2022-2023學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)專題《旋轉(zhuǎn)》旋轉(zhuǎn)時(shí)坐標(biāo)與圖形變換《求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度的點(diǎn)的坐標(biāo)》含答案解析

專題旋轉(zhuǎn)優(yōu)選提升題一：坐標(biāo)與圖形變換—旋轉(zhuǎn)題型三：求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度的點(diǎn)的坐標(biāo)一、單選題1．（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，矩形的頂點(diǎn)，，若矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)60°，則第2021秒時(shí)，矩形的對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，由題意知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，作，垂足為，，由可知第2021秒時(shí)，矩形的對角線交點(diǎn)在點(diǎn)處，且，得到關(guān)于軸對稱，進(jìn)而可求的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，由題意知，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，作，垂足為∴∴∵∴可知第2021秒時(shí)，矩形的對角線交點(diǎn)在點(diǎn)處，且∴關(guān)于軸對稱∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正切值，旋轉(zhuǎn)角的計(jì)算，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于確定第2021秒時(shí)，矩形的對角線交點(diǎn)的位置．二、填空題2．（2021·河南南陽·九年級(jí)期末）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)，，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，延長BA交y軸于點(diǎn)D．將△ODA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在OA上時(shí)，的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．【答案】（2，0）【分析】延長′交y軸于點(diǎn)E，延長，由題意D′A′的延長線經(jīng)過點(diǎn)C，利用點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得線段AD，OD，OA的長，由題意：△OA′D′≌△OAD，可得對應(yīng)邊相等；利用⊥，OA平分∠，可得△為等腰三角形，可得OE==，==1；利用△∽△CEO，得到比例式可求線段OC，則點(diǎn)C坐標(biāo)可得．【詳解】解：延長交y軸于點(diǎn)E，延長，由題意知，的延長線經(jīng)過點(diǎn)C，如圖，∵A（1，2），∴AD=1，OD=2，∴OA===．由題意知：△≌△OAD，∴=AD=1，=OA=，=OD=2，=∠ADO=90°，．則⊥，OA平分∠，∴△為等腰三角形．∴OE==，==1．∵EO⊥OC，⊥EC，，∴△∽△CEO．∴．∴．∴OC=2．∴C（2，0）．故答案為：（2，0）．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、三角形全等判定與性質(zhì)、三角形相似判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度和利用線段的長度表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2021·全國·九年級(jí)期末）如圖，正方形的邊長為2，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至正方形的位置，與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】連接OM，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OD=OB′=2，∠BOB′=30°，∠B′OD=60°，證Rt△ODM≌Rt△OB′M得∠DOM=∠B′OD=30°，由DM=ODtan∠DOM可得答案．【詳解】解：如圖，連接OM，∵將邊長為2的正方形OBCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形OB′C′D′，∴OD=OB′=2，∠BOB′=30°，∴∠B′OD=60°，在Rt△ODM和Rt△OB′M中，，∴Rt△ODM≌Rt△OB′M（HL），∴∠DOM=∠B′OM=∠B′OD=30°，∴DM=ODtan∠DOM=2×=，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，），故答案為：（-2，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的不變性與正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的應(yīng)用．三、解答題4．（2022·天津紅橋·九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．以點(diǎn)O為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為．記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)C落在上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)D的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖，過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E．解直角三角形求出OE，DE，可得結(jié)論；（2）如圖②，過點(diǎn)C作CT⊥OA于點(diǎn)T，解直角三角形求出OT，CT可得結(jié)論；（3）如圖②中，過點(diǎn)D作DJ⊥OA于點(diǎn)J，在DJ上取一點(diǎn)K，使得DK=OK，設(shè)OJ=m．利用勾股定理構(gòu)建方程求出m，可得結(jié)論．(1)如圖，過點(diǎn)作，垂足為．∵，，∴，，．∵，∴．在中，由，得．解得．∴，．∵是由旋轉(zhuǎn)得到的，∴，．∴．∴．∴．在中，．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．(2)如圖，過點(diǎn)作，垂足為．由已知，得．∴．∴．∵是由旋轉(zhuǎn)得到的，∴．在中，由，得．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．(3)如圖②中，過點(diǎn)D作DJ⊥OA于點(diǎn)J，在DJ上取一點(diǎn)K，使得DK=OK，設(shè)OJ=m．∵∠DOC=30°，∠COT=45°，∴∠DOJ=75°，∴∠ODJ=90°-75°=15°，∵KD=KO，∴∠KDO=∠KOD=15°，∴∠OKJ=∠KDO+∠KOD=30°，∴OK=DK=2m，KJ=m，∵OD2=OJ2+DJ2，∴22=m2+（2m+m