2021高考數(shù)學一輪復習《一元二次不等式及其解法》課件

§1.5一元二次不等式及其解法大一輪復習講義§1.5一元二次不等式及其解法大一輪復習講義基礎(chǔ)落實回扣基礎(chǔ)知識訓練基礎(chǔ)題目題型突破典題深度剖析重點多維探究課時精練內(nèi)容索引INDEX基礎(chǔ)落實回扣基礎(chǔ)知識訓練基礎(chǔ)題目題型突破典題深度剖析重點回扣基礎(chǔ)知識訓練基礎(chǔ)題目基礎(chǔ)落實回扣基礎(chǔ)知識訓練基礎(chǔ)題目基礎(chǔ)落實判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象

方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集知識梳理判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集______________{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________________{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}??ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集___________1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集與其對應(yīng)的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象有什么關(guān)系？概念方法微思考提示

ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分所對應(yīng)的x的取值范圍.2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件是什么？1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集與其對1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.(

)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(

)(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)(4)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(

)基礎(chǔ)自測題組一思考辨析√××√1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)基礎(chǔ)自2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，則?RA等于A.{x|－2<x<3} B.{x|－2≤x≤3}C.{x|x<－2或x>3} D.{x|x≤－2或x≥3}題組二教材改編√解析∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}.在數(shù)軸上表示出集合A，如圖所示.由圖可得?RA＝{x|－2≤x≤3}.故選B.2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，則?RA等于題組二3.y＝log2(3x2－2x－2)的定義域是______________________________.解析由題意，得3x2－2x－2>0，3.y＝log2(3x2－2x－2)的定義域是_______解析由題意知a<0，則排除B，D；題組三易錯自糾4.(多選)關(guān)于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3個整數(shù)，則a的值可以為A.－

B.1 C.－1

D.2√√即(x＋2)(x－2)<0，解得－2<x<2，恰有3個整數(shù)，符合題意；對于C項，當a＝－1時，(－x－1)(x－3)>0，即(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，恰有3個整數(shù)，符合題意，故選AC.解析由題意知a<0，則排除B，D；題組三易錯自糾4.(多(－4,1)解析由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－4<x<1.5.不等式－x2－3x＋4>0的解集為________.(用區(qū)間表示)(－4,1)解析由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－14－147.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.(－2,2]當a＝2時，原式化為－4<0，不等式恒成立，∴－2<a≤2.即實數(shù)a的取值范圍是(－2,2].7.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，對一切x∈典題深度剖析重點多維探究題型突破典題深度剖析重點多維探究題型突破例1

(2019·濟寧模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，則?RA等于A.(1,2) B.[1,2]C.(－∞，1]∪[2，＋∞) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)一元二次不等式的求解題型一多維探究解析由題意可得，?RA＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，表示為區(qū)間形式即(1,2).故選A.√命題點1不含參的不等式例1(2019·濟寧模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x解原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)<0，例2解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).命題點2含參不等式當a＝1時，解集為?；當a＝1時，不等式的解集為?；解原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)<0，例2解關(guān)于x的對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.思維升華SIWEISHENGHUA對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論思維升華SIWEIS跟蹤訓練1

(1)(2020·北京市海淀區(qū)期末)不等式x2＋2x－3<0的解集為A.{x|x<－3或x>1} B.{x|x<－1或x>3}C.{x|－1<x<3} D.{x|－3<x<1}√解析由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故選D.跟蹤訓練1(1)(2020·北京市海淀區(qū)期末)不等式x2＋{x|x≥3或x≤2}故不等式x2－bx－a≥0為x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.{x|x≥3或x≤2}故不等式x2－bx－a≥0為x2－5x解

原不等式可化為12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，(3)解不等式12x2－ax>a2(a∈R).當a＝0時，不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)；解原不等式可化為12x2－ax－a2>0，(3)解不等式1例3已知函數(shù)f

(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈R，f

(x)<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.一元二次不等式恒成立問題題型二多維探究解

當m＝0時，f

(x)＝－1<0恒成立.綜上，－4<m≤0，故m的取值范圍是(－4,0].命題點1在R上的恒成立問題例3已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈R，f例4已知函數(shù)f

(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f

(x)<5－m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.命題點2在給定區(qū)間上的恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,解

