X射線晶體學(第一章)課件

X射線晶體學制作者:錢存富耿巖X射線晶體學制作者:錢存富耿巖

前言材料各種參數(shù)的測量已經(jīng)成為材料研究的主要手段。而這些參數(shù)是人們建立理論、設計新材料、制定新工藝和改進材料性能的根本依據(jù)。Ｘ射線晶體學是使用Ｘ射線衍射方法測定晶體材料的某些參數(shù)和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的一門學科。前言材料各課程的主要內(nèi)容：基本理論：Ｘ射線的基本知識、晶體結(jié)構(gòu)的基本知識、晶體對Ｘ射線的衍射。實驗方法：粉末照相法、勞埃照相法、衍射儀法。應用：衍射花樣的指數(shù)標定、點陣常數(shù)的精確測定、單晶定向、物相的定性及定量分析和織構(gòu)的測定等。課程的主要內(nèi)容：

主要參考書：1、晶體結(jié)構(gòu)幾何理論，肖序剛，冶金工業(yè)出版社2、X射線金屬學，范雄，機械工業(yè)出版社3、金屬物理研究方法（一），趙伯麟，冶金工業(yè)出版社4、晶體X射線衍射學基礎，李樹棠，冶金工業(yè)出版社5、粉晶X射線物相分析，地質(zhì)出版社6、固體X射線學，黃勝濤，高教出版社主要參考書：1、晶體結(jié)構(gòu)幾何理論，肖序剛，冶金工業(yè)出版第一章晶體學基礎第一章晶體學基礎§1-1晶體及晶體結(jié)構(gòu)一、晶體與非晶體

傳統(tǒng)觀點認為:把具有固定熔點和規(guī)則外形的一類固體稱為晶體；把無固定熔點和規(guī)則外形的一類固體稱為非晶體。例如：食鹽、冰、水晶、通常所看到的金屬及金屬制品等為晶體；橡膠、塑料、玻璃等稱為非晶體。

注：將固體分為晶體與非晶體，是從傳統(tǒng)意義上講的。現(xiàn)在有人將固體分為晶體、非晶體和準晶三類?！?-1晶體及晶體結(jié)構(gòu)一、晶體與非晶體左上圖為硅氧四面體，○為氧，●為硅。

石英晶體（水晶）和石英玻璃的化學成分都是SiO2，都構(gòu)成Si、O四面體，這些四面體以不同的方式排列，分別得到晶體和非晶體,如左下圖。左上圖為硅氧四面體，○為氧，●為硅。

晶體與非晶體的本質(zhì)區(qū)別為:

晶體是具有按一定的幾何規(guī)律排列的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的固體.而非晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)排列得不十分規(guī)律或毫無規(guī)律。晶體與非晶體的本質(zhì)區(qū)別為:二、晶體結(jié)構(gòu)

晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)稱為晶體結(jié)構(gòu)。它是以原子、離子、分子或原子集團按照一定的規(guī)律排列而成的。原子的規(guī)則排列實際上是從時間平均意義上來說的，實際上是為原子出現(xiàn)幾率最大點的規(guī)則排列，因為原子在圍繞這一點作振動。通常情況下，金屬和金屬制品都是晶體，但如果讓金屬和金屬或金屬和非金屬（甚至一種金屬）的熔液以每秒106度以上的冷卻速度冷凝,所得到的金屬合金,其內(nèi)部原子的排列呈現(xiàn)長程無序,把這樣的合金稱為非晶態(tài)合金(金屬玻璃).它們的許多性能比晶態(tài)優(yōu)越.二、晶體結(jié)構(gòu)晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)稱為晶體結(jié)構(gòu)。它是以單晶體和多晶體：在晶體形成過程中，原子按同一幾何規(guī)律排列成一個完整結(jié)構(gòu)的區(qū)域稱為一個單晶體。由兩個以上的單晶體所組成的晶體稱為多晶體。

單晶體呈現(xiàn)為各向異性，而多晶體呈現(xiàn)為各向同性。單晶體和多晶體：在晶體形成過程中，原子按同一幾何三、幾種常見的晶體結(jié)構(gòu)類型1、金屬晶體晶體的原子外層的電子脫離原來的原子成為自由電子，它們在正離子之間運動，形成電子云，其處于公有化狀態(tài)，金屬晶體的結(jié)合是靠處于公有化狀態(tài)的價電子和正離子間的吸引力。1）面心立方結(jié)構(gòu)（A1型）八個頂點和六個面中心有原子。主要有：銅（Cu）、銀（Ag）、金（Au）、鋁（Al）、鉛（Pb）、鎳（Ni）、γ-鐵（γ-Fe）等。三、幾種常見的晶體結(jié)構(gòu)類型1、金屬晶體2）體心立方結(jié)構(gòu)（A2型）八個頂點和體中心有原子。主要有：鋰（Li）、鈉（Na）、鉀（K）、銫（Cs）、鉻（Cr）、鉬（Mo）、α-鐵（α-Fe）、釩（V）、鎢（W）等。X射線晶體學(第一章)課件3)蜜排六方結(jié)構(gòu)（A3型）除八個頂點有原子外,在體內(nèi)還有一個原子,但其不在體中心。主要有：鎂（Mg）、鈹（Be）、鋅（Zn）、α-鈦（α-Ti）等。3)蜜排六方結(jié)構(gòu)（A3型）2、共價晶體

它們是靠共價鍵結(jié)合的,即由相鄰原子的公用價電子結(jié)合而成。左圖為金剛石型結(jié)構(gòu)（AⅣ型），除八個頂點和六個面中心有原子外，體內(nèi)還有四個原子，這些原子也不在體中心。金剛石、硅（Si）、鍺（Ge）等屬于這種結(jié)構(gòu)。

2、共價晶體它們是靠共價鍵結(jié)合的,即由相鄰原子X射線晶體學(第一章)課件3、離子晶體

構(gòu)成晶體的基本粒子是離子，晶體的結(jié)合是靠正負離子間的靜電吸引作用，其中一種離子的最近鄰必是異性的原子。1）NaCl型晶體結(jié)構(gòu)（B1）如圖，晶體結(jié)構(gòu)中含有兩種類型的離子，一正一負。主要有：VC、NbC、TiC、ZrC、NaCl、MgCl、PbS、AgCl、TiO、AgBr等。3、離子晶體構(gòu)成晶體的基本粒子是離子，晶體的結(jié)

2）CsCl型結(jié)構(gòu)（B2）

如圖,晶胞中也有兩種類型的原子,屬于這種結(jié)構(gòu)的有:CsCl、ZnＯ、FeCo、NiAlβ－AgCd、β－CuZn、β－FeAl等。

３）閃鋅礦型結(jié)構(gòu)（B３）如圖,也是由兩類原子組成，屬于這種結(jié)構(gòu)的有:ZnS、BeS、CdTe、InSb等。2）C

§1-2空間點陣一、空間點陣概念1、等同點在晶體結(jié)構(gòu)中幾何環(huán)境和物理環(huán)境都相同的點稱為等同點。如NaCl晶體結(jié)構(gòu)中,Na離子所在點為一類等同點,Cl離子所在點為另一類等同點.

