中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)利用一元二次方程解決幾何問題課件公開課

利用一元二次方程解決幾何問題利用一元二次方程解決幾何問題1根據(jù)幾何問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解.010203本節(jié)目標(biāo)能根據(jù)問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理.經(jīng)歷分析解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)建模作用.根據(jù)幾何問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解.010203本復(fù)習(xí)提問1.一元二次方程的一般形式是：__________________.2.列方程解應(yīng)用題的一般步驟.ax2+bx+c=0(a≠0)活學(xué)巧記列方程解應(yīng)用題，審設(shè)列解和驗(yàn)答;審題弄清已未知，設(shè)元直間兩辦法;等量關(guān)系列方程，解方程時(shí)守章法;檢驗(yàn)準(zhǔn)且合題意,問求同一才作答.復(fù)習(xí)提問1.一元二次方程的一般形式是：___________情景引入如何列一元二次方程解決圖形類的應(yīng)用題呢？根據(jù)幾何圖形性質(zhì)，尋求問題中的相等關(guān)系，建立方程求求解.情景引入如何列一元二次方程解決圖形類的應(yīng)用題呢？例題精講1.利用幾何性質(zhì)建立一元二次方程例1

在平行四邊形ABCD中,AB=10,BC=14,E,F分別為邊BC,AD上的點(diǎn)若四邊形AECF為正方形,則AE的長為()A.7B.4或或或8分析：利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列方程，據(jù)題意,畫圖如圖所示，設(shè)AE的長為x,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BE=14-x,在△ABE中,根據(jù)勾股定理可得x2+(14-x)2=102,解得，x?=6,x?=8.故AE的長為6或8.故選D.D例題精講1.利用幾何性質(zhì)建立一元二次方程D知識(shí)講解方法總結(jié)在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，是在直角三角形中求線段長最常見的等量關(guān)系.知識(shí)講解方法總結(jié)如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),則___________時(shí)△PBQ的面積等于8cm2①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，得(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？ax2+bx+c=0(a≠0)∴所求x的值為-11．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．(2)“列”，即根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程;∴當(dāng)兩人相距39m時(shí)，甲在點(diǎn)O以東36m處，乙在點(diǎn)O以北15m處．解：(2)李明的說法正確．理由：∴這兩個(gè)正方形的周長分別為4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，整理，得t2－6t＋18＝0，你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．∴x=-1符合題意。配方得(x-2)2=144,S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2根據(jù)幾何圖形性質(zhì)，尋求問題中的相等關(guān)系，建立方程求求解.∴x=-1符合題意。由題意，得x2＋(10－x)2＝58，解得x?＝3，x?＝7，此時(shí)方程?<0,原方無實(shí)數(shù)(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？變式訓(xùn)練某村計(jì)劃建造如圖的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2:1,在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道。當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？解:設(shè)矩形溫室的寬為xm,則長為2xm.根據(jù)題意，得(x-2)(2x-4)=288，整理得想x2-4x-140=0,配方得(x-2)2=144,∴x-2=±12，x?=14,x?=-10(不合題意，舍去)，∴x=14,2x=2×14=28.答:當(dāng)矩形溫室的長為28m.寬為14m時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2.如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從例題精講2.利用一元二次方程求解動(dòng)態(tài)幾何問題例2如圖,在矩形ABCD中,BC=20m,點(diǎn)P、Q、M、N分別從點(diǎn)A、B、C、D出發(fā)沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng),當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)即停止.已知在相同時(shí)間內(nèi),若BQ=xcm(x≠0),則AP=2xcm,CM=3cmDN=x2cm.(1)當(dāng)x為何值時(shí),以PQ、MN為兩邊,以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形?解:(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ、MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形.①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí),由x2+2x=20,得x?=-1,x?=--1(舍去)∵BQ+CM=x+3x=4(-1)<20,此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合,∴x=-1符合題意。②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí),由x+3x=20,得x=5此時(shí)DN=x2=25>20,不符合題意故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合∴所求x的值為-1例題精講2.利用一元二次方程求解動(dòng)態(tài)幾何問題例題精講(2)當(dāng)x為何值時(shí),以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?解(2)由（1）知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，得20-(x+3x)=20-(2x+x2)，解得x?=0(舍去),x2=2∴當(dāng)x=2以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，得20-(x+3x)=(2x+x2)-20，解得x?=-10(舍去),x?=4當(dāng)x=4時(shí),四邊形NQMP是平行四邊形∴當(dāng)x=2或x=4時(shí),以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.例題精講(2)當(dāng)x為何值時(shí),以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是由題意，得x2＋(10－x)2＝58，解得x?＝3，x?＝7，(1)“設(shè)”，即設(shè)未知數(shù),設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種;解得x?=1,x?=4(舍去)1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．