全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題(一)

全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（一）（命題人：吳偉朝）第一試選擇題：（每小題6分，共36分）方程6×(5a2＋b2)＝5c2滿足c≤20的正整數(shù)解(a,b,c)的個數(shù)是（A）1 （B）3 （C）4 （D）5函數(shù)（x∈R，x≠1）的遞增區(qū)間是（A）x≥2 （B）x≤0或x≥2（C）x≤0 （D）x≤或x≥過定點P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B，使△AOB（O為原點）的面積最小，則l的方程為（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0（C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0若方程cos2x＋sin2x＝a＋1在上有兩個不同的實數(shù)解x，則參數(shù)a的取值范圍是（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1（C）a＜1 （D）0＜a＜1數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項是（A）42 （B）45 （C）48 （D）51在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，滿足條件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的個數(shù)是（A）8 （B）10 （C）14 （D）16填空題：（每小題9分，共54分）1、[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則方程×[x2＋x]＝19x＋99的實數(shù)解x是．2、設a1＝1，an+1＝2an＋n2，則通項公式an＝．3、數(shù)799被2550除所得的余數(shù)是．4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，則cosC＝．5、設k、是實數(shù)，使得關于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的兩個根為sin和cos，則的取值范圍是．6、數(shù)（n∈N）的個位數(shù)字是．（20分）已知x、y、z都是非負實數(shù)，且x＋y＋z＝1．求證：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并確定等號成立的條件．（20分）求出所有的實數(shù)a，使得關于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的兩根皆為整數(shù)．試求出所有的實數(shù)a，使得關于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三個整數(shù)根．（20分）試求正數(shù)r的最大值，使得點集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一個點集S＝{(x,y)|x、y∈R，且對任何∈R，都有cos2＋xcos＋y≥0}之中．第二試一、（50分） 設a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是復數(shù)，且z2－(a－c)z－b＝0． 求證：的充分必要條件是(a－c)2＋4b≤0．二、（50分）ACBDQKP 如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是銳角，D是BC邊上的內(nèi)點，且AD平分∠BAC，過點D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ，其垂足是P、Q，兩條直線ACBDQKPAK⊥BC；，其中表示△ABC的面積． 三、（50分） 給定一個正整數(shù)n，設n個實數(shù)a1,a2,…,an滿足下列n個方程：． 確定和式的值（寫成關于n的最簡式子）．參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案CCDABD二、填空題： 1、或； 2、7×2n-1－n2－2n－3； 3、343； 4、； 5、{|＝2n＋或2n－，n∈Z} ；6、1（n為偶數(shù)）；7（n為奇數(shù)）．三、證略，等號成立的條件是或或或．四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．五、rmax＝．第二試一、證略（提示：直接解出，通過變形即得充分性成立，然后利用反證法證明必要性）．二、證略（提示：用同一法，作出BC邊上的高AR，利用塞瓦定理證明AR、BQ、CP三線共點，從而AK⊥BC；記AR與PQ交于點T，則＝AR＞AT＞AQ＝AP，對于AK＜AP，可證∠APK＜∠AKP）．