數(shù)學藝術欣賞課件

埃舍爾埃舍爾de數(shù)學藝術欣賞埃舍爾埃舍爾de數(shù)學藝術欣賞1

介

紹

埃舍爾把自己稱為一個"圖形藝術家"，他專門從事于木版畫和平版畫。1898年他出生在荷蘭的Leeuwarden，全名叫MauritsCornelisEscher。他的家庭設想他將來能跟隨他的父親從事建筑事業(yè)，但是他在學校里那可憐的成績以及對于繪畫和設計的偏愛最終使得他從事圖形藝術的職業(yè)。他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他舉辦了他的第一次重要的畫展,這個畫展得到了《時代》雜志的好評,并且獲得了世界范圍的名望。在他的最熱情的贊美者之中不乏許多數(shù)學家,他們認為在他的作品中數(shù)學的原則和思想得到了非同尋常的形象化。因為這個荷蘭的藝術家沒有受過中學以外的正式的數(shù)學訓練，因而這一點尤其令人贊嘆。隨著他的創(chuàng)作的發(fā)展，他從他讀到的數(shù)學的思想中獲得了巨大靈感，他工作中經(jīng)常直接用平面幾何和射影幾何的結構，這使他的作品深刻地反映了非歐幾里德幾何學的精髓，下面我們將看到這一點。他也被悖論和"不可能"的圖形結構所迷住，并且使用了羅杰·彭羅斯的一個想法發(fā)展了許多吸引人的藝術成果。這樣,對于學數(shù)學的學生，埃舍爾的工作圍繞了兩個廣闊的區(qū)域："空間幾何學"和我們或許可以叫做的"空間邏輯學"。

2

鑲嵌圖形

規(guī)則的平面分割叫做鑲嵌，鑲嵌圖形是完全沒有重疊并且沒有空隙的封閉圖形的排列。一般來說,構成一個鑲嵌圖形的基本單元是多邊形或類似的常規(guī)形狀,例如經(jīng)常在地板上使用的方瓦。然而,埃舍爾被每種鑲嵌圖形迷住了，不論是常規(guī)的還是不規(guī)則的;并且對一種他稱為metamorphoses（變形）的形狀特別感興趣，這其中的圖形相互變化影響，并且有時突破平面的自由。他的興趣是從1936年開始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了當?shù)厥褂玫耐叩膱D案。他花了好幾天勾畫這些瓦面，過后宣稱這些"是我所遇到的最豐富的靈感資源"，1957年他寫了一篇關于鑲嵌圖形的文章，其中評論道："在數(shù)學領域，規(guī)則的平面分割已從理論上研究過了...，難道這意味著它只是一個嚴格的數(shù)學的問題嗎？按照我的意見,它不是。數(shù)學家們打開了通向一個廣闊領域的大門，但是他們自己卻從未進入該領域。從他們的天性來看他們更感興趣的是打開這扇門的方式，而不是門后面的花園。"

無論這對數(shù)學家是否公平,有一點是真實的--他們指出了在所有的常規(guī)的多邊形中，僅僅三角形，正方形，和正六邊形能被用于鑲嵌。但許多其他不規(guī)則多邊形平鋪后也能形成鑲嵌，例如有許多鑲嵌就使用了不規(guī)則的五角星形狀。埃舍爾在他的鑲嵌圖形中利用了這些基本的圖案，他用幾何學中的反射、平滑反射、變換和旋轉(zhuǎn)來獲得更多的變化圖案。他也精心地使這些基本圖案扭曲變形為動物、鳥和其他的形狀。這些改變不得不通過三次、四次甚至六次的對稱以便得到鑲嵌圖形。這樣做的效果既是驚人的，又是美麗的。

在"蜥蜴"里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維平面的束縛到桌面放風,然后又重新陷入原來的圖案。埃舍爾在許多六邊形的鑲嵌圖形中使用了這個圖案模式。在"逐步展開1"中，可以追溯到這個方形的鑲嵌圖形從邊緣到中間的不斷扭曲轉(zhuǎn)化。

3

在"蜥蜴"里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維平面的束縛到桌面放風,然后又重新陷入原來的圖案。埃舍爾在許多六邊形的鑲嵌圖形中使用了這個圖案模式。

在"蜥蜴"里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維4在"逐步展開1"中，可以追溯到這個方形的鑲嵌圖形從邊緣到中間的不斷扭曲轉(zhuǎn)化。

