五年級(jí)奧數(shù)長(zhǎng)方體和正方體(二)整理版課件

長(zhǎng)方體和正方體（二）

長(zhǎng)方體和正方體（二）專題簡(jiǎn)析

在長(zhǎng)方體、正方體問(wèn)題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體；把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體積。解答上述問(wèn)題，必須掌握這樣幾點(diǎn)：1，將一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗），體積不變；2，兩個(gè)物體熔化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來(lái)物體體積的和；3，物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。

專題簡(jiǎn)析

在長(zhǎng)方體、正方體問(wèn)題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情

例題1有兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長(zhǎng)40厘米，寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長(zhǎng)30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？典型例題精講1【思路導(dǎo)航】

由于后來(lái)兩個(gè)水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個(gè)水箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）×水面的高度。這樣，我們只要先求出原來(lái)甲水箱中的體積：40×32×20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后來(lái)水面的高度。例題1有兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著練一練1：有兩個(gè)水池，甲水池長(zhǎng)8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長(zhǎng)6分米、寬和高都是4分米?，F(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個(gè)水池中水面同樣高。問(wèn)水面高多少？解：設(shè)兩個(gè)池中水面的高度為x米，

由題意得

8×6×x+4×4×x=8×6×3

48x+16x=144

64x=144

x=2.25．

答：水面的高度是2.25米．練一練1：有兩個(gè)水池，甲水池長(zhǎng)8分米、寬6分米、水深3分米，計(jì)算法：

總水量是8×6×3=144立方分米

甲的底面積是8×6=48平方分米乙的底面積是4×4=16平方分米

兩者水面高度是：144÷（48+16）=2.25（分米）答：水面的高度是2.25米．計(jì)算法：

總水量是8×6×3=144立方分米

甲的底面積是8練一練2：有一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從面量長(zhǎng)40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng)20厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時(shí)水面高多少厘米？水箱的底面積是：40×30＝1200（平方厘米）

水的體積是：1200×10＝12000（立方厘米）

正方體鐵塊的底面積是：20×20＝400（平方厘米）

水箱放入正方體鐵塊后,底面積變成了

1200－400＝800（平方厘米）

現(xiàn)在水面高：12000÷800＝15（厘米）答：這時(shí)水面高15厘米。練一練2：有一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從面量長(zhǎng)40厘米、寬30厘米、深將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。分析

因?yàn)檎襟w的六個(gè)面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以這個(gè)正方體的棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)：96=6×（4×4），棱長(zhǎng)是4厘米；150=6×（5×5），棱長(zhǎng)是5厘米。知道了棱長(zhǎng)就可以分別算出它們的體積，這個(gè)大正方體的體積就等于它們的體積和。體積=3×3×3+4×4×4+5×5×5=216立方厘米答：這個(gè)大正方體的體積是216立方厘米。

典型例題精講2將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三練一練1：:有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米?，F(xiàn)將三塊鐵熔成一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的體積。24÷6=4（平方厘米），因?yàn)?×2=4，所以棱長(zhǎng)是2厘54÷6=9（平方厘米），因?yàn)?×3=9，所以棱長(zhǎng)是3厘米294÷6=49（平方厘米）因?yàn)?×7=49，所以棱長(zhǎng)是7厘大正方體體積：2×2×2+3×3×3+7×7×7=378（立方厘米）

答：這個(gè)大正方體的體積是378立方厘米．練一練1：:有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米練一練2：將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個(gè)正方體鐵塊熔成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是13厘米，寬7厘米，求它的高。兩個(gè)正方體熔鑄成一個(gè)長(zhǎng)方體,體積不變.