三、．全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（二）（命題人：江厚利審題人：李潛）第一試一、選擇題（每小題6分，共36分）已知集合，．若，則a的所有取值是（A）－1，1 （B）－1，ABCDMNAABCDMNA1D1B1C1圖1如圖1，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，點M、N分別在AB1、BC1上，且AM＝BN．那么，①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN與A1C1異面．以上4個結(jié)論中，不正確的結(jié)論的個數(shù)為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4用Sn與an分別表示區(qū)間內(nèi)不含數(shù)字9的n位小數(shù)的和與個數(shù)．則的值為（A） （B） （C） （D）首位數(shù)字是1，且恰有兩個數(shù)字相同的四位數(shù)共有（A）216個 （B）252個 （C）324個 （D）432個對一切實數(shù)x，所有的二次函數(shù)（a＜b）的值均為非負實數(shù)．則的最大值是（A） （B） （C）3 （D）2雙曲線的一個焦點為F1，頂點為A1、A2，P是雙曲線上任意一點．則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓一定（A）相交 （B）相切 （C）相離 （D）以上情況均有可能二、填空題（每小題9分，共54分）1、已知復數(shù)，．若△ABC的3個內(nèi)角∠A、∠B、∠C依次成等差數(shù)列，且，則的取值范圍是．2、點P(a,b)在第一象限內(nèi)，過點P作一直線l，分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點．那么，PA2＋PB2取最小值時，直線l的斜率為．3、若△ABC是鈍角三角形，則arccos(sinA)＋arccos(sinB)＋arccos(sinC)的取值范圍是．4、在正四面體ABCD中，點M、P分別是AD、CD的中點，點N、Q分別是△BCD、△ABC的中心．則直線MN于PQ的夾角的余弦值為．5、在的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的各項系數(shù)之和是．6、集合A、B、C（不必兩兩相異）的并集A∪B∪C＝{1,2,3,…,n}．則滿足條件的三元有序集合組(A,B,C)的個數(shù)是．三、（20分）設p＞0，當p變化時，Cp：y2＝2px為一族拋物線，直線l過原點且交Cp于原點和點Ap．又M為x軸上異于原點的任意點，直線MAp交Cp于點Ap和Bp．求證：所有的點Bp在同一條直線上．四、（20分）對于公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}，求證：數(shù)列中不同兩項之和仍是這一數(shù)列中的一項的充要條件是存在整數(shù)m≥－1，使a1＝md．五、（20分）求最大的正數(shù)，使得對任意實數(shù)a、b，均有≤．第二試一、（50分）如圖2，⊙O切△ABC的邊AB于點D，切邊AC于點C，M是邊BC上一點，AM交CD于點N．求證：M是BC中點的充要條件是ON⊥BC．OOBCADNM圖2二、（50分）求出能表示為（a、b、c∈Z+）的所有正整數(shù)n．三、（50分）在一個（n≥2）的方格表的每個方格內(nèi)填入1或－1，如果任意一格內(nèi)的數(shù)都等于與它有公共邊的那些方格內(nèi)所填數(shù)的乘積，則稱這種填法是“成功”的．求“成功”填法的總數(shù)．參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案DBDDAB二、填空題： 1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、7n．三、證略．四、證略．五、．第二試一、證略；二、1,2,3,4,5,6,8,9．三、1種（每空填1）．全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（三）（命題人：吳偉朝）第一試一、選擇題：（每小題6分，共36分）若集合S＝{n|n是整數(shù)，且22n＋2整除2003n＋2004}，則S為（A）空集 （B）單元集 （C）二元集 （D）無窮集若多項式x2－x＋1能除盡另一個多項式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆為常數(shù)）．則a＋b等于（A）0 （B）－1 （C）1 （D）2設a是整數(shù)，關于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的兩個實根為x1、x2，且tan(arctanx1＋arctanx2)也是整數(shù)．