要使f

(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下兩種方法：當m>0時，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，當m＝0時，－6<0恒成立；當m<0時，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.解要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下2021高考數(shù)學一輪復習《一元二次不等式及其解法》課件引申探究1若將“f

(x)<5－m恒成立”改為“f

(x)<5－m無解”，如何求m的取值范圍？解

若f

(x)<5－m無解，即f

(x)≥5－m恒成立，即m的取值范圍為[6，＋∞).引申探究1若將“f(x)<5－m恒成立”改為“f(x)<引申探究2若將“f

(x)<5－m恒成立”改為“存在x，使f

(x)<5－m成立”，如何求m的取值范圍？解

由題意知f

(x)<5－m有解，又x∈[1,3]，得m<6，即m的取值范圍為(－∞，6).引申探究2若將“f(x)<5－m恒成立”改為“存在x，使f解

設(shè)g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其圖象是直線，當m∈[1,2]時，圖象為一條線段，例5若mx2－mx－1<0對于m∈[1,2]恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.命題點3給定參數(shù)范圍的恒成立問題解設(shè)g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其圖象解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).思維升華SIWEISHENGHUA解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的解

∵當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴實數(shù)a的取值范圍是[－6,2].跟蹤訓練2函數(shù)f

(x)＝x2＋ax＋3.(1)若當x∈R時，f

(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；解∵當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，跟蹤訓練2解

由題意可轉(zhuǎn)化為x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，則(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2]).令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，(2)若當x∈[－2,2]時，f

(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；解得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；解得a≥－7，∴－7≤a<－4.綜上可得，滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是[－7,2].解由題意可轉(zhuǎn)化為x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上解

令h(a)＝xa＋x2＋3.當a∈[4,6]時，h(a)≥0恒成立.(3)若當a∈[4,6]時，f

(x)≥0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.解令h(a)＝xa＋x2＋3.(3)若當a∈[4,6]時，分布情況兩個負根即兩根都小于0(x1<0，x2<0)兩個正根即兩根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一負根即一個根小于0，一個根大于0(x1<0<x2)大致圖象(a>0)

設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的兩根為x1，x2，且x1<x2，相應(yīng)的二次函數(shù)為f

(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即為二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，它們的分布情況見下面各表(每種情況對應(yīng)的均是充要條件).表一：(兩根與0的大小比較即根的正負情況)一元二次方程根的分布情況拓展視野分布情況兩個負根即兩根都小于0(x1<0，x2<0)兩個正根得出的結(jié)論f

(0)<0大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f

(0)>0得出的結(jié)論f(0)<0大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f綜合結(jié)論(不討論a)a·f

(0)<0綜合結(jié)論(不討論a)a·f(0)<0分布情況兩根都小于k即x1<k，x2<k兩根都大于k即x1>k，x2>k一個根小于k，一個根大于k即x1<k<x2大致圖象(a>0)

得出的結(jié)論f

(k)<0表二：(兩根與k的大小比較)分布情況兩根都小于k即x1<k，x2<k兩根都大于k即x1>大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f

(k)>0綜合結(jié)論(不討論a)a·f

(k)<0大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f(k)>0綜合結(jié)論(不分布情況兩根都在(m，n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(m，n)內(nèi)，另一根在(p，q)內(nèi)，m<n<p<q大致圖象(a>0)

得出的結(jié)論f

(m)·f

(n)<0

或表三：(根在區(qū)間上的分布)分布兩根都在(m，n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)(圖象大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f

(m)·f

(n)<0

或大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f(m)·f(n)<0綜合結(jié)論(不討論a)f

(m)·f

(n)<0綜合結(jié)論(不討論a)f(m)·f(n)<0根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間(m，n)外，即在區(qū)間兩側(cè)x1<m，x2>n，(圖形分別如下)需滿足的條件是根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間(m，n)外，即對以上的根的分布表中，兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)有以下特殊情況：(ⅰ)若f

(m)＝0或f

(n)＝0，則此時f

(m)·f

(n)<0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為m或n，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值.如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在區(qū)間(1,3)上有一根，因為f

(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根為對以上的根的分布表中，兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)有以下特(ⅱ)方程有兩個相等的根，且這個根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，即Δ＝0，此時由Δ＝0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù).如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在區(qū)間(－3,0)內(nèi)，求m的取值范圍.分析：①由f