在"逐步展開1"中，可以追溯到這個方形的鑲嵌圖形從邊緣到5

豪華裝飾的草圖

豪華裝飾的草圖6循環(huán)

循環(huán)7鳥分割的平面

鳥分割的平面8四個規(guī)則的幾何體（42k）

規(guī)則的幾何體,例如多面體，對埃舍爾而言具有特殊的魅力。他把它們作為許多作品的主題，并且在許多作品中作為第二重要的元素出現(xiàn)。僅僅只有五種多面體被稱為理想的多面體。四面體有四個三角形的表面；正方體有六個正方形的表面；八面體有八個三角形的表面；十二面體有十二個五邊形的表面；而二十面體有二十個三角形的表面。在木版畫"四個常規(guī)的幾何體"中，埃舍爾把理想多面體中的四個勻稱地交叉了，并且使它們呈半透明狀以便每個都可以透過其它得以辨認，請看漏了哪個？多面體

四個規(guī)則的幾何體（42k）

規(guī)則的幾何體,例如多面體9

有許多有趣的幾何體可以通過理想幾何體的交叉和星形化來獲得，即幾何體的每一面都由表面為三角形的金字塔形來替代，通過這種變換，多面體轉(zhuǎn)變成了一個尖銳的,三維的星形幾何體。在埃舍爾的作品"有序和無序"中我們可以發(fā)現(xiàn).一個美麗的星形十二面體，星形的輪廓隱現(xiàn)在一個水晶球中，嚴謹構造的美麗與在桌子上混亂擺放的其他的雜物形成了鮮明的對比。注意一下還可以猜測到光的來源，球面上反射出左上方有一個明亮的窗口。

有許多有趣的幾何體可以通過理想幾何體的交叉和星形化來獲得，10交叉的幾何體也常常出現(xiàn)在埃舍爾的作品中,其中最有趣的是一幅木版畫"星"。這是一個由八面體、四面體、立方體和其他東西交叉構成的幾何體，我們不妨這樣認為，如果埃舍爾簡單地畫一些數(shù)學的形狀并且把它們放在一起，我們也許永遠不可能聽說他或他的作品。相反,通過將變色龍放置在多面體內(nèi)并向我們嘲笑和恐嚇的構思，埃舍爾給了我們一種奇異的視覺刺激，使我們對他的畫刮目相看。顯然，數(shù)學家們對埃舍爾的作品頗為贊賞的另外的原因就是所有偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)背后都具有與此相同的感性和創(chuàng)意。

交叉的幾何體也常常出現(xiàn)在埃舍爾的作品中,其中最有趣的是一幅11空間的形狀

在埃舍爾用數(shù)學觀點完成的所有重要的作品中，最重要是處理空間性質(zhì)的那些。他的木版畫"三個方向交叉的平面"是評論這些作品的好例子,因為它顯示了藝術家對空間維度的關心，以及用二維的方式表現(xiàn)三維的能力。空間的形狀在埃舍爾用數(shù)學觀點完成的所有重要12

受一位名叫H.S.MCoxeter的數(shù)學家在一本書中繪畫的啟發(fā),埃舍爾創(chuàng)造了許多美麗的雙曲線空間的作品，例如木版畫"圓形限制III"。這是非歐幾里德幾何學的二種空間之一，在埃舍爾的作品中它的原型實際上源自法國數(shù)學家Poincaré。要得到這個空間的感覺，必須想象你實際上是在圖像的內(nèi)部。當你從它的中心走向圖像的邊緣，你會象圖像里的魚一樣縮小,從而到達你移動后實際的位置，這似乎是無限度的，而實際上你仍然在這個雙曲線空間的內(nèi)部，你必須走無限的距離才能到達歐幾里德空間的邊緣，這一點確實不是顯而易見的。然而,如果你能仔細觀察的話，你還可以注意到一些其他的事情,例如所有類似的三角形都一樣大小，以及你能畫沒有直邊卻有四個直角的圖形，這就是說，這個空間沒有任何正方形或矩形。這確實是一個奇怪的地方！

