高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座 空間圖形的證明與計算 人教

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座空間圖形的證明與計算整理ppt考點分析與預(yù)測:1.空間圖形主要有兩塊內(nèi)容:一塊是直線與平面,另一塊是簡單幾何體。直線與平面的基本性質(zhì),解決空間圖形基本問題(平行,垂直,角,距離)的方法,是解決復(fù)雜幾何體問題的基礎(chǔ)。因此，必須學(xué)好平面的基本性質(zhì)，解決空間圖形基本問題的方法。整理ppt

2．首先要學(xué)會識別圖形，包括幾何的圖形的形狀，大小，幾何體間的位關(guān)系；幾何體中各元素在平面上，空間中的相互位置關(guān)系以及特定位置的排列順序。其次要能夠畫出表示概念的“圖”，定理的“圖”，能夠根據(jù)題目的條件和要求畫出相應(yīng)的圖。第三，還要能夠?qū)D形進行適當(dāng)?shù)奶幚?，對圖形分割，補全，展開，移出，添加輔助線，面。第四，由于立體幾何圖形是在平面上給出的，只有在想象的基礎(chǔ)上進行分析，才可能得出正確的判斷。整理ppt3．對于有關(guān)幾何量的度量，要做到解題過程完整，即：一作，二證，三計算。作在何處大有講究，一般而言，所求的角，垂線應(yīng)作在圖形的表面，顯眼的地方，匯聚幾何元素多的地方，因為這樣做，易于弄清關(guān)系，好計算。整理ppt

4．高考的三種題型都有立體幾何題目，并且以立體幾何的內(nèi)容為載體，首創(chuàng)了“開放題”，“類比題”。通過立體幾何內(nèi)容的試題，考查空間想象力，邏輯思維能力。為了提高這方面的能力，同學(xué)們在平時應(yīng)多觀察圖，多想圖，加強表達訓(xùn)練，努力使解題過程層次分明，表達清晰，理由充分。整理ppt知識框架空間線、面平行與垂直的判定與證明空間的角和距離簡單的幾何體整理ppt內(nèi)容一、空間線面平行與垂直的判定與證明線線垂直（或平行）線面垂直（或平行）面面垂直（或平行）（體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想）整理ppt

【例1】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°,AD∥BC且AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，若AE⊥PD，E為垂足。求證：BE⊥PD整理ppt

【證明】法一：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB

再由AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD【分析】要證線線垂直，要證線面垂直或三垂線定理，還可以運用空間向量法。整理ppt法二：由題設(shè)AB⊥AD，AB⊥AP，∴AB⊥平面PAD

∴ＢＥ在平面ＰＡＤ上的射影是ＡＥ又由AE⊥PD，得BE⊥PD法三：本題還可用空間向量法整理ppt【例2】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F。求證：PB⊥平面EFD整理ppt【分析】要證明PB⊥平面EFD，可證PB⊥EF和PB⊥DE。EF⊥PB已知，故只要證PB⊥DE，通過證DE⊥平面PBC便可實現(xiàn)整理ppt【證明】證法一：∵PD⊥底面ABCD，且DC底面ABCD∴PD⊥DC∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC同理由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC

整理ppt∴DE⊥PB又EF⊥PB，且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD。而DE平面PDC，∴BC⊥DE∴DE⊥平面PBC，而PB平面PBC，∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，整理ppt

證法二：以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)DC=，依題意得B（，，0），P（0，0，）E（0，，），D（0，0，0）∴=（，，-），=（0，，）

∵·=0＋－=0∴⊥，即PB⊥DE已知EF⊥AB，且EFDE=E，所以PB⊥平面EFD整理ppt【例3】如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1

，D是棱BC上的一點，且A1B∥平面ADC1，求證：平面ADC1⊥平面BB１ＣC1

整理ppt【分析】根據(jù)已知條件“A1B∥平面ADC1”聯(lián)想性質(zhì)。若連AC1交AC1于O，可得A1B∥OD，從而D是BC的中點，這是解題的關(guān)鍵；本題還可從向量入手。整理ppt【證明】證法一：如圖，連接A1C交AC1于O，連接OD∵A1B∥平面ADC1，且平面ADC1∩平面A1BC=OD∴A1B∥OD

