高三二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練（26）（圓錐曲線1）

江蘇省連云港市2008屆高三二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練26.圓錐曲線（1）贛榆高級中學(xué)閆振仁王立軍一、填空題1．橢圓的一個焦點(diǎn)是，那么實(shí)數(shù)的值為．2．雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則．3．已知F1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍是．4．以雙曲線的一條準(zhǔn)線為準(zhǔn)線，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線方程是．5．雙曲線上的點(diǎn)P到它的右準(zhǔn)線的距離為，那么點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離為． 6．若AB是過二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點(diǎn)，且AM、BM均與坐標(biāo)軸不平行，則對于橢圓有．類似地，對于雙曲線有=．7．已知，橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時，的取值范圍為．8．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)點(diǎn)，使有最小值時，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．9．在雙曲線的一支上有不同的三點(diǎn)與焦點(diǎn)F間的距離成等差數(shù)列，則等于．10．已知點(diǎn)及拋物線上一動點(diǎn)，則的最小值是．11．已知橢圓的方程為，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值與最小值分別是．xyFy2=2pxO12．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，而B、C是雙曲線右支上兩點(diǎn)，若三角形xyFy2=2pxO13．如圖1，已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F，且兩條曲線的交點(diǎn)連線也過焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為．14．拋物線的焦點(diǎn)為F,一傾斜角為的直線過焦點(diǎn)F交拋物線于A、B兩點(diǎn),且，則=____________．二、解答題15．橢圓的兩個焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2,，|PF1|=,|PF2|=．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線過圓的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線的方程．16．已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時，求；（Ⅱ）若點(diǎn)是軸上一個動點(diǎn)，研究的取值范圍與的取值范圍的關(guān)系，寫出你得到的結(jié)論，并加以證明．17．（Ⅰ）已知橢圓C的方程是，設(shè)斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M.證明：當(dāng)直線l平行移動時，動點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上；（Ⅱ）利用（I）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心，18．曲線C是點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與到直線x=3距離之比為的軌跡．（Ⅰ）求曲線C的方程（Ⅱ）設(shè)為曲線上的一點(diǎn)，為曲線的兩個焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與曲線交于兩點(diǎn)，求的最大值．19．已知在平面直角坐標(biāo)中，向量的面積為，且，已知P點(diǎn)在第一象限內(nèi)．（Ⅰ）設(shè)求向量與的夾角的取取值范圍；（Ⅱ）設(shè)以原點(diǎn)O為中心，對稱軸在坐標(biāo)軸上，以F為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，且當(dāng)取最小值時，求橢圓方程．20．橢圓的兩個焦點(diǎn)為、，M是橢圓上一點(diǎn)，且滿足．（Ⅰ）求離心率的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)離心率取得最小值時，點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為．①求此時橢圓G的方程；②設(shè)斜率為的直線l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問：A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．26.圓錐曲線（1）命題：閆振仁審核：王立軍一、填空題：1．橢圓的一個焦點(diǎn)是，那么實(shí)數(shù)的值為．【答案】；【提示】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以2．雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則．【答案】；【提示】因?yàn)榍€為雙曲線，以標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以有3．已知F1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍是．【答案】．【提示】本題有多種解法，其中比較簡單的方法是數(shù)形結(jié)合，借助圖形可以看出，當(dāng)位于短軸頂點(diǎn)時，∠F1PF2最大，設(shè)橢圓方程，為短軸一個頂點(diǎn)，因此若，必有，由對稱性知為等腰三角形，因此有，解得．4．以雙曲線的一條準(zhǔn)線為準(zhǔn)線，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線方程是．【答案】5．雙曲線上的點(diǎn)P到它的右準(zhǔn)線的距離為，那么點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離為． 【答案】4或20．【提示】運(yùn)用第二定義先把點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點(diǎn)的距離，再運(yùn)用第一定義求解，即，又，解得或6．若AB是過二次曲線中心的任一條弦，M是二次曲線上異于A、B的任一點(diǎn)，且AM、BM均與坐標(biāo)軸不平行，則對于橢圓有．類似地，對于雙曲線有=．【答案】7．已知，橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時，的取值范圍為．【答案】．【提示】實(shí)際上即為求滿足為銳角得點(diǎn)得橫坐標(biāo)得取值范圍。先考慮分界點(diǎn)，即先求出滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)為，列出關(guān)系式：解得．8．設(shè)點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)點(diǎn)，使有最小值時，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【答案】【提示】因?yàn)殡p曲線的離心率，所以即為到右準(zhǔn)線的距離，數(shù)形結(jié)合知的縱坐標(biāo)為2且在雙曲線的右支上．9．在雙曲線的一支上有不同的三點(diǎn)與焦點(diǎn)F間的距離成等差數(shù)列，則等于．【答案】12.【提示】運(yùn)用圓錐曲線的第二定義可知，三點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，進(jìn)而三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列，所以有.10．已知點(diǎn)及拋物線上一動點(diǎn)，則的最小值是．【答案】211．已知橢圓的方程為，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值與最小值分別是．【答案】和．xyoF1F2AxyoF1F2AP因此有注意到所以有即的最大值和最小值分別為和．12．