小學(xué)奧數(shù)614講 數(shù)論綜合一

10/10小學(xué)奧數(shù)614講數(shù)論綜合一

學(xué)科培優(yōu)數(shù)學(xué)

“數(shù)論綜合一”

學(xué)生姓名授課日期

教師姓名授課時長

知識定位

在近幾年的重點中學(xué)小升初分班考試中，數(shù)論題目的分值大都超過了行程問題，占據(jù)了考試內(nèi)容最顯著的地位！數(shù)論題目靈活多變，能較充分考察你思維的開拓性、方法技巧的綜合運用能力、創(chuàng)新及細心程度，易于分開學(xué)生層次。數(shù)論問題按知識體系大體可分為：整除問題、余數(shù)問題、奇偶問題、質(zhì)數(shù)合數(shù)、約數(shù)倍數(shù)，這幾大板塊我們在之前的學(xué)習中已經(jīng)都接觸過了，但它們并不是數(shù)論的全部，細心的你會發(fā)現(xiàn)在數(shù)論這個大家族中還有一些“特別身影”，它們也是幫你解決數(shù)論問題的法寶。比如最大最小問題、關(guān)于取整運算、尾數(shù)問題、二進制應(yīng)用、一些特殊變形問題等。

知識梳理

涉及知識點多、解題過程比較復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問題．

例題精講

【試題來源】

【題目】從1開始由小到大按順序取自然數(shù)，第一次取一個數(shù)，第二次取兩個數(shù)，第三次取三個數(shù)，以后繼續(xù)按照每次取一個、兩個、三個的方式重復(fù)進行，第（）次取的數(shù)之和為573。

【答案】96

【解析】573/3=191所以三個數(shù)分別是190、191、192

因為3次是取6個數(shù)，我們用192÷6=32

那么也就是說，192是32個3次，就是取到192是96次。

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】小明寫自然數(shù)從1到N，所寫下的數(shù)字之和是28035，則N=？

【答案】28035

【解析】解法一

000001002003004005006007008009

010011012013014015016017018019

...

...

990991992993994995996997998999

共有1000個數(shù)字.

個位的1有100個

個位的2有100個

個位的3有100個

...

個位珠9有100個

同理.十位的1、2、3、……9分別有100

百位的1、2、3、……9有100

所以1至999各位數(shù)的和是

（1+2+3+……+9）*100*3=13500

1000到1999的個位、十位、百位數(shù)的和也是（1+2+3+……+9）*100*3=13500千位有1000個1，他們的和是1000。

還有2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位數(shù)字的和是35

全部相加是13500+13500+1000+35=28035

解法二:

（0、1999），（1、1998），（3，1997）……（999，1000）。

這樣配共1000對。每對的和都有1+9+9+9=28

另外2000，2001，2002，2003，2004，2005，2006各位數(shù)字的和是35

所以(1+9+9+9)*1000+35=28035

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】從1到1001的所有自然數(shù)按格式排列，用一個正方形框子框出九個數(shù)，要使這九個數(shù)的和等于（1）1995，（2）2529，（3）1998問能否辦到？若能辦到，請你寫出正方形框里的最大數(shù)和最小數(shù)。

【答案】230,214

【解析】用一個正方形框子框出的9個數(shù)的和必定是框子中間的數(shù)的9倍。

(1)因為1995不是9的倍數(shù)，所以9個數(shù)的和為1995不可能。

(2)2529÷9=281

又281÷7=40……余1即281在所有數(shù)的排列中，它排在左邊第一列上，所以不可能以它為中心構(gòu)成一個9個數(shù)的正方形框。

(3)1998÷9=222222÷7=31……余5

框中最大數(shù)是222+1+7=230

框中最小數(shù)是222-1-7=214

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】如果四個兩位質(zhì)數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d．那么，

(1)a+b的最小可能值是多少?

(2)a+b的最大可能值是多少?

【答案】30,168

【解析】兩位的質(zhì)數(shù)有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．

可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168．

所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168．

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】如果某整數(shù)同時具備如下3條性質(zhì)：

①這個數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)；

②這個數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)；

③這個數(shù)除以9所得的余數(shù)是5．

那么我們稱這個整數(shù)為幸運數(shù)．求出所有的兩位幸運數(shù)．

【答案】14

【解析】條件①也就是這個數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件③，除以9余5，在兩位的偶數(shù)中只有14，32，50，68，86這5個數(shù)滿足條件．

其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個條件都符合的只有14．

所以兩位幸運數(shù)只有14．

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】4

【試題來源】

【題目】圖中兩個圓只有一個公共點A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米．兩只甲蟲同

時從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠?

