測(cè)量學(xué)課件：第6章 測(cè)量誤差理論

第6章測(cè)量誤差理論的基本知識(shí)6.1測(cè)量誤差概述6.2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)（重點(diǎn)）6.3觀測(cè)值函數(shù)的中誤差—誤差傳播定律（重點(diǎn)、難點(diǎn)）6.4同（等）精度直接觀測(cè)平差6.5不等精度直接觀測(cè)平差6.1測(cè)量誤差的概述一、測(cè)量與觀測(cè)值二、觀測(cè)條件

①人（觀測(cè)者）②儀器（工具）③外界條件。三、觀測(cè)類(lèi)型1、直接觀測(cè)與間接觀測(cè)（直接觀測(cè)值與間接觀測(cè)值）2、獨(dú)立觀測(cè)與非獨(dú)立觀測(cè)3、必要觀測(cè)與多余觀測(cè)4、等精度觀測(cè)與非等精度觀測(cè)四、測(cè)量誤差的來(lái)源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、因裝配/搬運(yùn)等軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、工作態(tài)度、技術(shù)水平、經(jīng)驗(yàn)等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等

它們是引起觀測(cè)誤差的主要來(lái)源，觀測(cè)條件的好壞與觀測(cè)成果的質(zhì)量有著密切的聯(lián)系。

故：測(cè)量誤差是不可避免的！五、幾個(gè)概念1、真值、觀測(cè)值、最或然值

①、真值：任一被觀測(cè)量客觀存在的量的大小，叫做真值。

②、觀測(cè)值：

③、最或然值：2、粗差

概念：超限的誤差，也稱(chēng)錯(cuò)誤。

原因：觀測(cè)者不當(dāng)使用儀器或疏忽大意，如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、聽(tīng)錯(cuò)、算錯(cuò)等或外界條件發(fā)生意外的顯著變化而產(chǎn)生的錯(cuò)誤。剔除掉（應(yīng)該避免），測(cè)量粗差是不允許存在的！措施：操作細(xì)心、多余觀測(cè)。3、誤差（真誤差）（不可避免）表達(dá)式：真誤差Δ＝觀測(cè)值li－真值X

or：真誤差Δ＝真值X－觀測(cè)值li

最或然值誤差：與真誤差的定義相似，就是觀測(cè)值與最或然值之差。4、改正數(shù)Ｖ某量的改正數(shù)等于其最或然值L與直接觀測(cè)值的差：六、測(cè)量誤差分類(lèi)（重點(diǎn)）1.系統(tǒng)誤差

——相同的觀測(cè)條件，誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按規(guī)律性變化特點(diǎn)：具有累積性（3）采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法，如測(cè)角度時(shí)盤(pán)左、盤(pán)觀測(cè)；度盤(pán)配置；水準(zhǔn)測(cè)量前后視距相等等。消除方法：（1）檢校儀器，如經(jīng)緯儀豎軸誤差。（2）加改正數(shù)，如計(jì)算尺長(zhǎng)改正、溫度改正、高差改正等。偶然誤差系統(tǒng)誤差舉例:

在某測(cè)區(qū)，等精度重復(fù)觀測(cè)了358次三角形的內(nèi)角之和，得到358次三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差)

，然后對(duì)i：進(jìn)行分析。

分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。定義：在相同的觀測(cè)條件下，若誤差在數(shù)值和符號(hào)上均不相同或從表面看無(wú)規(guī)律性。如估讀、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差。2.偶然誤差（隨機(jī)誤差或補(bǔ)償誤差）誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表2-1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)

1用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對(duì)稱(chēng)于y軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)的頻率k/n，區(qū)域的總面積等于1。各頂邊中點(diǎn)連成光滑曲線(xiàn)，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實(shí)用意義。

3.偶然誤差的特性(1)有界性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值；(2)漸降性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差大；(3)對(duì)稱(chēng)性：絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等；(4)抵償性：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零：測(cè)量誤差可表示為：規(guī)范要求：消除或減弱系統(tǒng)誤差及粗差的影響，使故有通常提到誤差，認(rèn)為它只包含偶然誤差。提高儀器精度，限制偶然誤差的大小。進(jìn)行多余觀測(cè)。4.減弱偶然誤差的措施求平差值。小結(jié)1、幾個(gè)概念

