安徽省北京師范大學(xué)附中2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題Word版含答案

2022-2023高二數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知空間向量ab2,1,0，則a等于（ ）2 B.2 C.3,1,2 D.5,5,2x2雙曲線

y2

1的焦距是（ ）m212 4m2A.2 2

B.8 C.4 D.4 2若圓x2y22kx40關(guān)于直線2xy30對稱，則k等于（ ）32

32

C.3 D.-3ABCDABC

ABaADbAAcMA

的中點(diǎn)，點(diǎn)11 1 1

1 1 1N是CA1

上的點(diǎn)，且CN:NA1

1:4.用a，b，c表示向量MN的結(jié)果是（ ）1 1 1 4A.abc B.a b c21a1

3b c

5 54a4

54b c415 10 5 5 10 515.過點(diǎn)P2,4作圓C：x22y2

25的切線l，直線max3y0與切線l平行，則切線l與直線m間的距離為（ ）8 12A.4 B.2 C.5 D.52已知橢圓Cx2y22

1F1

，F(xiàn)，P是橢圓C上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）2PF1

PF 22△PF

面積的最大值是21 2262橢圓C的離心率為262F

為直徑的圓與直線xy

0相切1 1 y2

2px焦點(diǎn)FBAx,

x,

yy

（ ）A.-4 B.4 C.4p D.px2

1 1 2 2 xx12 已知雙曲線C4

y21，F(xiàn)1

FP2

x,y0 0

為雙曲線C上一點(diǎn)，且位于第一象限，若△PFF

的取值范圍為（ ）1 2 052 5 52 5

5 15

2 51 2 55

,

5

,

C. ,

D.2, 5 二、多選題

5 2 PF2PF22F1

，F(xiàn)2

，動點(diǎn)P到直線x2的距離為d，

，則（ ）d 21A.點(diǎn)P的軌跡是橢圓 B.點(diǎn)P的軌跡曲線的離心率等于2C.P

x y21

D.△PF

的周長為定值4222 1 22210.已知點(diǎn)A1,0，B1,0均在圓C：x32y32A.實(shí)數(shù)r的取值范圍是13

r20外，則下列表述正確的有（ ）B.AB2C.AB與圓C不可能相切2D.若圓C上存在唯一點(diǎn)P滿足APBP，則r的值是3 123在長方體ABCDABCD中，AB2 ，ADAA2，P、Q、R分別是AB、BB、AC上311 1 1 1 1 1的動點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）P，存在點(diǎn)QDPCQ1對于任意給定的點(diǎn)QRDRCQ1ARACARDR1 1

3ARDR∥BDC1 1 1 1下列說法正確的是（ ）x2橢圓a2

y21ab0上任意一點(diǎn)（非左右頂點(diǎn)）與左右頂點(diǎn)連線的斜率乘積為b2b2 a2x2 y2雙曲線a2 b2

1a0,b0右支和右焦點(diǎn)所形成的弦中最短的弦長為2b2ay2

2

p

x,y，Bx,

AB經(jīng)過焦點(diǎn)的充要條件是xxp21 1 2 2

12 4若直線ly2三、填空題

2pxp0只有一個公共點(diǎn)，則直線與該拋物線相切x2已知橢圓C： y24

1F1

F2

且與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于點(diǎn)M，N，則△MNF的周長.2在圓x22y29上有且僅有三個點(diǎn)到直線3x4ya0的距離為2，則a的值為 .一條光線從點(diǎn)2,射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓x32y21相切，則反射光線所在的直線方程.F

x2 y2分別為雙曲線

1a0,b0為雙曲線的左頂點(diǎn)，以F

為直徑1 2 a2 b2 1 2的圓交雙曲線的某條漸近線于兩點(diǎn)，且滿足MAN120，則該雙曲線的離心率.四、解答題過點(diǎn)M作斜率為1的直線與橢圓Cx2y21ab0兩點(diǎn)，若M是線段AB2的中點(diǎn)，求橢圓C的離心率.

a2 b2ABCDABC

AB2BCCC

1，E是CD中點(diǎn).11 1 1 1BC1

和DE所成角的大??；1BEAD1 119.（1）求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；x2（2）求與雙曲線

y2

1有共同的漸近線，且過點(diǎn)3的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方.9 16ABCAB