在△A1BC中，O為A1C的中點∴D為BC的中點∴AD⊥BC

∴AD⊥平面B1BCC1

又∵AD平面ADC1∴平面ADC1⊥平面B1BCC1整理ppt

證法二：向量法以AB的中點M為原點建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）也可證AD⊥BC

，證明過程請同學(xué)們完成。思考：能否建立其它的空間直角坐標(biāo)系呢？整理ppt【例4】已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

，AF=1，M是EF的中點。求證：AM∥平面BDE整理ppt【證明】證法一：設(shè)AC與BD的交點為O，連接OE?！逴、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE【分析】如圖，只要證AM∥OE即可∴AM∥平面BDE∵OE平面BDE，AM平面BDE整理ppt

證法二:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ACBD=N，連接NE，則N（，，0）,E（0，0，1），A（，，0），M（，，1）∴=（－，－，1）

=（－，－，1）∴=，且與不共線∴∥即NE∥AM∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE

整理ppt【解題回顧】空間直線、平面的平行（或垂直）位置關(guān)系的問題：“已知條件”聯(lián)想性質(zhì)定理，“求證”聯(lián)想判定定理，這對平行與垂直關(guān)系的證明很有幫助。整理ppt二：空間的角和距離空間的角：①異面直線所成的角；②直線與平面所成的角；③二面角的平面角強調(diào)：求異面直線所成的角的方法整理ppt①求異面直線所成的角的方法：

平移法，向量法E、F分別是CC1、AD的中點，求異面直線OE和FD1所成的角的余弦值。【例5】如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，整理ppt分析:通過平移異面直線中的一條或兩條，將異面直線所成的角化歸到三角形中，然后解三角形求之（稱構(gòu)造三角形）；或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求之整理ppt解法一：取面CC1D1D的中心為H，連接FH、D1H，在△FHD1中ＦＤ１=，F(xiàn)H=，D1H=由余弦定理得∠D1FH的余弦值為。整理ppt

解法二：取C1D1的中點H，連接HE，故∠HOE即為所求，然后在△HOE中解出∠HOE的余弦值。（請同學(xué)們完成）整理ppt解法三：以點D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（2，0，0），D（0，0，0），

D1（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），B（2，2，0）∴F（1，0，0），E（0，2，1），O（1，1，0），得

=（-1，1，1），

=（-1，0，2）

∴與夾角的余弦值為==

整理ppt③求二面角的平面角的方法：

定義法；利用三垂線定理法；垂面法；法向量法；面積射影法。②求直線與平面所成的角的方法:整理ppt【例6】如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，求面VAD與面VDB所成的二面角的大小整理ppttan∠AEB=【分析】本題可用三垂線定理法，面積射影法，法向量法求之解法一：取VD的中點E，連接AE、BE，∵△VAD是正三角形∴AE⊥VD，AE=AD∵平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB平面ABCD∴AB⊥平面VAD∴AB⊥VD∴∠AEB即為所求二面角的平面角。于是故∠AEB==整理ppt

解法二：由解法一知BA⊥平面VAD，設(shè)面VAD與面VDB所成的二面角為，則有

=設(shè)AD

=a則

==

==

∴=

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解法三：過V做VM⊥AD于點M，取BC的中點N，連接MN，以M為坐標(biāo)原點，建立如圖所示坐標(biāo)系設(shè)AD=2，則V（0，0，），A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），則=（2，2，0），=（1，0，），整理ppt由解法一知為平面VAD的法向量，且=（0，－2，0）設(shè)平面VBD的法向量為=（1，x，y）由⊥且⊥

得2+2x=0且1+y=0

解得x=－1，Y=－

∴=(1,－1,－)

==

整理ppt【解題回顧】空間角或距離的計算，解題途徑主要有兩條：

⑴平移⑵向量

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（2）空間距離：

求點到平面的距離的求法：1.直譯法2.等積法3.轉(zhuǎn)移法4.法向量法（例題從略）整理ppt

三：簡單多面體

前面幾道例題主要涉及到棱柱、棱錐中線面關(guān)系的判斷和證明以及有關(guān)角、距離的問題，下面講解有關(guān)棱柱、棱錐、球面的概念及面積、體積的計算。整理ppt【例7】如圖，在多面ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2求該多面體的體積整理ppt【分析】題目所給的多面體是棱柱或棱錐的部分，不能直接套用公式，適當(dāng)割補后，才能運用體積公式進行計算。整理ppt解法一：連接EB、EC，則VE-ABCD=×3×3×2=6