§1-2空間點陣一、空間點陣概念2、空間點陣

在同一晶體結(jié)構(gòu)中，由各類等同點單獨所組成的圖形具有完全相同的排列規(guī)律。如左圖概括地表示晶體結(jié)構(gòu)中等同點規(guī)則排列的幾何圖形（點的集合）稱為空間點陣。左圖為NaCl晶體結(jié)構(gòu)所對應的空間點陣2、空間點陣在同一晶體結(jié)構(gòu)中，由各類X射線晶體學(第一章)課件二、對空間點陣的說明1、構(gòu)成空間點陣的點是抽象的幾何點，通常稱為結(jié)點或格點。在上面的例子中，它們可代表Na離子，也可以代表Cl離子，還可以代表任一沒有離子存在的等同點，例如它們的中點。2、晶體結(jié)構(gòu)是由無數(shù)個質(zhì)點排列而成?？臻g點陣也是無限的，它概括了晶體結(jié)構(gòu)的周期性。把結(jié)點在同方向以相等距離重復出現(xiàn)的性質(zhì)叫做周期重復性，簡稱周期性。在相同方向，結(jié)點之間的距離是相等的，不同方向結(jié)點之間的距離不一定相等。二、對空間點陣的說明1、構(gòu)成空間點陣的點是抽象的幾何點，通常

用不在同一平面內(nèi)的三個方向的平行直線束將空間點陣穿接起來，構(gòu)成“空間格子”。

通過結(jié)點的直線稱為結(jié)點直線，一組平行的結(jié)點直線稱為結(jié)點直線束。

以兩個方向的結(jié)點直線構(gòu)成的平面稱為結(jié)點平面，平行的結(jié)點平面稱為結(jié)點平面族。

整個空間點陣分成無數(shù)個大小相同的平行六面體，每一個平行六面體稱為單位空間格子（單位點陣、單位陣胞），空間點陣也可稱為空間格子。用不在同一平面內(nèi)的三個方向的平行直線X射線晶體學(第一章)課件三、晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣的關系

某些物質(zhì)，不論它們的晶體結(jié)構(gòu)之間如何有差異，繁簡差異如何之大，只要它們的空間排列的周期性相同，它們就具有相同的空間點陣。三、晶體結(jié)構(gòu)與空間點陣的關系某些物質(zhì)，不論它們的晶體四、幾種常見晶體結(jié)構(gòu)的空間點陣1、面心立方點陣Cu晶體結(jié)構(gòu)具有和NaCl晶體結(jié)構(gòu)相同的空間點陣———面心立方點陣。所不同的只是各方向上的周期不同。左圖為Cu的空間點陣，也為NaCl的空間點陣。四、幾種常見晶體結(jié)構(gòu)的空間點陣1、面心立方點陣金剛石結(jié)構(gòu)完全由碳原子組成。但它們是由兩類等同點組成，如左圖所示。同類等同點所組成的空間點陣也是面心立方點陣。金剛石結(jié)構(gòu)完全由碳原子組成。但它們是由兩類等同點2、初基（簡單）六方點陣

鎂晶體結(jié)構(gòu)中的原子也是由兩類等同點組成（如下頁所示）。其空間點陣如右圖所示。2、初基（簡單）六方點陣鎂晶體結(jié)構(gòu)中的原子也是由X射線晶體學(第一章)課件3、體心立方點陣α—Fe、Li、Na、K、V、Mo、W等的空間點陣為體心立方點陣。問題：CsCl的空間點陣是什么類型？3、體心立方點陣α—Fe、Li、Na、K、V、五、晶體的嚴格定義

晶體是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有空間點陣這種幾何圖形的固體。

非晶體不具有空間點陣這種幾何圖形，因而其不具有周期重復性。準晶體五、晶體的嚴格定義晶體是其內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有空間點陣§1-3晶體的對稱性

對稱是物質(zhì)體系中各組成部分之間相互聯(lián)系、相互作用的一種較為普遍的現(xiàn)象。晶體結(jié)構(gòu)中，原子的排列同樣具有對稱的特性。如果一個物體經(jīng)過某種動作后能夠恢復原狀，物體上每一點的新位置與開始時另一點在這個位置上的情況完全重合。也就是說，其位置、形態(tài)相對于觀察者來說沒有發(fā)生變化，稱此現(xiàn)象為規(guī)則重復。使物體產(chǎn)生變化的動作稱為對稱操作（對稱動作、對稱變換、對稱運用）。在對稱操作中所憑借的幾何元素（點、線、面）稱為對稱元素（對稱要素）?！?-3晶體的對稱性對稱是物質(zhì)體系中各組一、宏觀對稱操作1、旋轉(zhuǎn)以晶體結(jié)構(gòu)中某一直線作軸，整個晶體圍繞它旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到規(guī)則重復，這種對稱操作稱為旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)所圍繞的直線是旋轉(zhuǎn)操作的對稱元素，稱為旋轉(zhuǎn)對稱軸（簡稱旋轉(zhuǎn)軸、對稱軸）；旋轉(zhuǎn)所轉(zhuǎn)動的最小角度稱為基轉(zhuǎn)角，記為α；n稱為旋轉(zhuǎn)軸的軸次，按圣弗利斯符號記為Cn，國際符號記為n一、宏觀對稱操作1、旋轉(zhuǎn)晶體結(jié)構(gòu)中一共存在五種旋轉(zhuǎn)對稱操作(1)一次旋轉(zhuǎn)，α=360°，旋轉(zhuǎn)軸記為C1（1）；（2）二次旋轉(zhuǎn)，α=180°，旋轉(zhuǎn)軸記為C2（2）；（3）三次旋轉(zhuǎn)，α=120°，旋轉(zhuǎn)軸記為C3（3）；（4）四次旋轉(zhuǎn)，α=90°，旋轉(zhuǎn)軸記為C4（4）；（5）六次旋轉(zhuǎn)，α=60°，旋轉(zhuǎn)軸記為C6（6）。問題：立方體的所有對稱軸？晶體結(jié)構(gòu)中一共存在五種旋轉(zhuǎn)對稱操作(1)一次旋轉(zhuǎn)，α=360在晶體結(jié)構(gòu)中不存在五次和大于六次的旋轉(zhuǎn)軸在晶體結(jié)構(gòu)中不存在五次和大于六次的旋轉(zhuǎn)軸2.反映圖形中一部分沿中分面與另一部分互成鏡像，即物體表面或內(nèi)部的每一點通過該物體中的一個平面反映，在平面的另一側(cè)等同距離處可以找到相同的點，則這種對稱操作稱為反映。上述平面稱為對稱面（反映面），記為σ（國際符號為m）。立方晶系有9個對稱面，如下圖所示。2.反映圖形中一部分沿中分面與另一部分互X射線晶體學(第一章)課件3、反演

物體表面上每一點如果與物體中心點連一直線，并延長與該物體的另一側(cè)相交，在交點處得到與直線這一端同樣的一點時，則這種對稱操作稱為反演。施行反演操作所憑借的i點稱為反演中心

（對稱中心），記為i

（國際符號為I）。立方晶系的對稱中心如圖所示。3、反演物體表面上每一點如果與物體中心點連一直4、旋轉(zhuǎn)反演晶體繞一固定軸轉(zhuǎn)動后再經(jīng)反演，對觀察者來說，位置、形態(tài)與動作前一樣，這種操作稱為旋轉(zhuǎn)反演。左圖為立方體的Ci4對稱操作，A轉(zhuǎn)到B，反演到H；B轉(zhuǎn)到C，反演到E；C轉(zhuǎn)到D，反演到F；D轉(zhuǎn)到A，反演到G。同樣，E反演旋轉(zhuǎn)到D；F反演旋轉(zhuǎn)到A；G反演旋轉(zhuǎn)到B；H反演旋轉(zhuǎn)到C。對觀察者旋轉(zhuǎn)前后完全一樣。4、旋轉(zhuǎn)反演晶體繞一固定軸轉(zhuǎn)動

旋轉(zhuǎn)反演是旋轉(zhuǎn)和反演兩個動作的聯(lián)合，是一種復合對稱操作，對稱元素為反演軸，記為Cin，（國際符號為）。與旋轉(zhuǎn)軸一樣，晶體中只有