表面積為216平方厘米的正方體,一個(gè)面的面積為36平方厘米,棱長(zhǎng)為6厘米,體積為6×6×6=216（平方厘米）

表面積為384平方厘米的正方形,一個(gè)面的面積為64平方厘米,棱長(zhǎng)為8厘米,體積為8×8×8=512（平方厘米）

熔鑄成的長(zhǎng)方體的高為：（216+512）÷（13×7）=8（厘米）

答：熔鑄成的長(zhǎng)方體的高為8厘米.練一練2：將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個(gè)典型例題精講3一個(gè)長(zhǎng)方體盛水容器的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)60厘米的正方形，容器里直立著一個(gè)高1米、底面邊長(zhǎng)15厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這時(shí)容器里的水深0.5米，如果把鐵柱取出，容器里的水深將是多少厘米？【思路導(dǎo)航】將鐵柱取出，下降的水的體積等于鐵柱的體積，先根據(jù)長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高計(jì)算出鐵柱的體積，再除以長(zhǎng)方體容器的底面積就可以求出下降的水的高度，用原來(lái)的高度減去下降的高度就是現(xiàn)在的水深．0.5米=50厘米50×15×15=11250（立方厘米）

11250÷60÷60=3.125（厘米），

50-3.125=46.875（厘米）．

答：容器里的水深是46.875厘米．

典型例題精講3練一練1有一塊邊長(zhǎng)是5厘米的正方體鐵塊，浸沒在一個(gè)長(zhǎng)方體容器里的水中，取出鐵塊后，水面下降了0.5厘米，這長(zhǎng)方體容器的底面積是多少平方厘米？

5×5×5÷0.5，

=125÷0.5，

=250（平方厘米）

答：長(zhǎng)方體容器的底面積是250平方厘米。練一練1有一塊邊長(zhǎng)是5厘米的正方體鐵塊，浸沒在一個(gè)長(zhǎng)方體容器練一練2：有大中小三個(gè)長(zhǎng)方形水池，它們的池口都是正方形，邊長(zhǎng)分別為6分米，3分米和2分米．現(xiàn)在把兩堆碎石分別沉入中小兩個(gè)水池內(nèi)．這兩個(gè)水池的水面分別升高了6厘米和4厘米．如果把這兩堆碎石都沉入大池內(nèi)，那么，大池的水面將升高多少厘米？（結(jié)果保留整數(shù)）6分米=60厘米，3分米=30厘米，2分米=20厘米，

放中池里碎石的體積：30×30×6=5400（立方厘米），

放小池里碎石的體積：20×20×4=1600（立方厘米），

兩堆碎石總體積：5400+1600=7000（立方厘米），

大水池的水面升高：7000÷（60×60）≈2（厘米），

答：大水池的水面升高了2厘米．練一練2：有大中小三個(gè)長(zhǎng)方形水池，它們的池口都是正方形，邊長(zhǎng)典型例題精講4有一個(gè)長(zhǎng)方體容器（如下圖），長(zhǎng)30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來(lái)，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？典型例題精講4【思路導(dǎo)航】首先求出水的體積30×20×6=3600（立方厘米）。當(dāng)容器豎起來(lái)以后，水流動(dòng)了，但體積沒有變，這時(shí)水的形狀是一個(gè)底面積是20×10=200平方厘米的長(zhǎng)方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。

30×20×6÷（20×10）=18（厘米）答：豎起來(lái)后水深18厘米?！舅悸穼?dǎo)航】首先求出水的體積30×20×6=3600（立方厘練一練1：有兩個(gè)長(zhǎng)方體水缸，甲缸長(zhǎng)3分米，寬和高都是2分米；乙缸長(zhǎng)4分米、寬2分米，里面的水深1.5分米?，F(xiàn)把乙缸中的水倒進(jìn)甲缸，水在甲缸里深幾分米？4×2×1.5÷（3×2）

=12÷6，

=2（分米）

答：水深2分米。練一練1：有兩個(gè)長(zhǎng)方體水缸，甲缸長(zhǎng)3分米，寬和高都是2分米；練一練:2：有一塊邊長(zhǎng)2分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煅造成一根長(zhǎng)方體，這長(zhǎng)方體的截面是一個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形，求它的長(zhǎng)。2×2×2÷（4×2）=1（厘米）

答：它的高是1厘米．練一練:2：有一塊邊長(zhǎng)2分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煅造成一根長(zhǎng)典型例題精講5一個(gè)長(zhǎng)方體容器內(nèi)裝滿水，現(xiàn)在有大、中、小三個(gè)鐵球．第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中，已知每次從容器中溢出的水量的情況是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍．那么大球的體積是小球的多少倍？