∵AB=2EF，EF∥AB∴S△EAB=2S△BEF

∴VF-EBC=VC-EFB=VC-EAB=VE-ABC=VE-ABCD

=∴所求多面體的體積為V=VE-ABCD+VF-EBC

=6+=整理ppt解法二：設(shè)M、N分別是AB、CD的中點，則EF∥FB，EN∥FC，MN∥BC，則FBC-EMN為三棱柱，其中VE-MNDA=×3××2=3不妨設(shè)面BCF⊥面ABCD，則VFBC-EMN=S△BCF·EF=×3×2×=

∴所求多面體體積為3＋=整理ppt【例8】下面是關(guān)于三棱錐的四個命題：(1)底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；(2)底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；(3)底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；(4)側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；其中，真命題的編號是＿＿＿（寫出所有真命題的編號）。整理ppt

【分析】本題考查正三棱錐的定義、性質(zhì)。(1)因為底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，故側(cè)面三角形的高相等，由此推得三條側(cè)棱相等，所以三側(cè)面都是等腰三角形，并且三側(cè)面全等。由正三棱錐的定義知這樣的三棱錐是正三棱錐。(2)側(cè)面是等腰三角形的三棱錐，如果有一條棱與底面三角形的邊相等，構(gòu)成等腰三角形，這就不能確定三個側(cè)面全等，這樣的三棱錐不一定是正三棱錐。整理ppt

(3)側(cè)面的面積都相等的三角形不能確定為全等等腰三角形，所以這樣的三棱錐不一定是正三棱錐。(4)由側(cè)面與底面所成的角都相等，可知三條側(cè)棱在底面的射影相等且三條側(cè)棱相等。又因為側(cè)面與底面所成的二面角都相等，所以側(cè)面三角形的高及高在底面上的投影都相等，三側(cè)面是全等的等腰三角形，這樣的三棱錐是正三棱錐。整理ppt【例9】設(shè)地球的半徑為R，在北緯45°圈上有兩點A、B，點A在西經(jīng)40°，點B在東經(jīng)50°，求A、B兩點緯線圈的弧長及A，B兩點的球面距離。整理ppt【分析】首先看第一解題目標(biāo)，是求緯線圈中的弧長，必須要用弧長公式Ｌ=·r去解決，而公式中的=∠AO1B，就是A、B兩地間的經(jīng)度差，如何求r

呢？由地球半徑和緯度來求得。再看第二解題目標(biāo)，要求A、B兩點的球面距，根據(jù)定義，要先找出經(jīng)過A、B、O（球心）的一個大圓，再找出劣弧，而劣弧=∠AOB·R，只需求出∠AOB的弧度數(shù)。整理ppt解：設(shè)45°緯線圈的中心為O1，球心為O，則∠AO1B=40°+50°=90°∵OO1⊥平面AO1B

而∠OAO1=45°，∴O1A=O1B=O1O=OA·cos45°=R在Rt△AO1B中，AB=AO1=R

∴AOB為等邊

∴∠AOB=

故在45°緯線圈上L=AO1=R；A、B兩點間的球面距離為=R△整理ppt

【小結(jié)】解題口訣：立體幾何點線面，垂直平行重頭戲；做圖識圖鬼門關(guān)，圖形處理割補添；理解概念和定理，定性定量分清楚；判定方法要清晰，計算之前作和證；審題一定要仔細，學(xué)會分析找思路；三種語言莫含糊，表述要過四大關(guān)；要用空間坐標(biāo)系，選定原點和三軸；點的坐標(biāo)莫寫錯，以免錯誤丟分?jǐn)?shù)；轉(zhuǎn)化思想解問題，回歸課本要牢記；善于思考和勤問，觀察想象常推理。整理ppt立體幾何高考題型預(yù)測：熱點之一：點、線、面問題包括平面的基本性質(zhì)、空間的直線和平面的位置關(guān)系及判定方法。整理ppt【例1】已知是兩個平面，直線若以①②③中兩個為條件，另一個為結(jié)論構(gòu)成三個命題，則其中正確命題的個數(shù)是（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）3個分析：以①，②，③中兩個為條件，另一個為結(jié)論可構(gòu)成三個命題命題1：，，命題2：，，命題3：，，其中前兩個命題正確，第三個命題錯誤。

