《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-匯編》11-2

11.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)11.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若1)

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”定理1.一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若1)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散如:調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散則2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散如:調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散則證明即部分和數(shù)列有界定理2（比較判別法）證明即部分和數(shù)列有界定理2（比較判別法）定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).其中k為正數(shù).定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).其中k為正數(shù).例1.討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,例1.討論p級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).證明證明定理3

(比較判別法的極限形式)設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;定理3(比較判別法的極限形式)設(shè)?￥=1nnu與?￥=1n證:

據(jù)極限定義,由定理

2

可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(1)當(dāng)0<l<+∞時(shí),(2)當(dāng)l=

0時(shí),由定理2知收斂,若證:據(jù)極限定義,由定理2可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(1(3)當(dāng)l=+∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,(3)當(dāng)l=+∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.定理4

(比值判別法)定理4(比值判別法)比值判別法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).注意:比值判別法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).注意:解解比值判別法失效,改用比較判別法比值判別法失效,改用比較判別法例5.討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;例5.討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂定理5

(根值判別法)定理5(根值判別法)11.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)11.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若1)

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”定理1.一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若1)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散如:調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散則2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散如:調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散則證明即部分和數(shù)列有界定理2（比較判別法）證明即部分和數(shù)列有界定理2（比較判別法）定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).其中k為正數(shù).定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).其中k為正數(shù).例1.討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,例1.討論p級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).證明證明定理3

(比較判別法的極限形式)設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;定理3(比較判別法的極限形式)設(shè)?￥=1nnu與?￥=1n證:

據(jù)極限定義,由定理

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可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(1)當(dāng)0<l<+∞時(shí),(2)當(dāng)l=

0時(shí),由定理2知收斂,若證:據(jù)極限定義,由定理2可知同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(1(3)當(dāng)l=+∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,(3)當(dāng)l=+∞時(shí),即由定理2可知,若發(fā)散,解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.定理4

(比值判別法)定理4(比值判別法)比值判別法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).注意:比值判別法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).注意:解解比值判別法失效,改用比較判別