、、、、五種反演軸。X射線晶體學(第一章)課件由圖可以看出：

Ci1=I;Ci2=σ;Ci3=C3;

Ci4=C2≠C4,C4具有Ci4作用;

由圖可以看出：Ci6=C3≠C6,C6具有Ci6作用.Ci6=C3≠C6,C6具有Ci6作用.二、微觀對稱操作1、平移將晶體結(jié)構(gòu)（或空間點陣）平行移動到與原來環(huán)境完全相同的位置，這種對稱操作稱為平移。沿方向的格點直線平移所憑借的對稱元素稱為平移軸，記為

二、微觀對稱操作1、平移X射線晶體學(第一章)課件2、螺旋旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)+平移)首先繞一固定軸旋轉(zhuǎn)角度后接著平移方能得到規(guī)則重復,這種復合對稱操作稱為螺旋旋轉(zhuǎn)。憑借的軸稱為螺旋軸,記為,它平行于結(jié)點直線,也只能有1、2、3、4、6次。2、螺旋旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)+平移)首先繞一固定軸旋轉(zhuǎn)

矢量稱為螺旋旋轉(zhuǎn)的平移成份，

（P=1、2、3…..n-1）

一次螺旋旋轉(zhuǎn)，螺旋軸記為11；二次螺旋旋轉(zhuǎn)，螺旋軸記為21；三次螺旋旋轉(zhuǎn)，或螺旋軸記為31和32。

矢量稱為螺旋旋轉(zhuǎn)的平移成份，

四次螺旋旋轉(zhuǎn)，、和螺旋軸記為41、42和43；六次螺旋旋轉(zhuǎn)，、、、和螺旋軸記為61、62、63、64和65。一般螺旋軸記為Sn（國際符號記為np）四次螺旋旋轉(zhuǎn)，、和3、滑移（反映+平移）

憑借一個平面施行反映之后，再平行于該面施行平移，而使晶體結(jié)構(gòu)圖形得到規(guī)則重復，這種對稱操作稱為滑移?；茖ΨQ操作中的反映面稱為滑移面。平移矢量稱為滑移的平移成分。3、滑移（反映+平移）憑借一個平面施行反映之X射線晶體學(第一章)課件§1-4對稱群晶體結(jié)構(gòu)的對稱元素是相互制約而又互相協(xié)同的。因此，對稱元素所標志對稱操作也是互相關聯(lián)地呈現(xiàn)在一個晶體結(jié)構(gòu)，并按一定內(nèi)在規(guī)律組合在一起。晶體結(jié)構(gòu)中，按一定規(guī)律組合在一起的對稱操作的集合（對稱操作的組合）稱為晶體結(jié)構(gòu)的對稱群。根據(jù)組成對稱群的對稱操作的不同，對稱群可分為點群、平移群和空間群?！?-4對稱群晶體結(jié)構(gòu)的對稱元素是相互一、點群

在晶體結(jié)構(gòu)中，由旋轉(zhuǎn)、反映、反演、旋轉(zhuǎn)反演這4種宏觀對稱操作所構(gòu)成的對稱群稱為點群。之所以稱為點群，是因為對一個對稱圖形施行這幾種對稱操作時，對稱圖形中至少有一個不動點，而標志各對稱操作的對稱元素至少要相交于一點。點群只表明晶體結(jié)構(gòu)的對稱性?？梢宰C明，從晶體結(jié)構(gòu)三維空間對稱圖形來看，其點群只有32種，稱為32點群（32晶類、32對稱型）

一、點群在晶體結(jié)構(gòu)中，由旋轉(zhuǎn)、反映、反演、旋二、平移群

在作為無限圖形的空間點陣中，其各個方向上的平移操作之集合所構(gòu)成的對稱群稱為平移群。

空間點陣的周期性可由平移群來表征。平移群共有14種，稱為14種平移群（14種布拉維點陣）三、空間群在晶體結(jié)構(gòu)中，由旋轉(zhuǎn)、反映、反演、旋轉(zhuǎn)反演、平移、螺旋旋轉(zhuǎn)、滑移這7種對稱操作集合而成的對稱群稱為空間群。

空間群既可表明晶體結(jié)構(gòu)的周期性，又可表明晶體結(jié)構(gòu)的對稱性?？赡苡械目臻g群共230種。二、平移群在作為無限圖形的空間點陣中，其各個方向§1-5布拉維格子和晶系的劃分一、布拉維格子的選取整個空間點陣是由一定形狀的平行六面體作為單元堆積而成。平行六面體是可以任意選取的，如圖§1-5布拉維格子和晶系的劃分一、布拉維格子的選取

為了表示出各種晶體結(jié)構(gòu)中質(zhì)點排列的規(guī)律性，特別是它的對稱性，必須確定一種選擇方式，使得所選的單位格子能夠唯一地表征每一種晶體結(jié)構(gòu)在原子排列上的特殊周期性和特殊對稱性。布拉維格子就是為達到這個目的而選取的單位格子。

為了表示出各種晶體結(jié)構(gòu)中質(zhì)點排列的規(guī)律性，特別是1、布拉維格子的選取1）所選取的單位格子應該能夠反映出整個空間點陣所固有的點群對稱性。也就是它的對稱性應與空間點陣的點群一致。而空間點陣是晶體結(jié)構(gòu)的抽象，因此所選單位格子也就表明了原來晶體結(jié)構(gòu)的點群對稱性。2）在滿足第一條的基礎上，所選取的單位格子的平面角要盡可能等于直角。3）在滿足上述兩條的基礎上，所選取的單位格子的體積要盡可能的小。1、布拉維格子的選取1）所選取的單位格子應該能夠反映出整個空2、一個例子立方體：，正方體：，菱面體：2、一個例子立方體：3、14種布拉維格子3、14種布拉維格子二、晶系的劃分1、晶系劃分的原則空間點陣的點群對稱性是晶體結(jié)構(gòu)的固有特性。根據(jù)這種特性，可以把晶體劃分為七大晶系。二、晶系的劃分1、晶系劃分的原則2、各晶系的特征對稱元素1）三斜晶系，無Cn（n≥2）和σ；2）單斜晶系，具有m個C2和n個σ，且m+n=1或2；3）正交（斜方）晶系，具有m個C2和n個σ，且m+n=3或6；4）三方晶系，具有1個C3或Ci3；5）四方（正方）晶系，具有1個C4或Ci4；6）六方晶系，具有1個C6或Ci6；7）立方晶系，具有4個C3。2、各晶系的特征對稱元素三、四種類型的布拉維格子1、劃分原則根據(jù)單位格子中的格點的位置劃分。2、類型1）初基（簡單）格子，僅在八個頂點有格點，常用字母P表示，其平移矢為、、。每個單位格子中有一個格點。三、四種類型的布拉維格子1、劃分原則2）底心格子，除八個頂點有格點外，在上下（左右、前后）面中心也有格點，常用字母C（B、A）表示，其平移矢量為、、、。每個單位格子中有兩個格點。3）體心格子，除八個頂點有格點外，在體中心也有一個格點，常用字母I表示，其平移矢量為、、、。每個單位格子中有兩個格點。2）底心格子，除八個頂點有格點外，在上下（左右、前后）面中心4）面心格子，除八個頂點有格點外，各個面的中心也都含有有格點，常用字母F表示，其平移矢量為、、、、

