2018數(shù)競(jìng)平面幾何講義教師版

平面幾何（四點(diǎn)共圓）沖刺講義 班 號(hào) 一、知識(shí)準(zhǔn)備以下簡(jiǎn)單介紹講義可能涉及的一些簡(jiǎn)單的知識(shí)：歐拉線：冶班:的垂心：，重心'■，外心*1■三點(diǎn)共線.此線稱為歐拉線，且有關(guān)系： ~氣宀九點(diǎn)圓定理：三角形的三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)，以及垂心與頂點(diǎn)的三條連接線段的中點(diǎn)，共九點(diǎn)共圓。此圓稱為三角形的九點(diǎn)圓，或稱歐拉圓的九點(diǎn)圓的圓心是其外心與垂心所連線段的中點(diǎn)丄九點(diǎn)圓的半徑是汪以的外接圓半徑的-.三角形心與旁心的性質(zhì)： I：—的心為；，而-邊外的旁心分別為…''；AD皿CF分別是三條角平分線，交三角形外接圓于M，弘交于」V,則:①三角形過同一頂點(diǎn)的、外角平分線互相垂直；二、例題分析例1.''是■■-1（的外接圓的直徑，過「作圓J的切線交「于'’，連接并延長J分別交AB、畀匸于、R，求證：OM=ON

44OfBQfNl證明：過；作 的平行線分別交 匕；于、，則’ -.?。篨中點(diǎn)：，連接.眇OGP■90*,二P、PGQ四點(diǎn)共圓.^LODG=￡OPG，而由MV/ZZfA"，左SPG=3.譏ODG=gRG，了、r門F四點(diǎn)共圓.LOrDB，而乙O'DR=￡/iCJ3,EO’GR= ,OrGf/AC而「是'的中點(diǎn)，?’是，的中點(diǎn)，丁『C.陷OM=ON例2.等腰梯形］:」中,：」「',「，：-分別是「 ■1的心，廠是直線亠上的一點(diǎn)， ?」，的外接圓交的延長線于’-1證明：亠'.

LPFC=90°--ABCD=-(LCBD+LCDB)證明： 丄 二-LEAC+LECA-LPEC，故EFCP共圓，則LECP-LEFP-90n，因此^-PAQ^LPCQ-90“-LDCE，而才=〔貯j-yr'汀以J廠.￡血n-用.二花所以，、匚 '，由此，‘LI例3.在-中，?I「，心為：，切圓在］■<?■邊上的切點(diǎn)分別為廠’，廠，設(shè)二是D關(guān)于點(diǎn)/的對(duì)稱點(diǎn)，丄是E關(guān)于點(diǎn)/的對(duì)稱點(diǎn).求證：mCa四點(diǎn)共圓.證明TOC\o"1-5"\h\z1的中點(diǎn)為「」U?(?設(shè)點(diǎn)廠在直線八/上的射影為 ,a+b+c…Th P~ =2b由于 則半周長 - ，于曰d； j：訂-?:;-.-I■''-:([:是 ，又汀=：工‘所以注fisM更卩，且相似比為-,熟知:'—汽=r。又ms所以’?，即"?是〉的中點(diǎn)進(jìn)而’? ， 「「"?'，所以」?- '都在以「'為圓心的同一個(gè)圓周上.上選取兩點(diǎn)C、D使得C、高中數(shù)學(xué)奧林匹克-2018年7月暑假培訓(xùn)班例4.設(shè)A、B為圓上兩點(diǎn)，上選取兩點(diǎn)C、D使得C、D、X依次位于同一直線上，且CAJBD，再設(shè)F、G分別為CA和BD、CD和AB的交點(diǎn)，H為AGX的中垂線與BD的交點(diǎn).證明：X、F、G、H四點(diǎn)共圓.證明：設(shè)O為圓心，ABQXO=M.A?/△COAs/AM,/-OXXM=XA2=XCXD.???0、M、C、D四點(diǎn)共圓.???ZXMO=ZOCD=ZODC=JOMC.在CM上選取一點(diǎn)E使MX/DE,貝UMD=ME..CGCMCMCX"U77Ttj"UFP在GX上取點(diǎn)X，使ZGFD=ZDFX，在XF上取W使CF/GW.XBX'FXTXC* __ _ — 由"r( ■ 〔(得CGXD=XCGD.由上面兩式得=，故X=X./.ZGFD=ZXFD.又?/=<1和ZXPB=ZCDF<1./.H和B在CX的同一側(cè).X設(shè)H為直線BF與/GFX外接圓的交點(diǎn)，則XZHXG=ZHFG=ZHFX=ZHGX.?HG=HX,/.H=H.???X、F、G、H四點(diǎn)共圓，得證.