則這樣的a的個數(shù)是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4設一個四面體的體積為V1，且它的各條棱的中點構成一個凸多面體，其體積為V2．則為（A） （B）（C）常數(shù)，但不等于和 （D）不確定，其值與四面體的具體形狀有關在十進制中，若一個至少有兩位數(shù)字的正整數(shù)除了最左邊的數(shù)字外，其余各個數(shù)字都小于其左邊的數(shù)字時，則稱它為遞降正整數(shù)．所有這樣的遞降正整數(shù)的個數(shù)為（A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013在正方體的8個頂點中，能構成一個直角三角形的3個頂點的直角三點組的個數(shù)是（A）36 （B）37 （C）48 （D）49二、填空題：（每小題9分，共54分）若直線xcos＋ysin＝cos2－sin2（0＜＜）與圓x2＋y2＝有公共點，則的取值范圍是．在平面直角坐標系xOy中，一個圓經(jīng)過(0,2)、(3,1)，且與x軸相切．則此圓的半徑等于．若常數(shù)a使得關于x的方程lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0有惟一解．則a的取值范圍是．f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是．若k是一個正整數(shù)，且2k整除則k的最大值為．設ABCD為凸四邊形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面積S的取值范圍是(a,b]．則a＋b＝．三、（20分）設橢圓的左右焦點分別為F1、F2，左準線為l，點P在橢圓上．作PQ⊥l，Q為垂足．試問：對于什么樣的橢圓，才存在這樣的點P，使得PQF1F2為平行四邊形？說明理由（答案用關于離心率e的等式或不等式來表示）．四、（20分）設a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．試求出an的表達式（答案用有限個關于n的式子相加的形式表示，且項數(shù)與n無關）．五、（20分）試求出所有的有序整數(shù)對(a,b)，使得關于x的方程x4＋(2b－a2)x2－2ax＋b2－1＝0的各個根均是整數(shù)．第二試一、（50分）點P在△ABC內(nèi)，且∠BAP＝∠CAP，連結(jié)BP并延長交AC于點Q．設∠BAC＝60°，且．求證：P是△ABC的內(nèi)心．二、（50分） 設正數(shù)a、b滿足且使得關于x的不等式≥ 總有實數(shù)解．試求f(a,b)＝a2－3ab＋b2的取值范圍．三、（50分）試求出正整數(shù)k的最小可能值，使得下述命題成立：對于任意的k個整數(shù)a1,a2,…,ak（允許相等），必定存在相應的k的整數(shù)x1,x2,…,xk（也允許相等），且|xi|≤2(i＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得2003整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak．參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案CCBADC二、填空題： 1、； 2、； 3、； 4、－1； 5、2004； 6、．三、．四、a2n＝2n+2－2n－3；a2n+1＝3×2n+1－2n－4．五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(l∈Z)第二試一、證略（提示：將條件變形為，然后應用正弦定理，進行三角變換，得∠BPC＝120°，利用同一法即證）；二、(－∞，－1)．三、kmin＝7．全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（四）（命題人：劉康寧）第一試選擇題（每小題6分，共36分）：函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1（C）a＞0 （D）a＜0已知三點A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和動直線l：y＝kx．當點A、B、C到直線l的距離的平方和最小時，下列結(jié)論中，正確的是（A）點A在直線l上 （B）點B在直線l上 ABCDD1C1B1A1（C）點CABCDD1C1B1A1如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，過頂點A1在空間作直線l，使l與直線AC和BC1所成的角都等于60°．這樣的直線l可以做（A）4條 （B）3條（C）2條 （D）1條整數(shù)的兩位質(zhì)因數(shù)的最大值是（A）61 （B）67（C）83 （D）97若正整數(shù)a使得函數(shù)的最大值也是整數(shù)，則這個最大值等于（A）3 （B）4 （C）7 （D）8在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色．