和。每個單位格子中有四個格點。4）面心格子，除八個頂點有格點外，各個面的中心也都含有有格點四、單位晶胞

在晶體結(jié)構(gòu)中，由單位平行六面體（單位點陣、單位格子）所圈劃出來的那一部分稱為單位晶胞，簡稱晶胞。

晶胞常數(shù)和點陣常數(shù)相同，通稱為點陣常數(shù)。

處于晶胞角頂處的原子是8個晶胞所共有，其有屬于該晶胞，而面上的原子有屬于該晶胞，棱上有屬于該晶胞。同樣可算出單位點陣中

的陣點(格點)數(shù)。四、單位晶胞在晶體結(jié)構(gòu)中，由單位平行六面體（§1-6晶體定向一、晶體定向的意義同方向上的原子平面不僅互相平行，而且互相之間的距離也相同，各原子平面上的原子分布情況也完全相同。因為不同方向上的原子面上的原子分布不完全相同，因此不同方向的原子平面具有不同的特性，晶體表現(xiàn)出各向異性，所以要進行晶體取向的確定工作。

在晶體結(jié)構(gòu)中引人一套坐標系的手續(xù)稱為晶體定向。§1-6晶體定向二、標準定向

在晶體結(jié)構(gòu)中，把標志晶體結(jié)構(gòu)對稱性和周期性的布拉維格子的三邊選作基矢、、，并用、、定出ox、oy、oz三個坐標軸，這樣的定向稱為標準定向，或稱為布拉維標準定向。各個晶系的布拉維格子互不相同二、標準定向在晶體結(jié)構(gòu)中，把標志晶體結(jié)構(gòu)對三、點的坐標如果R為晶體結(jié)構(gòu)中的任一點，則由坐標原點到此點的矢量可根據(jù)矢量代數(shù)寫成：其中、、為坐標的基矢，x、y、z為在3個軸上的投影。則R的坐標可記為[[xyz]]或（x，y，z）、xyz。xyz為3個實數(shù)。三、點的坐標如果R為晶體結(jié)構(gòu)中的任一點，則由四、晶向指數(shù)

在晶體點陣（晶體結(jié)構(gòu)）中，任何一條格點（質(zhì)點）直線的方向稱為晶向。其數(shù)字表示符號[uvw]稱為晶向指數(shù)或稱為直線指數(shù)。四、晶向指數(shù)在晶體點陣（晶體結(jié)構(gòu)）中，任何1、晶向指數(shù)確定根據(jù)晶體定向以后,對于標志著一定方向和周期為的格點直線束L來說,只考慮其中過坐標原點的LO即可，因為L0已把L的取向和周期表示出來。設L0上一格點R0，其坐標為[[x0y0z0]]，則若L1上有兩格點R1和R2，其坐標分別為[[x1y1z1]]，[[x2y2z2]]，則1、晶向指數(shù)確定根據(jù)晶體定向以后,對于標志著若L1上有兩格點R1和R2，其坐標分別為[[x1y1z1]]，[[x2y2z2]]，則若L1上有兩格點R1和R2，其坐標分別為[[x1

所以上式表明，L格點直線束中任一格點直線上兩格點R1和R2相應坐標差的比等于L0上任意一點R0的坐標之比。所以2、晶向指數(shù)的求法1）求法一a、過坐標原點作一直線L0平行于直線L1，b、在L0上取一點R0，以a、b、c為單位，求出其在x、y、z軸上的3個坐標xo、yo、zo，c、將這3個數(shù)化成沒有公約數(shù)的整數(shù)（互質(zhì)整數(shù)）連比，即[uvw]即是L格點直線束的晶向指數(shù)2、晶向指數(shù)的求法1）求法一2）求法二

在L1格點直線上任取兩點,其坐標分別為R1[[x1y1z1]]和R2[[x2y2z2]],將

、、化成三個互質(zhì)數(shù)連比，即2）求法二在L1格點直線上3、注意點1）如果坐標是負值，即直線指向負方向，則在相應的指數(shù)上加一負號；2）方向指數(shù)[100]與點坐標[[100]]不可混淆；3）互相平行的格點直線，其方向指數(shù)相同。3、注意點4、舉例

求面心斜方格子x、y、z軸和L1、L2的晶向指數(shù)。解：因為x、y、z軸上距坐標原點最近的點的坐標為[[100]]、[[010]]、[[001]]，故[uvw]x=[100][uvw]y=[010][uvw]z=[001]4、舉例求面心斜方格子x、y、z軸和L1、

對L1，其上兩點R1、R2，坐標分別為和則:對L1，其上兩點R1、R2，對L2，其上兩點坐標分別為和，則:對L2，其上兩點坐標分別五、晶面指數(shù)

通過點陣中若干格點而成的一個平面稱為格點平面（在晶體結(jié)構(gòu)中稱為晶面），晶面的數(shù)字表示符號（hkl）就是晶面指數(shù)（面指數(shù)），又稱為蜜勒（Miller）指數(shù)。五、晶面指數(shù)通過點陣中若干格點而成的一個平面1、晶面指數(shù)確定的根據(jù)

如圖，ABC為一格點平面，分別交x、y、z軸于A、B、C點，O為原點，其截距分別為

a、b、c為軸單位，m、n、p為相應的截距系數(shù)。根據(jù)平面方程的截距式可以寫成

式中m、n、p為三個有理數(shù)，并且總可以找到另一正的有理數(shù)t，使得1、晶面指數(shù)確定的根據(jù)如圖，ABC為一格點平面

Hkl為三個互質(zhì)整數(shù)，所以上式可以寫成m、n、p的不同，平面方位就要變化。所以對于一固定平行平面族、、這個連比值是一定的。即hkl是一定的，因此可以用h：k：l來表明面的位向。X射線晶體學(第一章)課件2、晶面指數(shù)的確定1)求法一a、找出ABC面與x、y、z軸的截距系數(shù)m、n、p；b、寫出這三個截距的倒數(shù)、、；c、把上述三個分數(shù)化為互質(zhì)整數(shù)連比則（hkl）即為晶面ABC的面指數(shù)。2、晶面指數(shù)的確定1)求法一1)求法二如果已知所求平面上的三個格點R1[[x1y1z1]]、R2[[x2y2z2]]和R3[[x3y3z3]]，將它們分別代人方程中，得一組方程組1)求法二如果已知所求平面上的三個格點R1[[聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解，得3、注意點1）如晶面與某一軸的負方向相交，則相應的指數(shù)上加一負號表示，如；2）當晶面與一晶軸平行時，則可認為與該軸在無窮遠處相交，即截距系數(shù)為∞，而等于0，所以相應于這個軸的指數(shù)為0；3）在晶體結(jié)構(gòu)中凡是互相平行的晶面，其晶面指數(shù)均相同。此外，3、注意點1）如晶面與某一軸的負方向相交，則相應的指數(shù)上加一4、例：求面心格子的ABGF、EFG、HIB等平面的

面指數(shù)解：1）ABGF平面與x、y軸的截距系數(shù)分別為1和1，與z軸平行。其面指數(shù)為：4、例：求面心格子的ABGF、EFG、HIB等平面的

2）平面EFG，其上可找出三點，坐標分別為：E[[110]]、F[[101]]和G[[011]]，則：也可用截距來求，其截距分別為-1、-1、-1，則其晶面指數(shù)也為（111）。2）平面EFG，其上可找出3）對平面HIB，其上三點的坐標分別為H、I和B。X射線晶體學(第一章)課件六、六方晶系的四軸定向1、四軸定向的必要性1）三軸定向使用了與z軸垂直的兩個二次軸來定義x、y軸，就不能顯示出六方晶系的對稱特性。六、六方晶系的四軸定向1、四軸定向的必要性2）在晶向和晶面指數(shù)的表示上也不能顯示其對稱情況。2）在晶向和晶面指數(shù)的表示上也不能顯示其對稱情況。2、四軸定向的表示原則將垂直于z軸的三個二次軸都選作坐標軸，分別記為、和，其上的基矢記為、、2、四軸定向的表示原則3、四軸定向下的點的坐標若則R點的坐標可以記為因為可得3、四軸定向下的點的坐標若