注：上述證法比較麻煩，本題實(shí)質(zhì)如下：易知；'為調(diào)和點(diǎn)列，又-匚一??；，可得「門為丄吩的平分線，設(shè)L八外接圓交&」于」點(diǎn)，由“雞爪”定理知---m，從而?在"…的中垂線上,本題得證.例5.△ABC中，E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，CM、BN為高，EF交MN于P,0、H分別為三角形的外心與垂心.求證：AP1OH.證明：由ZBMC=/BNC=90知B、C、N、M四點(diǎn)共圓.???AMAB=ANAC.又AE=AB,AF=AC,/-AMAE=ANAF，即E、F、N、M共圓.注意到由/AMH=ZANH=ZAEO=ZAFO=90知AH、AO分別為AAMN、△AEF外接圓的直徑.過AH中點(diǎn)H與AO中點(diǎn)O分別為△XMN與AAEF的外心，且易知OH/OH.?只需證APJOH，只需證A、O為AAMN、△AEF外接圓的等幕點(diǎn)即可.注意到A為兩圓公共點(diǎn)，而由E、F、N、M共圓知PMPN=PEPF.故P也為等幕點(diǎn).綜上所述，原命題成立.

例6.設(shè)△KBC接于圓O,過A作切線PD,D在射線BC上，P在射線DA上，過P作圓O的割線PU，U在BD上，PU交圓O于Q、T且交AB、AC于R、S.證明：若QR=ST,貝UPQ=UT.證明：過O作OK_LPU=K,OF_LBU=F，連結(jié)AK延長交OO于另一點(diǎn)E,過C作CH/PU交AE于G,交AB于H，連GF、OP、OU、OA、OE.由垂徑定理知BF=FC,QK=KT,且QR=ST.???RK=KS即K是RS的中點(diǎn)，且CH/PU..?.== ==1HG=GC.由中位線定理知FG//BH.???/FGE=ZBAE=ZBCEF、G、C、E共圓.?ZEFC=ZEGC=ZAGH=AJKG.?ZEFO+JOKE=ZOFC+ZCFE+ZOKE=90+JUKG+JOKE=90+90=.?K、O、F、E四點(diǎn)共圓…①又'//OKU+ZOFU=2X90=,?K、O、F、U四點(diǎn)共圓…②結(jié)合①②知K、O、F、E、U五點(diǎn)共圓，??ZKUO=:ZKEO又/PA為OO切線OAJPA，且OKJPUZKEO:=JKAO?ZKPO=ZKUOOP=OU.又/OK_LPU,.PK=UK.而QK=TU,/-PQ=UT,得證.OP為以P點(diǎn)為圓心、PD為半徑的圓.證明：C點(diǎn)在伯MP外接圓與OP為以P點(diǎn)為圓心、PD為半徑的圓.證明：C點(diǎn)在伯MP外接圓與OP的根軸上.證明：作PRAAC，其延長線交BC延長線于S.?/JDMA=ZOBA=ZOCA=90,???A、C、0、M、B五點(diǎn)共圓.???/BMP=ZBMA+90=ZBCA+90-ZRSC.?B、M、P、S四點(diǎn)共圓.例7.AB、AC為OO切線，ADE為一條割線,M為DE例7.AB、AC為OO切線，ADE為一條割線,?C對(duì)少M(fèi)P外接圓的幕為一CBCS=—2CACR.而C對(duì)OP的幕為CP2—PD2=CP2—AP2—ADAE=CP2—AP2+AC2=CR2+RP2—PR2—AR2+AC2=CR2—CR+CA2+CA2=—2RCCA.???C點(diǎn)對(duì)OP的幕等于C點(diǎn)到少M(fèi)P外接圓的幕.???C點(diǎn)在上述兩圓根軸上，得證.例8.設(shè)H為△KBC的垂心，D、E、F為△ABC的外接圓上三點(diǎn)，使AD/BE/CF,S、T、U分別為D、E、F關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn).求證：S、T、U、H四點(diǎn)共圓.證明：先證引理：ABC外接圓OO與它的九點(diǎn)圓OV關(guān)于△ABC的垂心H位似，且位似比為.