先染1，再染2個偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9后面最鄰近的4個連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25．按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2003個數(shù)是（A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006填空題（每小題9分，共54分）：1、在復平面上，Rt△ABC的頂點A、B、C分別對應于復數(shù)z＋1、2z＋1、(z＋1)2，A為直角頂點，且|z|＝2．設集合M＝{m|zm∈R，m∈N+}，P＝{x|x＝，m∈M}．則集合P所有元素之和等于 ．2、函數(shù)f(x)＝|sinx|＋sin42x＋|cosx|的最大值與最小值之差等于．3、關于x的不等式的解集是一些區(qū)間的并集，且這些區(qū)間的長度的和小于4，則實數(shù)a的取值范圍是．4、銀行計劃將某項資金的40%給項目M投資一年，其余的60%給項目N．預計項目M有可能獲得19%到24%的年利潤，N有可能獲得29%到34%的年利潤．年終銀行必須回籠資金，同時按一定的回扣率支付給儲戶．為使銀行的年利潤不少于給M、N總投資的10%而不大于總投資的15%，則給儲戶的回扣率的最小值是．5、已知點(a,b)在曲線arcsinx＝arccosy上運動，且橢圓ax2＋by2＝1在圓x2＋y2＝的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb的取值范圍是．6、同底的兩個正三棱錐內(nèi)接于同一個球．已知兩個正三棱錐的底面邊長為a，球的半徑為R．設兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為、，則tan(＋)的值是．（20分）△ABC的三邊長a、b、c（a≤b≤c）同時滿足下列三個條件（i）a、b、c均為整數(shù)；（ii）a、b、c依次成等比數(shù)列；（iii）a與c中至少有一個等于100．求出(a,b,c)的所有可能的解．（20分）在三棱錐D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求異面直線AD與BC所成的角．（20分）設正系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根．證明：max{a,b,c}≥(a＋b＋c)；min{a,b,c}≤(a＋b＋c)．第二試一、（50分）已知△ABC的外角∠EAC平分線與△ABC的外接圓交于D，以CD為直徑的圓分別交BC、CA于點P、Q．求證：線段PQ平分△ABC的周長．二、（50分）已知x0＝1，x1＝3，xn+1＝6xn－xn-1（n∈N+）．求證：數(shù)列{xn}中無完全平方數(shù)．三、（50分）有2002名運動員，號碼依次為1，2，3，…，2002．從中選出若干名運動員參加儀仗隊，但要使剩下的運動員中沒有一個人的號碼數(shù)等于另外兩人的號碼數(shù)的乘積．那么被選為儀仗隊的運動員至少能有多少人？給出你的選取方案，并簡述理由．參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案CDBACB二、填空題： 1、； 2、； 3、[1,3]； 4、10%； 5、； 6、．三、可能解為(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)．四、．五（1）證略（提示：令a＋b＋c＝t，分b≥和b＜討論）；（2）證略（提示：分a≤和a＞討論）；第二試一、證略；二、證略（提示：易由特征根法得xn＝，設yn＝，于是，原結(jié)論等價于方程x4－2y2＝1無整數(shù)解，由數(shù)論只是可證）．三、43．全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（五）（命題人：羅增儒）第一試選擇題：（每小題6分，共36分）空間中n（n≥3）個平面，其中任意三個平面無公垂面．那么，下面四個結(jié)論沒有任何兩個平面互相平行；沒有任何三個平面相交于一條直線；平面間的任意兩條交線都不平行；平面間的每一條交線均與n-2個平面相交．其中，正確的個數(shù)為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4若函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當c∈(a,b)時，f(c)的近似值可表示為（A） （B）（C） （D）設a＞b＞c，a+b+c=1，且a2+b2+c2=1，則（A）a+b＞1 （B）a+b=1 （C）a+b＜1（D）不能確定，與a、b的具體取值有關設橢圓的離心率，已知點到橢圓上的點的最遠距離是，則短半軸之長b=（A） （B） （C） （D）S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，滿足：A中的所有元素可以組成等差數(shù)列．