ABCABACABAC2

4，M1 1 1 1是側(cè)棱CC1

上一點(diǎn)，設(shè)MCh.BM1

h的值；若h2BA1

與平面ABM已知拋物線y22pxp0的焦點(diǎn)為A4,m在拋物線C12

O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.求拋物線C的方程；直線lykx1與拋物線C交于兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓經(jīng)過O點(diǎn)，求直線l已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓x2y21y軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限且為圓O外一點(diǎn)，直線分別交圓O于點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)R.若直線BD的傾斜角為60°，AC 1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；MQ過P作圓O的兩條切線分別交x軸于點(diǎn)試問 是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，NR說明理由.2022-2023高二數(shù)學(xué)試題參考答案A【解析】【分析】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.任意空間向量都可以用三維有序?qū)崝?shù)組表示，直接利用空間向量的加減運(yùn)算法則求解即可.【解答】解：∵空間向量ab2,1,0，a22.故選：A.B【解析】【分析】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦距，屬于容易題.求出c的值，進(jìn)而求出焦距.【解答】解：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，16焦距2c2 m2124m22 8，16故選：B.【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是判斷出直線過圓心，屬于容易題.由題意，直線2xy30過圓心，求出圓心坐標(biāo)，將之代入直線的方程，解方程求出參數(shù)k【解答】解：圓x2y22kx40可變?yōu)閤k2y2k24，故圓心的坐標(biāo)是k,0x2y22kx40關(guān)于直線2xy30對稱，即直線2xy30過圓心，2k30，解得k3，2故選：B.【解析】【分析】本題考查了空間向量及其線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.在△AMN中，由向量加法的三角形法則知MN

AN，用b

AN

4AC，再用1 1 1

1 1 5 1abc1

即可求解.【解答】解：連接MN ，在△AMN中，MNMAAN，1 1 1AD AD 1MA

MA

1 1 b，1 1

2 2 2∵點(diǎn)N是CA1

上的點(diǎn)，且CN:NA1

1:4.4 4 4

4 ∴AN AC AAABAD AAABAD cab，1 5 1 5 1 11 1 1 5 1 51 4 4 3 4∴MNMAAN b cab a b c，1 1

5 5 10 5故選：D.5.【答案】A【解析】【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，平行線間的距離公式，兩條直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.P在圓C上，求出直線CP的斜率，確定出切線l的斜率，求出l的方程，根據(jù)直線m與直線l用平行線的距離公式求出lm【解答】P42

16925，左邊=右邊，即P在圓C上，41∵直線CP的斜率為

3，22 44∴切線l的斜率為，即直線ly44

4x2，3 34x3y200，max3y0與直線l平行，∴a

4，即a4，3 3m方程為4x3y0，020020242則直線l與 的距離為 .故選A.6.【答案】D【解析】【分析】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.利用橢圓的定義判斷A；三角形的面積的最大值判斷B；求解離心率判斷C；利用點(diǎn)到直線的距離與圓的半徑比較即可判斷D.【解答】2解：橢圓x2y22

1的焦點(diǎn)在ya

，所以PF212

PF 2222

，故A錯誤；a2a2b2212a212

b1c

1，則△PF

面積的最大值：

2b2211，故B錯誤；橢圓的離心率e

c 1 22a 222

，故C錯誤；2原點(diǎn)Oxy2

0的距離為

1F

為直徑的圓與直線xy

0相切，22222故D正確.故本題選D.7.【答案】A2【解析】【分析】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，屬于中檔題.AB的方程為myx2可得出.

，與拋物線方程聯(lián)立，化為y22pmyp2

0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即【解答】解：設(shè)直線AB的方程為myxp，2設(shè)Ax,y，Bx,y，1 1 2 2myxp聯(lián)立 2，y22pxxy22pmyp20，yy12

p2，yy1 2

2pm， p p mp

p2所以xx my my m2yy

yy 12

1 2

2 2

12 2 1 2 4mp 2 pp2m2 2mp mp 2 p2 4 4yy所以12

p2

4，xx p2124故選A.C【解析】【分析】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.PPF

PF

2x

，由F

為銳角，得51 2 21 0 1 25PF

01 2【解答】解：由雙曲線C：

y21F24 2

5,0，F(xiàn)2

5,0，P位于第一象限，∴PF，

恒為銳角，1 2又△PF

為銳角三角形，∴PFF

，F(xiàn)

均為銳角.1 2 21 1 2由PFF21

為銳角，得2x ，5052 1 0∴y2x 10, 00 4 4∵y 0，∴y0,1， 20 0 2由FPF

PFPF

0，51∴51

2x,y0

115x0

2,y0

0，x2y250，0 020又x y2204 0

1，∴44y0

y0

50y20

1y5 0

0，∴y .50 5551502綜上所述，y , .025 故選：C.AC【解析】【分析】本題考查軌跡方程的求法，橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.【解答】F1