(－3)·f

(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出(ⅱ)方程有兩個相等的根，且這個根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，即Δ＝例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一負根，求實數(shù)m的取值范圍.解

設(shè)f

(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，由(2m＋1)·f

(0)<0，即(2m＋1)(m－1)<0，例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有例2已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有兩個不等正實根，求實數(shù)m的取值范圍.解

設(shè)f

(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，例2已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有兩個不等正實根，例3已知二次函數(shù)f

(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3與x軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，求實數(shù)m的取值范圍.解

由(m＋2)·f

(1)<0，例3已知二次函數(shù)f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x課時精練課時精練基礎(chǔ)保分練1.(2019·武漢調(diào)研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，則A∩B等于A.(0,2) B.(－1,0)C.(－3,2) D.(－1,3)√12345678910111213141516解析A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，∴A∩B＝(－1,0).故選B.基礎(chǔ)保分練1.(2019·武漢調(diào)研)已知集合A＝{x|x2－2.(2020·黃岡調(diào)研)關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.(－1,2)C.(1,2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)√12345678910111213141516解析關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，即(x－1)(x－2)<0，∴不等式的解集為{x|1<x<2}.故選C.2.(2020·黃岡調(diào)研)關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是3.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要條件是√12345678910111213141516解析∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，3.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要條件是√124.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是A.[－4,1]

B.[－4,3]C.[1,3]

D.[－1,3]√解析原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當a<1時，不等式的解集為[a,1]，此時只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當a＝1時，不等式的解為x＝1，此時符合要求；當a>1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要a≤3即可，即1<a≤3，綜上可得－4≤a≤3.123456789101112131415164.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的5.若存在實數(shù)x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，則m的取值范圍為A.(13，＋∞) B.(5，＋∞)C.(4，＋∞) D.(－∞，13)√解析m>x2－2x＋5，設(shè)f

(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，當x＝2時f

(x)min＝5，?x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f

(x)min，∴m>5.故選B.123456789101112131415165.若存在實數(shù)x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，6.在關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1個整數(shù)，則a的取值范圍是A.(－3,5) B.(－2,4)C.[－1,3]

D.[－2,4]12345678910111213141516解析

因為關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化為(x－1)(x－a)<0，當a>1時，不等式的解集為{x|1<x<a}，當a<1時，不等式的解集為{x|a<x<1}，當a＝1時，不等式的解集為?，要使得解集中至多包含1個整數(shù)，則a＝1或1<a≤3或－1≤a<1，所以實數(shù)a的取值范圍是a∈[－1,3]，故選C.√6.在關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包123456789101112131415167.(多選)下列四個解不等式，正確的有A.不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D.關(guān)于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，則p＋q的值為－1√√√123456789101112131415167.(多選)下12345678910111213141516解析對于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，對于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，對于C，由題意可知－7和－1為方程ax2＋8ax＋21＝0的兩個根．∴a－8a＋21＝0，∴a＝3.故C正確；對于D，依題意q,1是方程x2＋px－2＝0的兩根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正確.12345678910111213141516解析對于A，8.(多選)已知關(guān)于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，則下列說法正確的是12345678910111213141516√√√8.(多選)已知關(guān)于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0解析對于A，∵不等式的解集為{x|x<－3或x>－2}，∴k<0，且－3與－2是方程kx2－2x＋6k＝0的兩根，12345678910111213141516解析對于A，∵不等式的解集為{x|x<－3或x>－2}，112345678910111213141516(－2，－1)(答案不唯一)則滿足條件的一組有序?qū)崝?shù)對(a，b)的值可以是(－2，－1).12345678910111213141516(－2，－1)1234567891011121314151610.在R上定義運算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________.解析由題意，可知不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x都成立，又由(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，即x2－x－a2＋a＋1>0對任意實數(shù)x都成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，1234567891011121314151610.在R上定12345678910111213141516解得a＝－2，b＝8.11.已知關(guān)于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若該不等式的解集為(－4,2)，求a，b的值；12345678910111213141516解得a＝－2，12345678910111213141516解