那么，這樣的三元子集A的個數(shù)是（A） （B）（C） （D）長方體ABCD-A1B1C1D1，AC1為體對角線．現(xiàn)以A為球心，AB、AD、AA1、AC1為半徑作四個同心球，其體積依次為V1、V2、V3、V4，則有（A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3（C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能確定，與長方體的棱長有關填空題：（每小題9分，共54分）1、已知，則k的取值范圍為．2、等差數(shù)列{an}的首項a1=8，且存在惟一的k使得點(k,ak)在圓x2+y2=102上，則這樣的等差數(shù)列共有個．3、在四面體P-ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，則的取值范圍為．4、動點A對應的復數(shù)為z=4(cos+isin)，定點B對應的復數(shù)為2，點C為線段AB的中點，過點C作AB的垂線交OA與D，則D所在的軌跡方程為．5、被8所除得的余數(shù)為．6、圓周上有100個等分點，以這些點為頂點組成的鈍角三角形的個數(shù)為．（20分）已知拋物線y2=2px(p＞0)的一條長為l的弦AB．求AB中點M到y(tǒng)軸的最短距離，并求出此時點M的坐標．（20分）單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心為點M，正方形A1B1C1D1的中心為點N，連AN、B1M．（1）求證：AN、B1M為異面直線；（2）求出AN與B1M的夾角．（20分）對正實數(shù)a、b、c．求證：≥9．第二試（50分）設ABCD是面積為2的長方形，P為邊CD上的一點，Q為△PAB的內(nèi)切圓與邊AB的切點．乘積PA·PB的值隨著長方形ABCD及點P的變化而變化，當PA·PB取最小值時，（1）證明：AB≥2BC；（2）求AQ·BQ的值．（50分）給定由正整數(shù)組成的數(shù)列（n≥1）．（1）求證：數(shù)列相鄰項組成的無窮個整點(a1,a2)，(a3,a4)，…，(a2k-1,a2k)，…均在曲線x2+xy-y2+1=0上．（2）若設f(x)=xn+xn-1-anx-an-1，g(x)=x2-x-1，證明：g(x)整除f(x)．（50分）我們稱A1,A2,…,An為集合A的一個n分劃，如果（1）；（2），1≤i＜j≤n．求最小正整數(shù)m，使得對A＝{1,2,…,m}的任意一個13分劃A1,A2,…,A13，一定存在某個集合Ai(1≤i≤13)，在Ai中有兩個元素a、b滿足b＜a≤b．參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案DCACBC二、填空題： 1、 ； 2、17； 3、； 4、； 5、4； 6、117600．三、．四、（1）證略； （2）．五、證略．第二試一、（1）證略（提示：用面積法，得PA·PB最小值為2，此時∠APB＝90°）；（2）AQ·BQ=1．二、證略（提示：用數(shù)學歸納法）．三、m=117．全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（六）（命題人：秦永茍春鵬）第一試選擇題：（每小題6分，共36分）在復平面上，非零復數(shù)z1、z2在以i對應的點為圓心，1為半徑的圓上，的實部為零，argz1=，則z2=（A） （B）（C） （D）已知函數(shù)在[1,2]上恒正，則實數(shù)a的取值范圍是（A） （B）（C） （D）已知雙曲線過點M(-2,4)，N(4,4)，它的一個焦點為F1(1,0)，則另一個焦點F2的軌跡方程是（A）（y≠0）或x=1（y≠0）（B）（x≠0）或x=1（y≠0）（C）（y≠0）或y=1（x≠0）（D）（x≠0）或y=1（x≠0）已知正實數(shù)a、b滿足a+b=1，則的整數(shù)部分是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4一條筆直的大街寬是40米，一條人行道穿過這條大街，并與大街成某一角度，人行道的寬度是15米，長度是50米，則人行道間的距離是（A）9米 （B）10米 （C）12米 （D）15米一條鐵路原有m個車站，為適應客運需要新增加n個車站（n＞1），則客運車票增加了58種（注：從甲站到乙站需要兩種不同的車票），那么原有車站的個數(shù)是（A）12 （B）13 （C）14 （D）15填空題：（每小題6分，共36分）長方形ABCD的長AB是寬BC的倍，把它折成無底的正三棱柱，使AD與BC重合折痕線EF、GH分別交原對角線AC于M、N，則折后截面AMN與底面AFH所成的角是．在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的對邊，且滿足a2+b2=2c2，則角C的最大值是．從盛滿a升（a＞1）純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去．則第n次操作后溶液的濃度是．