上式為4軸定向的點坐標轉(zhuǎn)換成3軸定向的點坐標關系式。在4軸定向中，為了便于計算，規(guī)定點的坐標在x1、x2、x3軸上分量應滿足：這樣得3軸和4軸定向的點坐標轉(zhuǎn)換關系式：上式為4軸定向的點坐標轉(zhuǎn)換成3軸定向的點坐標4、四軸定向下的直線的晶向指數(shù)

設3軸定向下的指數(shù)為[UVW]，4軸定向下的指數(shù)為[uvtw]，則有轉(zhuǎn)換關系式：4、四軸定向下的直線的晶向指數(shù)設3軸定向下5、六方晶系的晶面指數(shù)1）由該晶面與四個晶軸的截距的倒數(shù)求得，即：2）根據(jù)平面截距式方程得

3）有時寫成注意：在立方晶系中，如果一晶向和某一晶面的指數(shù)數(shù)值相同，則這一晶向一定和該晶面垂直。在其它晶系中，這種關系就不一定了。5、六方晶系的晶面指數(shù)1）由該晶面與四個晶軸的截距的倒數(shù)求得六、單形和聚形1、晶向單形在晶體結(jié)構(gòu)中凡能用宏觀對稱操作（點群對稱操作）而產(chǎn)生規(guī)則重復的晶向組合稱為一個晶向單形（點群直線系）例如：在立方晶系中，可通過宏觀對稱操作與

作規(guī)則重復，所以這六個晶向構(gòu)成一個晶向單形，記為<110>六、單形和聚形1、晶向單形2、晶面單形1）定義：在晶體結(jié)構(gòu)中，凡能用宏觀對稱操作（點群對稱操作）而產(chǎn)生規(guī)則重復的晶面的組合稱為一個晶面單形（點群平面系），簡稱單形。例如：在立方晶系中，可通過宏觀對稱操作與

作規(guī)則重復，所以這六個晶面構(gòu)成一個晶面單形，記為：{100}.同一單形中的晶面，其形狀、大小和性質(zhì)等應該是完全相同的。2、晶面單形1）定義：在晶體結(jié)構(gòu)中，凡能用宏觀對稱操作（點群2）單形的種類a、閉形：如果一個單形的各晶面能圍成封閉的多面體，則此單形稱為閉形。b、開形：凡是不能構(gòu)成封閉多面體的則為開形。3）重復次數(shù)構(gòu)成單形的晶面的數(shù)目稱為該單形的重復次數(shù)（重復因子）。4）單形符號的寫法a、根據(jù)點群元素確定晶系，選取坐標系。寫出晶面（晶向）指數(shù)；b、盡可能選取指數(shù)中正數(shù)較多者；c、盡可能選取指數(shù)中數(shù)字按大小遞減次序排列；d、4軸定向時，第四個數(shù)字除外，然后按2）、3）兩條選取。2）單形的種類a、閉形：如果一個單形的各晶面能圍成封閉的多面3、聚形由兩個或兩個以上的單形所組成的多面體稱為聚形。如果單形中出現(xiàn)n種大小、形狀不同的晶面，一般這個聚形含有n種單形。3、聚形由兩個或兩個以上的單形所組成的多面體概括：單形的晶面在物理性質(zhì)和化學性質(zhì)上彼此相同，在理想結(jié)晶情況下，晶面的外形也相同，因此可以借助對稱操作由一個晶面推道出其余的晶面。聚形的各種晶面間毫無對稱操作聯(lián)系，因此在外形上、數(shù)量上以及其他性質(zhì)上可能各不相同，它是單形的總和。概括：單形的晶面在物理性質(zhì)和化學性質(zhì)上彼此相同，在理想結(jié)晶情§1-7倒易點陣概念

為了能夠簡便地解決晶體學中的一些問題和更清楚地解釋各種衍射問題，現(xiàn)在引人一種新的幾何圖形—倒易點陣，它是在空間點陣（晶體點陣、正點陣）的基礎上按照一定的對應關系建立起來的，它也是一種點的集合，是一種數(shù)學模型。倒易點陣是由被稱為倒格點或倒易點的點所構(gòu)成的一種點陣，它也是描述晶體結(jié)構(gòu)的一種幾何方法，它和空間點陣具有倒易關系?！?-7倒易點陣概念為了能夠簡便地解決晶體一、倒易點陣幾何

倒易點陣中的一格點對應著晶體點陣中一族晶面間距相等的格點平面。如果讓兩個點陣的原點重合，它們之間的關系為：1、晶體點陣中的晶面在倒易空間中用一點來表示，和間的連線垂直于晶體點陣中的晶面；一、倒易點陣幾何倒易點陣中的一格點對應著晶體2、如果倒易點陣中的矢量稱為倒易矢量（嚴格說為倒格矢量），則或式中稱為晶面族的晶面間距，它為該晶面族中相臨兩個晶面間的垂直距離。利用上述轉(zhuǎn)換關系，可以由任何一個空間點陣得到其對應的倒易點陣，或者反之。X射線晶體學(第一章)課件二、倒易點陣的矢量分析1、若空間點陣的基矢為、、，其相應的倒易矢量的三個基矢為、、，則這兩個點陣的基本關系表示為：二、倒易點陣的矢量分析1、若空間點陣的基矢為、、證明：1）因為所以2）因為式中為和的夾角，所以證明：1）因為2、求、、的大小和方向解：因為垂直于包含、兩個矢量的平面，而也垂直于包含、所在的平面，所以與成比例，即將兩邊同乘以，則

2、求、、的大小和方向解：所以即同樣可得到其它兩個值。所以3、倒易矢量表示對應于（hkl）面族的倒易矢量，則3、倒易矢量表示對應于（hkl）面族的倒易矢量，三、正、倒點陣關系1、小結(jié)1）正點陣中的晶面在倒點陣中用一個倒易點表示，倒易點的指數(shù)用它所代表的晶面指數(shù)（干涉指數(shù)）標定。2）倒點陣中的點陣矢量垂直于正空間中指數(shù)相同的格點平面，點陣矢量的長度等于該格點平面的面間距的倒數(shù)，倒格點平面的指數(shù)用與其垂直的點陣矢量系數(shù)uvw來表示。三、正、倒點陣關系1、小結(jié)3）正點陣中的點陣矢量垂直于倒空間中指數(shù)相同的倒格點平面點陣矢量的長度等于該倒格點平面的面間距的倒數(shù)，格點平面的指數(shù)用與其垂直的點陣矢量系數(shù)hkl來表示。3）正點陣中的點陣矢量

4)倒易點陣與正點陣的指數(shù)變換

一個晶面（HKL）的法向在正空間和倒空間分別有不同的表述方式，在倒易空間該晶向即為其所對應的倒易矢量，記為，在正空間中該晶面的法向是與其垂直的點陣矢量，記為這記號為同一晶向在正、倒空間的不同表達形式，故可令：4)倒易點陣與正點陣的指數(shù)變換一個晶面（H

分別點乘、、可得寫成矩陣形式為：分別點乘、、可得分別點乘、、可得

寫成矩陣形式為：分別點乘、、可得2、舉例

1）對于互相平行的晶面，倒易點陣為一維的圖形。因為所以2、舉例1）對于互相平行的晶面，倒易點陣為一維的圖形。2）對于二維方向的平行晶面，倒易點陣為二維的圖

形圖中實線為單斜晶系正點陣的ac平面，b軸與圖面垂直，格點用小圓圈所代表。其對應的倒易點陣用虛線表示，格點用黑點表示。倒易格點100、001分別在正點陣的（100）和（001）晶面的法線上，且2）對于二維方向的平行晶面，倒易點陣為二維的圖