當b＝a＋1時，－x2＋ax＋b>0?x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.當a＋1＝－1，即a＝－2時，原不等式的解集為?；當a＋1<－1，即a<－2時，原不等式的解集為(a＋1，－1)；當a＋1>－1，即a>－2時，原不等式的解集為(－1，a＋1).綜上，當a<－2時，不等式的解集為(a＋1，－1)；當a＝－2時，不等式的解集為?；當a>－2時，

不等式的解集為(－1，a＋1).(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集.12345678910111213141516解當b＝a＋12345678910111213141516(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.故要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，x的取值范圍是[3,10].12345678910111213141516(1)要使生產(chǎn)12345678910111213141516(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，則甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.故當x＝6時，ymax＝457500.故甲廠以6千克/小時的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時獲得的利潤最大，最大利潤為457500元.12345678910111213141516(2)要使生產(chǎn)技能提升練1234567891011121314151613.設(shè)a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，則b－a的最大值為√技能提升練123456789101112131415161312345678910111213141516解析由題意知a<0，a<b，則①當b<0時，?x∈(a，b)，2x＋b<0，所以(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立可轉(zhuǎn)化為?x∈(a，b)，a≤－4x2，②當b>0時，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，當x＝0時，(4x2＋a)(2x＋b)＝ab<0，不符合題意；③當b＝0時，由題意知x∈(a,0)，(4x2＋a)2x≥0恒成立，12345678910111213141516解析由題意知14.已知對于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，則實數(shù)a的取值范圍是________.12345678910111213141516(1,5]14.已知對于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2解析設(shè)f

(x)＝x2－2(a－2)x＋a，當Δ＝4(a－2)2－4a<0，即1<a<4時，f

(x)>0對x∈R恒成立，符合題意；當a＝1時，f

(－1)＝0，不符合題意；當a＝4時，f

(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2>0對x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)恒成立，符合題意；12345678910111213141516即4<a≤5.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(1,5].解析設(shè)f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，123456715.若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一個元素，則正實數(shù)a的取值范圍是________.拓展沖刺練1234567891011121314151615.若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中解析f

(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，即x2－2x＋1<a(x＋1)－1，分別令y1＝x2－2x＋1，y2＝a(x＋1)－1，易知y2過定點(－1，－1)，在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，若集合A＝{x∈Z|f

(x)<0}中有且只有一個元素，結(jié)合圖象可得，即點(0,1)和點(2,1)在直線上或者在直線上方，點(1,0)在直線下方，12345678910111213141516解析f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，123451234567891011121314151616.(2020·南京六校聯(lián)考)已知函數(shù)f

(x)＝x2－2ax＋2a－1.若對任意的a∈(0,3)，存在x0∈[0,4]，使得t≤|f

(x0)|成立，求實數(shù)t的取值范圍.1234567891011121314151616.(20212345678910111213141516解

∵f

(x)＝x2－2ax＋2a－1的對稱軸為x＝a，且a∈(0,3)，∴函數(shù)f

(x)＝x2－2ax＋2a－1在[0，a]上是減函數(shù)，在[a,4]上是增函數(shù)；∴函數(shù)f

(x)＝x2－2ax＋2a－1在[0,4]上的最小值為f

(a)＝－(a－1)2∈(－4,0]，|f

(a)|＝(a－1)2，①當2≤a<3時，函數(shù)f

(x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝0時取得最大值，且最大值為2a－1，由于此時2≤a<3，則3≤2a－1<5，易知當2≤a<3時，(a－1)2<2a－1，所以|f

(x)|max＝max{|f

(a)|，|f

(0)|}＝|f

(0)|＝2a－1∈[3,5).∴t≤3.12345678910111213141516解∵f(x12345678910111213141516②當0<a<2時，函數(shù)f

(x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝4時取得最大值，且最大值為42－8a＋2a－1＝15－6a，由于此時0<a<2，所以3<15－6a<15，且15－6a>(a－1)2，|f

(x)|max＝max{|f

(a)|，|f

(4)|}＝|f

(4)|＝15－6a∈(3,15)，∴t≤3.綜上，

t的取值范圍是(－∞，3].12345678910111213141516②當0<a<2§1.5一元二次不等式及其解法大一輪復習講義§1.5一元二次不等式及其解法大一輪復習講義基礎(chǔ)落實回扣基礎(chǔ)知識訓練基礎(chǔ)題目題型突破典題深度剖析重點多維探究課時精練內(nèi)容索引INDEX基礎(chǔ)落實回扣基礎(chǔ)知識訓練基礎(chǔ)題目題型突破典題深度剖析重點回扣基礎(chǔ)知識訓練基礎(chǔ)題目基礎(chǔ)落實回扣基礎(chǔ)知識訓練基礎(chǔ)題目基礎(chǔ)落實判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象