F2

xx2y22x

，動點(diǎn)P到直線x2的距離為d， ，PF22d PF2222P的坐標(biāo)為

x,y

，可得： ，2Px22

y21，所以P的軌跡是橢圓，所以A，C正確；2離心率為：22

，所以B不正確；△PF

2a2c22

，所以D不正確；21 22故選：AC.ABD【解析】【分析】本題考查點(diǎn)與圓、直線與圓位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.由B均在圓外列關(guān)于r的不等式組，求得r的范圍判斷A；直接求出AB 判斷B；由r的范圍及圓心坐標(biāo)判斷C；由題意可得，點(diǎn)P在以線段AB為直徑的圓上，求出以ABx2y21，結(jié)合點(diǎn)P在圓：x32y3

r20x2y21CP為切點(diǎn)，再由圓心距與半徑的關(guān)系列式求解rD.【解答】解：∵點(diǎn)A1,0，B1,0均在圓C：x32y32132032r2

r2r0外，13∴1320313r0

r2 ，解得0r

，故A正確；2，故B正確；13ABy0r13

，∴當(dāng)r3AB與圓C相切，與實(shí)際矛盾，故C錯誤；∵APBP，∴點(diǎn)P在以線段AB為直徑的圓上，A1,0BPx2y2

1上，又∵點(diǎn)P在圓C：x32y32r2r0上，A1,0B均在圓Cx2y2

1與圓CP為切點(diǎn)，30302302

，即r3

1，故D2故答案選：ABD.2【解析】【分析】本題考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中的線面平行以及線線垂直，屬于一般題.建立空間直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出P，Q，R的坐標(biāo)，利用空間向量解決線線垂直，線面平行問題.【解答】解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，DD1

，A2,0,0，A1

2,0,2，C0,2 3,0，C1

0,2 3,2，B2,2 3,0，，B3,2，1 設(shè)P2,,0，a0,2 3，Q2,2 3,b，b0,2 AR

，得到R2,2 ,2，0,.1 1DPa,2，CQ2,0,b，DPCQ4，1 1當(dāng)b2時，DPCQ，A正確；1DR22,2 ,2，DRCQ22b，1取

12時，DRCQ，B正確；2b 1當(dāng)ARAC時則ARAC3,223,2412440解得1，1 1 5 2 2 3 88 2 3 2 4此時ARDR5, 5 ,55, 5 ,5

0，C錯誤； 1 當(dāng)AC3AR時，1

4 2 3 4，則R , ,

4 2 3 2，DR , ,

BD2,2 3,0 ，1 1 3

3 3 3 1 3 3 3DC0,2 3,2，1

BDC

nx,y,z

nBD0 2x2 3y0設(shè)平面

的法向量為

，則 ，即 ，11 nDC1

2 3y2z0取y1，得n 3,1, 3 ，故DRn0，DR平面BDC，1 1 1DR∥

，D正確.1 1故選ABD.AB【解析】【分析】【解答】解：AAa,0B，橢圓上除左右頂點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)Pn，∴k kPA

n n n2 ①，ma ma m2a2Pnm2a2 m2

n2b2

1，b2∴

1 a2

b2代入①，得k k PA

Aa2x2 y2B.設(shè)雙曲線

1FFAx

，Bx,y，a2 b2

1 1 2 2當(dāng)直線AB斜率不存在時，則直線

2b2AB 方程為x c，則AB .AB a當(dāng)直線AB斜率存在時，則直線ABykxc，x2

y21 聯(lián)立a2 b2 ykxc

b2a2k2

x22a2ck2xa2k2c2a2b20，2a2ck2 a2k2c2a2b2xx ，xx ，1 2

b2a2k2 12 b2a2k2由xx 0，得kb或kb，1 2 a axx 0121k2所以1k2

1k2xx1k2xx24xx1 2 121 2 22ab22

k21

2ac2k2

2ac22c2

2b2，a2k2b2

a2k2b2

a2b a k2AB

AB2b2a

.故B正確;對于CABABxx1

，此時x1

x，2xx

p2

，所以xx

pABFp,0.12 4

1 2 2 2 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB方程為ykx2 y22由ykxb，得k2x22y22

0，xx

b2

，且4p28kpb0，12 k2 p2y2

2px

p

且xx ，12 4 b2 所以 ，解得k 或k ，k2 4 p p所以直線AB方程為y2bxb或yx b.p pyxby0x

p，直線AB過焦點(diǎn)p,0；p 2 2 y

xby0x

pAB過點(diǎn)

p,0；p 2 2 所以充分性不成立.必要性：當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)Fp,0時， 2 2ABxmy

py22

2pxx0，y22pmyp2

0yy12

p2，y2y2

yy2 p2則xx 1 2 12

12 4p2

4p2 4y2

2pxp0Ax

，Bx,y

，則弦AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的必要不充分條件xx

p2

1 1 2 2，所以C是不正確的.12 4D.直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線y2故選AB.8【解析】【分析】本題主要考查了橢圓定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【解答】

2pxp0也只有一個公共點(diǎn)，故D解：∵

x y21，242a24，即a2，∴△MNF2

MNNF2

MF2

MF1

MF2

NF1

NF2

2a2a4a8.故答案為：8.-1-11【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題.3x4ya0a【解答】解：圓x22y29的圓心坐標(biāo)為2,0，半徑為3.6a32426a圓心到直線3x4ya6a32426a5∵圓x22y29上有且僅有三個點(diǎn)到直線3x4ya0的距離為，6a∴6a5

