高等數(shù)學(xué)A課件：19－導(dǎo)數(shù)應(yīng)用(一)

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)第一講一元微積分的應(yīng)用(一)腳本編寫：教案制作：——函數(shù)的單調(diào)性、極值高等數(shù)學(xué)A（1）第六章一元微積分的應(yīng)用本章學(xué)習(xí)要求：熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點的方法。能運用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。掌握建立與導(dǎo)數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應(yīng)用問題。知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。熟練掌握“微分元素法”，能熟練運用定積分表達和計算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體的壓力等。能利用定積分定義式計算一些極限。第六章一元微積分的應(yīng)用第一、二節(jié)運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用二、函數(shù)的單調(diào)性三、函數(shù)極值四、函數(shù)的最大值、最小值五、函數(shù)的凹凸性一、導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用例1解例2解取銳角例3解例4解

在實際問題中，往往是同時出現(xiàn)幾個變量.變量之間有確定的關(guān)系，并且它們都是另外某一個變量的函數(shù)(例如，都是時間t的函數(shù).)從它們對這另一個變量的變化率之間的關(guān)系出發(fā)，由已知的一個或幾個變量的變化率求出一個變量的未知的變化率，就是所謂的相關(guān)變化率問題.例5解例6解例7解

下面我們運用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微分)來研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：單調(diào)性、凹凸性、極值等，并研究如何作出函數(shù)的圖形.由拉格朗日中值定理的推論我們已經(jīng)知道:二、函數(shù)的單調(diào)性觀察下面的圖形,你能得出什么結(jié)論？綜上所述,可知:在討論函數(shù)的單調(diào)性時，一般先求出函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)等于零和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點,然后按這些點將所討論的區(qū)間分成小區(qū)間,在每個小區(qū)間內(nèi)函數(shù)只有一種單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)是單調(diào)增加還是單調(diào)減少.

提供了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法例1解

列表可使問題明朗化例2證下一步你打算怎么辦?這個式子有點像……？例3證利用函數(shù)處理數(shù)列例4證三、函數(shù)的極值函數(shù)的極值是個局部性的概念.我們已經(jīng)知道的與函數(shù)極值有關(guān)的定理和公式:費馬定理—可微函數(shù)取極值的必要條件函數(shù)的單調(diào)性判別定理和方法泰勒公式—可利用高階導(dǎo)數(shù)定理

費馬PierredeFermat(1601－1665)

費馬，法國數(shù)學(xué)家.出身于一個商人家庭.他的祖父、父親、叔父都從商.他的父親是當?shù)氐牡诙?zhí)政官,經(jīng)辦著一個生意興隆的皮革商店.

費馬畢業(yè)于法國奧爾良大學(xué)，以律師為職.曾任圖盧茲議會會員,享有長袍貴族特權(quán).精通6種語言.業(yè)余愛好數(shù)學(xué)并在數(shù)論、幾何、概率論、微積分等領(lǐng)域內(nèi)作出了創(chuàng)造性的工作.費馬大定理被稱為“會下金蛋的母雞”.極值可疑點首先考察下列函數(shù)的圖形:通過觀察以上的圖形你得到什么結(jié)論？判別函數(shù)的極值點,主要是判別極值可疑點左、右對于可微函數(shù)將歸結(jié)于判別函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號.兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性.(單調(diào)增加)(單調(diào)減少)(單調(diào)減少)(單調(diào)增加)定理證由定理中(1)的條件,得由定理中(2)的條件,得泰勒公式看這一部分此時應(yīng)另找其他方法.什么方法？

高階的泰勒展開式？定理列表討論單調(diào)性,判別極值:例5解極小極小極大自己總結(jié)求極值的步驟例6解怎么辦？例7解首先看看函數(shù)的圖形.由圖形可知:不是函數(shù)的極值點.問題在于如何進行解析描述.我們再看一下泰勒公式：就是說：綜上所述,定理在工程技術(shù)和生產(chǎn)實踐中,常常需要考慮在一定條件下,怎樣才能使用料最少、費用最省,而效率和效益最高等問題.這些問題反映到數(shù)學(xué)上就是最優(yōu)化問題.

優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用價值很大三、函數(shù)的最大、最小值

怎樣求函數(shù)在一個區(qū)間上的最大、最小值呢？回憶以前學(xué)過的知識：取到它的最大值和最小值.取得其最大值和最小值,則這些最值一定是函數(shù)的極值.的最大值和最小值可能在區(qū)間的端點也可能在區(qū)間內(nèi)部取得.溫故而知新求一個連續(xù)函數(shù)在上的最大值和最小值,只要先求出函數(shù)一切極值可疑點(駐點和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點),然后比較極值可疑點的函數(shù)值及區(qū)間端點函數(shù)值,其中最大者就是函數(shù)最小者就是函數(shù)求最值的幾個特殊情況極大(小)值點,則該點就是函數(shù)的最大(小)值點.實際判斷原則計算函數(shù)值:(端點值)例8解

沒有什么新的東西用薄鐵片沖制圓柱形無蓋容器,要求它的容積一定,問應(yīng)如何選擇它的半徑和高度才能使用料最省?設(shè)容積(體積)為V,半徑為r,高為h.

用料最省即指容器的表面積A最小.應(yīng)用題例8解又A

的最小值一定存在,故當要求的容器的容積為A時,選擇半徑

如果不放心,可用二階導(dǎo)數(shù)進行判斷.某出版社出版一種書,印刷x冊所需成本為每冊售價p與假設(shè)書可全部售出,問應(yīng)將價格p

定為多少才能使出版社獲利最大？例9由經(jīng)驗公式,得于是得唯一極值可疑點解即為Q的最大點.

從而應(yīng)將價格p定為此時最大獲利為將一根直徑為

d的圓木鋸成截面為矩形的梁.

問應(yīng)如何選擇矩形截面的高

h和寬b才能使梁的抗彎截面模量W最大？由力學(xué)知識,梁的抗彎截面模量為由右圖可以看出：例10解問題歸結(jié)為求函數(shù)W的最大值：