方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集知識梳理判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集______________{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________________{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}??ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集___________1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集與其對應(yīng)的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象有什么關(guān)系？概念方法微思考提示

ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分所對應(yīng)的x的取值范圍.2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件是什么？1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集與其對1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.(

)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(

)(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)(4)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(

)基礎(chǔ)自測題組一思考辨析√××√1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)基礎(chǔ)自2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，則?RA等于A.{x|－2<x<3} B.{x|－2≤x≤3}C.{x|x<－2或x>3} D.{x|x≤－2或x≥3}題組二教材改編√解析∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}.在數(shù)軸上表示出集合A，如圖所示.由圖可得?RA＝{x|－2≤x≤3}.故選B.2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，則?RA等于題組二3.y＝log2(3x2－2x－2)的定義域是______________________________.解析由題意，得3x2－2x－2>0，3.y＝log2(3x2－2x－2)的定義域是_______解析由題意知a<0，則排除B，D；題組三易錯自糾4.(多選)關(guān)于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3個整數(shù)，則a的值可以為A.－

B.1 C.－1

D.2√√即(x＋2)(x－2)<0，解得－2<x<2，恰有3個整數(shù)，符合題意；對于C項，當a＝－1時，(－x－1)(x－3)>0，即(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，恰有3個整數(shù)，符合題意，故選AC.解析由題意知a<0，則排除B，D；題組三易錯自糾4.(多(－4,1)解析由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－4<x<1.5.不等式－x2－3x＋4>0的解集為________.(用區(qū)間表示)(－4,1)解析由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－14－147.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.(－2,2]當a＝2時，原式化為－4<0，不等式恒成立，∴－2<a≤2.即實數(shù)a的取值范圍是(－2,2].7.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，對一切x∈典題深度剖析重點多維探究題型突破典題深度剖析重點多維探究題型突破例1

(2019·濟寧模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，則?RA等于A.(1,2) B.[1,2]C.(－∞，1]∪[2，＋∞) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)一元二次不等式的求解題型一多維探究解析由題意可得，?RA＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，表示為區(qū)間形式即(1,2).故選A.√命題點1不含參的不等式例1(2019·濟寧模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x|x解原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)<0，例2解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).命題點2含參不等式當a＝1時，解集為?；當a＝1時，不等式的解集為?；解原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)<0，例2解關(guān)于x的對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論(1)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.思維升華SIWEISHENGHUA對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進行分類討論思維升華SIWEIS跟蹤訓練1

(1)(2020·北京市海淀區(qū)期末)不等式x2＋2x－3<0的解集為A.{x|x<－3或x>1} B.{x|x<－1或x>3}C.{x|－1<x<3} D.{x|－3<x<1}√解析由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故選D.跟蹤訓練1(1)(2020·北京市海淀區(qū)期末)不等式x2＋{x|x≥3或x≤2}故不等式x2－bx－a≥0為x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.{x|x≥3或x≤2}故不等式x2－bx－a≥0為x2－5x解

原不等式可化為12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，(3)解不等式12x2－ax>a2(a∈R).當a＝0時，不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)；解原不等式可化為12x2－ax－a2>0，(3)解不等式1例3已知函數(shù)f

(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈R，f

(x)<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.一元二次不等式恒成立問題題型二多維探究解

當m＝0時，f

(x)＝－1<0恒成立.綜上，－4<m≤0，故m的取值范圍是(－4,0].命題點1在R上的恒成立問題例3已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈R，f例4已知函數(shù)f

(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f

(x)<5－m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.命題點2在給定區(qū)間上的恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,解

要使f

(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下兩種方法：當m>0時，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，當m＝0時，－6<0恒成立；當m<0時，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.解要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下2021高考數(shù)學一輪復習《一元二次不等式及其解法》課件引申探究1若將“f