【答案】小圓上甲蟲爬了4圈時，大圓上甲蟲爬了5個1

2

圓周長，即爬到了過A的直徑另

一點B．這時兩只甲蟲相距最遠．

【解析】圓內(nèi)的任意兩點，以直徑兩端點得距離最遠．如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點，兩甲蟲的距離便最遠．

小圓周長為π×30=307r，大圓周長為48π，一半便是24π，30與24的最小公倍數(shù)時120．120÷30=4．120÷24=5．

所以小圓上甲蟲爬了4圈時，大圓上甲蟲爬了5個1

2

圓周長，即爬到了過A的直徑另一點B．這

時兩只甲蟲相距最遠．

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】當堂例題

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】有8個盒子，各盒內(nèi)分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍．問：甲取走的一盒中有多少塊奶糖?

【答案】31

【解析】我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數(shù)是丁所取糖塊數(shù)的5倍．

八盒糖總塊數(shù)為9+17+24+28+30+31+33+44=216．

從216減去5的倍數(shù)，所得差的個位數(shù)字只能是1或6．

觀察各盒糖的塊數(shù)發(fā)現(xiàn)，沒有個位數(shù)字是6的，只有一個個位數(shù)字是1的數(shù)31．因此甲取走的一盒中有3l塊奶糖．【知識點】數(shù)論綜合一【適用場合】當堂例題【難度系數(shù)】3

習題演練

【試題來源】

【題目】用a，b，c，d，e分別代表五進制中五個互不相同的數(shù)字，如果(ade)5，(adc)，(aad)是由小到大排列的連續(xù)正整數(shù)，那么(cde)所表示的整數(shù)寫成十進制的表示是多少?

【答案】108

【解析】注意(adc)5+(1)5=(aab)5，第二位改變了，也就是說求和過程個位有進位，則b=0，而c=(10)5－(1)5=(4)5，則C=4．

而(ade)5+(1)5=(adc)5，所以e+1=c，則e=3．又d+1=口，所以d=1，a=2．

那么，(cde)5為(413)5=4×52

+1×5+3=108．即(cde)5所表示的整數(shù)寫成十進制的表示是108．

【知識點】數(shù)論綜合一【適用場合】隨堂課后練習【難度系數(shù)】4

【試題來源】

【題目】將自然數(shù)按從小到大的順序排列成螺旋形，2處拐一個彎，在3處拐第二個彎，在

555

5處拐第三個彎…，問拐第20個彎的地方是哪個數(shù)。

【答案】111

【解析】

拐彎的序數(shù)01234567……拐彎處的數(shù)12357101317……下面一列數(shù)中，相鄰兩數(shù)的差是1、1、2、2、3、3、4、4、……第20個拐彎處的數(shù)是1+2×(1+2+……+10)=111

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】隨堂課后練習

【難度系數(shù)】3

【試題來源】

【題目】把連續(xù)奇數(shù)1、3、5、7……，按右邊的方法排列。問：數(shù)1995在哪條射線上？是這射線的第幾個數(shù)？

【答案】250

【解析】1995是第(1995+1)÷2=998個奇數(shù)，因為周期數(shù)是8，998÷8=124……6，所以數(shù)1995在射線C上，且是第124×2+2=250個數(shù)。

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】隨堂課后練習

【難度系數(shù)】4

【試題來源】

【題目】一個正整數(shù)，如果用７進制表示為abc，如果用５進制表示為cba，請用10進制表示這個數(shù).

【答案】見解析

【解析】解：由題意知：0＜a,c≤4,0≤b≤4,設(shè)這個正整數(shù)為n,則

n＝abc＝a×72＋b×7＋c,n=cba=c×52＋b×5＋a

∴49a＋7b＋c＝25c＋5b＋a

48a＋2b－24c＝0b＝12(c－2a)

∴12｜b,

又∵0≤b≤4

∴b＝0,

∴c＝2a

∴當a＝1,c＝2時，n＝51

當a＝2,c＝4時，n＝102

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】隨堂課后練習

【難度系數(shù)】4

【試題來源】

【題目】甲、乙兩個三位數(shù)的乘積是一個五位數(shù)，這個五位數(shù)的后四位是1031。如果甲數(shù)的數(shù)字和是10，乙數(shù)的數(shù)字和是8，那么甲、乙兩數(shù)和是多少？

【答案】360

【解析】方法一：很顯然，這道題的突破口是在個位數(shù)上

乘積的尾數(shù)是1，只有1×1，3×7或者9×9兩種可能，

如果是1×1，根據(jù)1031判斷，甲數(shù)和乙數(shù)的十位為0和3，1和2，4和9，5和8，6和7.

