解8-10參見§

（一）本章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)及要求1、本章介紹空間問題的位移法和應(yīng)力法，其思路和步驟與平面問題相似。讀者可對(duì)照平面問題來學(xué)習(xí)和理解。2、空間問題的位移法比應(yīng)力法尤為重要。一是因?yàn)槲灰品梢赃m用于各種邊界條件的問題；二是位移法的未知函數(shù)數(shù)目比應(yīng)力法少，而在空間問題中，又沒有如第八章教學(xué)參考資料

（一）本章的學(xué)習(xí)重點(diǎn)及要求第八章教學(xué)平面問題那樣，有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。在近似解法中，位移法得到廣泛的應(yīng)用。3、為了便于空間問題的求解，力學(xué)家和數(shù)學(xué)家提出了一些應(yīng)力函數(shù)、位移勢(shì)函數(shù)和位移函數(shù)等來表示應(yīng)力或位移，使相應(yīng)的微分方程得到簡(jiǎn)化，并從而得出了一些解答。但讀者應(yīng)注意，這些函數(shù)都是人為假定的和有局限性的，并不能作為空間問題的一般解，因?yàn)椴⒉荒鼙ＷC這些函數(shù)在任何情況下都存在。

平面問題那樣，有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。在近似解法中，位4、扭轉(zhuǎn)問題

是空間問題中的一個(gè)專門問題。扭轉(zhuǎn)問題的理論，是從空間問題的基本方程出發(fā)，考慮扭轉(zhuǎn)問題的特性而建立起來的。扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)（x,y）是x,y坐標(biāo)變量的函數(shù)，所以仍然是二維問題。彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程第四版第八章課件（二）本章的內(nèi)容提要1.在直角坐標(biāo)系（x,y,z）中，按位移求解一般的空間問題時(shí)，取u,v,w為基本未知函數(shù)，它們應(yīng)滿足（1）用位移表示的平衡微分方程，（二）本章的內(nèi)容提要（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件，其中（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件，其中2.在柱坐標(biāo)系中，按位移求解空間軸對(duì)稱問題時(shí)，取為基本未知函數(shù)，它們僅為的函數(shù)，應(yīng)滿足（1）用位移表示的平衡微分方程，（3）位移邊界條件2.在柱坐標(biāo)系中，按位移求解空3.在直角坐標(biāo)系中，按應(yīng)力求解一般的空間問題時(shí)，取為基本未知函數(shù)，它們應(yīng)滿足（1）區(qū)域v內(nèi)的平衡微分方程，（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件。（3）位移邊界條件。3.在直角坐標(biāo)系中，按應(yīng)力求解一般（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件），其中（2）區(qū)域V內(nèi)的相容方程，（3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條（4）若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。4.對(duì)于常截面桿的扭轉(zhuǎn)問題，可歸結(jié)為求解一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)它應(yīng)滿（1）截面區(qū)域A內(nèi)的泊松方程，式中K為單位長(zhǎng)度柱體的扭角。切應(yīng)力公式是（2）邊界條件，（4）若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。式

以下（三）—（七）均參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”（三）空間問題的位移勢(shì)函數(shù)和位移函數(shù)

按位移求解空間問題，也可以引用位移勢(shì)函數(shù)和位移函數(shù)，以簡(jiǎn)化求解的方法。讀者同樣應(yīng)注意，這些人為假定的位移勢(shì)函數(shù)或位移函數(shù)，不具有普遍性，只能用來解決某些問題。但作為解決問題的思路和方法，是值得我們參考和借鑒的。

1.用位移勢(shì)函數(shù)求解空間問題假設(shè)位移u,v,w

是有勢(shì)的函數(shù)，它們可以以下（三）—（七）均參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)式(a)可以歸并為將上式代入用位移表示的平衡微分方程（8－2），若不計(jì)體力，則得分別用位移勢(shì)函數(shù)ψ(x,y,z)的導(dǎo)數(shù)來表示，即式(a)可以歸并為將上式代入用位移表示的平衡微分方程分別用位求解的方法是：（1）由

求出勢(shì)函數(shù)；（2）由

求位移（式（8－6））及應(yīng)力（式（8－8））；將式（8－6）代入應(yīng)力公式（8－1），則應(yīng)力也可以用位移勢(shì)函數(shù)表示為