受一位名叫H.S.MCoxeter的數(shù)學家在一本書中繪畫13更不平常的是木版畫"蛇"所表現(xiàn)的空間，在纏繞和縮小的環(huán)的表現(xiàn)下，空間既向邊界也向中心延伸并且無窮無盡。如果你在這一空間里，你將是什么模樣？更不平常的是木版畫"蛇"所表現(xiàn)的空間，在纏繞和縮小的環(huán)的表現(xiàn)14

除了歐幾里德幾何學和非歐幾里德幾何學，埃舍爾對拓撲學的視覺效果也很感興趣,拓撲學是在他藝術創(chuàng)作的鼎盛期發(fā)展起來的一個數(shù)學分支。拓撲學關注空間那些扭曲后依然不變的性質(zhì)，這種扭曲可以是拉長或彎曲，但不是撕裂或折斷。拓撲學家們忙于向世界展示那些奇怪的物體，莫比烏斯帶也許是最主要的例子，埃舍爾利用它創(chuàng)作了許多作品。它有一個令人感興趣的性質(zhì)--它只有一條邊和一個面。這樣,如果你在"莫比烏斯帶II"上跟蹤螞蟻的路徑,你將發(fā)現(xiàn)它們不是在相反的面上走，而是都走在一個面上。制作一個莫比烏斯帶很容易;只要用剪刀把紙剪成條狀，將它扭曲180度,然后用膠水或膠帶粘住兩頭就可以了。如果你試圖把這條東西縱向的剪成兩半，請你預想一下會發(fā)生什么情況？

除了歐幾里德幾何學和非歐幾里德幾何學，埃舍爾對拓撲學的15

另外一幅很著名的平版畫,叫做"藝術畫廊"，它探索了空間邏輯與拓撲的性質(zhì)。一個年輕人在一個藝術畫廊正看著海邊小鎮(zhèn)的一角，在船塢邊有一家小店，在店里面是一個藝術畫廊及一個年輕人--他正朝著海邊小鎮(zhèn)的一角望去...但是等一下！發(fā)生了什么？埃舍爾的所有作品都值得細細觀賞，但是這一次尤其特別。某種程度上,埃舍爾把空間由二維變成了三維,使人感覺到那個年輕人同時既在畫像內(nèi)又在畫像外面。

另外一幅很著名的平版畫,叫做"藝術畫廊"，它探索了空間16

達到這樣效果的秘密在藝術家創(chuàng)作這幅平版畫的格子草圖中有所顯現(xiàn)注意格子的邊框連續(xù)地按順時針方向排列這一規(guī)律，并且特別注意這個技巧的關鍵：在中間的一個洞。一個數(shù)學家將這叫做奇異點，一個空間的結構不再保持完整的地方，要將整個空間編織成一個無洞的整體是非常困難的，埃舍爾也寧可保持這種現(xiàn)狀，并且把他的商標initials放在了奇異點的中心。

達到這樣效果的秘密在藝術家創(chuàng)作這幅平版畫的格子草圖中17空間的邏輯

這里所說的空間的邏輯是指物理中的物體之間的那些空間的必要的關系,在產(chǎn)生違背視覺的悖論時，被叫做視錯覺。所有的藝術家都關心空間的邏輯，而且許多藝術家深入地探索了它的規(guī)律，例如畢加索。埃舍爾知道：立體幾何學決定了空間的邏輯，同樣地，空間的邏輯也經(jīng)常決定其自身的立體幾何學。他經(jīng)常使用的空間邏輯的特征之一是展示在凹面和凸面物體上的光和陰影。在平版畫"有帶子的立方體"中，帶子上的凹凸是我們覺察它們怎樣與立方體纏繞在一起的視覺線索。然而,如果我們相信我們的眼睛，那么我們不能相信這帶子！

空間的邏輯

這里所說的空間的邏輯是指物理中的物體之間的18

埃舍爾關心的另一個主要方面是透視。在任何透視畫中，趨向消失的點被選擇用來代表無窮遠。正是由于Alberti、Desargues以及其他一些人在文藝復興時期對透視和趨向無限的點的研究直接導致了現(xiàn)代射影幾何學的出現(xiàn)。通過一些不平常地消失的點的引導并迫使一幅作品的基本元素去服從于它們，埃舍爾能夠使作品"上和下"、"高和低"表現(xiàn)的場景取決于觀眾觀察它的目光如何。在他的名為"高和低"的透視作品中，藝術家總共設置了五個消失點：上方的左邊和右邊，底部的左方和右邊，以及中心。其結果是：在作品的下半部觀眾是在往上看,但是在作品的上半部，觀眾是在朝下看。為了強調(diào)他所取得的成功，埃舍爾把上半部和下半部合成了一幅完整的作品。