解：如答圖，設(shè)經(jīng)過ts兩人相距39m，解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.(2)“列”，即根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程;(2)利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程表示線段的長.當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？得x?=-1,x?=--1(舍去)(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？(1)利用幾何圖形的面積作為等量關(guān)系:根據(jù)幾何圖形性質(zhì)，尋求問題中的相等關(guān)系，建立方程求求解.2．如圖，甲自西向東以4m/s的速度行進(jìn)，乙由南向北以3m/s的速度行進(jìn)，當(dāng)乙到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，甲已到達(dá)點(diǎn)O以東16m處，如果兩人繼續(xù)前進(jìn)，求兩人相距39m時(shí)各自的位置．如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),則___________時(shí)△PBQ的面積等于8cm2(4)“驗(yàn)”，即驗(yàn)證是否符合題意;20-(x+3x)=(2x+x2)-20，列方程解應(yīng)用題的一般步驟.解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.12(不符合題意，舍去)．例題精講方法總結(jié)利用一元二次方程求解動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí),需要注意兩點(diǎn): (1)利用幾何圖形的面積作為等量關(guān)系:(2)利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程表示線段的長.由題意，得x2＋(10－x)2＝58，解得x?＝3，x?＝變式訓(xùn)練如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),則___________時(shí)△PBQ的面積等于8cm22或4s變式訓(xùn)練如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.BD=6cm.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒2cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以每秒1cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),若M,N同時(shí)出發(fā),問出發(fā)后幾秒時(shí),△MON的面積為菱形ABCD面積的1/12.解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2S?MON=1/12S菱形ABCD=2(cm2)(1)當(dāng)x<2時(shí),點(diǎn)M在線段AO上,點(diǎn)N在線段BO上,依題意,得?(2x-2x)(3-x)=2,解得x?=1,x?=4(舍去)∴x=1拓展探究如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.B如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.BD=6cm.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒2cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以每秒1cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),若M,N同時(shí)出發(fā),問出發(fā)后幾秒時(shí),△MON的面積為菱形ABCD面積的1/12.解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2S?MON=1/12S菱形ABCD=2(cm2)(2)當(dāng)2<x<3時(shí),M在線段OC上,N在線段BO上,依題意,得?(2x-4)(3-x)=2，化簡為x2-5x+8=0此時(shí)方程?<0,原方無實(shí)數(shù)拓展探究如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.B(2)當(dāng)2<x<3時(shí),M在線段OC上,N在線段BO上,依題意,得①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，得解得x?=0(舍去),x2=2(4)“驗(yàn)”，即驗(yàn)證是否符合題意;解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．a(chǎn)x2+bx+c=0(a≠0)當(dāng)x=4時(shí),四邊形NQMP是平行四邊形某村計(jì)劃建造如圖的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2:1,在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道。∵Δ＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)根，解得，x?=6,x?=8.解得x?=1(舍去),工x?=4，解:(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ、MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形.解得，x?=6,x?=8.1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？解：(2)不能．理由如下：(1)經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于9cm2?∴所求x的值為-1你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.BD=6cm.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒2cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以每秒1cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),若M,N同時(shí)出發(fā),問出發(fā)后幾秒時(shí),△MON的面積為菱形ABCD面積的1/12.解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2S?MON=1/12S菱形ABCD=2(cm2)(3)當(dāng)x>3時(shí),M在老線OC上,點(diǎn)N射線OD上,依題意,得?(2x-4)(x-3)=2解得x?=1(舍去),工x?=4，∴x=4.綜上所述，出發(fā)1s或2s時(shí)，△MON的面積為菱形ABCD面積的1/12.拓展探究(2)當(dāng)2<x<3時(shí),M在線段OC上,N在線段BO上,依題意解得x?=1(舍去),工x?=4，解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.∴當(dāng)兩人相距39m時(shí)，甲在點(diǎn)O以東36m處，乙在點(diǎn)O以北15m處．(1)經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于9cm2?寬為14m時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2.S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2解：(1)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長為(10－x)cm，(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，△PBQ的面積能否等于矩形ABCD的面積的四分之一？若能，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；∴S＝?