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第九節(jié)二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式三、極值充分條件的證明一、問題的提出1一、問題的提出一元函數(shù)的泰勒公式2問題

能否用多個變量的多項式來近似表達(dá)一個給定的多元函數(shù)，并能具體地估算出誤差的大小.3二、二元函數(shù)的泰勒公式4其中記號表示表示5一般地,記號證引入函數(shù)顯然6由的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得7利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得8),()0(00yxf=F),()1(00kyhxf++=F將,及上面求得的直到階導(dǎo)數(shù)在的值,以及在)(tFn0=t)()1(tn+Fq=t的值代入上式.即得9其中證畢10其中11當(dāng)0=n時,公式)1(成為上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.1213例1解1415其中16三、極值充分條件的證明利用二元函數(shù)的泰勒公式證明第八節(jié)中定理2．17證依二元函數(shù)的泰勒公式，18)1(設(shè)02>-BAC,即因),(yxf的二階偏導(dǎo)數(shù)在)(01PU內(nèi)連續(xù),由不等式)7(可知,存在點0P的鄰域)()(0102PUPU蘿,使得對任一)(),(0200PUkyhx蝳++有19注:將),(yxfxx在點),(00kyhxqq++處的值記為xxf,其他類似.20)2(設(shè)02<-BAC,即21先假定,0),(),(0000==yxfyxfyyxx則.0),(00箎yxfxy分別令hk=及hk-=,則由)6(式可得及其中.1,021<<qq22再證),(),(0000yxfyxfyyxx與不同時為零的情形.不妨.0),(00箎yxfxy先取0=k,于是由)6(式得23當(dāng)h充分接近零時,fD與),(00yxfxx同號.但如果取,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy=-=其中s是異于零但充分接近于零的數(shù),則可發(fā)現(xiàn),當(dāng)s充分小時,fD與),(00yxfxx異號.),(00yxfD如此證明了:在點的任意鄰近,可取不同符號的值,因此),(00yxf不是極值.考察函數(shù)及24容易驗證,這兩個函數(shù)都以)0,0(為駐點,且在點)0,0(處都滿足02=-BAC.但)

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