(x)<5－m恒成立”改為“f

(x)<5－m無解”，如何求m的取值范圍？解

若f

(x)<5－m無解，即f

(x)≥5－m恒成立，即m的取值范圍為[6，＋∞).引申探究1若將“f(x)<5－m恒成立”改為“f(x)<引申探究2若將“f

(x)<5－m恒成立”改為“存在x，使f

(x)<5－m成立”，如何求m的取值范圍？解

由題意知f

(x)<5－m有解，又x∈[1,3]，得m<6，即m的取值范圍為(－∞，6).引申探究2若將“f(x)<5－m恒成立”改為“存在x，使f解

設(shè)g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其圖象是直線，當m∈[1,2]時，圖象為一條線段，例5若mx2－mx－1<0對于m∈[1,2]恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.命題點3給定參數(shù)范圍的恒成立問題解設(shè)g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其圖象解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).思維升華SIWEISHENGHUA解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的解

∵當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴實數(shù)a的取值范圍是[－6,2].跟蹤訓練2函數(shù)f

(x)＝x2＋ax＋3.(1)若當x∈R時，f

(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；解∵當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，跟蹤訓練2解

由題意可轉(zhuǎn)化為x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，則(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2]).令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，(2)若當x∈[－2,2]時，f

(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；解得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；解得a≥－7，∴－7≤a<－4.綜上可得，滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是[－7,2].解由題意可轉(zhuǎn)化為x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上解

令h(a)＝xa＋x2＋3.當a∈[4,6]時，h(a)≥0恒成立.(3)若當a∈[4,6]時，f

(x)≥0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.解令h(a)＝xa＋x2＋3.(3)若當a∈[4,6]時，分布情況兩個負根即兩根都小于0(x1<0，x2<0)兩個正根即兩根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一負根即一個根小于0，一個根大于0(x1<0<x2)大致圖象(a>0)

設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的兩根為x1，x2，且x1<x2，相應(yīng)的二次函數(shù)為f

(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即為二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，它們的分布情況見下面各表(每種情況對應(yīng)的均是充要條件).表一：(兩根與0的大小比較即根的正負情況)一元二次方程根的分布情況拓展視野分布情況兩個負根即兩根都小于0(x1<0，x2<0)兩個正根得出的結(jié)論f

(0)<0大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f

(0)>0得出的結(jié)論f(0)<0大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f綜合結(jié)論(不討論a)a·f

(0)<0綜合結(jié)論(不討論a)a·f(0)<0分布情況兩根都小于k即x1<k，x2<k兩根都大于k即x1>k，x2>k一個根小于k，一個根大于k即x1<k<x2大致圖象(a>0)

得出的結(jié)論f

(k)<0表二：(兩根與k的大小比較)分布情況兩根都小于k即x1<k，x2<k兩根都大于k即x1>大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f

(k)>0綜合結(jié)論(不討論a)a·f

(k)<0大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f(k)>0綜合結(jié)論(不分布情況兩根都在(m，n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(m，n)內(nèi)，另一根在(p，q)內(nèi)，m<n<p<q大致圖象(a>0)

得出的結(jié)論f

(m)·f

(n)<0

或表三：(根在區(qū)間上的分布)分布兩根都在(m，n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)(圖象大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f

(m)·f

(n)<0

或大致圖象(a<0)

得出的結(jié)論f(m)·f(n)<0綜合結(jié)論(不討論a)f

(m)·f

(n)<0綜合結(jié)論(不討論a)f(m)·f(n)<0根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間(m，n)外，即在區(qū)間兩側(cè)x1<m，x2>n，(圖形分別如下)需滿足的條件是根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間(m，n)外，即對以上的根的分布表中，兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)有以下特殊情況：(ⅰ)若f

(m)＝0或f

(n)＝0，則此時f

(m)·f

(n)<0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為m或n，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值.如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在區(qū)間(1,3)上有一根，因為f

(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根為對以上的根的分布表中，兩根有且僅有一根在(m，n)內(nèi)有以下特(ⅱ)方程有兩個相等的根，且這個根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，即Δ＝0，此時由Δ＝0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù).如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在區(qū)間(－3,0)內(nèi)，求m的取值范圍.分析：①由f

(－3)·f

(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出(ⅱ)方程有兩個相等的根，且這個根在區(qū)間(m，n)內(nèi)，即Δ＝例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一負根，求實數(shù)m的取值范圍.解