觀測(cè)條件、（非）等精度觀測(cè)、（真）誤差、改正數(shù)2、系統(tǒng)誤差：定義，特性，消除或減弱的措施3、偶然誤差：定義，特性，減弱的措施6.2評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)

在測(cè)量中，用精確度來(lái)評(píng)價(jià)觀測(cè)成果的優(yōu)劣。精確度：是準(zhǔn)確度與精密度的總稱(chēng)。準(zhǔn)確度：觀測(cè)值與真值的靠近程度，主要取決于系統(tǒng)誤差；精密度：觀測(cè)值的密集（離散）程度，簡(jiǎn)稱(chēng)精度，主要取決于偶然誤差。用此來(lái)評(píng)價(jià)某組觀測(cè)值質(zhì)量的優(yōu)劣。衡量精度高低表示方法誤差分布表數(shù)值頻率直方圖在我國(guó)，評(píng)定精度標(biāo)準(zhǔn)，常用的有中誤差、極限誤差和相對(duì)誤差三種。測(cè)量工作中，用中誤差作為衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)。一、中誤差:上式中，偶然誤差為觀測(cè)值與真值X之差：觀測(cè)次數(shù)n有限時(shí)，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：i=i-

XM2____中誤差平方一般真誤差i不可求，我們只能根據(jù)最或然值求出改正數(shù)式中即白塞爾公式（真值未知，v為改正數(shù)）Vi=L-li式中：例1：試根據(jù)下表數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各組觀測(cè)值的中誤差。解：第一組觀測(cè)值的中誤差：第二組觀測(cè)值的中誤差：，說(shuō)明第一組的誤差分布比較集中，其精度高于第二組。相對(duì)地，第二組比較分散，精度低。說(shuō)明：中誤差越小，觀測(cè)精度越高例2：設(shè)直線(xiàn)AB進(jìn)行5次，其結(jié)果為40.125，40.123，40.124，40.123，40.125m，求AB的中誤差。解：平均值：40.124mV1=-0.001m，V2=0.001m，V3=0，V2=0.001m，V1=-0.001m

定義：由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。二、容許誤差（極限誤差）

測(cè)量中通常取2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差；即Δ容=2m或Δ容=3m。極限誤差的作用：區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限。偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7偶然誤差的絕對(duì)值大于中誤差9?的有14個(gè)，占總數(shù)的35%，絕對(duì)值大于兩倍中誤差18?的只有一個(gè)，占總數(shù)的2.5%，而絕對(duì)值大于三倍中誤差的沒(méi)有出現(xiàn)。中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。注意：

相對(duì)誤差K是中誤差的絕對(duì)值m

與相應(yīng)觀測(cè)值D

之比，通常以分母為1的分式來(lái)表示，稱(chēng)其為相對(duì)（中）誤差。即:三、相對(duì)誤差

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。返回例3：有一段距離，其觀測(cè)值及其中誤差為：345.576m±15mm.試估計(jì)這個(gè)觀測(cè)值的誤差的實(shí)際可能范圍是多少？(提示:取三倍的中誤差作為容許誤差)例4：已知兩段距離的長(zhǎng)度及其中誤差為：100m±5mm,1000m±5mm.

試說(shuō)明這兩段距離的真誤差是否相等？它們的相對(duì)精度是否相等？它們的精度是否相等？參考答案:（-45mm，45mm）參考答案:相等，不相等，不相等思考題：角度觀測(cè)是否用相對(duì)誤差表示？小結(jié)1、m定義，表達(dá)式（注意：真值未知的情況）2、m容定義，意義3、k定義，意義在測(cè)量工作中，有一些測(cè)量值并非直接觀測(cè)得到，而是通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算而得，因此稱(chēng)這些量為觀測(cè)值的函數(shù)。由于觀測(cè)值中含有誤差，使函數(shù)受其影響也含有誤差，此種誤差關(guān)系，稱(chēng)之為誤差傳播。