整理ppt【例2】正方體ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｐ、Ｑ、Ｒ分別是ＡＢ、ＡＤ、Ｂ１Ｃ１的中點，那么，正方體的過Ｐ、Ｑ、Ｒ的截面圖形是（）（Ａ）三角形（Ｂ）四邊形（Ｃ）五邊形（Ｄ）六邊形整理ppt分析：本題考查的知識點有多面體的概念，空間圖形截面的性質(zhì)，直線和平面的位置關(guān)系，圖形的畫法以及根據(jù)圖形想象它們的位置關(guān)系。畫出圖形，如圖所示。整理ppt（練習(xí)）1．在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸，經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是（）整理ppt分析：根據(jù)題意，鋼球球心必在棱錐的高上，故排除C、D。鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸，經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，所得圓只能與這條側(cè)棱對面上的高線，底面高線相切，而與這條側(cè)棱不相切。故排除A整理ppt2．在正方體中，寫出過頂點A的一個平面______使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認(rèn)為正確的一個平面即可，不必考慮所有可能的情況)。整理ppt分析：連結(jié)AB1,B1D1,D1A。則四面體A1—AB1D1

是正三棱錐∴A1A，A1B1，A1D1與底面AB1D1所成的角均相等∵A1A∥BB1∥CC1∥DD1A1D1∥AD∥BC∥B1C1 A1B1∥AB∥DC∥D1C1

∴正方形的12條棱與面AB1D1所成的角都相等。整理ppt熱點之二：空間角與距離問題三個角：包括兩條直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角；八個距離：包括點到直線的距離、點到面的距離、兩條平行直線的距離、異面直線的距離、直線與平行平面的距離、兩個平行平面之間的距離、球面上兩點的距離。強調(diào)：在求角或距離時，一定要“先找（或作）后解”。整理ppt【例3】已知：斜三棱柱的側(cè)面與底面垂直，

且（Ⅰ）求側(cè)棱與底面所成角的大小；（Ⅱ）求側(cè)面與底面所成二面角的大??；（Ⅲ）求頂點Ｃ到側(cè)面的距離；（Ⅲ）求側(cè)棱和側(cè)面的距離。整理ppt解析：(Ⅰ)作A１D⊥AC,垂足為D，由面A1ACC⊥面ABC得A1D⊥面ABC∴∠A1AD為A1A與面ABC所成的角AA1⊥A1CAA1=A1C∴∠A1AD=為所求。整理ppt(Ⅱ)作DE⊥AB，垂足為E，則由A1D⊥面ABC得A1E⊥AB所以∠Ａ１ＥＤ是面Ａ１ＡＢＢ１與面ＡＢＣ所成的二面角的平面角由已知AB⊥BC得ED∥BC又D為AC的中點，BC=2AC=2，所以DE=1，AD=A1D==故∠A1ED=為所求。整理ppt(Ⅲ)連結(jié)A1B,根據(jù)定義,點C到面A1ABB1的距離,即為三棱錐C－A１AB的高h,由=得．h=．A1D

即×2h=×2×∴h=整理ppt(Ⅳ)過B作BF⊥AC由面A1ACC1面ABC得BF⊥面A1ACC1

又BB1∥面AACC故B到平面A1ACC1的距離就是側(cè)棱BB1與側(cè)面A1ACC1的距離，在Rt△AB中×AB×BC=×AC×BF得BF===整理ppt

(練習(xí))4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1

中E、F分別為AB、AD的中點，分別求A1C1與B1C所成角的大小A1C1與EF所成角的大小A1C與AD1所成角的大小AD1與EF所成角的大小BD1與CE所成角大小B1C與平面ABCD所成角的大小BD1與平面DCC1D1所成角的大小二面角B-A1C1-B1的大小二面角B-AC-B1的大小二面角C1-EF-C的大小整理ppt分析：用平移法或向量法解之。正確答案：

⑴60°