引理的證明：設(shè)AH、BH、CH分別交邊BC、CA、AB于O、E、F，交OO于D、E、F.易知HD=HD,HE=HE,HF=HF.?△DEF與A)EF關(guān)于H位似，位似比為.?△DEF外接圓與△DEF外接圓關(guān)于H位似，即OO與OV關(guān)于H位似，位似比為.回到原題：設(shè)BC、CA、AB中點(diǎn)分別為X、Y、乙過D作DP/BC,交OO于P,設(shè)PH中點(diǎn)為W.易知SDJBC，設(shè)PS交BC于X，則由SD關(guān)于BC對(duì)稱知SX=XD.???X為BC中點(diǎn)，即X與X重合，即同理P與U、T分別關(guān)于Z、Y對(duì)稱.?四邊形USHT與四邊形ZYWX對(duì)稱.由引理知Z、X、Y、W四點(diǎn)共圓.P與S關(guān)于X對(duì)稱.C?U、T、P與S關(guān)于X對(duì)稱.C例9.給定銳角SBC,過A作BC的垂線，垂足為D，記A\BC的垂心為H，在△ABC的外接圓上任取一動(dòng)點(diǎn)P，延長PH交△KPD的外接圓于Q.求Q點(diǎn)的軌跡.解：Q點(diǎn)軌跡為△ABC的九點(diǎn)圓.如圖，取AH、BH、PH的中點(diǎn)M、N、K,延長AD交△ABC外接圓于G.則熟知HD=DG,連接KN、MN、KD、PB、PG.因?yàn)楦魅≈悬c(diǎn)有ZNKD=ZBPG,ZNMD=ZBAG.???K、N、M、D四點(diǎn)共圓.又Q在△APD的外接圓上，PHHQ=AHHD，即2KHHQ=2MHHD.KHHQ=MHHD.于是有K、D、Q、M、N五點(diǎn)共圓.又QMN外接圓為九點(diǎn)圓，所以Q在九點(diǎn)圓上.反之，在如上所述九點(diǎn)圓上任取一點(diǎn) Q，設(shè)QH延長線交AABC外接圓于P，取PH中點(diǎn)R,同上可證R在九點(diǎn)圓上.故2RHHQ=2MHHD，即PHHQ=AHHD.因此Q在D外接圓上.得證.例10.在SBC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，設(shè)Oi、02分別是AABD、AACD的外心，O是經(jīng)過A、Oi、02三點(diǎn)的圓的圓心.求證：ODJBCAD恰好經(jīng)過△KBC的九點(diǎn)圓心.證明：連AOi、BOi、A02、C02,作AB、AC垂直平分線交于點(diǎn)0.???厶02C=2ZADB=ZAOiB,AOi=BOi,AO2=CO2,/?△\0iBSZ02C.???△AOiO2szabc.???厶OiO=—ZAOiB=—厶O2C=—ZAO2O.故0在OO上，0是△KBC的外心，故△KO0szAOiB.又ZADB=/i,ZOiAB=ZOAO=ZOOA.?0DJBC ZBAOi=ZADO ZADO=ZODAA、0、0、D共圓ZAO0=—ZADO=ZADB+ZODCZADB=ZODCvZAO0=2ZADB如圖，設(shè)OH與AD交于點(diǎn)K，作BC中垂線OM，交AD延長線于點(diǎn)M,OM與BC交于點(diǎn)L.由ZADB=ZODCDL=LMOM=20L=AH△AKH也ZIKO OK=KHK為九點(diǎn)圓心AD經(jīng)過ZABC的九點(diǎn)圓心.綜上所述，命題得證.例11.」圧〔接于了丿，自?作3P的切線，又以?為圓心，I為半徑作匕'交直線用爵于務(wù)例11.」圧〔接于了丿，自?作3P的切線，又以?為圓心，I為半徑作匕'交直線用爵于務(wù)◎,交直線/于拆，場(chǎng);則四邊形；-的四條邊所在直線分別通過 '「的心及三個(gè)旁心?以下，我們?nèi)园? ?情況給出圖形和解答（其實(shí)在所有情形下結(jié)論都成立）證明：’、如圖，設(shè) 的平分線交 于；，因' ''，則點(diǎn)' 關(guān)于直線.丿對(duì)稱，又因 ―在V'上,則上*冷，因此’共圓,由于'為衛(wèi)「的切線，則匚匕時(shí) 又由-「所以'、據(jù)條件知為矩形,設(shè)角平分線「交直線?'于?