6.3觀測(cè)值函數(shù)的中誤差—誤差傳播定律誤差傳播律：表述觀測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱(chēng)為誤差傳播定律。用途：當(dāng)已知一些量的中誤差，來(lái)求由這些量構(gòu)成的函數(shù)的中誤差（精度）。（中誤差的定義是求直接觀測(cè)量的精度的）函數(shù)形式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線(xiàn)性函數(shù)一般函數(shù)如：已知觀測(cè)高差的中誤差（精度），問(wèn)由其計(jì)算所得高程的精度？一、線(xiàn)性函數(shù)的誤差傳播定律設(shè)線(xiàn)性函數(shù)為：式中為獨(dú)立的直接觀測(cè)值，為常數(shù)，相應(yīng)的觀測(cè)值的中誤差為。

1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù))

中誤差例5：量得地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度

=168.5mm0.2mm,

計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式求全微分中誤差式特例

2.和差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：

當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：上式可寫(xiě)成：

若m1=m2=m：特例：中誤差式：例6：測(cè)定A、B間的高差，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：設(shè)非線(xiàn)性函數(shù)的一般式為：式中：為獨(dú)立觀測(cè)值；為獨(dú)立觀測(cè)值的中誤差。求函數(shù)的全微分，并用“Δ”替代“d”，得二、一般函數(shù)式中：是函數(shù)F對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)函數(shù)式與觀測(cè)值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線(xiàn)性函數(shù)，其中誤差為：誤差傳播定律的一般形式[例7]已知：測(cè)量斜邊D′=50.00±0.05m，測(cè)得傾角α=15°00′00″±30″求：水平距離mD解：1.函數(shù)式

2.全微分

3.求中誤差

注意：?jiǎn)挝涣烤V要統(tǒng)一？此處要除以ρ的目的是什么？

1.列出觀測(cè)值函數(shù)的表達(dá)式：

2.對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式：式中，是用觀測(cè)值代入求得的值。

求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：小結(jié)：（一）運(yùn)用誤差傳播定律的步驟

3、根據(jù)誤差傳播率計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)中誤差：注意：在誤差傳播定律的推導(dǎo)過(guò)程中，要求觀測(cè)值必須是獨(dú)立觀測(cè)值。（二）誤差傳播定的幾個(gè)主要公式：函數(shù)名稱(chēng)函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線(xiàn)性函數(shù)一般函數(shù)算術(shù)平均值6-4同精度直接觀測(cè)平差除了標(biāo)準(zhǔn)實(shí)體，自然界中的任何單個(gè)未知量的真值都是無(wú)法確定的；只有通過(guò)重復(fù)測(cè)量，才能對(duì)其真值做出可靠的估計(jì)。重復(fù)測(cè)量又會(huì)導(dǎo)致觀測(cè)值間產(chǎn)生矛盾；于是，就需對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，這過(guò)程稱(chēng)為“測(cè)量平差”。測(cè)量平差目的就是對(duì)帶有誤差的觀測(cè)值給予適當(dāng)?shù)奶幚恚郧笃渥羁煽恐?，并評(píng)定其精度。一、求或是值（平均值）在等精度直接觀測(cè)平差中，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是未知量的最或是值，即：改正數(shù)（殘差）：最或是值與觀測(cè)值之差，即改正數(shù)性質(zhì)（用來(lái)做計(jì)算檢核）：二、評(píng)定精度1）觀測(cè)值中誤差上式為等精度觀測(cè)值中用改正數(shù)計(jì)算中誤差的公式，又叫“白塞爾”公式。利用誤差傳播律，可得：或：

由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了倍。

●多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均，是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。但也不能單純以增加觀測(cè)次數(shù)來(lái)提高成果質(zhì)量！2）算術(shù)平均值的中誤差函數(shù)式：例8：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表，求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。次數(shù)觀測(cè)值°′″V″VV備注176

42

49

-416276

42

40

+525376

42

42

+39476

42

46

-11576

42

48

-39平均76

42

45

[V]=0[VV]=6076°42′45″±1.74″例9：對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測(cè)值的中誤差；③算術(shù)平均值的中誤差；④算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差：凡是相對(duì)中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示?，F(xiàn)有三組觀測(cè)值，計(jì)算其最或然值A(chǔ)組：123.34,123.39,123.35B組：123.31,123.30,123.39,123.32C組：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各組的平均值

A組：=?123.3606.5不同精度直接觀測(cè)平差B組：123.333C組：123.356同學(xué)們的成績(jī)計(jì)算各組的平均及其權(quán)

A組：123.360權(quán)PA=3B組：123.333PB=4C組：123.356PC=5=123