1，解得a1a11故答案為-1或-11.15.x2或4x3y170【解析】【分析】找出點(diǎn)2,3關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，此點(diǎn)在反射光線上，設(shè)出反射光線的斜率為k，表示反射光線的方程，的方程，求出方程的解得到k【解答】解：點(diǎn)2,3關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)2,3，①當(dāng)反射光線所在的直線斜率不存在時，符合條件的方程為x2，滿足與圓x32y21相切；②當(dāng)反射光線所在的直線斜率存在時，設(shè)反射光線的斜率為ky3kx2，即kxy2k30，∵反射光線與圓x32y21相切，∴圓心到反射光線的距離dr整理得：6k80，4

2k1k2

1，解得：k .3此時，反射光線所在的直線方程為4x3y170，x2或4x3y170x2或4x3y170.21【答案】213【解析】【分析】本題考查雙曲線的離心率問題，離心率問題就是要根據(jù)題目條件得到b2AM,AN 4a2b2AM,AN 4a2b2b由 byax

MNAM

，則cos

1，得到2ab【解答】解：不妨設(shè)MAa,0，x2y2

c2，x2y2c2由

，得xa，所以Ma,b，Na,b， by x aAM2a,bAN0,b，又MAN120，∴cos

1，AM,AM,AN b24a2b2b2 2 ∴4a ，∴4a23c2a2 ，∴7a2

，∴c ，21a 32121即雙曲線的離心率為 .21321故答案為 .213

x2 y21 1 1Ax,

，Bx,

，則a2 b2 ，1 1 2

x2 y22 2 1xx∴1

x1

x2

yy1

y1

y2

a2 b20，a2 b2yy b2 xxx，∴1x2x，

a2

1 2yy1 2 1 2yy1∵1 1

，xx 2，yy

2，xx1 2

2 1 2 1 2b2∴ ，∴

2b2.a2

2a2c2， 2 2 c 2∴a22a2c2 ，∴a ，∴e .a 2【解析】本題考查橢圓的離心率，直線和橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.1利用點(diǎn)差法，結(jié)合M是線段AB的中點(diǎn)，斜率為 ，即可求出橢圓C的離心.2）∵

∥

ADE

和DE所成角（或所成角的補(bǔ)角，1 1 1 1 1∵AD1

11 2，DE 11 2，AE 11 2，1∴△ADE是等邊三角形，∴ADE，1 1 3∴BC1

和DE所成角的大小為 .1 3（2）證明：以D為x軸，DCyDD1

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，BEA1,0,0D1

0,0,1，BE1，AD1,0,1，1 1∴BEAD0，∴BEAD.1 1 1 1【解析

∥

ADE

DE（或所成角的補(bǔ)角

DE1 1所成角的大小.

1 1 1 1 1（2）證明：以Dx軸，DCyDD1

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BEAD.1 19b219.）由長軸長知：2a6，∴a9b2a2b22c4a2b2

2

5.x2∴當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y219 5當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2x21；9 5x2 y2（2）由題可設(shè)所求雙曲線方程為

0，又過點(diǎn)3,2 3，332 2 23

9 161所以 9

，解得 ，16 4x2∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

y2

1.9 44根據(jù)題意得到a3

5，再根據(jù)焦點(diǎn)在x軸和y軸即可得到答案；3 23x2 y2設(shè)雙曲線方程為

0

，進(jìn)而得到

32 2

即可求解.9 16 9 16）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A、A、AA1

所在直線分別為、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，BMhA1

，C，BMh，AC4，1BMABMAC0，即224h0，1 1解得h1；（2）由題知MAB2,0,0AMBA1

，設(shè)平面ABM 的一個法向量為nx,y,z，nAB0則nAM

x0 y z

，取n

nBA

4 10BA1BA1

與平面ABM 所成的角為，則sinABM所成角的正弦值為10.5

1 nBA1

，2 20 5【解析】本題考查直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面所成的角，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.AAA1

所在直線分別為zBMAC0，1h的值；ABM的一個法向量，利用夾角公式，求直線BA1

與平面ABM所成角的正弦值.m28p【答案】解）由題意可得1 p 1

，解得p2.故拋物線Cy2

4x.

m p22 2 2（2）設(shè)MxyNxy.1 1 2 2聯(lián)立ykx1，整理得k2x24x10.y2

4x由直線l和拋物線交于MN兩點(diǎn)可知k0且2k424k216k160，k1，且xx

2k4 1 ，xx .1 2 k2 12 k2依題意OMON，所以O(shè)MONxxyy

0，12 12則xxkx1kx1k21xxkxx

10，12 1 2 12 1 2 1