埃舍爾關心的另一個主要方面是透視。在任何透視畫中，趨19數(shù)學藝術欣賞課件20

這種另類的"不可能的繪畫"用二維的圖形表示并構造一個三維的物體，它們主要依靠人的大腦通過視覺暗示來理解，埃舍爾創(chuàng)作了許多這種表現(xiàn)反常規(guī)圖形的作品。其中最吸引人的一個創(chuàng)意源于一個叫羅杰·彭羅斯的數(shù)學家所提出的不可能的三角形。

這種另類的"不可能的繪畫"用二維的圖形表示并構造一個21在這幅名叫"瀑布"的平版畫中，兩個彭羅斯三角形被結合成一個不可能的形狀。一個人如果明白空間的邏輯對如此的一個構造就必然會覺得不可思議：瀑布是一個封閉系統(tǒng),但它卻能使作坊車輪象一臺永動機一樣連續(xù)地轉(zhuǎn)動，這就違背了能量守衡的定律。（請注意一下在塔上交叉的立方體和八面體。）

在這幅名叫"瀑布"的平版畫中，兩個彭羅斯三角形被結合成一個不22自我復制和信息科學

我們對埃舍爾的藝術所作的最后研究包括了其藝術與信息科學、人工智能的關系，這在先前的研究中被忽略了，但是這一點的重要性被道格拉斯·R·霍夫施塔特細心的發(fā)現(xiàn)了，并寫在他贏得1980普利策獎的《G?del，Escher，Bach：一條永恒的金帶》一書中。埃舍爾表現(xiàn)的一個核心概念是自我復制--這被許多人認為已經(jīng)逼近了大腦知覺這個難題的核心，并且至今計算機還不具備成功地模仿人類大腦處理信息能力。平版畫"互繪的雙手"和木版畫"魚和規(guī)模"用不同的方法表現(xiàn)了這個思想。前者的自我復制是直接的，概念化的。雙手互繪對方，互繪的方式就是意識思考和構建自己的方式，神奇的是，在這里自我和自我復制是連結在一起的，也是相互同等的。

自我復制和信息科學

我們對埃舍爾的藝術所作的最后研究23

另一方面,在"魚和規(guī)模"這幅畫中，自我復制具有更大的功能;人們也許寧愿稱之為自我相似。這樣木板畫描述的就不僅是魚，而是所有的有機體。因為，盡管從物理角度來說，我們不是由微小的自我復制建造起來的,但是，從信息理論角度說，我們的確是以這樣一種方式建立起來的，因為我們身體上的每一個細胞都以DNA的形式攜帶了我們個體的完整信息。

另一方面,在"魚和規(guī)模"這幅畫中，自我復制具有更大的功能24在更深層次的水平上，自我復制是一種我們的認知世界互相反映和互相交錯的結果。我們每一個人都像一本書里的正在讀他（或她）自己的故事的人物，或者像反映它自身風景的一面鏡子那樣。許多埃舍爾的作品都展現(xiàn)了相互交錯的世界這個主題,我們在這里只舉一個這樣例子。正如通常埃舍爾對這個想法的處理那樣,平版畫"三個圓球II"利用了球形鏡面的反射原理。這里,正如Hofstatder提到的那樣"世界的每個部分似乎都包含它，也似乎都被包含進去了，...."。這些球體彼此相互反射，折射出藝術家自己、他工作的房間和他用來畫這些圓球的紙。在更深層次的水平上，自我復制是一種我們的認知世界互相反映和25凸與凹凸與凹26數(shù)學藝術欣賞課件27數(shù)學藝術欣賞課件28數(shù)學藝術欣賞課件29數(shù)學藝術欣賞課件30埃舍爾埃舍爾de數(shù)學藝術欣賞埃舍爾埃舍爾de數(shù)學藝術欣賞31