，連，由⑴知，點(diǎn)'關(guān)于直線■'對(duì)稱，故斤心"卞邙.二&’則'為 的外角平分線，因此'為］邊外的旁心.'、設(shè)一“:!「的外角平分線交直線'■于，由廠-代-「訃」y' ?共圓.S+CS+CEFJ打=LF{Al2■90°-UAFy' 2故'；共線，因此'為邊外的旁心?-+/?- -LAEJ-LABI■LE.IB匕丿2 ' '■、設(shè)m的外角平分線交直線于，連「yI?，因ns-— ■、設(shè)m的外角平分線交直線于，連「yI?，因ns-— ■-■.：■■■■■|故“即I共圓.5再?wl口工解-"的-5E、■匚R1、E\.所以「共線,即是一卜的外角平分線,因此'為’「邊外的旁心.例12.三角形 中，, ?=是」的中點(diǎn)，出戈匸分別是■-邊上的點(diǎn),證明：=A.CPD且」 的外接圓交線段川于’若點(diǎn)?；’滿足：拴'證明：在圓丄J 中，由于弦’ ：故圓周角LAPE=LAPF=丄（1耳護(hù)-A）=LABC=LACB因此，八?與■'…'分別共圓，于曰運(yùn)打一「口--■m于是設(shè)點(diǎn)7在邊小」?"上的射影分別為■■'1,則△'」? ,故由f得，「-「匕.o1設(shè)△I的心為今證:,1-{-四點(diǎn)共圓：連?’.6J-?因■■- I-■■- ■■■.分另U共圓，則乙％此1沁 一'農(nóng)'/■:i,/7?團(tuán)T又由o1, 「"',所以△ ' 又由o1, 「"',所以△ ' “因此二送攔「上匕而e 「:"込「:.所以■ 1因?yàn)椤猈1叭LPBC}=LPBI+LJBA,LIC8=-=-=LIBA.22故得d-::m，因此二u.四點(diǎn)共圓，LBPC-LBIC-9On+-=]8O°-R,于是 -延長il交土空匸的外接圓于'貝M?為該外接圓的直徑于是m丄卞:；亠:"■.且「「二=：■.■■■'.因此，點(diǎn)O是■■'■.'■ 所在圓的圓心，從而a皿為上-的切線?延長L.〕交上’于T,則MCPsUTT,所以/PPC又由\AiiPsMTE,AHBT BTCT得： ',因鳥歹二宀;二故 ■... ②延長?’J到（，使’「 ’?，^y八‘…為平行四邊形LBTC-18『-LRPC-LPBG...③BT_PB_PB由②得「 ■'"：.……④由③、④得；「廠s?.所以，匚RPHTRC-ETPC,即LBPM-LCPD三、鞏固訓(xùn)練「為正三角形 ■的邊」上的任意一點(diǎn)，設(shè),\I.-與\「的心分別為'，外心分別為一共圓,^47,￡>=90°+—=120°一共圓,證明：如圖，據(jù)心性質(zhì)，有2 ，所以證明：如圖，據(jù)心性質(zhì)，有而— ’，得點(diǎn)「也在W上，即一?’五點(diǎn)共圓.圓的圓心即為0''：|的圓心‘；注巳D?意」注巳D?意」的平分垂線，即「宀：打1共LDip--LDI.A+LAlp{-LDI.A+LACOX-120°+30°-150°.;TOC\o"1-5"\h\z同理有… ’五點(diǎn)共圓，圓心為'，因此' '「’，且W .由于LI.DL=90°LO.DO,=60°則LI.DO,+LhDO2=30n.又在八’中， 「JJ；；在、「中，m :所以mpQ.ZgQD、LI}Op-LI2DO2于是M、DQ\3QD從而'J- （， ?，由于在直角三角形'中，‘. ',所以有 .△KBC切圓與BC切于K,AD是BC邊上的高，M為AD中點(diǎn)，MK與△ABC切圓交于K、N.求證：△BNC外接圓與AABC切圓切于N.證明：設(shè)AABC關(guān)于ZBAC的旁切圓為OIa,半徑為「a,AABC心為I,OI半徑為r,OIa切BC于T,KI交OI于K、S,貝U?/==,|aT〃S均垂直于BC,「.A、S、T共線.???I為SK中點(diǎn)，M為AD中點(diǎn)，SK/AD,「.T、I、M共線.?/===,IK//aT,.「M、K、Ia三點(diǎn)共線.設(shè)OI關(guān)于點(diǎn)K、N切線交于Q,則QIJNK.設(shè)QI交NK于R,則?IB平分ZABC,IaB平分ZABC外角，「./IBIa=90.又t/RIa