武漢大學20192020第一學期高等數學B1期末試題A

武漢大學2019-2020第一學期高等數學B1期末試題A1、limn11（6分）求極限n.n22、（8分）求極限limx2sinxx+xx21x.3、（10分）設隱函數y(x)知足y(1)1，由方程arctanxlnx2y21ln2確立，y241)計算yx1,y;x1函數y(x)在x1處能否取極值，假如，是極大值仍是極小值？4、（8分）計算不定積分2xdx.(x21)(x1)xett3dy5、（10分）已知曲線sint，求以及t0對應的點處此曲線的切線方程.ycost3dxt06、（9分）計算拋物線yx(2x)與x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉一周而成的立體體積.7、（9分）已知以下常微分方程y4y5yf(x)有特解y*ex，求此方程的通解.8、（7分）設可微函數yf(x)知足f(x)2xtf(t)dtex2，求函數f(x).09、（10分）設f(x)x42kx36x2axb，此中k,a,b為常數：1)討論曲線yf(x)的凸性；2)證明：當k[2,2]時，對隨意t,s有f(t)f(s)2fts.210、（7分）計算失態(tài)積分110dx.xx211、（5分）計算定積分1x2ln(x1x2)dx.11x212、（6分）1）已知f(x)ln(1x4)，計算f(2020)(0).2）已知g(x)ln(1xx2x3)，計算g(2020)(0).13、（5分）設函數fx,g(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1)內fx可導，且f(0)f(1)0.證明：最少存在一點(0,1)使得f()g( )f( )0.武漢大學2019-2020第一學期高等數學B1期末試題A解答1、（6分）求極限limn11.nn21解：limn1n2n1ln26分1limnnln2nn2n2limnn2、（8分）求極限limx2xx21sinx.x+x解：lim22sinx=lim2x2104分xx1xxx+xx+x=limx1lim1x11=8分xx2xx21x1x11x223、（10分）設隱函數y(x)知足y(1)1，由方程arctanxlnx2y21ln2確立，y241)計算yx1,y;x1函數y(x)在x1處能否取極值，假如，是極大值仍是極小值？解：1)對方程兩邊求導得yxy12x2yyxyy14分1(yx)2y22x2y2x2y2整理解得：yyx0x1=x(x,y)6分y(1,1)再次求導可得令y(y1)(yx)(yx)(y1)18分x1(yx)2x1212)由yx10,yx10可知x1為函數的極值點，取極大值y(1)=1.10分24、（8分）計算不定積分2xdx.(x21)(x2x1)11dxx1dxx1解：(x21)(x1)dx4分x21x1x21dxx1x1dx1dxx1dx1x2x211ln(x21)arctanxln(x1)C8分2xett3dy以及t0對應的點處此曲線的切線方程.5、（10分）已知曲線cost3sint，求dxt0y解：由dxet3t2,dy3t2sint3cost可得：dtdtdydydx3t2sint3cost1.dxt0dtdtt0et3t2t0因此，t0對應的點處此曲線的切線方程為：yx.(1,1)6、（9分）計算拋物線yx(2x)與x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉一周而成的立體體積.解：明顯拋物線yx(2x)與x軸的焦點為(0,0)與(2,0)，因此所求體積為：V22(x)dx2x2(2x)2dx0y0532(x44x34x2)dxx44x)2(x169分0530157、（9分）已知以下常微分方程y4y5yf(x)有特解y*ex，求此方程的通解.解：該方程為常系數線性微分方程，其特點方程為：2450，有特點根：=2i.因此，對應齊次方程的通解為：Ye2x(C1cosxC2sinx)因為非齊次方程已有特解y*ex，因此原方程的通解為：ye2x(C1cosxC2sinx)8、（7分）設可微函數yf(x)知足f(x)2xtf(t)dtex2，求函數f(x).x0解：由等式f(x)2ex2可知f(0)1,對原等式兩邊求導可得：tf(t)dt0f(x)2xf(x)x22xe此等式為一階線性微分方程，由其求解公式可得：f(x)e2xdxe2xdx2C(2xex)dxx2ex2x2Cx2x2Ce2xedxe由f(0)1可知C，即有f(x)x221).1e(x9、（10分）設f(x)x42kx36x2axb，此中k,a,b為常數：1)判斷曲線yf(x)的凸性；2)證明：當k[2,2]時，對隨意t,s有f(t)f(s)2fts.2解：1)f(x)4x36kx212xa,f(x)12x212kx12,a)當k24時，f(x)0有根xkk24,xkk24,1222在區(qū)間(,x1)及區(qū)間(x2,)內f(x)0，因此在區(qū)間(,x1]及區(qū)間[x2,下凸；在區(qū)間(x1,x2)內f(x)0，因此在區(qū)間[x1,x2]上yf(x)上凸.

分分分分分分分ex.9分分分分分)上yf(x)b)當k24時，f(x)0，因此在區(qū)間(,)上yf(x)下凸.8分2)因為當k[2,2]時，在區(qū)間(,)上yf(x)下凸，由下凸的定義可知：f(t)2f(s)ft2s，進而要證明的不等式建立.10分1110、（7分）計算失態(tài)積分x2dx.0x解：1111dxdx0x201(x12x42)arcsin(2x1)1021x2ln(x1x2)11、（5分）計算定積分dx.11x2

11d(2x1)4分01(2x1)27分2解：簡單考證ln(x1x2)為奇函數，因此1ln(x11x2)dx03分1x21x2ln(x12)1x2111因此，x22dx202dx201xdx202dx11x1x1x(x1x2ln(x1x2))|102ln(12)5分12、（6分）1）已知f(x)ln(1x4)，計算f(2020)(0).2）已知g(x)ln(1xx2x3)，計算g(2020)(0).解：由麥克勞林公式可知，f(0)f(0)f(n)(0)f(x)f(0)1!xx2xno(xn).2分2!n!另一方面，利用ln(1u)u1u2(1)k11uko(uk)可得21x8kln(1x4)x41x4ko(x4k).2k比較x2020的系數可得：f(2020)(0)1，即得f(2020)(0)42019!.4分2020!5052）因為g(x)ln(1xx2x3)ln(1x4)ln(1x)，因此g(2020)(0)f(2020)(0)2019!32019!6分13、（5分）設函數fx,g(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1)內fx可導，且f(0)f(1)0.證明：最少存在一點(0,1)使得f()g( )f( )0.證明：因為g(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，因此g(x)在該區(qū)間上存在原函數G(