介

紹

埃舍爾把自己稱為一個"圖形藝術家"，他專門從事于木版畫和平版畫。1898年他出生在荷蘭的Leeuwarden，全名叫MauritsCornelisEscher。他的家庭設想他將來能跟隨他的父親從事建筑事業(yè)，但是他在學校里那可憐的成績以及對于繪畫和設計的偏愛最終使得他從事圖形藝術的職業(yè)。他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他舉辦了他的第一次重要的畫展,這個畫展得到了《時代》雜志的好評,并且獲得了世界范圍的名望。在他的最熱情的贊美者之中不乏許多數(shù)學家,他們認為在他的作品中數(shù)學的原則和思想得到了非同尋常的形象化。因為這個荷蘭的藝術家沒有受過中學以外的正式的數(shù)學訓練，因而這一點尤其令人贊嘆。隨著他的創(chuàng)作的發(fā)展，他從他讀到的數(shù)學的思想中獲得了巨大靈感，他工作中經(jīng)常直接用平面幾何和射影幾何的結構，這使他的作品深刻地反映了非歐幾里德幾何學的精髓，下面我們將看到這一點。他也被悖論和"不可能"的圖形結構所迷住，并且使用了羅杰·彭羅斯的一個想法發(fā)展了許多吸引人的藝術成果。這樣,對于學數(shù)學的學生，埃舍爾的工作圍繞了兩個廣闊的區(qū)域："空間幾何學"和我們或許可以叫做的"空間邏輯學"。

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鑲嵌圖形

規(guī)則的平面分割叫做鑲嵌，鑲嵌圖形是完全沒有重疊并且沒有空隙的封閉圖形的排列。一般來說,構成一個鑲嵌圖形的基本單元是多邊形或類似的常規(guī)形狀,例如經(jīng)常在地板上使用的方瓦。然而,埃舍爾被每種鑲嵌圖形迷住了，不論是常規(guī)的還是不規(guī)則的;并且對一種他稱為metamorphoses（變形）的形狀特別感興趣，這其中的圖形相互變化影響，并且有時突破平面的自由。他的興趣是從1936年開始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了當?shù)厥褂玫耐叩膱D案。他花了好幾天勾畫這些瓦面，過后宣稱這些"是我所遇到的最豐富的靈感資源"，1957年他寫了一篇關于鑲嵌圖形的文章，其中評論道："在數(shù)學領域，規(guī)則的平面分割已從理論上研究過了...，難道這意味著它只是一個嚴格的數(shù)學的問題嗎？按照我的意見,它不是。數(shù)學家們打開了通向一個廣闊領域的大門，但是他們自己卻從未進入該領域。從他們的天性來看他們更感興趣的是打開這扇門的方式，而不是門后面的花園。"

無論這對數(shù)學家是否公平,有一點是真實的--他們指出了在所有的常規(guī)的多邊形中，僅僅三角形，正方形，和正六邊形能被用于鑲嵌。但許多其他不規(guī)則多邊形平鋪后也能形成鑲嵌，例如有許多鑲嵌就使用了不規(guī)則的五角星形狀。埃舍爾在他的鑲嵌圖形中利用了這些基本的圖案，他用幾何學中的反射、平滑反射、變換和旋轉(zhuǎn)來獲得更多的變化圖案。他也精心地使這些基本圖案扭曲變形為動物、鳥和其他的形狀。這些改變不得不通過三次、四次甚至六次的對稱以便得到鑲嵌圖形。這樣做的效果既是驚人的，又是美麗的。

在"蜥蜴"里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維平面的束縛到桌面放風,然后又重新陷入原來的圖案。埃舍爾在許多六邊形的鑲嵌圖形中使用了這個圖案模式。在"逐步展開1"中，可以追溯到這個方形的鑲嵌圖形從邊緣到中間的不斷扭曲轉(zhuǎn)化。

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在"蜥蜴"里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維平面的束縛到桌面放風,然后又重新陷入原來的圖案。埃舍爾在許多六邊形的鑲嵌圖形中使用了這個圖案模式。

在"蜥蜴"里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維34在"逐步展開1"中，可以追溯到這個方形的鑲嵌圖形從邊緣到中間的不斷扭曲轉(zhuǎn)化。

在"逐步展開1"中，可以追溯到這個方形的鑲嵌圖形從邊緣到35

豪華裝飾的草圖

豪華裝飾的草圖36循環(huán)

