直線差補(bǔ)幾種情形的轉(zhuǎn)接點(diǎn)坐標(biāo)公式推導(dǎo)

直線差補(bǔ)幾種情形的轉(zhuǎn)接點(diǎn)坐標(biāo)公式推導(dǎo)。答：通過分析相鄰兩程序段輪廓軌跡的轉(zhuǎn)接情況，采用平面解析幾何的方法推導(dǎo)出計算刀具中心軌跡的交點(diǎn)坐標(biāo)的公式。對于一般的數(shù)控系統(tǒng)，所有實(shí)現(xiàn)的輪廓控制僅限于直線和圓弧。所以前后兩程序段輪廓軌跡轉(zhuǎn)接情況一般有四種：直線f直線、直線f圓弧、圓弧f直線、圓弧f圓弧。根據(jù)兩程序段軌跡矢量之間的夾角和刀具補(bǔ)償類型的不同，可以將軌跡間的轉(zhuǎn)接形式分為三類：縮短型、伸長型和插入型。經(jīng)過對各種轉(zhuǎn)接類型刀具補(bǔ)償情況的分析計算，可對其分類總結(jié)，如表1所示。表1 各種惰況下轉(zhuǎn)接類型刀補(bǔ)方向sinacosa。所在象限轉(zhuǎn)接類型左刀補(bǔ)(G41)正正I正r負(fù)11負(fù)負(fù)m插入型負(fù)正IV伸長型右刀補(bǔ)(G42)正正I伸長型正11香入型負(fù)負(fù)III負(fù)正IV刀具中心軌跡交點(diǎn)坐標(biāo)公式推導(dǎo)以直線f直線(左刀補(bǔ))為例具體分析采用平面解析幾何推導(dǎo)刀具中心軌跡交點(diǎn)坐標(biāo)公式的過程，如圖2所示。編程軌跡為OA-AF,a1、a2分別是矢量0A、AF與X軸正向的夾角，夾角a=a2a1。刀具半徑值A(chǔ)B=AD=r。在圖2(a)、2(b)、2(d)中，刀具中心軌跡為JC-CK,而2(c)中，刀具中心軌跡為JC-CC‘-C'K。其中，求交點(diǎn)C和Cz的坐標(biāo)值是C刀補(bǔ)算法的關(guān)鍵問題。刀具中心軌跡交點(diǎn)C的坐標(biāo)值的通用表達(dá)式為：”X=X+ACTOC\o"1-5"\h\zc A xX=Y*+AClc A ?y式中，AC為轉(zhuǎn)接矢量AC的X分量，AC為轉(zhuǎn)接矢量AC的Y分量。圖2(a)中：X YAC=ACZ=ABZ+BZCZJCAB'二r-cosZXAB=r-cos(90°+a)=rsinaB^CZ=BC*cos(a+180°)=—BCcOsa 111ZXAD=90°+aZBAC=(a—a)BC=rtg[(a—a)/2]2*21**21

...ac=-sinai-sina2r兀 1+cos(a2—a1)同理可得：cosai+cosa?同理可得：1+cos(a2—ai)即交點(diǎn)坐標(biāo)C的公式為:[Xt= -rfsinuiisina：)/[l丨cos(u=-m)][Yc=Ya+rfcosaiicosaIi-cosfai-ai)通過分別計算圖2(b)、2(c)、2(d),可知縮短型和伸長型交點(diǎn)C的計算公式一樣。對于插入型，交點(diǎn)C和C'得計算公式分別為：IXc=Xx+r(c<jsctI-sin(zl)[Y(■=Yx-rfsiTi厲："cosai)JXi=X\十-s;in門■■一ctj|Yi=Y\+r(cosa?-sina?)圖2直線一直線的轉(zhuǎn)接情況(左刀補(bǔ))同理可計算出直線一直線進(jìn)行右刀補(bǔ)時縮短型和伸長型的交點(diǎn)C計算公式也一樣為：[Xc=X\+rfsinai+sina：)/[1+cos(cc2-ai}]|Yc=￥\-r(cosa+cosa：)/[l+cos(a：-ai)]對于插入型，交點(diǎn)C和C'的計算公式為:[X<=Xi+rfcosai+sina)[Yc.=Yi+rfsinm-cosa)[X(=X\+r(sinaz-cosas)[Y<=Y.a-i-r(-cosot2-sincti)采用同樣的方法直線一圓弧、圓弧一直線、圓弧一圓弧的各個轉(zhuǎn)接類型分析,可知，直線一圓弧、圓弧一直線、圓弧一圓弧的伸長型與插入型交點(diǎn)C的計算與直線一直線的計算公式相同。只需求出縮短型交點(diǎn)C的計算公式，便可得到在各種轉(zhuǎn)接類型下，刀具補(bǔ)償后刀具中心軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)。下面給出縮短型C功能道具補(bǔ)償公式的詳細(xì)推導(dǎo)，其他類型與此相似。CBC1HGB1DRnxKCBC1HGB1DRnxK由AB=BC=R；AB丄BC〃OG；ZOAB1二a1;得：ZABB1二a1；ZCBH=a1CH=BC*sin(ZCBH)二R*sin(a1)BB1=AB*cos(ZABB1)=R*cos(a1)BL=AB*sin(ZABB1)=R*sin(a1)BH=BC*cos(ZCBH)=R*cos(a1)Xc=CH+BB1=R*(sina1+cosa1)Yc=BH-BL=R*(sina1-cosa1)AD丄AF〃C1K；AD=DC1ZFAE=ZKC1L=Z0AE-Z0AF;Z0AF=a-_nZOAE=(n/2)-a1ZFAE=ZKC1L=(3*口)/2-a1-a=ZADEC1L二CID*cos(ZKC1L)二R*cos((3*口)/2-a1-a)二-R*sin(a1+a)DL=C1D*sin(ZKC1L)二R*cos(a1+a)AE=AD*sin(ZADE)二R*cos(a