設(shè)f

(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，由(2m＋1)·f

(0)<0，即(2m＋1)(m－1)<0，例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有例2已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有兩個不等正實根，求實數(shù)m的取值范圍.解

設(shè)f

(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，例2已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有兩個不等正實根，例3已知二次函數(shù)f

(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3與x軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，求實數(shù)m的取值范圍.解

由(m＋2)·f

(1)<0，例3已知二次函數(shù)f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x課時精練課時精練基礎(chǔ)保分練1.(2019·武漢調(diào)研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，則A∩B等于A.(0,2) B.(－1,0)C.(－3,2) D.(－1,3)√12345678910111213141516解析A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，∴A∩B＝(－1,0).故選B.基礎(chǔ)保分練1.(2019·武漢調(diào)研)已知集合A＝{x|x2－2.(2020·黃岡調(diào)研)關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.(－1,2)C.(1,2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)√12345678910111213141516解析關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，即(x－1)(x－2)<0，∴不等式的解集為{x|1<x<2}.故選C.2.(2020·黃岡調(diào)研)關(guān)于x的不等式ax＋b>0的解集是3.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要條件是√12345678910111213141516解析∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，3.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要條件是√124.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是A.[－4,1]

B.[－4,3]C.[1,3]

D.[－1,3]√解析原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當a<1時，不等式的解集為[a,1]，此時只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當a＝1時，不等式的解為x＝1，此時符合要求；當a>1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要a≤3即可，即1<a≤3，綜上可得－4≤a≤3.123456789101112131415164.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的5.若存在實數(shù)x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，則m的取值范圍為A.(13，＋∞) B.(5，＋∞)C.(4，＋∞) D.(－∞，13)√解析m>x2－2x＋5，設(shè)f

(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，當x＝2時f

(x)min＝5，?x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f

(x)min，∴m>5.故選B.123456789101112131415165.若存在實數(shù)x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，6.在關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1個整數(shù)，則a的取值范圍是A.(－3,5) B.(－2,4)C.[－1,3]

D.[－2,4]12345678910111213141516解析

因為關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化為(x－1)(x－a)<0，當a>1時，不等式的解集為{x|1<x<a}，當a<1時，不等式的解集為{x|a<x<1}，當a＝1時，不等式的解集為?，要使得解集中至多包含1個整數(shù)，則a＝1或1<a≤3或－1≤a<1，所以實數(shù)a的取值范圍是a∈[－1,3]，故選C.√6.在關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包123456789101112131415167.(多選)下列四個解不等式，正確的有A.不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D.關(guān)于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，則p＋q的值為－1√√√123456789101112131415167.(多選)下12345678910111213141516解析對于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，對于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，對于C，由題意可知－7和－1為方程ax2＋8ax＋21＝0的兩個根．∴a－8a＋21＝0，∴a＝3.故C正確；對于D，依題意q,1是方程x2＋px－2＝0的兩根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正確.12345678910111213141516解析對于A，8.(多選)已知關(guān)于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，則下列說法正確的是12345678910111213141516√√√8.(多選)已知關(guān)于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0解析對于A，∵不等式的解集為{x|x<－3或x>－2}，∴k<0，且－3與－2是方程kx2－2x＋6k＝0的兩根，12345678910111213141516解析對于A，∵不等式的解集為{x|x<－3或x>－2}，112345678910111213141516(－2，－1)(答案不唯一)則滿足條件的一組有序?qū)崝?shù)對(a，b)的值可以是(－2，－1).12345678910111213141516(－2，－1)1234567891011121314151610.在R上定義運算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________.解析由題意，可知不等式(x－a)?(x＋a)<1對任意實數(shù)x都成立，又由(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，即x2－x－a2＋a＋1>0對任意實數(shù)x都成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，1234567891011121314151610.在R上定12345678910111213141516解得a＝－2，b＝8.11.已知關(guān)于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若該不等式的解集為(－4,2)，求a，b的值；12345678910111213141516解得a＝－2，12345678910111213141516解

當b＝a＋1時，－x2＋ax＋b>0?x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.當a＋1＝－1，即a＝－2時，原不等式的解集為?；當a＋1<－1，即a<－2時，原不等式的解集為(a＋1，－1)；當a＋1>－1，即a>－2時，原不等式的解集為(－1，a＋1).綜上，當a<－2時