用空間向量法求解立體幾何問題

用空間向量法求解立體幾何問題以多面體為載體，以空間向量為工具，來論證和求解空間角、距離、線線關系以及線面關系相關問題，是近年來高考數(shù)學的重點和熱點，用空間向量解立體幾何問題，極大地降低了求解立幾的難度，很大程度上呈現(xiàn)出程序化思想。TOC\o"1-5"\h\z預備知識I向量的直角坐標在空間直角坐標系O--xyz中，對空間任一點A,對應一個向量OA，存在唯一的有序實數(shù)組x,y,z，使OA=xi+yj+zk在單位正交基底i,j,k中與向量OA對應的有序實數(shù)組(x,y,z)，叫做點A在此空7/0y/J間直角坐標系中的坐標，記作A(x,y,z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱尸/坐標，z叫做點A的豎坐標.■'\設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.空間向量坐標運算法則，關鍵是注意空間幾何關系與向量坐標關系的轉化，為此在利用向量的坐標運算判斷空間幾何關系時，首先要選定單位正交基，進而確定各向量的坐標。Eg如圖在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，取D點為原點建立空間直角坐標系，O、M、P、Q分別是AC、DD］、CC］、A］B］的中點，寫出下列向量的坐標.AM=虱AM=虱=P0=空間向量運算公式a1>=孔七…七1a1b<=>+yTy3+x由=Q如=九a-bcos0=_|戶ahb利用空間向量解決立體幾何的知識和基本求解方法一：利用空間向量解證平行、垂直關系①所謂直線的方向向量，就是指的向量，一條直線的方向向量有個。②所謂平面的法向量，就是指所在直線與平面垂直的直線，一個平面的法向量也有個。線線平行證明兩條直線平等，只要證明這兩條直線的方向向量，也可以證這兩條直線平行于同一個平面的法向量。3線面平行證明方法：證明直線的方向向量與平面的法向;證明能夠在平面內找到一個向量與已知直線的方向向量;4.面面平行的證明方法：(1)轉化為、處理；(2)證明這兩個平面的法向量是。5利用空間向量解證垂直關系⑴.線線垂直：證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量；⑵.線面垂直的證明方法：證明線面垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量；證明直線與平面內的—⑶.面面垂直的證明方法：TOC\o"1-5"\h\z①轉化為證明、:②證明這兩個平面的法向量是。Eg1.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3,BC=4,AA=4,點D是AB的中點，(I)求證：AC±BC1；(II)求證：ACJ/平面CDB1；強化鞏固訓練正方體ABCD—ABCD中，M是DD的中點，O是底面ABCD的中心，P是棱AB上1111111任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是()A：B彳C:D與P點的位置有關432空間中有四點A,B,C,D，其中AB=(2m,m,2)，CD=(m,m+1,—5)，且AB+CD=(5,?,-3)，則直線AB和CD()A平行B平行或重合C必定相交D必定垂直3以下向量中與向量"a=(1,2,3)，"b=(3,1,2)都垂直的向量為()"1,牽)B.(1,-7,5)C.(—1，—7,5)D.(1，-7，-5)二：利用空間向量求空間角（1）兩條異面直線所成的夾角范圍：兩條異面直線所成的夾角的取值范圍。向量求法：設直線a,b的方向向量為ab，其夾角為。，則有cos0=.（2）直線與平面所成的角定義：直線與平面所成的角是指直線與它在這個平面內的射影所成的角。范圍：直線和平面所夾角的取值范圍。向量求法：設直線I的方向向量為a，平面的法向量為n，直線與法向量所成角的余弦值為Icos01=.直線與平面所成的角為中，則有sin中=.或在平面內任取一個向量m，則Icos0I=..（3）二面角二面角的取值范圍.二面角的向量求法：定義法：在兩個半平面內任取兩個與棱垂直的向量，則這兩個向量所成的即為所求的二面角的大小；三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；法向量：設n，n分別是兩個面的，則向量n與n的夾角（或其補角）即為所求二1212面角的平面角的大小。題型1：異面直線所成的角例1、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點E為棱AB的中點。求：D1E與平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）題型2：直線與平面所成的角例2、如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，匕ACB=90。，側棱A%=2,D、E分別是CC1與叩的中點，點E在平面ABD上的射影是^ABD的重心G。求％B與平面AbD所成角的大?。ńY果用余弦值表示）；1題型3：二面角例3、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PAL平面ABCD,PA=AB=a,E為BC中點。求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小(用正切值表示)；求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。F強化鞏固訓練3_1、如圖，正三棱柱ABC-ABC的底面邊長為3,側棱AA=—v'3,D是CB延長線上一點,、,111,1,,且BD=BC。求二面角B1-AD-B的大小。