X射線晶體學(第一章)課件

和的夾角為，這里，即和互為補角；倒易點陣與正點陣的陣胞具有相似的形狀，但相當于繞原點旋轉(zhuǎn)了90度。

注:三斜和三方晶系無這種互補關系.X射線晶體學(第一章)課件3、對于三維空間點陣，對應的倒易點陣也為三維圖

形，如圖。且：3、對于三維空間點陣，對應的倒易點陣也為三維圖

X射線晶體學(第一章)課件§1-8晶體結(jié)構(gòu)的有關計算一、正、倒單位陣胞的體積計算1、單位晶胞的體積2、單位倒易陣胞的體積計算二、晶面間距的計算三、晶面夾角的計算四、晶向夾角的計算五、晶面和晶向夾角的計算§1-8晶體結(jié)構(gòu)的有關計算§1-9晶帶一、晶帶及其性質(zhì)1、定義在晶體結(jié)構(gòu)（空間點陣）中，平行于某一固定晶向（直線）的所有晶面的集合稱為晶帶§1-9晶帶一、晶帶及其性質(zhì)2、性質(zhì)

1）屬于同一晶帶的晶面的交線互相平行，其中通過坐標原點的那一條直線稱為晶帶軸，晶帶軸的晶向指數(shù)即為該晶帶的指數(shù)，稱為晶帶符號，記為。2）同一晶帶的各晶面均平行于晶帶軸，則這些晶面的法線均垂直于該晶帶軸；屬于同一晶帶的所有晶面所對應的倒易矢量都位于通過倒易原點且與晶帶軸垂直的平面上，這個平面被稱為倒格點（倒易點）平面；因而，每個通過倒易原點的倒格點平面上的所有倒格點所對應的晶面均屬于同一晶帶。3）在晶體結(jié)構(gòu)中，任一晶面至少同時屬于兩個晶帶。2、性質(zhì)1）屬于同一晶帶的晶面的交線互相平行，其中通過坐二、晶帶定理設為某晶帶的晶帶軸，為這個晶帶中某晶面（hkl）的倒易矢量。則

因為晶面（hkl）平行于晶帶軸，所以即這就是說，凡是屬于晶帶的晶面（hkl）都必須符合這個公式，通常稱這個公式為晶帶定理。二、晶帶定理設為某晶帶的晶三、晶帶計算1、已知晶帶內(nèi)兩個晶面（h1k1l1）和（h2k2l2），求此晶帶軸T的指數(shù)[uvw]。解：因為這兩個晶面均平行于晶帶軸，所以它們均符合晶帶定理，即聯(lián)立求解得：三、晶帶計算1、已知晶帶內(nèi)兩個晶面（h1k1l1）和（h2k2、已知兩個晶帶和，求這兩個晶帶交面的指數(shù)解：根據(jù)晶帶有：所以注意：三方晶系和六方晶系進行晶帶計算時必須先變換為三軸定向。2、已知兩個晶帶和，求這四、倒格點平面與晶帶的對應關系

倒易空間中過倒易原點的倒格點平面與晶體空間中的晶帶相對應，即晶體空間的晶帶在倒易空間中變換為過倒易原點的倒格點平面，記為，o表示過倒易原點的倒格點平面。若倒格點在這個倒格點平面上，則這就是晶帶定理。對應關系有下列幾種情況：1、倒格點位于上，意味著晶面屬于晶帶，符合晶帶定理，即

四、倒格點平面與晶帶的對應關系倒易空間中過倒易2、兩個格點、同在上，意味著、這兩個晶面同屬于晶帶，其條件是2、兩個格點、3、三個格點、、同在上，意味著、、這三個晶面同屬于晶帶，其條件是3、三個格點、4、與相交于過的直線（即），表明晶面同屬于兩晶帶和，其條件是4、與5、、、交于倒格點直線，表明三晶帶、、共有一個晶面，其條件是5、、五、廣義晶帶定理

三維倒易格子可以用某一方位的倒格點平面族表示，在這些中，只有過點的與晶帶相對應，其余不過的倒格點平面按距的遠近，依次標定為

在正方向，最靠近點的倒格點平面的方程式為：

即：五、廣義晶帶定理三維倒易格子可以用某一方位的

在、、上的截距分別、、，故的方程式為

即由于

上的倒格點均為整數(shù)點

，所以有上式所表示的倒格點平面

與晶帶

的關系稱為廣義晶帶定理。在、、上的截六、過倒易原點的二維倒易點陣平面的畫法1、采用試探法選兩個滿足晶帶定理的低指數(shù)晶面所對應的倒易點和；2、根據(jù)已知晶體結(jié)構(gòu)的a、b、c、α、β、γ，分別算出、和與之間的夾角φ；3、根據(jù)、和φ角，作出上的兩個倒格矢量和；4、以和為基矢進行周期重復，畫出平面格子，即；5、檢查是否有遺漏的點，并將其補上。六、過倒易原點的二維倒易點陣平面的畫法1、采用試探法選兩個滿§1-10晶體投影

所謂晶體投影就是將晶體的三維空間問題變成二維平面問題的一種方法。如果在三維圖形與二維圖形之間建立一定的對應關系，就可以用二維圖形來表示三維圖形中晶向和晶面的對稱配置和測量它們之間的夾角，這樣就會把解決起來比較困難的問題簡單化。晶體投影就是把三維晶體中的晶向和晶面的配置關系和數(shù)量關系投影到二維平面上來。晶體投影分兩步，第一步將晶體投影到球面上，稱之為球面投影；第二步將投影到球面上的圖形再投影到平面上去?！?-10晶體投影所謂晶體投影就是將晶體的三一、球面投影

將一個很小的晶體放在一個大圓球的中心上。假設晶體尺寸與該大圓球的半徑相比較很小，所以可以認為晶體的每條晶棱和每個晶面都經(jīng)過球心。將晶體結(jié)構(gòu)圖形投影到球面上去，這種投影稱為球面投影。這個球稱為投影球（參考球、極球）。這個圓球的球面稱為投影球面。一、球面投影將一個很小的晶體放在一個大圓球的中1、投影球

1）將投影球的位置固定，選取三條互相垂直的直徑作坐標軸，直立軸記為NS，前后軸記為AB，左右軸記為CD。2）通過球心的平面與球相交所成的交圓，稱為大圓。不通過球心的平面與球相交所成的交圓，稱為小圓。

1、投影球1）將投影球的位置固定，3）由AB、CD軸所決定的平面稱為赤道平面。赤道平面與球相交的大圓為水平大圓，稱為赤道。平行于赤道平面的平面與投影球的交圓稱緯線（水平小圓）。經(jīng)過NS軸的平面（子午面）與投影球的相交大圓稱為經(jīng)線（子午線、直立大圓）。3）由AB、CD軸所決定的平面稱為赤道平面。

4）任何一根經(jīng)線與SCN經(jīng)線間的夾角稱為經(jīng)度，用φ表示。順時針為正。SCN的經(jīng)度為0度。經(jīng)線上某緯度線與N極（或S極）間的的夾角（從N或S極向赤道數(shù)）稱為極距（極角），用ρ表示。赤道的極距為90度。從赤道沿經(jīng)線到所求緯線的角度稱為緯度，用ν表示，赤道的緯度為0。球面上一點的坐標用極距ρ和經(jīng)度φ表示，記為（ρφ）。ρ和φ稱為這點的球面坐標。4）任何一根經(jīng)線與SCN經(jīng)線間的夾角稱為經(jīng)度，用X射線晶體學(第一章)課件2、球面投影方法