很容易試出這些均不成立。

根據(jù)乙的數(shù)字和是8，判斷只有3×7這種可能

假設(shè)乙的個位數(shù)是7，則只能是107。根據(jù)乘積的尾數(shù)判斷，甲的十位數(shù)應(yīng)該是3。（因為這個數(shù)乘以7的乘積加上個位數(shù)進位2，得3）

所以甲就是433

433×107＝46331不合題意。

所以乙的個位數(shù)只能是3，甲的個位數(shù)只能是7。

所以甲有以下情況，127217307三種情況

根據(jù)上述方法很容易判斷出甲是217，乙是143

方法二：根據(jù)棄九法得知，乘積是3031=31×7×11×13，適當組合可得知兩數(shù)為31×7=217，11×13=143，和為360.

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】隨堂課后練習

【難度系數(shù)】4

【試題來源】

【題目】有43位同學(xué)，他們身上帶的錢數(shù)從8分到5角，錢數(shù)各不相同，每個同學(xué)都把身上全部的錢各自買了畫片。畫邊有兩種：3分錢一張的，和5非錢一張的。每人盡可能多賣5分錢一張的畫片。問，他們能買的3分錢畫片的總數(shù)是多少張？

【答案】84

【解析】43人的錢從8分到5角各不相同,說明這些人身上的錢分別是:

8分,9分,...,49分,50分.

下面分情況討論:

8=3*1+5*1(意思是3分錢一張,5分前一張)

9=3*3+5*0

10=3*0+5*2

11=3*2+5*1

12=3*4+5*0

13=8+5=3*1+5*2.

50=3*0+5*10.

說明:

當錢除以5余1的時候,可以買2張3分的;有8個人.

當錢除以5余2的時候,可以買4張3分的;有8個人.

當錢除以5余3的時候,可以買1張3分的;有9個人.

當錢除以5余4的時候,可以買3張3分的;有9個人.

當錢除以5整除的時候,可以買0張3分的.有9個人.

所以一共買了

2*8+4*8+1*9+3*9=84張3分的.

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】隨堂課后練習

【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】對于由1~5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1，那么可以進行如下

的一次置換操作：記首位數(shù)字為k，則將數(shù)字k與第k位上的數(shù)字對換．例如，24513

可以進行兩次置換：24513→42513→12543．可以進行4次置換的五位數(shù)有多少個？

【答案】24

【解析】經(jīng)過4次置換后最后結(jié)果必為12345，所以可進行4次置換的五位數(shù)可由12345進行4次首位與其他位的調(diào)換得到，規(guī)則為從首位上調(diào)換出的數(shù)不能再與首位調(diào)換，那么這樣的調(diào)換方法共有4×3×2×1＝24種，即可進行4次置換的五位數(shù)有24個。

【知識點】數(shù)論綜合一

【適用場合】隨堂課后練習

【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】有4個不同的數(shù)字共可組成18個不同的4位數(shù)。將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個是一個完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù)。那么這18個數(shù)的平均數(shù)是多少？

【答案】6444

【解析】如果是4個非0數(shù)字則應(yīng)該能組成4×3×2×1=24個不同的4位數(shù)，而實際只能組成18個不同的4位數(shù)，則4個數(shù)字中必然有0。因為完全平方數(shù)的個位數(shù)只能為1，4，5，6，9（0必須成對出現(xiàn)），所以剩下的3個數(shù)字必有兩個是這5個中的2個，若最小的數(shù)字是4，5，6的話，只有9604和4096為完全平方數(shù)，但4096并不是這4個數(shù)字所組成的最小的四位數(shù)，不滿足題意，所以最小數(shù)字為1，此時1089和9801這兩個四位數(shù)滿足題意。因此這4個數(shù)字為0、1、8、9，所能組成的四位數(shù)千位為1、8、9的均有6個，所以這18個四位數(shù)千位上之和為1×6+8×6+9×6=108,同理，個位百位十位上的數(shù)字之和均為72，所以這18個四位數(shù)之和為108×1000+72×100+72×10+72=115992，其平均數(shù)為6444

【知識點】數(shù)論綜合一【適用場合】隨堂課后練習【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】有些三位數(shù)，如果它本身增加3，那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字的和就減少到原來三位數(shù)的13

．求所有這樣的三位數(shù)．

【答案】207，117或108．

【解析】設(shè)這個三位數(shù)為abc，數(shù)字和為a+b+c，如果沒有進位，那么abc3ab(c3)+=+，顯然數(shù)字和增加了3，不滿足，所以一定有進位，