AACyBBDxAACyBBDx2.如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=q,ED//AF且ZDAF=90°o求BD和面BEF所成的角的余弦；線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。三：利用空間向量求空間距離點面距離的向量公式平面a的法向量為n,點P是平面a外一點，點M為平面a內任意一點，則點P到平面a的_…In-MPI距離d就是，即d=.InI線面、面面距離的向量公式平面a〃直線/,平面a的法向量為n,點MEa、p—i,平面a與直線I間的距離d就是MP在向量n方向射影的絕對值，即d=.平面a〃b,平面a的法向量為n,點MEa、P』,平面a與平面&的距離d就是MP在向量n方向射影的絕對值，即d=In：MPI.InI異面直線的距離的向量公式設向量n與兩異面直線a、b都垂直，MEa、PEb,則兩異面直線a、b間的距離d就是MP…In-MPI在向量n萬向射影的絕對值，即d=.InI題型1：異面直線間的距離例1、如圖2,正四棱錐S-ABCD的高SO=2,底邊長AB=\2。求異面直線BD和SC之間的距離？題型2：點面距離例2、如圖，已知ABCD為邊長是4的正方形，E,F分別是AB,AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。GCEBGCEB題型3：線面距離例3、已知正三棱柱ABC—AiBiCi的底面邊長為8,對角線BiC=10，D是AC的中點。（1）求點B1到直線AC的距離。（2）求直線ABi到平面CiBD的距離。例4、如圖，已知邊長為4切的正三角形ABC中，E、F分別為BC和如的中點，PA±面ABC，且PA=2，設平面a過PF且與AE平行。求AE與平面a間的距離？強化鞏固訓練i.長方體ABCD—A^RD］中，AB=4，AD=6，AA】=4，M是AiCi的中點，P在線段BC上，且ICPI=2，Q是DD］的中點，求：（i）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面ABiP的距離。空間向量與立體幾何訓練題1.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底△ABC為直角三角形，/C=90°；側棱與底面成60。角，81點在底面射影D為BC中點:若側面AABB與CCBB成30°的二面角，BC=2cm,則四棱錐A—BBCC111111的體積是()1111Bl12桓2百2右2技欠Acm3B.cm3Ccm3Dcm32332*7%C在空間四邊形ABCD中，AB=BC,CD=DA,E,F,G分別是CD,DA和對角線AC的中點，則平面BEF與平面BDG的位置關系是設正四棱錐S-ABCD的側棱之長為枝，底面邊長為幅，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成的角等于對于向量a，b，定義aXb為向量a，b的向量積，其運算結果為一個向量，且規(guī)定aXb的模|aXb|=|a||b|sin0(其中0為向量a與b的夾角)，aXb的方向與向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，aXb依次構成右手系.如圖，在平行六面體ABCD-EFGH中,ZEAB=ZEAD=ZBAD=60°，AB=AD=AE=2，則(ABxAD)-AE=()A.4B.8C.2偵2D.4t2如圖，四棱錐P-ABCD中，PA^平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且AB//CD，ABAD=90，PA=AD=DC=2，AB=4。(1)求證：BC±PC；(2)求點A到平面PBC的距離。第5題如圖，所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(I)求(I)求BF的長；(II)求點C到平面AEC.F的距離.TOC\o"1-5"\h\z如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，_H是正方形AABB的中心，AA=^；'2，CH±平面AABB，且CH=%；5.求異面直線Ac與ab所成1角的余弦值；111求二面角A—A￡—BW正弦值；設N為棱BC的中點，點M在平面AABB內，且MN±平面ABC，求線段BM的長.1111111cIC,8.[2011?四川理]如圖所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，8.[2011?四川理]如圖所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，ZBAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長A1C1至點P，使C1P=A1C1，連結AP交棱CC1于點D.1119.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA1底面ABCD,AB=*,BC=1，PA=2，E為PD的中點.求直線AC與PB所成角的余弦值；在側面PAB內找一點N，使NE1面PAC，并求出點N到AB和AP的距離.第9題10已知正方體ABCD-ABCD的棱長為a.(1)求點C到平面ABD的距離；(2)求平面CDDC與平面ABD所成的二面角余弦值11.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，/DAB=90,PA1底面ABCD，且PA=AD=DC=-，AB=1，M是PB的中點。A證明：面PAD1面PCD；求AC與PB所成的角；求面AMC與面BMC所成二面角的余弦值。

12.如圖，PA±平面ABC