已知函數(shù)f(x)與g(x)的定義域均為非負實數(shù)集，對任意x≥0，規(guī)定f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3-x，g(x)=，則f(x)*g(x)的最大值為．從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個數(shù)，使它們的和大于100，則可有不同的取法．若實數(shù)a＞0，則滿足a5-a3+a=2的a值屬于區(qū)間：①；②；③；④．其中正確的是．（20分）求證：經(jīng)過正方體中心的任一截面的面積不小于正方體的一個側(cè)面的面積（20分）直線Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）與橢圓b2x2+a2y2=a2b2相交于P、Q兩點，O為坐標原點，且OP⊥OQ．求證：．（20分）某新建商場建有百貨部、服裝部和家電部三個經(jīng)營部，共有190名售貨員，計劃全商場日營業(yè)額（指每日賣出商品的總金額）為60萬元，根據(jù)經(jīng)驗，各部商品每1萬元營業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表1，每1萬元營業(yè)額所得利潤如表2．商場將計劃日營業(yè)額分配給三個經(jīng)營部，同時適當安排各部的營業(yè)員人數(shù)，若商場預計每日的總利潤為c（萬元）且滿足19≤c≤19.7，又已知商場分配給經(jīng)營部的日營業(yè)額均為正整數(shù)萬元，問這個商場怎樣分配日營業(yè)額給三個部？各部分別安排多少名售貨員？表1各部每1萬元營業(yè)額所需人數(shù)表部門人數(shù)百貨部5服裝部4家電部2表2各部每1萬元營業(yè)額所得利潤表部門利潤百貨部0.3萬元服裝部0.5萬元家電部0.2萬元第二試（50分）矩形ABCD的邊AD=·AB，以AB為直徑在矩形之外作半圓，在半圓上任取不同于A、B的一點P，連PC、PD交AB于E、F，若AE2+BF2=AB2，試求正實數(shù)的值．（50分）若ai∈R+（i=1,2,…,n），，且2≤n∈N．求證：≥．（50分）無窮數(shù)列{cn}可由如下法則定義：cn+1=|1-|1-2cn||，而0≤c1≤1．（1）證明：僅當c1是有理數(shù)時，數(shù)列自某一項開始成為周期數(shù)列．（2）存在多少個不同的c1值，使得數(shù)列自某項之后以T為周期（對于每個T=2,3,…）？參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案ACABCC二、填空題： 1、； 2、； 3、； 4、； 5、2500； 6、③④．三、證略．四、證略．五、8，23，29或10，20，30（萬元），對應40，92，58或50，80，60（人）．第二試一、；二、證略．三、 （1）證略． （2）無窮個．全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（七）（選題人：李潛）第一試一、選擇題：（每小題6分，共36分）a、b是異面直線，直線c與a所成的角等于c與b所成的角，則這樣的直線c有（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）無數(shù)條已知f(x)是R上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù)，若f(x)-g(x)=x2+2x+3，則f(x)+g(x)=（A）-x2+2x-3 （B）x2+2x-3 （C）-x2-2x+3 （D）x2-2x+3已知△ABC，O為△ABC內(nèi)一點，∠AOB=∠BOC=∠COA=，則使AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)成立的m的最大值是（A）2 （B） （C） （D）設x=0.820.5，y=sin1，z=log3則x、y、z的大小關系是（A）x＜y＜z （B）y＜z＜x （C）z＜x＜y （D）z＜y＜x整數(shù)的末尾兩位數(shù)字是（A）10 （B）01 （C）00 （D）20設(a,b)表示兩自然數(shù)a、b的最大公約數(shù)．設(a,b)=1，則(a2+b2,a3+b3)為（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）可能大于2二、填空題：（每小題9分，共54分）若f(x)=x10+2x9-2x8-2x7+x6+3x2+6x+1，則f(-1)=．設F1、F2是雙曲線x2-y2=4的兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，從F1引∠F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則點M的軌跡方程是．給定數(shù)列{xn}，x1=1，且，則x1999-x601=．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是CD中點，F(xiàn)是BB1中點，則四面體AD1EF的體積是．