單級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立-參考

1單級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立:小車由電機(jī)通過(guò)同步帶驅(qū)動(dòng)在滑桿上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平衡。電機(jī)編碼器和角編碼器向運(yùn)動(dòng)卡反饋小車和擺桿位置(線位移和角位移)。導(dǎo)軌截面成H型,小車在軌道上可以自由滑動(dòng)，其在軌道上的有效運(yùn)行長(zhǎng)度為1米。軌道兩端裝有電氣限位開(kāi)關(guān)，以防止因意外失控而撞壞機(jī)構(gòu)。FF圖1單級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型倒立擺系統(tǒng)的模型參數(shù)如下□:M小車質(zhì)量1.096Kg；m擺桿質(zhì)量0.109Kgb小車摩擦系數(shù)0.1N/m/secI擺桿質(zhì)量0.0034kg*m*mTOC\o"1-5"\h\zl擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25mT采樣頻率0.005s下面N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量分析小車水平方向所受的合力，可得到方程為：MxFbxN(1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:Nm--xlsindt2⑵2Nmxmlcosmlsin把這個(gè)等式代入(1)式中，得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：2MmxbxmlcosmlsinF(3)為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直方向的合力進(jìn)行分析，得到下面的方程：Pmgm^lcos

dt2Pmgmlsinml2cos力矩平衡方程如下:PlsinNlcosIPmgm^lcos

dt2Pmgmlsinml2cos力矩平衡方程如下:PlsinNlcosI方程中力矩的方向，由于cos,sinsin,故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去P和N,得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:2Imlmglsinmlxcos2Imlmglsinmlxcos(6)綜上：?jiǎn)渭?jí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)方程為:MmxbxmlcosmlsinF（3）Imlmglsinmlxcos（6）由于這2個(gè)方程式非線性的近似線性化處理：考慮一類非線性系統(tǒng)泉=/（1，我）其鎮(zhèn)定問(wèn)題所研究的是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。針對(duì)上述非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題，有一類方法是先將其進(jìn)行線性化，然后利用線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論來(lái)設(shè)計(jì)控制器。線性化的方法有2種，一是以泰勒展開(kāi)為基礎(chǔ)的近似線性化方法；二是以微分幾何為基礎(chǔ)的精確線性化方法。經(jīng)典的近似線性化方法該方法通過(guò)求取方程z=F（工）+G（況）"右端對(duì)狀態(tài)向量x在平衡點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)可得，即"]口)dx23/2(1)

dx2■

■

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3必丁晨郁）gz（曲"]口)dx23/2(1)

dx2■

■

■af3

3必丁晨郁）gz（曲）■.■此（々）即為平衡點(diǎn)z。處的近似線性化模型。2精確線性化方法該方法通過(guò)尋找微分同胚變換z"Q)3xn■■■"rt(h)a二J%Q=T（x）和狀態(tài)反饋P—a（N，“），使得非線性系統(tǒng)“一F（W）+G（n）"可轉(zhuǎn)換成Brunosky標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng):-010001式中4=：:：000[oooB=[00…000■■101丁基于微分幾何的非線性系統(tǒng)精確線性化理論已經(jīng)證明：存在這樣一個(gè)微分同胚變換和狀態(tài)反饋，使得一個(gè)單輸入仿射非線性可以化為一個(gè)線性系統(tǒng)。若h（x）是線性偏微分方程組（〈dA,g〉,《或,nd”戶自〉，…，〈d力，口成二/g））=［（0,…，0"（工）［的解，其中y（R）為光滑函數(shù)，且，（°）工。則？=（之］z2…招）=［乂了）Lz/i（x）…L尸九（上）］=T（x）是一一個(gè)微分同胚變換；并且若則單輸入仿射非線性v=Lyh(x)+LJ7T晨幻??(x)則單輸入仿射非線性系統(tǒng)工卜3（門式可轉(zhuǎn)換為Brunovsky標(biāo)準(zhǔn)型，即N］=胃Z，之W"3?,,,??用-1大n—Z?冬1即c對(duì)于由近似線性化方法得到的非線性系統(tǒng)的近似線性模型和由精確線性化方法得到的線性模型，都可以應(yīng)用線性系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的反饋控制器；但不同的是前者設(shè)計(jì)的反饋控制器可以直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)，并在小范圍內(nèi)可以將系統(tǒng)從不穩(wěn)定的初始狀態(tài)鎮(zhèn)定至平衡狀態(tài)；而后者設(shè)計(jì)的反饋控制器所得到的是控制量R而不是原系統(tǒng)的控制量u,因此該控制量還需要經(jīng)過(guò)控制量的逆變換將其轉(zhuǎn)化為控制量〃才能作用于原系統(tǒng)，即乙肛（土）,1LJ?。▁）LJ/*S》對(duì)比這2種設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)反饋控制器的方法，經(jīng)典近似線性化方法方法最明顯的缺點(diǎn)是它有誤差，而且誤差隨偏離平衡點(diǎn)距離的增大而擴(kuò)大利用精確線性化模型得到的系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器能在更大范圍內(nèi)將系統(tǒng)從不平衡狀態(tài)鎮(zhèn)定至平衡狀態(tài)；因此精確線性化方法不但更適合于高精度的非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制，而且更適合于初始狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制。根據(jù)相對(duì)階的定義，可知倒立擺系統(tǒng)的相對(duì)階r=2不能為n即倒立擺系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)精確線性化。J20cos1,sin假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即J20cos1,sindt用u代表被控對(duì)象的輸入力，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下:2ImlmglmlxMmxbxml對(duì)方程(7)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到:Iml2(s)s2mgl(s)mlX(s)s222(8)MmX(s)s2bX(s)sml(s)s2U(s)(推到時(shí)假設(shè)初始條件為0)則，擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)為：(s)mls2X(s)(Iml2)s2mgl將上述參數(shù)代入，擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)為：2(s)0.02725s2X(s)0.0102125s20.26705擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：(s)mlA(s)Iml2s2mgl將上述參數(shù)代入，擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：(s)0.02725s2A(s)0.0102125s20.26705擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：ml2

s(s)qTOC\o"1-5"\h\z-，、■，.■2、..F(s)4b(Iml)3(Mm)mgl2bmglsJs乙-s——sqqq222q(Mm)(Iml)ml將上述參數(shù)代入，擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：(s)2.35655s-—32F(s)s0.0883167s27.9169s2.30942以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:000-2.mgl20xIml2I(Mm)Mml2&I(Mm)Mml2u010mgl(Mm)0&mlI(Mm)Mml2I(Mm)Mml20120(Iml)b2I(Mm)Mml00mlbI(Mm)Mml2將上述參數(shù)代入，以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)