多目標(biāo)決策課程

第六章多目標(biāo)決策分析廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院運(yùn)籌管理系第六章多目標(biāo)決策分析在決策分析中，決策問題要達(dá)到的目的稱為決策目標(biāo)，用數(shù)值表示決策方案實現(xiàn)某個目標(biāo)程度的標(biāo)準(zhǔn)和法則，稱為決策準(zhǔn)則。前面討論的問題都只有一個決策目標(biāo)和一個評價準(zhǔn)則（如收益最大、效用最大），屬單目標(biāo)、單準(zhǔn)則決策。

單目標(biāo)決策的關(guān)鍵：合理選擇決策準(zhǔn)則。實際問題常常有多個決策目標(biāo)，每個目標(biāo)的評價準(zhǔn)則往往也不是只有一個，而是多個—多目標(biāo)、多準(zhǔn)則決策問題?！?.1多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系多目標(biāo)決策問題的目標(biāo)往往相互聯(lián)系、相互制約，有的甚至相互矛盾。在多目標(biāo)決策問題中，有的目標(biāo)可以用一個或幾個決策準(zhǔn)則直接進(jìn)行評價和比較，有的目標(biāo)則難以進(jìn)行直接評價和比較。

如何解決這一問題？通常將難以進(jìn)行直接評價和比較的目標(biāo)分解為若干子目標(biāo)，直至這些子目標(biāo)能用一個或幾個決策準(zhǔn)則進(jìn)行評價和比較。例：某經(jīng)濟(jì)特區(qū)計劃興建一個大型海港 港址的選擇需要綜合考慮經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、環(huán)境以及社會四個方面。決策目標(biāo)有四個：經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、環(huán)境、社會 這四個目標(biāo)均不能直接用一個或幾個準(zhǔn)則進(jìn)行評價，要根據(jù)決策主體和實際情況的要求，逐級分解為若干子目標(biāo)。如：經(jīng)濟(jì)目標(biāo)可以分解成直接經(jīng)濟(jì)效益和間接經(jīng)濟(jì)效益兩個一級子目標(biāo)。直接經(jīng)濟(jì)效益又可以繼續(xù)分解為投資額、投資回收期和利稅總額等三個二級子目標(biāo)…海港港址經(jīng)濟(jì)技術(shù)環(huán)境社會直接效益間接效益投資額投資回收期利稅總額海運(yùn)收益國際貿(mào)易收益國內(nèi)貿(mào)易收益航道海灘建筑運(yùn)行城市關(guān)系交通關(guān)系資源環(huán)保政策軍事……

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§6.1多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系6.1.1目標(biāo)準(zhǔn)則體系的意義目標(biāo)準(zhǔn)則體系 指依據(jù)決策主體要求和實際情況需要，對目標(biāo)經(jīng)過逐層分解形成的多層次結(jié)構(gòu)的子目標(biāo)系統(tǒng)。目標(biāo)準(zhǔn)則體系的最低一層子目標(biāo)可以用單一準(zhǔn)則進(jìn)行評價。多目標(biāo)決策問題的關(guān)鍵就是合理地選擇和構(gòu)造目標(biāo)準(zhǔn)則體系。6.1.1目標(biāo)準(zhǔn)則體系的意義構(gòu)造目標(biāo)準(zhǔn)則體系應(yīng)注意的原則系統(tǒng)性原則 各子目標(biāo)要反映所有因素的整體影響，具有層次性和相關(guān)性?？杀刃栽瓌t 不同系統(tǒng)的橫向比較；同一系統(tǒng)的縱向動態(tài)比較。可操作性原則