(6－t)×2t＝9，(3)“解”，即求出所列方程的根;解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.∴李明應(yīng)該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段．?(2x-2x)(3-x)=2,(1)經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于9cm2?∴x=-1符合題意。1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．∴在運(yùn)動(dòng)過程中，△PBQ的面積不能等于矩形ABCD的面積的四分之一．1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．解：(1)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長為(10－x)cm，12(不符合題意，舍去)．1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？(2)李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2.你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．解：(1)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長為(10－x)cm，由題意，得x2＋(10－x)2＝58，解得x?＝3，x?＝7，∴這兩個(gè)正方形的周長分別為4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，∴李明應(yīng)該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段．課堂練習(xí)解得x?=1(舍去),工x?=4，1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？(2)李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2.你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．解：(2)李明的說法正確．理由：由題意，得y2＋(10－y)2＝48，整理，得y2－10y＋26＝0，∵Δ＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)根，即這兩個(gè)正方形的面積之和不能等于48cm2，∴李明的說法是正確的．課堂練習(xí)1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩2．如圖，甲自西向東以4m/s的速度行進(jìn)，乙由南向北以3m/s的速度行進(jìn)，當(dāng)乙到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，甲已到達(dá)點(diǎn)O以東16m處，如果兩人繼續(xù)前進(jìn)，求兩人相距39m時(shí)各自的位置．解：如答圖，設(shè)經(jīng)過ts兩人相距39m，由題意，得(3t)2＋(16＋4t)2＝392，∴t?＝5，t?＝－10.12(不符合題意，舍去)．當(dāng)t＝5時(shí)，3t＝15，16＋4t＝16＋20＝36，∴當(dāng)兩人相距39m時(shí)，甲在點(diǎn)O以東36m處，乙在點(diǎn)O以北15m處．課堂練習(xí)2．如圖，甲自西向東以4m/s的速度行進(jìn)，乙由南向北以33．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)．(1)經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于9cm2?(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，△PBQ的面積能否等于矩形ABCD的面積的四分之一？若能，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不能，說明理由.解：(1)設(shè)經(jīng)過ts，△PBQ的面積等于9cm2，則由題可知，PB＝6－t，BQ＝2t，∴S＝?(6－t)×2t＝9，解得t?＝t?＝3.故經(jīng)過3s，△PBQ的面積等于9cm2.課堂練習(xí)3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)．(1)經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于9cm2?(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，△PBQ的面積能否等于矩形ABCD的面積的四分之一？若能，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不能，說明理由.解：(2)不能．理由如下：根據(jù)題意，得?(6－t)×2t＝?×6×12，整理，得t2－6t＋18＝0，∵Δ＝(－6)2－4×1×18＝－36＜0，∴原方程無解，∴在運(yùn)動(dòng)過程中，△PBQ的面積不能等于矩形ABCD的面積的四分之一．課堂練習(xí)3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm本節(jié)總結(jié)列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟:(1)“設(shè)”，即設(shè)未知數(shù),設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種;(2)“列”，即根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程;(3)“解”，即求出所列方程的根;(4)“驗(yàn)”，即驗(yàn)證是否符合題意;(5)“答”，即回答題目中要解決的問題.本節(jié)總結(jié)列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟:利用一元二次方程解決幾何問題利用一元二次方程解決幾何問題21根據(jù)幾何問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解.010203本節(jié)目標(biāo)能根據(jù)問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理.經(jīng)歷分析解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)建模作用.根據(jù)幾何問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解.010203本復(fù)習(xí)提問1.一元二次方程的一般形式是：__________________.2.列方程解應(yīng)用題的一般步驟.ax2+bx+c=0(a≠0)活學(xué)巧記列方程解應(yīng)用題，審設(shè)列解和驗(yàn)答;審題弄清已未知，設(shè)元直間兩辦法;等量關(guān)系列方程，解方程時(shí)守章法;檢驗(yàn)準(zhǔn)且合題意,問求同一才作答.復(fù)習(xí)提問1.一元二次方程的一般形式是：___________情景引入如何列一元二次方程解決圖形類的應(yīng)用題呢？根據(jù)幾何圖形性質(zhì)，尋求問題中的相等關(guān)系，建立方程求求解.情景引入如何列一元二次方程解決圖形類的應(yīng)用題呢？例題精講1.利用幾何性質(zhì)建立一元二次方程例1