1）跡式球面投影根據(jù)假設,晶面、晶棱均通過球心。晶面的投影是將晶面擴展與投影球相交得一大圓，這個大圓稱為晶面的跡線（跡圓），即這個大圓是這個晶面的跡式球面投影。2、球面投影方法1）跡式球面投影晶棱（直線）的投影是將晶棱（直線）延長，與投影球相交得兩點，這兩點稱為晶棱（直線）的跡點，或稱為出露點，這兩個出露點互稱為對跖點。

三維圖形中兩晶棱間的夾角等于它們在球面上兩個對應的出露點間的弧度。晶棱（直線）的投影是將晶棱（直線）延長，與投影2）極式球面投影

晶面、晶棱也均通過球心。晶面的投影是過球心作晶面的法線與投影球相交得一個交點，稱為極點，這個極點即為該晶面的極式球面投影。

2）極式球面投影晶面、晶棱也均通過球心。晶棱（直線）的投影是過球心作晶棱（直線）的垂直平面，使其擴展與球相交得一大圓，稱為晶棱（直線）的極線（極圓），其即為該晶棱（直線）的極式球面投影。在實際工作中，這兩種投影方法往往是混合使用的，應注意加以區(qū)分。晶棱（直線）的投影是過球心作晶棱（直線）的垂二、二維投影方法1、心射切面投影以過投影球N極的切面為投影平面，如要求球面上一點p的投影，則連op，以op為投影線，交平面于g點，這就把球面上一點轉(zhuǎn)換到一個平面上，這種投影稱為心射切面投影。圖中g(shù)點即為p的心射切面投影。二、二維投影方法1、心射切面投影2、極射赤面投影

1）極射赤面投影的繪制a、以赤道平面為投影面，把赤道大圓稱為投影基圓；b、設晶體中某一晶面p的球面投影為p1（在上半球），由S極經(jīng)過p1引直線（投影線）交赤道平面于s1點，則s1點即為p1點的極射赤面投影，也就是晶面p的極射赤面投影。2、極射赤面投影1）極射赤面投影的繪制X射線晶體學(第一章)課件

因為是以S點為投影點，則應從N側(cè)去“閱讀”投影圖，把從N看到的投影面作為正面，在正面的投影點以實心點標記。在上半球的點的投影點都在投影基圓內(nèi)。C、若晶面p的球面投影點在下半球（S側(cè)），如再按上述方法投影，則其投影點將位于投影基圓之外，這就很不方便使用。為此，在繪制投影時，再以N極為投射點，相對于剛才來說，這時的投影點在投影面的反面，通常以×標記。因為是以S點為投影點，則應從N側(cè)去“閱1d、如果晶面p的法線（pp1）與ON的夾角為ρ，則極點s1至投影圓心的距離為：

os是參考球（投影球）的半徑。1d、如果晶面p的法線（pp1）與ON的夾角為ρ，則極點s2）極射赤面投影的特點a、若投影球上有兩個跡線（跡點），其夾角為ψ，則它們在極射赤面投影圖上投影的夾角仍為ψ。

極射赤面投影法是保角投影。b、球面上一個圓的極射赤面投影仍為一個圓，但投影圖上圓的幾何中心并不一定是投影球上的幾何中心的投影。（證明參看：北京地質(zhì)學院結(jié)晶礦物教研室譯“結(jié)晶學原理”第三章，或潘兆櫓、彭志忠合編“結(jié)晶學原理”p89）。下面分幾種情況：2）極射赤面投影的特點a、若投影球上有兩個跡線（跡點），其夾

球面上的圓極射赤面投影大圓與投影面垂直的直立大圓投影基圓的直徑a與NS垂直的大圓投影基圓本身b傾斜大圓基圓內(nèi)一大圓弧c球面上的圓

球面上的圓

極射赤面投影小圓與NS垂直的小圓與基圓同心的圓d與投影面垂直的小圓在基圓內(nèi)的小圓弧e傾斜小圓不與基圓同心的圓f球面上的圓三、極式網(wǎng)

以ABCD平面（赤道平面）為投影面，將投影球上的經(jīng)緯線網(wǎng)作極射赤面投影所得到的圖形稱為極式網(wǎng)。球面上一點的坐標（ρ，φ），可因其投影點所在的直徑Q1Q2和小圓定出三、極式網(wǎng)以ABCD平面（赤道平面）為投影面，將四、烏里弗網(wǎng)將過AB的傾斜大圓和垂直于AB的小圓投影到赤道平面上所得到的投影圖稱為烏里弗網(wǎng)，簡稱烏氏網(wǎng)。如果將投影球上的經(jīng)線都經(jīng)過AB，即保持投影球不動，將其上的經(jīng)緯線網(wǎng)沿NA方向轉(zhuǎn)動90度，這時再以ABCD面作投影面得到的投影圖即是。四、烏里弗網(wǎng)將過AB的傾斜大圓和垂直于AB的小X射線晶體學(第一章)課件五、極射赤面投影的基本作圖1、已知投影球面上點的坐標，求點的極射赤面投影。設P、Q為投影球面上的兩點，其球面坐標為：P：ρ=65°，φ=40°Q：ρ=150°，φ=240°求P、Q的極射赤面投影P′、Q′。

1）將透明紙蒙在烏氏網(wǎng)上，使兩者的中心及AB、CD重合；2）從C順時針方向沿投影基圓數(shù)到40°，在透明紙上記下點Pφ，數(shù)到240°處記下Qφ。五、極射赤面投影的基本作圖1、已知投影球面上點的坐標，求點的3）在透明紙作OPφ、OQφ，轉(zhuǎn)動透明紙，使OPφ與OC重合。從O起沿OC數(shù)65°，在此處用小實心點“.”記下一點，此點即為P′；轉(zhuǎn)動透明使OQφ與0C重合,從0沿0C數(shù)90°至C，再從C回頭數(shù)60°，此處用符號’X’’記下一點，此點即為Q′。3）在透明紙作OPφ、OQφ，轉(zhuǎn)動透明紙，使OPφ與OC重合2、度量球面上已知點間的弧度

P′、Q′為兩晶面（或兩晶棱）所對應的極射赤面投影，求其夾角。解：將投影圖與烏氏網(wǎng)重合，兩者中心對齊，轉(zhuǎn)動透明紙，使P′、Q′位于烏氏網(wǎng)的一個大圓弧上，在此大圓弧上P′、Q′間的間隔數(shù)即為度量的P′、Q′間的角度，也就是這兩點所代表的兩晶面或兩晶棱間的夾角。問題：為什么要把P′、Q′兩點轉(zhuǎn)到同應該大圓弧上呢？2、度量球面上已知點間的弧度P′、Q′為兩晶3、已知一大圓弧，求此大圓弧的極點。

大圓弧的極點就是與大圓弧上所有點都相距90°的點。解：將透明紙蒙在烏氏網(wǎng)上，使兩者的中心重合，轉(zhuǎn)動透明紙使已知大圓弧過烏氏網(wǎng)上的A、B，然后從此大圓弧與CD的交點Q沿CD向凹向方向數(shù)90°所得交點即為所求的極點。問題：如果已知大圓弧的極點，如何作大圓弧？3、已知一大圓弧，求此大圓弧的極點。大圓弧的極4、已知兩大圓的極射赤面投影，求兩大圓所屬平面

間的夾角。解：方法1設k1、k2為已知兩大圓的極射赤面投影，它們的交點為R，以R為極點作大圓弧k3，則k3與k1、k2分別交Q、P，則PQ之間的角度即為所求的二面角。