循環(huán)37鳥分割的平面

鳥分割的平面38四個規(guī)則的幾何體（42k）

規(guī)則的幾何體,例如多面體，對埃舍爾而言具有特殊的魅力。他把它們作為許多作品的主題，并且在許多作品中作為第二重要的元素出現(xiàn)。僅僅只有五種多面體被稱為理想的多面體。四面體有四個三角形的表面；正方體有六個正方形的表面；八面體有八個三角形的表面；十二面體有十二個五邊形的表面；而二十面體有二十個三角形的表面。在木版畫"四個常規(guī)的幾何體"中，埃舍爾把理想多面體中的四個勻稱地交叉了，并且使它們呈半透明狀以便每個都可以透過其它得以辨認，請看漏了哪個？多面體

四個規(guī)則的幾何體（42k）

規(guī)則的幾何體,例如多面體39

有許多有趣的幾何體可以通過理想幾何體的交叉和星形化來獲得，即幾何體的每一面都由表面為三角形的金字塔形來替代，通過這種變換，多面體轉(zhuǎn)變成了一個尖銳的,三維的星形幾何體。在埃舍爾的作品"有序和無序"中我們可以發(fā)現(xiàn).一個美麗的星形十二面體，星形的輪廓隱現(xiàn)在一個水晶球中，嚴謹構造的美麗與在桌子上混亂擺放的其他的雜物形成了鮮明的對比。注意一下還可以猜測到光的來源，球面上反射出左上方有一個明亮的窗口。

有許多有趣的幾何體可以通過理想幾何體的交叉和星形化來獲得，40交叉的幾何體也常常出現(xiàn)在埃舍爾的作品中,其中最有趣的是一幅木版畫"星"。這是一個由八面體、四面體、立方體和其他東西交叉構成的幾何體，我們不妨這樣認為，如果埃舍爾簡單地畫一些數(shù)學的形狀并且把它們放在一起，我們也許永遠不可能聽說他或他的作品。相反,通過將變色龍放置在多面體內(nèi)并向我們嘲笑和恐嚇的構思，埃舍爾給了我們一種奇異的視覺刺激，使我們對他的畫刮目相看。顯然，數(shù)學家們對埃舍爾的作品頗為贊賞的另外的原因就是所有偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)背后都具有與此相同的感性和創(chuàng)意。

交叉的幾何體也常常出現(xiàn)在埃舍爾的作品中,其中最有趣的是一幅41空間的形狀

在埃舍爾用數(shù)學觀點完成的所有重要的作品中，最重要是處理空間性質(zhì)的那些。他的木版畫"三個方向交叉的平面"是評論這些作品的好例子,因為它顯示了藝術家對空間維度的關心，以及用二維的方式表現(xiàn)三維的能力?？臻g的形狀在埃舍爾用數(shù)學觀點完成的所有重要42

受一位名叫H.S.MCoxeter的數(shù)學家在一本書中繪畫的啟發(fā),埃舍爾創(chuàng)造了許多美麗的雙曲線空間的作品，例如木版畫"圓形限制III"。這是非歐幾里德幾何學的二種空間之一，在埃舍爾的作品中它的原型實際上源自法國數(shù)學家Poincaré。要得到這個空間的感覺，必須想象你實際上是在圖像的內(nèi)部。當你從它的中心走向圖像的邊緣，你會象圖像里的魚一樣縮小,從而到達你移動后實際的位置，這似乎是無限度的，而實際上你仍然在這個雙曲線空間的內(nèi)部，你必須走無限的距離才能到達歐幾里德空間的邊緣，這一點確實不是顯而易見的。然而,如果你能仔細觀察的話，你還可以注意到一些其他的事情,例如所有類似的三角形都一樣大小，以及你能畫沒有直邊卻有四個直角的圖形，這就是說，這個空間沒有任何正方形或矩形。這確實是一個奇怪的地方！

受一位名叫H.S.MCoxeter的數(shù)學家在一本書中繪畫43更不平常的是木版畫"蛇"所表現(xiàn)的空間，在纏繞和縮小的環(huán)的表現(xiàn)下，空間既向邊界也向中心延伸并且無窮無盡。如果你在這一空間里，你將是什么模樣？更不平常的是木版畫"蛇"所表現(xiàn)的空間，在纏繞和縮小的環(huán)的表現(xiàn)44