則abc+3=a(b1)(c310)++-，數(shù)字和為0+(b+1)+(c+3－10)=1(abc)3

++，則a+b+c=9，而c+3必須有進位，所以c只能為7，8，9．一一驗，如下表：

c的值789a+b的值210a的值211b的值

010abc的值

207

117

108

驗證當十位進位及十位、個位均進位時不滿足．所以，原來的三位數(shù)為207，117或108．【知識點】數(shù)論綜合一【適用場合】隨堂課后練習【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】有1、A、B、C四個整數(shù)，滿足A＋B＋C＝2001，而且1＜A＜B＜C。這四個整數(shù)兩兩求和得到六個和，把這六個數(shù)按從大到小排列起來，恰好構(gòu)成一個等差數(shù)列。請問：A、B、C分別是多少？

【答案】445、667、889

【解析】滿足條件的情況有兩種：

①111ABCABACBC+<+<+<+<+<+；②111ABABCACBC+<+<+<+<+<+；先看①：

1

1ACABAC-+<+<+差，1

111BABCAB-+<+<+<+差，1

11CBCABACBC-+<+<+<+<+差，

所以有(1):(1):(1)2:3:4ABC=，又2001ABC++=，

所以(1)(1)(1)200131998ABC-+-+-=-=，得445A=，667B=，889C=；再看②

1

1ACAC-+<+差，1

1BCBC-+<+差，1

11CBABCACBC-+<+<+<+<+差，所以有

(1):(1):(1)1:2:4ABC=，又2001ABC++=，

所以(1)(1)(1)200131998ABC-+-+-=-=，得3

7

A=，不符合題意；所以445A=，667

B=，889

C=?！局R點】數(shù)論綜合一【適用場合】隨堂課后練習【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】在一個國家里，國王要建N個城市，在城市之間建N-1條道路，使得從每個城市都能到達另一個城市(每條道路連接兩個城市，道路不相交，不穿過其它城市)且一個城市到另一個城市最短路線分別為1,2,3,…，2

)

1(-NN。若(1)N＝6；(2)N＝2006；國王的要求能否辦到?

【答案】不能

【解析】（1）N=6時，可以按如下的方法設(shè)計道路。

設(shè)A,B,C,D,E,F為六個城市，從C引出三條道路，分別通向A,B,D，長度分別為1，2，5。從再引出兩條道路，分別通向E,F，長度分別為4，8。此時即可滿足要求，所以N=6時，國王的要求可以辦到。

（2）根據(jù)在N個城市之間建N-1條道路可知，從一個城市到另一個城市只有唯一的路線。把城市染成紅色，若城市與之間的路程為偶數(shù)，則也染上紅色，否則染上黃色，這樣可以把所有城市均染成紅色或黃色，并且兩城市同色時，它們之間的路程為偶數(shù)，否則它們之間的路程為奇數(shù)。

設(shè)有個城市染成紅色，y個城市染成黃色，則由一個紅色城市與一個黃色城市配對可配成xy對，所以在所有的路程中有xy個奇數(shù)。若

2)1(-NN是偶數(shù)，則1,2,3，…，2)1(-NN中有一半是奇數(shù)，所以有xy=4

1

N(N-1)。又因為x+y=N，則N=N2

-4xy=(x+y)2

-4xy=(x-y)2

。若

2)1(-NN是奇數(shù)，則1,2,3，…，2)1(-NN中有21[2

1

N(N-1)+1]個奇數(shù)，所以有xy=DABABx

21[21N(N-1)+1]=41N(N-1)+2

1。又因為x+y=N，則N=N2-4xy+2=(x+y)2-4xy=(x-y)2

+2，即N-2=(x-y)2

。

因此，如果題目中的要求可以實現(xiàn)，則N或N-2是完全平方數(shù)，由于2006和2004都不是完全平方數(shù)，所以國王的要求不能辦到?！局R點】數(shù)論綜合一【適用場合】隨堂課后練習【難度系數(shù)】5

【試題來源】

【題目】有13個不同自然數(shù)，它們的和是100．問其中偶數(shù)最多有多少個?最少有多少個?

【答案】7、5

【解析】13個整數(shù)的和為100，即偶數(shù)，那么奇數(shù)個數(shù)一定為偶數(shù)個，則奇數(shù)最少為2個，最多為12個；對應(yīng)的偶數(shù)最多有11個，最少有1個．但是我們必須驗證看是否有實例符合．

當有11個不同的偶數(shù)，2個不同的奇數(shù)時，11個不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22＝132，而2個不