其中C為任意常數(shù)。若取C=0，則上式成為拉普拉斯方程，

為調(diào)和函數(shù)，即求解的方法是：（1）由（3）使位移和應(yīng)力滿足和上的邊界條件。位移勢(shì)函數(shù)的局限性是，是人為假定的，且體積應(yīng)變因此，它只適用于彈性體內(nèi)各點(diǎn)均無體積應(yīng)變的情形（如純剪切問題）。2、用伽遼金位移函數(shù)求解空間問題伽遼金假定位移可以表示為如下形式，（3）使位移和應(yīng)力滿足和上的邊界條件。其中ξ,η,ζ均為x,y,z函數(shù)。由于(x,y,z)具有對(duì)等性，上式也用對(duì)等的公式表示。

將位移表達(dá)式（8－9）代入用位移表示的平衡微分方程(8—2)，若不計(jì)體力，則得其中ξ,η,ζ均為x,y,z函數(shù)。由于(x,y,z)具有對(duì)等式（8－10）是ξ,η,ζ應(yīng)滿足的方程，可見它們都是重調(diào)和函數(shù)。應(yīng)力也可以用位移函數(shù)來表示。于是，求解空間問題的位移u,v,w就化為求解ξ,η,ζ函數(shù)的問題，它們都應(yīng)滿足重調(diào)和方程（8－10），并在邊界上滿足相應(yīng)的邊界條件。引用這種位移函數(shù)，其未知函式（8－10）是ξ,η,ζ應(yīng)滿足的方程，可見它們都是重調(diào)和函數(shù)的數(shù)目并沒有減少，但使它們應(yīng)滿足的方程簡(jiǎn)化了。力學(xué)家曾應(yīng)用上述位移勢(shì)函數(shù)和位移函數(shù)解出一些空間問題的解答，有時(shí)還采用二者組合的方式來解。數(shù)的數(shù)目并沒有減少，但使它們應(yīng)滿足的方程簡(jiǎn)化了。代入用位移表示的空間軸對(duì)稱問題的平衡微分方程（書中式（a）），若不計(jì)體力，得（四）空間軸對(duì)稱問題的位移勢(shì)函數(shù)和位移函數(shù)1、對(duì)于空間軸對(duì)稱問題，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，位移分量可以用位移勢(shì)能數(shù)ψ(ρ,z)表示為代入用位移表示的空間軸對(duì)稱問題的平衡微分方程（書中式（a））相應(yīng)于式（8－11）的應(yīng)力分量為這兩式可歸結(jié)為▽2ψ＝C，若取C＝0，則位移勢(shì)函數(shù)應(yīng)滿足拉普拉斯方程相應(yīng)于式（8－11）的應(yīng)力分量為這兩式可歸結(jié)為▽2ψ＝C，若2.引用拉甫位移函數(shù)求解空間軸對(duì)稱問題拉甫引用位移函數(shù)ζ（ρ,z）來表示位移分量，于是，按位移勢(shì)函數(shù)ψ求解時(shí)，ψ應(yīng)滿足拉普拉斯方程（8－12），并在邊界上滿足位移或應(yīng)力的邊界條件。采用位移勢(shì)函數(shù)的局限性，如同平面問題中的位移勢(shì)函數(shù)一樣，仍然是體積應(yīng)變?yōu)榱?，?/p>

2.引用拉甫位移函數(shù)求解空間軸對(duì)稱問題于是代入用位移表示的空間軸對(duì)稱問題的平衡微分方程，兩式都得出將式（8－14）代入幾何和物理方程，便可得出應(yīng)力用ζ表示的表達(dá)式代入用位移表示的空間軸對(duì)稱問題的平衡微分方程，兩式都得出彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程第四版第八章課件于是，對(duì)于空間軸對(duì)稱問題，可以引用位移函數(shù)ζ來進(jìn)行求解。ζ應(yīng)滿足重調(diào)和方程（8－15），并在邊界上滿足位移或應(yīng)力邊界條件。

于是，對(duì)于空間軸對(duì)稱問題，可以引用位移函數(shù)ζ來進(jìn)行求并令（五）空間問題的應(yīng)力函數(shù)