在坐標平面上，由條件所限定的平面區(qū)域的面積是．12個朋友每周聚餐一次，每周他們分成三組，每組4人，不同組坐不同的桌子．若要求這些朋友中任意兩個人至少有一次同坐一張桌子，則至少需要周．三、（20分）已知橢圓過定點A(1,0)，且焦點在x軸上，橢圓與曲線|y|=x的交點為B、C．現(xiàn)有以A為焦點，過B、C且開口向左的拋物線，拋物線的頂點坐標M(m,0)．當橢圓的離心率e滿足，求實數(shù)m的取值范圍．四、（20分） a、b、c均為實數(shù)，a≠b，b≠c，c≠a．證明：≤＜2．五、（20分） 已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx，滿足 （i）a、b、c、d均大于0； （ii）對于任一個x∈{-2,-1,0,1,2}，f(x)為整數(shù)； （iii）f(1)=1,f(5)=70． 試說明，對于每個整數(shù)x，f(x)是否為整數(shù)．第二試一、（50分）設K為△ABC的內(nèi)心，點C1、B1分別為邊AB、AC的中點，直線AC與C1K交于點B2，直線AB于B1K交于點C2．若△AB2C2于△ABC的面積相等，試求∠CAB．二、（50分） 設，f(x)=(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)． 求證：f(x)為一整系數(shù)多項式，且f(x)不能分解為兩個至少為一次的整系數(shù)多項式之積．三、（50分）在圓上有21個點．求在以這些點為端點組成的所有的弧中，不超過120°的弧的條數(shù)的最小值．參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案DACBCC二、填空題： 1、4； 2、x2+y2=4； 3、0； 4、； 5、16； 6、5．三、．四、證略．五、是．第二試一、60°；二、證略．三、100． 全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（八）（選題人：李潛）第一試一、選擇題：（每小題6分，共36分）設logab是一個整數(shù)，且，給出下列四個結(jié)論①； ②logab+logba=0；③0＜a＜b＜1； ④ab-1=0．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4若△ABC的三邊長a、b、c滿足，則它的最大內(nèi)角度數(shù)是（A）150° （B）120° （C）90° （D）60°定長為l（）的線段AB的兩端點都在雙曲線（a＞0，b＞0），則AB中點M的橫坐標的最小值為（A） （B）（C） （D）在復平面上，曲線z4+z=1與圓|z|=1的交點個數(shù)為（A）0 （B）1 （C）2 （D）3設E={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2}、F={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是直角坐標平面上的兩個點集，則集合G=所組成的圖形面積是（A）6 （B）2 （C）6.5 （D）7正方形紙片ABCD，沿對角線AC對折，使D在面ABC外，這時DB與面ABC所成的角一定不等于（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°二、填空題：（每小題9分，共54分）已知，則的值等于．=．在Rt△ABC中，AB＝AC，以C為一個焦點作一個橢圓，使這個橢圓的另一個焦點在AB內(nèi)，且橢圓過A、B點，則這個橢圓的離心率等于．從{1,2,3,…,20}中選出三個數(shù)，使得沒有兩個數(shù)相鄰，有種不同的選法．設a、b均為正數(shù)，且存在復數(shù)z滿足，則ab的最大值等于．使不等式對惟一的一個整數(shù)k成立的最大正整數(shù)n為．三、（20分）已知實數(shù)x、y滿足x2+y2≤5．求f(x,y)=3|x+y|+|4y+9|+|7y-3x-18|的最大值與最小值．四、（20分）經(jīng)過點M(2,-1)作拋物線y2=x的四條弦PiQi(i=1,2,3,4)，且P1、P2、P3、P4四點的縱坐標依次成等差數(shù)列．求證：．五、（20分）n為正整數(shù)，r＞0為實數(shù)．證明：方程xn+1+rxn-rn+1=0沒有模為r的復數(shù)根．第二試一、（50分）設C(I)是以△ABC的內(nèi)心I為圓心的一個圓，點D、E、F分別是從I出發(fā)垂直于邊BC、CA和AB的直線C(I)的交點．求證：AD、BE和CF三線共點．二、（50分） 非負實數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2=1． 求證：1≤≤．三、（50分）對由n個A，n個B和n個C排成的行，在其下面重新定義一行（比上面一行少一個字母），若其頭上的兩個字母不同，則在該位置寫上第三個字母；若相同，則寫上該字母．對新得到的行重復上面的操作，直到變?yōu)橐粋€字母為止．下面給出了n=2的一個例子．