除了歐幾里德幾何學和非歐幾里德幾何學，埃舍爾對拓撲學的視覺效果也很感興趣,拓撲學是在他藝術創(chuàng)作的鼎盛期發(fā)展起來的一個數(shù)學分支。拓撲學關注空間那些扭曲后依然不變的性質(zhì)，這種扭曲可以是拉長或彎曲，但不是撕裂或折斷。拓撲學家們忙于向世界展示那些奇怪的物體，莫比烏斯帶也許是最主要的例子，埃舍爾利用它創(chuàng)作了許多作品。它有一個令人感興趣的性質(zhì)--它只有一條邊和一個面。這樣,如果你在"莫比烏斯帶II"上跟蹤螞蟻的路徑,你將發(fā)現(xiàn)它們不是在相反的面上走，而是都走在一個面上。制作一個莫比烏斯帶很容易;只要用剪刀把紙剪成條狀，將它扭曲180度,然后用膠水或膠帶粘住兩頭就可以了。如果你試圖把這條東西縱向的剪成兩半，請你預想一下會發(fā)生什么情況？

除了歐幾里德幾何學和非歐幾里德幾何學，埃舍爾對拓撲學的45

另外一幅很著名的平版畫,叫做"藝術畫廊"，它探索了空間邏輯與拓撲的性質(zhì)。一個年輕人在一個藝術畫廊正看著海邊小鎮(zhèn)的一角，在船塢邊有一家小店，在店里面是一個藝術畫廊及一個年輕人--他正朝著海邊小鎮(zhèn)的一角望去...但是等一下！發(fā)生了什么？埃舍爾的所有作品都值得細細觀賞，但是這一次尤其特別。某種程度上,埃舍爾把空間由二維變成了三維,使人感覺到那個年輕人同時既在畫像內(nèi)又在畫像外面。

另外一幅很著名的平版畫,叫做"藝術畫廊"，它探索了空間46

達到這樣效果的秘密在藝術家創(chuàng)作這幅平版畫的格子草圖中有所顯現(xiàn)注意格子的邊框連續(xù)地按順時針方向排列這一規(guī)律，并且特別注意這個技巧的關鍵：在中間的一個洞。一個數(shù)學家將這叫做奇異點，一個空間的結構不再保持完整的地方，要將整個空間編織成一個無洞的整體是非常困難的，埃舍爾也寧可保持這種現(xiàn)狀，并且把他的商標initials放在了奇異點的中心。

達到這樣效果的秘密在藝術家創(chuàng)作這幅平版畫的格子草圖中47空間的邏輯

這里所說的空間的邏輯是指物理中的物體之間的那些空間的必要的關系,在產(chǎn)生違背視覺的悖論時，被叫做視錯覺。所有的藝術家都關心空間的邏輯，而且許多藝術家深入地探索了它的規(guī)律，例如畢加索。埃舍爾知道：立體幾何學決定了空間的邏輯，同樣地，空間的邏輯也經(jīng)常決定其自身的立體幾何學。他經(jīng)常使用的空間邏輯的特征之一是展示在凹面和凸面物體上的光和陰影。在平版畫"有帶子的立方體"中，帶子上的凹凸是我們覺察它們怎樣與立方體纏繞在一起的視覺線索。然而,如果我們相信我們的眼睛，那么我們不能相信這帶子！

空間的邏輯

這里所說的空間的邏輯是指物理中的物體之間的48

埃舍爾關心的另一個主要方面是透視。在任何透視畫中，趨向消失的點被選擇用來代表無窮遠。正是由于Alberti、Desargues以及其他一些人在文藝復興時期對透視和趨向無限的點的研究直接導致了現(xiàn)代射影幾何學的出現(xiàn)。通過一些不平常地消失的點的引導并迫使一幅作品的基本元素去服從于它們，埃舍爾能夠使作品"上和下"、"高和低"表現(xiàn)的場景取決于觀眾觀察它的目光如何。在他的名為"高和低"的透視作品中，藝術家總共設置了五個消失點：上方的左邊和右邊，底部的左方和右邊，以及中心。其結果是：在作品的下半部觀眾是在往上看,但是在作品的上半部，觀眾是在朝下看。為了強調(diào)他所取得的成功，埃舍爾把上半部和下半部合成了一幅完整的作品。

埃舍爾關心的另一個主要方面是透視。在任何透視畫中，趨49數(shù)學藝術欣賞課件50

這種另類的"不可能的繪畫"用二維的圖形表示并構造一個三維的物體，它們主要依靠人的大腦通過視覺暗示來理解，埃舍爾創(chuàng)作了許多這種