在按應(yīng)力求解空間問題中，力學(xué)家也提出了幾種應(yīng)力函數(shù)以簡(jiǎn)化問題的求解。當(dāng)然這些應(yīng)力函數(shù)不具有普遍性，是人為假定的。例如，馬克斯韋提出下列應(yīng)力函數(shù)，并令（五）空間問題的應(yīng)力函數(shù)此組應(yīng)力分量(c)能完全滿足無體力的平衡微分方程（7－1），因此，只須滿足相容方程及邊界條件等就可以了。此外，力學(xué)家還提出了其他幾種應(yīng)力函數(shù)，讀者可參見[6],[7]。此組應(yīng)力分量(c)能完全滿足無體力的平衡微分方程（7－1），可應(yīng)用辛卜生的數(shù)值積分公式計(jì)算。

（六）扭轉(zhuǎn)問題的差分法

扭轉(zhuǎn)問題的差分法，可以應(yīng)用拋物線差分公式表示如下?？蓱?yīng)用辛卜切應(yīng)力公式，切應(yīng)力公式，（七）彈性力學(xué)的一般原理以下簡(jiǎn)要介紹彈性力學(xué)中具有普遍意義的原理，供讀者參考。本處不作證明，讀者可參考一般的彈性力學(xué)書籍。（1）疊加原理：在線彈性和小變形情況下，作用在物體上幾組荷載產(chǎn)生的應(yīng)力和形變的總效應(yīng)，等于每組荷載單獨(dú)作用效應(yīng)的總和。疊加原理是在線彈性（物理線性）和小變形（幾何線性）條件下成立的。其中認(rèn)為（七）彈性力學(xué)的一般原理加載后物體的形變和位移是微小的，對(duì)另一組外力作用時(shí)的影響可以不計(jì)。但梁、板和薄壁構(gòu)件等在縱、橫向荷載作用時(shí)的彎曲和穩(wěn)定問題中，前一組荷載引起的變形對(duì)后一組荷載作用時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生影響，這是值得注意的。

（2）解的唯一性定理

定理：假設(shè)彈性體內(nèi)不受體力作用，在邊界上不受面力作用，或約束位移為零，且彈性體未受初始應(yīng)力的作用，則在平衡時(shí)，彈性體內(nèi)的應(yīng)力和形變均等于零。加載后物體的形變和位移是微小的，對(duì)另一組外力作用時(shí)的影響可以

唯一性定理：假設(shè)彈性體受已知體力的作用，在邊界上受已知面力或約束位移的作用，則在平衡時(shí)彈性體內(nèi)應(yīng)力和形變的解是唯一的。唯一性定理是基爾霍夫在1858年提出的。解的疊加原理和解的唯一性定理都是在線彈性和小變形條件下成立的，因?yàn)檫@時(shí)的微分方程和邊界條件都是線性的方程。（3）圣維南原理（局部性原理）。唯一性定理：假設(shè)彈性體受已知體力的作用，在邊（4）互換定理（貝蒂，1872）：第一組力（包括外力及慣性力）在第二組位移上所做的功，等于第二組力（包括外力及慣性力）在第一組位移上所做的功。（5）最小勢(shì)能原理。（6）最小余能原理（略）。（4）互換定理（貝蒂，1872）：第一組力（包第八章空間問題的解答第五節(jié)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)第四節(jié)按應(yīng)力求解空間問題第三節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力第二節(jié)半空間體受重力及均布?jí)毫Φ谝还?jié)按位移求解空間問題第六節(jié)扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬第七節(jié)橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第八節(jié)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)例題習(xí)題的提示和答案教學(xué)參考資料第八章空間問題的解答第五節(jié)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)第四節(jié)1.取u,v,w為基本未知函數(shù)。按位移求解2.將應(yīng)變用位移來表示，可以引用幾何方程。將應(yīng)力先用應(yīng)變表示（應(yīng)用物理方程），再代入幾何方程，也用位移來表示：在直角坐標(biāo)系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，即§8－1按位移求解空間問題1.取u,v,w為基本未知函數(shù)。按位移其中體積應(yīng)變按位移求解3.將式(a)代入平衡微分方程，得在V內(nèi)求解位移的基本方程：其中體積應(yīng)變按位移求解3.將其中拉普拉斯算子V內(nèi)基本方程其中拉普拉斯算子V內(nèi)基本方程4.將式代入應(yīng)力邊界條件，得用位移表示的應(yīng)力邊界條件：邊界條件位移邊界條件仍為:4.將式代入應(yīng)力邊界條件，（2）上的應(yīng)力邊界條件(c),（3）上的位移邊界條件(d)。