ACBCBABAAACCAABBACCBA求所有的正整數(shù)n，使得對任意的初始排列，經(jīng)上述操作后，所得的大三角形的三個頂點上的字母要么全相同，要么兩兩不同．參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案ABDADD二、填空題： 1、； 2、； 3、； 4、816； 5、； 6、112．三、最大值，最小值．四、證略．五、證略．第二試一、證略；二、證略．三、 n=1．全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（九）（命題人：葛軍）第一試一、選擇題：（每小題6分，共36分）已知n、s是整數(shù)．若不論n是什么整數(shù)，方程x2-8nx+7s=0沒有整數(shù)解，則所有這樣的數(shù)s的集合是（A）奇數(shù)集 （B）所有形如6k+1的數(shù)集（C）偶數(shù)集 （D）所有形如4k+3的數(shù)集某個貨場有1997輛車排隊等待裝貨，要求第一輛車必須裝9箱貨物，每相鄰的4輛車裝貨總數(shù)為34箱．為滿足上述要求，至少應該有貨物的箱數(shù)是（A）16966 （B）16975 （C）16984 （D）17009非常數(shù)數(shù)列{ai}滿足，且，i=0,1,2,…,n．對于給定的自然數(shù)n，a1=an+1=1，則等于（A）2 （B）-1 （C）1 （D）0已知、是方程ax2+bx+c=0（a、b、c為實數(shù)）的兩根，且是虛數(shù)，是實數(shù)，則的值是（A）1 （B）2 （C）0 （D）i已知a+b+c=abc，，則A的值是（A）3 （B）-3 （C）4 （D）-4對xi∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n，有，x1x2…xn=n！，使x1,x2,…,xn，一定是1,2,…,n的一個排列的最大數(shù)n是（A）4 （B）6 （C）8 （D）9二、填空題：（每小題9分，共54分）設點P是凸多邊形A1A2…An內(nèi)一點，點P到直線A1A2的距離為h1，到直線A2A3的距離為h2，…，到直線An-1An的距離為hn-1，到直線AnA1的距離為hn．若存在點P使（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n-1，an=AnA1）取得最小值，則此凸多邊形一定符合條件．已知a為自然數(shù)，存在一個以a為首項系數(shù)的二次整數(shù)系數(shù)的多項式，它有兩個小于1的不同正根．那么，a的最小值是．已知，a、∈R，a≠0．那么，對于任意的a、，F(xiàn)(a,)的最大值和最小值分別是．已知t＞0，關于x的方程為，則這個方程有相異實根的個數(shù)情況是．已知集合{1,2,3,…,3n-1,3n}，可以分為n個互不相交的三元組{x,y,z}，其中x+y=3z，則滿足上述要求的兩個最小的正整數(shù)n是．任給一個自然數(shù)k，一定存在整數(shù)n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，則這樣的有序?qū)崝?shù)對(n,k)是（對于給定的k）．三、（20分） 過正方體的某條對角線的截面面積為S，試求之值．四、（20分）數(shù)列{an}定義如下：a1=3，an=（n≥2）．試求an（n≥2）的末位數(shù)．五、（20分） 已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1． 證明：≤a2+b2+c2+4abc＜1．第二試一、（50分）已知△ABC中，內(nèi)心為I，外接圓為⊙O，點B關于⊙O的對徑點為K，在AB的延長線上取點N，CB的延長線上取M，使得MC=NA=s，s為△ABC的半周長．證明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有點(x,y)的集合，其中x、y均是整數(shù)，且1≤x≤12，1≤y≤13．證明：不少于49個點的M的每一個子集，必包含一個矩形的4個頂點，且此矩形的邊平行于坐標軸．三、（50分）實系數(shù)多項式f(x)=x3+ax2+bx+c滿足b＜0，ab=9c．試判別此多項式是否有三個不同的實根，說明理由．參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案CBDCCC二、填空題： 1、該凸多邊形存在內(nèi)切圓； 2、5； 3、，； 4、9； 5、5，8； 6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．三、．四、7．五、證略．第二試一、證略；二、證略．三、 有．全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（十）（命題人：楊建忠審題人：李潛）第一試一、選擇題：（每小題6分，共36分）設集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M→N使對任意的x∈M，都有x+f(x)+xf(x)是奇數(shù)