典型例題精講5【思路導(dǎo)航】第一次從容器中溢出的水量=小球的體積V1；

第二次從容器中溢出的水量+小球的體積V1=中球的體積V2；

即第二次從容器中溢出的水量=中球的體積V2-小球的體積V1=3V1，V2=4V1；

第三次從容器中溢出的水量+中球的體積V2=大球的體積V3+小球的體積V1；

即第三次從容器中溢出的水量=大球的體積V3+小球的體積V1-中球的體積V2=2.5V1，

V3+V1-4V1=2.5V1

V3=5.5V1，

答：大球的體積是小球的5.5倍．【思路導(dǎo)航】第一次從容器中溢出的水量=小球的體積V1；

第二練一練1：一個(gè)正方形容器，邊長(zhǎng)是25厘米，里面注滿了水，有一根長(zhǎng)50厘米，橫截面是12平方厘米的長(zhǎng)方體鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中．問(wèn)會(huì)溢出多少立方厘米的水？12×25=300（立方厘米）．

答：會(huì)溢出300立方厘米的水．練一練1：一個(gè)正方形容器，邊長(zhǎng)是25厘米，里面注滿了水，有一長(zhǎng)方體和正方體（二）

長(zhǎng)方體和正方體（二）專題簡(jiǎn)析

在長(zhǎng)方體、正方體問(wèn)題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體；把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體積。解答上述問(wèn)題，必須掌握這樣幾點(diǎn)：1，將一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗），體積不變；2，兩個(gè)物體熔化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來(lái)物體體積的和；3，物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。

專題簡(jiǎn)析

在長(zhǎng)方體、正方體問(wèn)題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情

例題1有兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長(zhǎng)40厘米，寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長(zhǎng)30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？典型例題精講1【思路導(dǎo)航】

由于后來(lái)兩個(gè)水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個(gè)水箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）×水面的高度。這樣，我們只要先求出原來(lái)甲水箱中的體積：40×32×20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后來(lái)水面的高度。例題1有兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著練一練1：有兩個(gè)水池，甲水池長(zhǎng)8分米、寬6分米、水深3分米，乙水池空著，它長(zhǎng)6分米、寬和高都是4分米。現(xiàn)在要從甲水池中抽一部分水到乙水池，使兩個(gè)水池中水面同樣高。問(wèn)水面高多少？解：設(shè)兩個(gè)池中水面的高度為x米，

由題意得

8×6×x+4×4×x=8×6×3

48x+16x=144

64x=144

x=2.25．

答：水面的高度是2.25米．練一練1：有兩個(gè)水池，甲水池長(zhǎng)8分米、寬6分米、水深3分米，計(jì)算法：

總水量是8×6×3=144立方分米

甲的底面積是8×6=48平方分米乙的底面積是4×4=16平方分米

兩者水面高度是：144÷（48+16）=2.25（分米）答：水面的高度是2.25米．計(jì)算法：

總水量是8×6×3=144立方分米

甲的底面積是8練一練2：有一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從面量長(zhǎng)40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng)20厘米的正方體鐵塊后，鐵塊頂面仍高于水面。這時(shí)水面高多少厘米？水箱的底面積是：40×30＝1200（平方厘米）

水的體積是：1200×10＝12000（立方厘米）

正方體鐵塊的底面積是：20×20＝400（平方厘米）

水箱放入正方體鐵塊后,底面積變成了

1200－400＝800（平方厘米）

現(xiàn)在水面高：12000÷800＝15（厘米）答：這時(shí)水面高15厘米。練一練2：有一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從面量長(zhǎng)40厘米、寬30厘米、深將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。分析

因?yàn)檎襟w的六個(gè)面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以這個(gè)正方體的棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)：96=6×（4×4），棱長(zhǎng)是4厘米；150=6×（5×5），棱長(zhǎng)是5厘米。知道了棱長(zhǎng)就可以分別算出它們的體積，這個(gè)大正方體的體積就等于它們的體積和。體積=3×3×3+4×4×4+5×5×5=216立方厘米答：這個(gè)大正方體的體積是216立方厘米。

典型例題精講2將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三練一練1：:有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。現(xiàn)將三塊鐵熔成一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的體積。24÷6=4（平方厘米），因?yàn)?×2=4，所以棱長(zhǎng)是2厘54÷6=9（平方厘米），因?yàn)?×3=9，所以棱長(zhǎng)是3厘米294÷6=49（平方厘米）因?yàn)?×7=49，所以棱長(zhǎng)是7厘大正方體體積：2×2×2+3×3×3+7×7×7=378（立方厘米）

答：這個(gè)大正方體的體積是378立方厘米．練一練1：:有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米練一練2：將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個(gè)正方體鐵塊熔成一個(gè)長(zhǎng)方體，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是13厘米，寬7厘米，求它的高。兩個(gè)正方體熔鑄成一個(gè)長(zhǎng)方體,體積不變.