歸結(jié)：按位移求解空間問題，位移u,v,w

必須滿足：

按位移求解這些條件也是校核位移是否正確的全部條件。（1）V內(nèi)的平衡微分方程(b),（2）上的應(yīng)力邊界條件(c),（3）上的位移邊界優(yōu)點(diǎn)在空間問題中，按位移求解方法尤為要：3.近似解法中，按位移法求解得到廣泛的應(yīng)用。2.未知函數(shù)及方程的數(shù)目少。而按應(yīng)力求解時(shí)，沒有普遍性的應(yīng)力函數(shù)存在。1.能適用于各種邊界條件。優(yōu)點(diǎn)在空間問題中，按位移求解方法尤為要：3.近按位移求解空間軸對(duì)稱問題在柱坐標(biāo)中，可以相似地導(dǎo)出：位移

應(yīng)滿足：

軸對(duì)稱問題（1）V內(nèi)的平衡微分方程，按位移求解空間軸對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題（1）V內(nèi)的平衡微軸對(duì)稱的拉普拉斯算子為其中體積應(yīng)變軸對(duì)稱問題（2）上的應(yīng)力邊界條件。

（3）上的位移邊界條件。軸對(duì)稱的拉普拉斯算子為其中體積應(yīng)變軸對(duì)稱問1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊界條件（8-4）。2、試導(dǎo)出空間軸對(duì)稱問題中用位移表示的平衡微分方程（書中式（8-4）），并將上的應(yīng)力邊界條件用位移來表示。

思考題1、試導(dǎo)出空間問題中上的應(yīng)力邊界條件思考題設(shè)有半空間體，受自重體力及邊界的均布?jí)毫?！?－2半空間體受重力

及均布?jí)毫栴}設(shè)有半空間體，受自重體力及邊界采用按位移求解：

考慮對(duì)稱性：本題的任何x面和y面均為對(duì)稱面，∴可設(shè)位移u,v,w應(yīng)滿足平衡微分方程及邊界條件。采用按位移求解：（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式自然滿足，第三式成為常微分方程，求解方程積分兩次,得（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式求解方程積分兩次,相應(yīng)的應(yīng)力為求解方程相應(yīng)的應(yīng)力為求解方程（2）在z=0的負(fù)z面，應(yīng)力邊界條件為邊界條件由式(d)求出A，得應(yīng)力解為（2）在z=0的負(fù)z面，應(yīng)力邊界條件為邊界條件由式(d)求出位移解為其中B為z向剛體平移，須由約束條件確定。若z=h為剛性層，則由可以確定B。若為半無限大空間體，則沒有約束條件可以確定B；位移解為其中B為z向剛體平移，須由約束條件確定。側(cè)面壓力與鉛直壓力之比，稱為側(cè)壓力系數(shù)。即側(cè)壓力系數(shù)側(cè)面壓力與鉛直壓力之比，稱為側(cè)壓力系數(shù)。即側(cè)當(dāng)時(shí)，側(cè)向變形最大，側(cè)向壓力也最大，說明物體的剛度極小，接近于流體。當(dāng)時(shí)，正應(yīng)力不引起側(cè)向變形。說明物體的剛度極大，接近于剛體。討論：討論：思考題1、如果圖中的問題改為平面應(yīng)力問題，或平面應(yīng)變問題，試考慮應(yīng)如何按位移求解？思考題1、如果圖中的問題改為平面應(yīng)力問題，2.若將空間問題的伽遼金位移函數(shù)向平面應(yīng)變問題簡(jiǎn)化，將得到什么形式的表達(dá)式？再轉(zhuǎn)向平面應(yīng)力問題，又將得到什么形式的表達(dá)式？并與平面問題的位移函數(shù)相比較（參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”和第二章教學(xué)參考資料）。3.試用伽遼金位移函數(shù)的表達(dá)式(8-9),導(dǎo)出式(8-10)（參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）。2.若將空間問題的伽遼金位移函數(shù)向平面3.試用伽設(shè)有半空間體，在o點(diǎn)受有法向集中力F。本題為空間軸對(duì)稱問題。應(yīng)用柱坐標(biāo)求解，而位移,而和應(yīng)滿足:

§8-3半空間體在邊界上受

法向集中力問題設(shè)有半空間體，在o點(diǎn)受有法向集中力F。（1）平衡微分方程（書中（8-4））求解條件其中（1）平衡微分方程（書中（8-4））求解條件其中（2）在z=0的邊界上，除原點(diǎn)o以外的應(yīng)力邊界條件為（3）由于z=0邊界上o點(diǎn)有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脫離體，應(yīng)用圣維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：（2）在z=0的邊界上，除原點(diǎn)o以外的應(yīng)力（3）由于z=0邊布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的解答為由于軸對(duì)稱，其余的5個(gè)平衡條件均為自然滿足。布西內(nèi)斯克得出滿足上述全部條件的解答為其中其中應(yīng)力特征：（3）水平截面上的全應(yīng)力，指向F作用點(diǎn)

o。

邊界面上任一點(diǎn)的沉陷，（2）水平截面上的應(yīng)力與彈性常數(shù)無關(guān)。（1）當(dāng)當(dāng)應(yīng)力特征：（3）水平截面上的全應(yīng)力，若單位力均勻分布在的矩形面積上，其沉陷解為：將F代之為，對(duì)積分，便得到書上公式。分布力若單位力均勻分布在的矩形面積試由位移函數(shù)的表達(dá)式(8-11)，導(dǎo)出式(8-12)。（參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）2.

試由拉甫位移函數(shù)的表達(dá)式(8-14)，導(dǎo)出式(8-15)。（參見“彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程學(xué)習(xí)指導(dǎo)”）思考題試由位移函數(shù)的表達(dá)式(8-11)，導(dǎo)出式(8-12)。（§8－4按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題的方法：按應(yīng)力求解形變可以通過物理方程用應(yīng)力表示。位移要通過對(duì)幾何方程的積分，才能用形變或應(yīng)力表示，其中會(huì)出現(xiàn)待定的積分函數(shù)。2.其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示:1.取σx…

τyz…為基本未知函數(shù)。

§8－4按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解因此,位移邊界條件等用應(yīng)力表示時(shí)，既復(fù)雜又難以求解。所以按應(yīng)力求解通常只解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。因此,位移邊界條件等用應(yīng)力表示時(shí)，既復(fù)雜又難3.在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程

:從幾何方程消去位移，導(dǎo)出六個(gè)相容方程：（2）相容方程（六個(gè)）:（1）平衡微分方程（三個(gè)）。V內(nèi)方程3.在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程:從幾何方程消去位移，導(dǎo)出六個(gè)再代入物理方程，導(dǎo)出用應(yīng)力表示的相容方程。(書中（8-12））。4.假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件，在上，應(yīng)滿足書中式（7-5）。應(yīng)力邊界條件再代入物理方程，導(dǎo)出用應(yīng)力表示的相容方程。(（1）V內(nèi)的三個(gè)平衡微分方程；其中(1),(3)是靜力平衡條件；(2),(4)是位移連續(xù)條件。按應(yīng)力求解歸納為,應(yīng)力分量應(yīng)滿足：按應(yīng)力求解歸納（4）對(duì)于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。（3）上的三個(gè)應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）；（2）V內(nèi)的六個(gè)相容方程；（1）V內(nèi)的三個(gè)平衡微分方程；其中(1),（1）物體滿足連續(xù)性條件導(dǎo)出形變和位移之間的幾何方程導(dǎo)出相容方程。對(duì)于相容方程說明如下：相容方程說明所以相容方程是位移的連續(xù)性條件。（2）形變滿足相容方程對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)物體保持連續(xù)；形變不滿足相容方程對(duì)應(yīng)的位移不存在物體不保持連續(xù)。（1）物體滿足連續(xù)性條件導(dǎo)出形變和位（3）相容方程的導(dǎo)出及對(duì)(2)的證明，可參見有關(guān)書籍。例如：（4）相容方程必須為六個(gè)。相容方程和平衡微分方程的數(shù)目大于未知函數(shù)的數(shù)目，是由于微分方程提高階數(shù)所需要的。（3）相容方程的導(dǎo)出及對(duì)(2)的證明，可例如：（4）相容式是由方程提高階數(shù)得出的，但式增加的解不是原式的解。幾何方程中，形變?yōu)?階導(dǎo)數(shù)；但在相容方程中形變以2階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)。因?yàn)槲⒎址匠烫岣唠A數(shù)會(huì)增加解答，所以增加的方程數(shù)目正好用來消去增加的解答。式是由方程提高階數(shù)得出的，但式在按應(yīng)力求解空間問題中，力學(xué)家提出了幾種應(yīng)力函數(shù)，用來表示應(yīng)力并簡(jiǎn)化求解的方程。應(yīng)力函數(shù)應(yīng)用這些應(yīng)力函數(shù)，也已求出了一些空問題之解。但這些應(yīng)力函數(shù)不具有普遍性（不是普遍存在的）。在按應(yīng)力求解空間問題中，力學(xué)家提出了幾種應(yīng)力函數(shù)，用思考題1、試考慮：從空間問題的相容方程，可以導(dǎo)出平面應(yīng)變問題的相容方程，卻不能直接導(dǎo)出平面應(yīng)力問題的相容方程，為什么？