在平行四邊形ABCD中,AB=10,BC=14,E,F分別為邊BC,AD上的點(diǎn)若四邊形AECF為正方形,則AE的長為()A.7B.4或或或8分析：利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理列方程，據(jù)題意,畫圖如圖所示，設(shè)AE的長為x,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BE=14-x,在△ABE中,根據(jù)勾股定理可得x2+(14-x)2=102,解得，x?=6,x?=8.故AE的長為6或8.故選D.D例題精講1.利用幾何性質(zhì)建立一元二次方程D知識(shí)講解方法總結(jié)在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，是在直角三角形中求線段長最常見的等量關(guān)系.知識(shí)講解方法總結(jié)如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),則___________時(shí)△PBQ的面積等于8cm2①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，得(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？ax2+bx+c=0(a≠0)∴所求x的值為-11．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．(2)“列”，即根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程;∴當(dāng)兩人相距39m時(shí)，甲在點(diǎn)O以東36m處，乙在點(diǎn)O以北15m處．解：(2)李明的說法正確．理由：∴這兩個(gè)正方形的周長分別為4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，整理，得t2－6t＋18＝0，你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．∴x=-1符合題意。配方得(x-2)2=144,S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2根據(jù)幾何圖形性質(zhì)，尋求問題中的相等關(guān)系，建立方程求求解.∴x=-1符合題意。由題意，得x2＋(10－x)2＝58，解得x?＝3，x?＝7，此時(shí)方程?<0,原方無實(shí)數(shù)(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？變式訓(xùn)練某村計(jì)劃建造如圖的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2:1,在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道。當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？解:設(shè)矩形溫室的寬為xm,則長為2xm.根據(jù)題意，得(x-2)(2x-4)=288，整理得想x2-4x-140=0,配方得(x-2)2=144,∴x-2=±12，x?=14,x?=-10(不合題意，舍去)，∴x=14,2x=2×14=28.答:當(dāng)矩形溫室的長為28m.寬為14m時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2.如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從例題精講2.利用一元二次方程求解動(dòng)態(tài)幾何問題例2如圖,在矩形ABCD中,BC=20m,點(diǎn)P、Q、M、N分別從點(diǎn)A、B、C、D出發(fā)沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng),當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)即停止.已知在相同時(shí)間內(nèi),若BQ=xcm(x≠0),則AP=2xcm,CM=3cmDN=x2cm.(1)當(dāng)x為何值時(shí),以PQ、MN為兩邊,以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形?解:(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ、MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形.①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí),由x2+2x=20,得x?=-1,x?=--1(舍去)∵BQ+CM=x+3x=4(-1)<20,此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合,∴x=-1符合題意。②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí),由x+3x=20,得x=5此時(shí)DN=x2=25>20,不符合題意故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合∴所求x的值為-1例題精講2.利用一元二次方程求解動(dòng)態(tài)幾何問題例題精講(2)當(dāng)x為何值時(shí),以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?解(2)由（1）知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，得20-(x+3x)=20-(2x+x2)，解得x?=0(舍去),x2=2∴當(dāng)x=2以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，得20-(x+3x)=(2x+x2)-20，解得x?=-10(舍去),x?=4當(dāng)x=4時(shí),四邊形NQMP是平行四邊形∴當(dāng)x=2或x=4時(shí),以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.例題精講(2)當(dāng)x為何值時(shí),以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是由題意，得x2＋(10－x)2＝58，解得x?＝3，x?＝7，(1)“設(shè)”，即設(shè)未知數(shù),設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種;解得x?=1,x?=4(舍去)1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．解：如答圖，設(shè)經(jīng)過ts兩人相距39m，解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.(2)“列”，即根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程;(2)利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程表示線段的長.當(dāng)矩形溫室的長與寬各為多少時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？得x?=-1,x?=--1(舍去)(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？(1)利用幾何圖形的面積作為等量關(guān)系:根據(jù)幾何圖形性質(zhì)，尋求問題中的相等關(guān)系，建立方程求求解.2．如圖，甲自西向東以4m/s的速度行進(jìn)，乙由南向北以3m/s的速度行進(jìn)，當(dāng)乙到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，甲已到達(dá)點(diǎn)O以東16m處，如果兩人繼續(xù)前進(jìn)，求兩人相距39m時(shí)各自的位置．如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),則___________時(shí)△PBQ的面積等于8cm2(4)“驗(yàn)”，即驗(yàn)證是否符合題意;20-(x+3x)=(2x+x2)-20，列方程解應(yīng)用題的一般步驟.解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.12(不符合題意，舍去)．例題精講方法總結(jié)利用一元二次方程求解動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí),需要注意兩點(diǎn): (1)利用幾何圖形的面積作為等量關(guān)系:(2)利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程表示線段的長.由題意，得x2＋(10－x)2＝58，解得x?＝3，x?＝變式訓(xùn)練如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),則___________時(shí)△PBQ的面積等于8cm22或4s變式訓(xùn)練如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.BD=6cm.