課本課后題答案-第一章第四節(jié)

1、0N0xN時(shí)，有fxA2、M0N0xN時(shí)，有fxM3、000x滿足0x0x，但fxA04、00，0x1x2滿足0x1x0，0x2x0，但fx1fx20而連續(xù)性中的不僅與有關(guān)，而且還與點(diǎn)x有關(guān)。6、000x1x2Ix1x2，但fx1fx20x2xx2553 7、⑴當(dāng)x1,3且x2時(shí)，因 x2xx2553 3 x2以 0，取x2

,1，則當(dāng)0

x21

3x2x211

3xx21636xxx21636x

x3，所以 0取min30,1，則0x3時(shí)，xxxx2⑶當(dāng)xxxx2

，故limx316xx216xx2x ，所以，任給xmin2,1，則當(dāng)0x1

0，故xxx2

x

x2x2x2a⑷當(dāng)x 時(shí)，因?yàn)閤2a

axax2a ，所axax2aaaN

x

x

limxx2x2

x2a01x1 0x⑸不妨設(shè)x0，且x ，x1x1 0x

2xx0x 20 x1x x 1x以 0，取min0,0，則當(dāng)0x 時(shí)，

lim1xx0

11 x xx0,3x x

0 1xx 1 1 1 1 1xx 2sinxsin 2cos 2

sin

x2xx0，所以 2

0

0

x 0，取

min0,0，則當(dāng)0x 時(shí)，有 sin ，故0 0

lim1xx0

Ax

fxA0，所以存在10，當(dāng)0

x

1fx04對 的0，由于x

fxA200

x

2fxA3A2

，取

2，則當(dāng)0

x

時(shí)，有Afxfx ff23Afxfx ff23Ax9、法一：記fx的周期為T0 x0,，則fxfxlimfxkTlimfx0fx0k

fxkT，所以法二：若存在x00,，使得fx00，則fx0kTfx00，故limfxkTfx0，這與limfx ，所以fx0k

以fxn0，n ，因?yàn)閒x在x處連續(xù)，故fx limfxn0 fx011、不妨設(shè)fxab上單增，根據(jù)單調(diào)有界有極限定理知fx00存在fx00fx0fx00存在fx00fx0x0fx的間斷點(diǎn)所以上述不等式中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等號(hào)成立，從而fx00fx的一個(gè)第一類

fx00。因x012、不失一般性，設(shè)x0a,b， 0，不妨設(shè)minfbfx0,fx0fa，設(shè)x1,x2a,b，使得fx1fx0，fx2fx0，則x1x0x2，取minx2x0x0x1，則xx0xx1x2fxfx1,fx2fxfx0fx1fx2fxx0處連續(xù)fx在ab13limgxA，所以存在10，當(dāng)0x

x

1時(shí)，有g(shù)x

A1M0，由于limfxx

20，當(dāng)0

x

2時(shí)，有fxM

A1。取min1,2，則當(dāng)0

x

時(shí)，有fxgx

fxgxM

A1A1A，故limfxgxlimgxA0，所以存在

0，當(dāng)0x

1gx0A22A2x

0，當(dāng)0x

2fxM 取min,，則當(dāng)0x 時(shí)，有fxgxMM，

fxAxgxBx，其中l(wèi)imx0limx0，所以 fxgxAxBxABAxBxxxABx，其limx0，因limfxgxAB 14、因?yàn)?/p>

fxfx00，所以存在0

x

時(shí)，有fxfx0fx0，即0fx2fx0。故xx0x0fx0fx,xa,15法一：令Fx

，則FxCab，所以M0FxMfx,xb對所有的xab都成立，當(dāng)xab時(shí)

FxM，故fx在ab

fxb,0M10，使得fxM1xbb，由于fxCab，所以存在M20，使得fxM2xabMmaxM1M2，則對任意xab都有在ab上有界。

fxMf16、因?yàn)閘imfxN0，當(dāng)x

時(shí)，有fxf0，由fxCNNNN，使得ffxxNN，又xNfxf0f0f，故ffx對任意x都成立，即ffx在,上的最小值。 17 x,，則fx x x x fx，因 f 2 n 在x0處連續(xù)，所以fxlimfx xf0，故fx在,上n

fn

22

n21 1 118 0,，則fxfxfx2fx22 fx2n，因?yàn)閒x

1 1x1fxlimfx2nflimx2nf1 19、首先證明an是一個(gè)Cauchy列，因

an1an

fanfan1qan

qna1

anp

anpan

anp1an

an1n

n

qna qn p

1q

qn 11

1，lim，

0，從而0，存在N0當(dāng)nN時(shí)，

a1

n

n f anfan1 alimanlimfan1fliman1faafx的不動(dòng)點(diǎn)。若存在bf abfafbqabababafx、取af1a，則對正整數(shù)n有fnnf1anf00fnnfnfn0，故fnfnan，即對負(fù)整數(shù)af1 1nf1，所以f1a f n n n

，從而對任意有理數(shù)nfmmf1am 實(shí)數(shù)x，取xQ，使limxx，則根據(jù)fx在 n n 處的連續(xù)性fxflimxnlimfxnlimaxnax，所fxax對任意 x都成立、⑴0，取12，則當(dāng)x1x21,，且x1x21時(shí)，有x1x1 x 1x x1x1 x2 此存在20，當(dāng)x1,x20,，且x1x22時(shí)， ，取min,,1，則當(dāng)x,x0,，且x ，若x,x中有一個(gè)屬于 2 則兩個(gè)都屬于0,2，所 ；若兩個(gè)都不屬于0,1，則兩個(gè)都屬于x所 ， 在0,上一致x ⑵取0， 的0，取x1

，x2

，則x1

，但 2 1

2 x xxx

在0,上不一致連續(xù)。

22

fxx3fxC0N1，所以存在10x1x20N1x1

1時(shí)fxfx，取min,,，則當(dāng)x,x0,，且x 時(shí) 3x1x2中有一個(gè)屬于0,N，則兩個(gè)都屬于0,N1，從而fx1fx2x1都屬于N,fxfxfxxfxxx fx在2

23、因limfxx20，所以N0xN時(shí)，

1

0N，取x1x22，則

x1

，但2fxfxx2x2fxx2fxx21111，所以fx 0,上不一24充分性：令Fx

limfx,xa，則FxCa,b，所以 limfx,limfx, x1x2abx1x2時(shí)Fx1Fx2