表面積為216平方厘米的正方體,一個(gè)面的面積為36平方厘米,棱長(zhǎng)為6厘米,體積為6×6×6=216（平方厘米）

表面積為384平方厘米的正方形,一個(gè)面的面積為64平方厘米,棱長(zhǎng)為8厘米,體積為8×8×8=512（平方厘米）

熔鑄成的長(zhǎng)方體的高為：（216+512）÷（13×7）=8（厘米）

答：熔鑄成的長(zhǎng)方體的高為8厘米.練一練2：將表面積分別為216平方厘米和384平方厘米的兩個(gè)典型例題精講3一個(gè)長(zhǎng)方體盛水容器的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)60厘米的正方形，容器里直立著一個(gè)高1米、底面邊長(zhǎng)15厘米的長(zhǎng)方體鐵塊，這時(shí)容器里的水深0.5米，如果把鐵柱取出，容器里的水深將是多少厘米？【思路導(dǎo)航】將鐵柱取出，下降的水的體積等于鐵柱的體積，先根據(jù)長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高計(jì)算出鐵柱的體積，再除以長(zhǎng)方體容器的底面積就可以求出下降的水的高度，用原來(lái)的高度減去下降的高度就是現(xiàn)在的水深．0.5米=50厘米50×15×15=11250（立方厘米）

11250÷60÷60=3.125（厘米），

50-3.125=46.875（厘米）．

答：容器里的水深是46.875厘米．

典型例題精講3練一練1有一塊邊長(zhǎng)是5厘米的正方體鐵塊，浸沒在一個(gè)長(zhǎng)方體容器里的水中，取出鐵塊后，水面下降了0.5厘米，這長(zhǎng)方體容器的底面積是多少平方厘米？

5×5×5÷0.5，

=125÷0.5，

=250（平方厘米）

答：長(zhǎng)方體容器的底面積是250平方厘米。練一練1有一塊邊長(zhǎng)是5厘米的正方體鐵塊，浸沒在一個(gè)長(zhǎng)方體容器練一練2：有大中小三個(gè)長(zhǎng)方形水池，它們的池口都是正方形，邊長(zhǎng)分別為6分米，3分米和2分米．現(xiàn)在把兩堆碎石分別沉入中小兩個(gè)水池內(nèi)．這兩個(gè)水池的水面分別升高了6厘米和4厘米．如果把這兩堆碎石都沉入大池內(nèi)，那么，大池的水面將升高多少厘米？（結(jié)果保留整數(shù)）6分米=60厘米，3分米=30厘米，2分米=20厘米，

放中池里碎石的體積：30×30×6=5400（立方厘米），

放小池里碎石的體積：20×20×4=1600（立方厘米），

兩堆碎石總體積：5400+1600=7000（立方厘米），

大水池的水面升高：7000÷（60×60）≈2（厘米），

答：大水池的水面升高了2厘米．練一練2：有大中小三個(gè)長(zhǎng)方形水池，它們的池口都是正方形，邊長(zhǎng)典型例題精講4有一個(gè)長(zhǎng)方體容器（如下圖），長(zhǎng)30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來(lái)，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？典型例題精講4【思路導(dǎo)航】首先求出水的體積30×20×6=3600（立方厘米）。當(dāng)容器豎起來(lái)以后，水流動(dòng)了，但體積沒有變，這時(shí)水的形狀是一個(gè)底面積是20×10=200平方厘米的長(zhǎng)方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。

30×20×6÷（20×10）=18（厘米）答：豎起來(lái)后水深18厘米?！舅悸穼?dǎo)航】首先求出水的體積30×20×6=3600（立方厘練一練1