4、已知兩大圓的極射赤面投影，求兩大圓所屬平面

方法2求出k1和k2的極點P1、P2，則P1和P2之間的角度即為所求的二面角。注意：這樣作出的角有時互補。方法25、極點圍繞任一根軸轉(zhuǎn)動1）繞垂直于投影面的軸轉(zhuǎn)動解：將透明紙上的投影基圓與烏氏網(wǎng)的投影基圓重合，并兩者的O、AB、CD重合，連接OA1并延長交投影基圓于E點，沿投影基圓數(shù)φ角度到F點。連接OF，在其上截取OA2等于OA1，則A2即為A1點新位置。5、極點圍繞任一根軸轉(zhuǎn)動1）繞垂直于投影面的軸轉(zhuǎn)動2）繞平行于投影面（即在投影面內(nèi)）的軸轉(zhuǎn)動解：a、如果轉(zhuǎn)動軸不和AB重合，需先將轉(zhuǎn)動軸圍繞網(wǎng)的中心轉(zhuǎn)動使兩者重合。b、將有關的極點沿其所在的緯度小圓弧移動所需要的角度。2）繞平行于投影面（即在投影面內(nèi)）的軸轉(zhuǎn)動解：a、如果轉(zhuǎn)3）繞一個傾斜軸轉(zhuǎn)動要求將A1以順時針方向圍繞B1轉(zhuǎn)動40°。解：a、使透明紙上的投影基圓的中心與烏氏網(wǎng)的中心重合，使兩者作相對轉(zhuǎn)動，將B1轉(zhuǎn)到烏氏網(wǎng)的CD軸上；

3）繞一個傾斜軸轉(zhuǎn)動要求將A1以順時針方向圍繞b、B1圍繞烏氏網(wǎng)的AB軸轉(zhuǎn)動48°，即將B1沿CD轉(zhuǎn)到位于網(wǎng)心的B2上，同時A1也沿其所在的緯度小圓向同方向轉(zhuǎn)動同樣角度到達A2；b、B1圍繞烏氏網(wǎng)的AB軸轉(zhuǎn)動48°，即將B1沿CD轉(zhuǎn)到位c、將A2圍繞投影圖的中心轉(zhuǎn)動40°，到達A3；d、將B2沿CD反向轉(zhuǎn)48°到達B3（與B1重合），A3沿所在緯度小圓轉(zhuǎn)動同樣角度到達A4，則A4即為A1繞B1轉(zhuǎn)動40°后的新位置。c、將A2圍繞投影圖的中心轉(zhuǎn)動40°，到達A3；6、已知球面投影為一個圓，求作它的極射赤面投影解：a、作出小圓圓心的極射赤面投影P；b、將圓心的投影P轉(zhuǎn)動到CD上，以P為中心沿CD軸向左右各數(shù)n°得Q、R兩點；

6、已知球面投影為一個圓，求作它的極射赤面投影解：a、作出小c、在經(jīng)過P點的大圓弧上，向上、向下各數(shù)n°得S、T兩點；d、由Q、R、S、T（或其中的三點）作出圓心M，以M到上述四點中的任意一點的距離為半徑作圓，則該圓即為所求的極射赤面投影圓。

利用這種方法可以制作烏氏網(wǎng)c、在經(jīng)過P點的大圓弧上，向上、向下各數(shù)n°得S、T兩點；六、晶帶的投影1、晶帶的極射赤面投影同一晶帶的各個晶面的法線必定都垂直于該晶帶的晶帶軸，因此同一晶帶的各個晶面的法線應該位于同一平面內(nèi)。這樣，晶帶進行極式球面投影時，應該得到一個大圓，稱為晶帶大圓。而晶帶大圓的極點T1和T2就是晶帶軸的出露點。六、晶帶的投影1、晶帶的極射赤面投影晶帶的極射赤面投影也就是晶帶大圓的極射赤面投影。晶帶的投影情況有：

晶帶種類

球面投影

極射赤面投影

水平晶帶經(jīng)線大圓投影基圓的直徑（晶帶軸垂直（晶帶軸出露點位（晶帶軸出露點位于NS）于赤道大圓上）于投影基圓上）直立晶帶赤道大圓投影基圓（晶帶軸為NS）（晶帶軸出露（晶帶軸出露點為點為N和S）O）

傾斜晶帶傾斜大圓大圓弧

(晶帶軸出露點為（晶帶軸出露點為傾斜大圓的極點）大圓弧的極點）晶帶的極射赤面投影也就是晶帶大圓的極射赤面投影2、關于晶帶的幾個基本作圖問題

1）已知兩晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）的投影P1、P2，求它們所屬晶帶的投影？過P1、P2作大圓?。磳1、P2轉(zhuǎn)到烏氏網(wǎng)的同一大圓弧上，描下這個大圓?。摯髨A弧即為所求晶帶的極射赤面投影。其極點T即為該晶帶的晶帶軸的投影，[uvw]可由h1k1l1和h2k2l2用交叉法求出。2、關于晶帶的幾個基本作圖問題1）已知兩晶面（h1k1l1如果P1、P2為兩晶帶軸的投影，則過P1、P2的大圓弧為由這兩個晶帶軸所決的晶面的跡式極射赤面投影。T點為晶面的極點如果P1、P2為兩晶帶軸的投影，則過P1、P22）已知兩個晶帶T1和T2求其交面的極式極射赤面

投影。這兩個晶帶投影的交點即為所求交面的極式極射赤面投影。

2）已知兩個晶帶T1和T2求其交面的極式極射赤面

如果兩個大圓弧為晶面的跡式極射赤面投影，則其交點即為兩個晶面交線的出露點的投影。如果兩個大圓弧為晶面的跡式極射赤面投影，則其交2）已知兩個晶帶T1和T2求其交面的跡式極射赤面

投影。

作出兩個晶帶的晶帶軸的投影T1和T2（即晶帶大圓弧的極點），過T1、T2作大圓弧，則該大圓弧即為所求。也可以將兩個晶帶投影的交點轉(zhuǎn)到烏氏網(wǎng)的CD軸上，然后數(shù)90°作大圓，即為所求。2）已知兩個晶帶T1和T2求其交面的跡式極射赤面

X射線晶體學(第一章)課件如果兩個大圓弧為兩個晶面的跡式極射赤面投影，則其交點P即為其交線的出露點的投影，P點所對應的大圓即為P為晶帶軸時的晶帶的投影，T1、T2為屬于這個晶帶的兩個晶面的投影。如果兩個大圓弧為兩個晶面的跡式極射赤面投影，則七、標準投影圖1、發(fā)展晶帶法

在極射赤面投影平面上選取4點1、2、3、4，其中有3點不在同一大圓弧上。用大圓弧將其中任意兩點連接起來，就產(chǎn)生了新的交點5、6、7，這3點代表由1、2、3、4點用晶帶交截方法產(chǎn)生的3個晶面，這樣繼續(xù)下去，就可以產(chǎn)生更多的晶面投影。這種由每3個不同晶帶的4個晶面利用晶帶交截而產(chǎn)生無數(shù)晶面的方法稱為發(fā)展晶帶法。七、標準投影圖1、發(fā)展晶帶法X射線晶體學(第一章)課件2、標準投影圖將晶體的某些對稱性明顯的低指數(shù)面，如（001）、（011）、（111）和（0001）等平行于投影平面放置，并將所有低指數(shù)（一般等于、小于7）面的極點均繪制出的投影圖稱為標準投影圖。這樣的圖也可以應用發(fā)展晶帶法得到。對于立方晶系，各種物質(zhì)的標準投影圖都是相同的，但對其它晶系，例如六方晶系就不一樣，物質(zhì)不同，a和c軸的比值不同，所以投影圖就