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒2cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以每秒1cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),若M,N同時(shí)出發(fā),問出發(fā)后幾秒時(shí),△MON的面積為菱形ABCD面積的1/12.解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2S?MON=1/12S菱形ABCD=2(cm2)(1)當(dāng)x<2時(shí),點(diǎn)M在線段AO上,點(diǎn)N在線段BO上,依題意,得?(2x-2x)(3-x)=2,解得x?=1,x?=4(舍去)∴x=1拓展探究如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.B如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.BD=6cm.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒2cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以每秒1cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),若M,N同時(shí)出發(fā),問出發(fā)后幾秒時(shí),△MON的面積為菱形ABCD面積的1/12.解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2S?MON=1/12S菱形ABCD=2(cm2)(2)當(dāng)2<x<3時(shí),M在線段OC上,N在線段BO上,依題意,得?(2x-4)(3-x)=2，化簡為x2-5x+8=0此時(shí)方程?<0,原方無實(shí)數(shù)拓展探究如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.B(2)當(dāng)2<x<3時(shí),M在線段OC上,N在線段BO上,依題意,得①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，得解得x?=0(舍去),x2=2(4)“驗(yàn)”，即驗(yàn)證是否符合題意;解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．a(chǎn)x2+bx+c=0(a≠0)當(dāng)x=4時(shí),四邊形NQMP是平行四邊形某村計(jì)劃建造如圖的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2:1,在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道?！擀ぃ?－10)2－4×1×26＝－4＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)根，解得，x?=6,x?=8.解得x?=1(舍去),工x?=4，解:(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ、MN為兩邊，以矩形的邊(AD或BC)的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形.解得，x?=6,x?=8.1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？解：(2)不能．理由如下：(1)經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于9cm2?∴所求x的值為-1你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．如圍,菱形ABCD中AC,BD交于點(diǎn)0.4C=8cm.BD=6cm.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒2cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以每秒1cm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),若M,N同時(shí)出發(fā),問出發(fā)后幾秒時(shí),△MON的面積為菱形ABCD面積的1/12.解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2S?MON=1/12S菱形ABCD=2(cm2)(3)當(dāng)x>3時(shí),M在老線OC上,點(diǎn)N射線OD上,依題意,得?(2x-4)(x-3)=2解得x?=1(舍去),工x?=4，∴x=4.綜上所述，出發(fā)1s或2s時(shí)，△MON的面積為菱形ABCD面積的1/12.拓展探究(2)當(dāng)2<x<3時(shí),M在線段OC上,N在線段BO上,依題意解得x?=1(舍去),工x?=4，解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.∴當(dāng)兩人相距39m時(shí)，甲在點(diǎn)O以東36m處，乙在點(diǎn)O以北15m處．(1)經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于9cm2?寬為14m時(shí)，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2.S菱形ABCD=?AC?BD=?×8×6=24（cm）2解：(1)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長為(10－x)cm，(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，△PBQ的面積能否等于矩形ABCD的面積的四分之一？若能，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；∴S＝?(6－t)×2t＝9，(3)“解”，即求出所列方程的根;解:設(shè)出發(fā)后xs時(shí),S?MON=1/12S菱形ABCD.∴李明應(yīng)該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段．?(2x-2x)(3-x)=2,(1)經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于9cm2?∴x=-1符合題意。1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．∴在運(yùn)動(dòng)過程中，△PBQ的面積不能等于矩形ABCD的面積的四分之一．1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．解：(1)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長為(10－x)cm，12(不符合題意，舍去)．1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．(1)要使這兩個(gè)正方形的面積和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？(2)李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2.你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．解：(1)設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長為xcm，則另一個(gè)正方形的邊長為(10－x)cm，由題意，得x2＋(10－x)2＝58，解得x?＝3，x?＝7，∴這兩個(gè)正方形的周長分別為4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，∴李明應(yīng)該把鐵絲剪成12cm和28cm的兩段．課堂練習(xí)解得x?=1(舍去),工x?=4，1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如1．李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)：把一根長40cm的鐵絲剪成