(見例題4)2、在表面均受到法向壓力q作用的任意形狀的空間體，其應(yīng)力分量是

試證明這些應(yīng)力分量是該問題之解（對(duì)于多連體還應(yīng)滿足位移單值條件）。思考題扭轉(zhuǎn)問題也是空間問題的一個(gè)特例?！?-5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的特性來簡(jiǎn)化空間問題，就建立了扭轉(zhuǎn)問題的基本理論（1854-1856年，圣維南）。扭轉(zhuǎn)問題扭轉(zhuǎn)問題也是空間問題的一個(gè)特例?！?-5等扭轉(zhuǎn)問題的提出:（1）等截面柱體；（2）無體力作用，（3）柱體側(cè)面無面力作用，柱體上下端面的面力，合成一對(duì)力矩M。扭轉(zhuǎn)問題的提出:（1）等截面柱體；引用按應(yīng)力求解空間問題的方法—應(yīng)力應(yīng)滿足3個(gè)平衡微分方程，6個(gè)相容方程及上的應(yīng)力邊界條件。按應(yīng)力求解引用按應(yīng)力求解空間問題的方法—應(yīng)力應(yīng)滿足3個(gè)因此只有，代入3個(gè)平衡微分方程得1.由扭轉(zhuǎn)問題特性,

∵上下端面（）上無面力∴設(shè)

∵側(cè)面無任何面力，∴因此只有，代入3個(gè)平衡微分方程得由式(a)前兩式，得僅為（x,y）的函數(shù)；第三式成為又由偏導(dǎo)數(shù)的相容性，存在一個(gè)應(yīng)力函數(shù)由式(a)前兩式，得僅為（x,y）的又由偏導(dǎo)數(shù)對(duì)比式(b)和(c)，兩個(gè)切應(yīng)力均可用一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)

表示為對(duì)比式(b)和(c)，兩個(gè)切應(yīng)力均可用一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)由此得出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的方程：2.將式（d）代入6個(gè)相容方程，前三式和第六式自然滿足，其余兩式為代入（d），得C為待定常數(shù)。相容方程由此得出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的方程：2.將式（d）而得3.考察側(cè)面邊界條件前兩式自然滿足，第三式成為邊界條件而∴在S上為常數(shù)。又由于中常數(shù)不影響應(yīng)力，∴得的側(cè)面邊界條件為考察上端面（z=0）的邊界條件。在小邊界z=0上，應(yīng)用圣維南原理，有∴在S上為常數(shù)。又由于中常數(shù)不影響應(yīng)力，∴在z=0負(fù)面上，只有?！鄺l件自然滿足，而其余三個(gè)條件為在z=0負(fù)面上，只有將式代入，并應(yīng)用條件，經(jīng)過運(yùn)算（見書P.168），式的前兩式自然滿足，而由后一式得出關(guān)于的端面邊界條件為將式代入，并應(yīng)用條件，經(jīng)扭轉(zhuǎn)問題歸納為求一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)滿足：歸納（1）A內(nèi)方程（2）側(cè)面S上邊界條件（3）端面上邊界條件扭轉(zhuǎn)問題歸納為求一個(gè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，注解：（3）扭轉(zhuǎn)問題中的變量為x,y，∴仍屬于二維問題。（2）空間問題按應(yīng)力求解的全部條件均已考慮并滿足。（1）另一端面上的邊界條件自然滿足。注解：（3）扭轉(zhuǎn)問題中求位移分量：根據(jù)上面的應(yīng)力，代入物理方程，可以求出對(duì)應(yīng)的形變；再代入幾何方程，并進(jìn)行積分，求出對(duì)應(yīng)的位移為其中，為單位桿件長(zhǎng)度的扭角。求位移求位移分量：其中，并且還得出對(duì)比式（e），得出常數(shù)C的物理意義，并且還得出對(duì)比式（e），得出常數(shù)C的物理意義，思考題試考慮：上面建立的分析方法是精確的理論還是近似的理論，其中提出的一些假設(shè)是否完全成立？