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，而B、C是雙曲線右支上兩點(diǎn)，若三角形ABC為等邊三角形，則m的取值范圍是．【答案】．【提示】由雙曲線方程得雙曲線在一、三象限的漸近線為，由雙曲線的對稱性知三角形ABC為等邊三角形，則關(guān)于軸對稱，，因此有，解得．xyFy2=2pxxyFy2=2pxO的右焦點(diǎn)F，且兩條曲線的交點(diǎn)連線也過焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為．13．【答案】．【提示】研究橢圓與拋物線在第一象限得交點(diǎn)，對于橢圓來說，坐標(biāo)為，對于拋物線來說，坐標(biāo)為，所以有，又，聯(lián)立解得．14．拋物線的焦點(diǎn)為F,一傾斜角為的直線過焦點(diǎn)F交拋物線于A、B兩點(diǎn),且，則=____________．14．【答案】；【提示】設(shè)兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，數(shù)形結(jié)合可得．二、解答題：15．橢圓的兩個焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2,，|PF1|=,|PF2|=．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線過圓的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線的方程．【解析】（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，。在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為，由圓的方程為得圓心M的坐標(biāo)為，從而可設(shè)直線l的方程為，代入橢圓C的方程得，因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對稱，所以，解得，所以直線l的方程為即（經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意）．【方法探究】（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）已知圓的方程為，所以圓心M的坐標(biāo)為．設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為由題意且①及②；由①－②得 ③因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，所以，，代入③得＝，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為即（經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意）16．已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時，求；（Ⅱ）若點(diǎn)是軸上一個動點(diǎn)，研究的取值范圍與的取值范圍的關(guān)系，寫出你得到的結(jié)論，并加以證明．【解析】向量的數(shù)量積要通過坐標(biāo)運(yùn)算求解，角的變化又可以通過向量的數(shù)量積符號進(jìn)行判斷，而研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時不能忘記直線斜率不存在的情況。（Ⅰ）若直線垂直于軸，則的方程為，于是，，；若直線不垂直于軸，設(shè)的方程為（），與拋物線方程聯(lián)立得①，設(shè)，，則，是方程①的兩個解，于是，若將直線方程與拋物線方程聯(lián)立并消去，得②，則，是方程②的解，于是，所以．當(dāng)時，．（Ⅱ）解：結(jié)論是：過軸上一動點(diǎn)（）作直線與拋物線（）相交于、兩點(diǎn)，那么，當(dāng)或時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．證明：由（1）知，所以，當(dāng)，即或時，；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．【規(guī)律小結(jié)】本題是對拋物線性質(zhì)的進(jìn)一步研究，通過上面解題過程可以發(fā)現(xiàn)：（1）直線過拋物線焦點(diǎn)時，有；（2）直線過時，有，反之亦然。17．（Ⅰ）已知橢圓C的方程是，設(shè)斜率為的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M.證明：當(dāng)直線平行移動時，動點(diǎn)在一條過原點(diǎn)的定直線上；（Ⅱ）利用（I）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心.【解析】第（1）問難度不大，解決的方法是處理直線與圓錐曲線問題的常規(guī)方法；兩個問題組合在一起就是“提出問題—問題探究—數(shù)學(xué)運(yùn)用”，較好的體現(xiàn)了新課程的理念。（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，與橢圓的交點(diǎn),，則有，解得，∵，∴，即.則，∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為.ABDCMNA1B1C1DABDCMNA1B1C1D1M1N1O（Ⅱ）如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于B和C、D，并分別取AB、CD的中點(diǎn)M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A1、B1和C1、D1，并分別取A1B1、C1D1的中點(diǎn)M1、N1，連接直線M1N1，那么直線MN和M1N1的交點(diǎn)即為橢圓中心．【規(guī)律小結(jié)】本題的實(shí)質(zhì)即為下面的結(jié)論，并且在雙曲線中也有類似的性質(zhì)（1）直線與橢圓（）交于兩點(diǎn)（圖4），設(shè)中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有（其中為離心率）。（2）直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有（其中為離心率）．18．曲線C是點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與到直線x=3距離之比為的軌跡．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)為曲線上的一點(diǎn)，為曲線的兩個焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與曲線交于兩點(diǎn)，求的最大值．【解析】對于第（1）問，很明顯軌跡是橢圓，但是否為標(biāo)準(zhǔn)方程并不明了,故用“直接法”求方程。第（2）問若利用橢圓的焦半徑公式｜PF1｜＝,｜PF2｜=帶入，可以簡化求解過程，而研究直線與圓錐曲線的關(guān)系時要注意到直線斜率不存在的情況。（Ⅰ）設(shè)曲線上任一點(diǎn)，則由題意得：化簡得：曲線方程為（Ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時，此時，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為點(diǎn)A，B的坐標(biāo)是方程組的解，從而有由韋達(dá)定理：又橢圓的離心率，由橢圓的左焦半徑公式得綜上，的最大值是．19．已知在平面直角坐標(biāo)中，向量的面積為，且，已知P點(diǎn)在第一象限內(nèi)．（Ⅰ）設(shè)求向量與的夾角的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)以原點(diǎn)為中心，對稱軸在坐標(biāo)軸上，以為右焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且當(dāng)取最小值時，求橢圓方程．【解析】（Ⅰ）由得得，，又，故夾角的取值范圍為．（Ⅱ）設(shè)則由（Ⅰ）知又，，得當(dāng)且僅當(dāng)，即c=2時，，此時、故所求橢圓方程為20．橢圓的兩個焦點(diǎn)為、，M是橢圓上一點(diǎn)，且滿足（Ⅰ）求離心率的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)離心率取得最小值時，點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為．①求此時橢圓G的方程；②設(shè)斜率為的直線l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問：A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，由得，即