2017-相似三角形解題技巧及口訣-B

2017-相似三角形解題技巧及口訣——B

相似三角形解題技巧及口訣常見(jiàn)相似類型：A字形，斜A字形，8字形、斜8字形（或稱X型），雙垂直（母子型），，旋轉(zhuǎn)形【雙垂直結(jié)論，即直角三角形射影定理工【1】直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；【2】每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。（1）ACDsMDBfAD:CD=CD:BDfCD2=AD?BD⑵△ACDs-BCfAC:AB=AD:AC—AC?=AD?AB（3）CDBs-BCfBC:AC=BD:BCfBC?=BD?AB結(jié)論：⑵+⑶得AC?:BC?=AD:BD結(jié)論：面積法得AB?CD=AC?BCf比例式【證明等積式（比例式）策略】：1、直接法：找同一三角形兩條邊變化：等號(hào)同側(cè)兩邊同一三角形，三點(diǎn)定形法2、間接法：

對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用等線段替換法、中間比過(guò)渡法、面積法等.若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”（必要時(shí)需添輔助線），使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來(lái)證明.⑴3種代換①等線段代換；②等比代換；③等積代換;⑵創(chuàng)造條件①添加平行線一一創(chuàng)造“A”字型、“8”字型②先證其它三角形相似一一創(chuàng)造邊、角條件相似判定條件：兩邊成比夾角等、兩角對(duì)應(yīng)三邊比【口訣】：遇等積，化比例，同側(cè)三點(diǎn)找相似；四共線，無(wú)等邊，射影平行用等比;四共線，有等邊，必有一條可轉(zhuǎn)換;兩共線，上下比，過(guò)端平行條件邊；彼相似，我角等，兩邊成比邊代換。或：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；遇等積，化比例：橫找豎找定相似；不相似，不用急：等線等比來(lái)代替；三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截;平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來(lái)代替;遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系I遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系I①4ABC中，AB=AC，△DEF是等邊三角形，求證:BD?CN=BM?CE.

②等邊三角形ABC中，P為BC上任一點(diǎn)，AP的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點(diǎn)。求證：BP?PC=BM?CN|干斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片RtAABC中，NBAC=90°,AD±BC于D,E為AC的中點(diǎn)，求證：AB?AF=AC?DF分析：比例式左邊AB,AC在4ABC中，右邊DF、AF在4ADF中，這兩個(gè)三角形不相似，因此本題需經(jīng)過(guò)中間比進(jìn)行代換。通過(guò)證明兩對(duì)三角形相似證得結(jié)論。間比進(jìn)行代換。通過(guò)證明兩對(duì)三角形相似證得結(jié)論?；赜猩溆?，或平行，等比傳遞我看行①0ABCD①0ABCD中,AC是平行四邊形ABCD的對(duì)角線G是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BG交AC于F,交CD于E,FG②梯形ABCD中,AD//BC,作BE〃CD,求證:OC?=OA<OE,EE四共線，看條件，其中一條可轉(zhuǎn)換;RtAABC中四邊形DEFG為正方形。求證:EF2=BE>FCBB②4ABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，CF〃BA,求證：BP2=PE-PFO③AD是4ABC的角平分線，EF垂直平分AD,交BC的延長(zhǎng)「于E,交AB于F求證：DE2=BE-CE.BDCE兩共線，上下比，過(guò)端平行條件邊。引平行線應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1）選點(diǎn)：一般選已知（或求證）中線段的比的前項(xiàng)或后項(xiàng)，在同一直線的線段的端點(diǎn)作為引平行線的點(diǎn)。2）引平行線時(shí)盡量使較多已知線段、求證線段成比例。AD是4ABC的角平分線.求證：AB:AC=BD:CD.D②在aABC中，AB>AC,D為AB上一點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，4口=4E，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,求證：BP:CP=BD:CE.BA③在4ABC中，BF交AD于E.(1)若AE:ED=2:3,BD:DC=3:2,求b-d±cAF:FC⑵若AF:FC=2:7,BD:DC=4:3,^AE:ED(3)BD:CD=2:3,AE:ED=3:4，求AF:FC④在aABC中，P、Q分別為BC的三等分點(diǎn)，AC邊上的中線BM交AP于D,交AQ于E,若BM=10cm,試求BD、DE、EM的長(zhǎng).彼相似，我條件，創(chuàng)造邊角再相似①AE2=AD?AB,且NABE=NBCE,試說(shuō)明△EBC^ADEB.r②已知NABDSAACE，求證：AABC0°AADE*AA③D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD、AD,以BC為邊在△ABC外作NCBE=NABD,NBCE=NBAD,求證：△DBEsaABC。④D、E分別在aABC的AC、AB邊上，且AE?AB=AD?AC,BD、CE交于點(diǎn)O.求證：△BOEsaCOD.巧求三角形中線段的比值例1.如圖1,在4ABC中，BD：DC=1：3,AE：ED=2：3,求AF：FC。v^.rw^^^.njw^^uw^^uw^^uw^^uw^^uw^^uw^^i.解：過(guò)點(diǎn)D作DG〃AC,交BF于點(diǎn)G

所以DG：FC=BD：BC因?yàn)锽D：DC=1：3所以BD：BC=1：4即DG：FC=1：4,FC=4DG因?yàn)镈G：AF=DE：AE又因?yàn)锳E：ED=2：3所以DG：AF=3：222AH^-DG-DG即3所以AF：FC=3：4DG=1：6例2.如圖2,BC=CD,AF=FC,求EF：FD解：過(guò)點(diǎn)C作CG〃DE交AB于點(diǎn)G,則有EF：GC=AF：AC因?yàn)锳F=FC所以AF：AC=1：2S^=-GC即EF：GC=1：2,2因?yàn)镃G：DE=BC：BD又因?yàn)橐驗(yàn)镃G：DE=BC：BD又因?yàn)锽C=CD所以BC：BD=1：2CG：DE=1：2即DE=2GC13132GC--GC=-GC-GC：-GC=1：3因?yàn)镕D=ED-EF=22所以EF：FD=22小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)練習(xí)