思考題試考慮：上面建立的分析方法是精確§8－6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬對(duì)于物理現(xiàn)象不同，但數(shù)學(xué)描述相同的問題，可以應(yīng)用比擬方法來求解。薄膜問題—設(shè)有一薄膜，張?jiān)谒竭吔缟?，并受到微小的氣體壓力q?！?－6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬對(duì)于物理現(xiàn)象薄膜斜率在面分別為薄膜斜率在面分別為薄膜只能承受均勻拉力，不能承受彎矩，扭矩，剪力和壓力。取出一個(gè)微小單元abcd,各邊上的作用力均為，但薄膜的斜率不同。薄膜問題薄膜斜率在面分別為薄膜斜率在面分平衡條件：平衡條件：得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率為薄膜與邊界平面（xy面）之間的2倍體積是薄膜的邊界條件為薄膜比擬得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率為扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題未知函數(shù)A內(nèi)方程從數(shù)學(xué)上看，薄膜問題和扭轉(zhuǎn)問題的數(shù)學(xué)方程相同，比較如下：

邊界條件扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題從數(shù)學(xué)上邊界條件切應(yīng)力/斜率扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題于是求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的問題，可以化為求薄膜垂度z的問題：只要使M對(duì)應(yīng)于2V，則邊界條件扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題于是求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的問薄膜比擬的應(yīng)用：（3）通過薄膜比擬,提出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的假設(shè)。（2）通過薄膜比擬,直接求解薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題。（1）通過薄膜比擬試驗(yàn),求解扭轉(zhuǎn)問題。薄膜比擬的應(yīng)用：（3）通過薄膜比擬,扭轉(zhuǎn)問題已歸結(jié)為求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)滿足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,§8－7橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)求φ的條件扭轉(zhuǎn)問題已歸結(jié)為求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，式中的C為常數(shù)，其特解十分簡(jiǎn)單；而式的通解為調(diào)和函數(shù)。C可以由式求出。式中的C為常數(shù)，其特解十分簡(jiǎn)單；而橢圓截面桿受M的扭轉(zhuǎn)，可以由式(a),(b),(c)求解。1.為了滿足式(b)，可取在橢圓邊界上橢圓截面桿橢圓截面桿受M的扭轉(zhuǎn)，可以由式(a),(b),(c)2.將式(d)代入(a)，解出3.再將式(d)及(e)代入式(c)，求出從而得出2.將式(d)代入(a)，解出3.再將式(d)及(e求出單位長(zhǎng)度桿件的扭角：求出單位長(zhǎng)度桿件的扭角：z向的位移為可見橫截面不保持為平面。只有當(dāng)a=b的圓截面時(shí)，w=0，才保持為平面。z向的位移為對(duì)于的狹矩形截面，從薄膜比擬來看,在邊界條件中，長(zhǎng)邊上應(yīng)嚴(yán)格滿足§8－8矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)而短邊(x=±b)是次要的，可忽略。狹矩形截面桿1.狹矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

對(duì)于的狹矩形截面，從薄膜比擬來看,在（2）在方程中，應(yīng)主要考慮y向的導(dǎo)數(shù)，而可忽略x向的導(dǎo)數(shù)，∴由式和，可得可簡(jiǎn)化為（2）在方程中，應(yīng)主要考慮y向的導(dǎo)數(shù)，由式和（3）將代入求出

∴狹矩形桿的解答為（3）將代入矩形截面桿2.一般矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

以狹矩形桿解答為基礎(chǔ)，再迭加一個(gè)修正解的方法,進(jìn)行求解：矩形截面桿2.一般矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)滿足條件是由上式可導(dǎo)出F應(yīng)滿足的條件:應(yīng)滿足條件是由上式可導(dǎo)出F應(yīng)滿足的條件:從式（h）可解出F，再由式（g）得，然后求出應(yīng)力等解答（用雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的級(jí)數(shù)表示）。書中列出了簡(jiǎn)化的結(jié)果，見式（8-34）和（8-35）。從式（h）可解出F，再由式（g）得3.薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)（2）從薄膜比擬可見，當(dāng)狹矩形的a,b相同時(shí)，直線形和曲線形截面的薄膜是相似的，∴