各子目標(biāo)含義明確，便于數(shù)據(jù)采集和計算。6.1.2目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu)1、單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 各個目標(biāo)都屬于同一層次，每個目標(biāo)無須分解就可以用單準(zhǔn)則給出定量評價。圖6-2單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系總目標(biāo)目標(biāo)m目標(biāo)m-1目標(biāo)2目標(biāo)1……6.1.2目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu)2、序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系目標(biāo)準(zhǔn)則體系的各個目標(biāo)，均可以按序列分解為若干個低一層次的子目標(biāo)；各子目標(biāo)又可以繼續(xù)分解；這樣一層層按類別有序地進(jìn)行分解，直到最低一層子目標(biāo)可以按某個準(zhǔn)則給出數(shù)量評價為止。特點：各子目標(biāo)可按序列關(guān)系分屬各類目標(biāo)，不同類別的目標(biāo)準(zhǔn)則之間不發(fā)生直接聯(lián)系；每個子目標(biāo)均由相鄰上一層的某個目標(biāo)分解而成。6.1.2目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu)3、非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系某一層次的各子目標(biāo)，一般不單是由相鄰上一層次某子目標(biāo)分解而成，各子目標(biāo)也不能按序列關(guān)系分屬各類；相鄰兩層次子目標(biāo)之間，僅按自身的屬性建立聯(lián)系，存在聯(lián)系的子目標(biāo)之間用實線連結(jié)，無實線連結(jié)的子目標(biāo)之間，不存在直接聯(lián)系。3、非序列列型多層次次目標(biāo)準(zhǔn)則則體系G............c1c2cn-1cn…g11g12g1n-1g1n…最高層中間層準(zhǔn)則層…g21g22g1k-1g1k6.1.3評價準(zhǔn)準(zhǔn)則和效用用函數(shù)在多目標(biāo)決決策中，制制定了目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)則體系系后，不同同的目標(biāo)通通常用不同同的評價準(zhǔn)準(zhǔn)則衡量。。問題：如何從總體體上給出方方案對于目目標(biāo)準(zhǔn)則體體系中的全全部目標(biāo)的的滿意度？？必須將不同同度量單位位的準(zhǔn)則，，化為無量量綱統(tǒng)一的的數(shù)量標(biāo)度度，并按特特定的法則則和邏輯過過程進(jìn)行歸歸納與綜合合，才能建建立各可行行方案之間間具有可比比性的數(shù)量量關(guān)系。效用函數(shù)正正是一種統(tǒng)統(tǒng)一的數(shù)量量標(biāo)度。6.1.3評價準(zhǔn)準(zhǔn)則和效用用函數(shù)多目標(biāo)決策策中，任何何一個方案案的效果均均可以由目目標(biāo)準(zhǔn)則體體系的全部部結(jié)果值所所確定?？煽尚蟹桨冈谠诿恳粋€目目標(biāo)準(zhǔn)則下下，確定——個結(jié)果值值，對目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)則體系系，就得到到一組結(jié)果果值，并經(jīng)經(jīng)過各目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)則的效效用函數(shù)，，得出一組組效用值。。這樣，任何何一個可行行方案在總總體上對決決策主體的的滿意度，，可以通過過這些效用用值按照某某種法則并并合而得，，滿意度是是綜合評價價可行方案案的依據(jù)。。6.1.4目標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則體系風(fēng)風(fēng)險因素的的處理單目標(biāo)風(fēng)險險型決策中中，各備選選方案看成成是在整體體上處于同同一類狀態(tài)態(tài)空間的。。多目標(biāo)決策策中，風(fēng)險險因素可能能只涉及某某些目標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則，備選選方案不宜宜在整體上上視為處于于同一類狀狀態(tài)空間。。多目標(biāo)決策策的風(fēng)險因因素，應(yīng)該在目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)則體系系中對涉及及風(fēng)險因素素的各子目目標(biāo)分別加加以處理。。將風(fēng)險型多多目標(biāo)問題題轉(zhuǎn)化為確確定型多目目標(biāo)問題。?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方方法6.2.1目標(biāo)規(guī)規(guī)劃模型多目標(biāo)線性性規(guī)劃問題題問題：能否化為單單目標(biāo)線性性規(guī)劃問題題求解？如何處理各各目標(biāo)的主主次、輕重重？§6.2目標(biāo)規(guī)劃方方法例6.1某廠生產(chǎn)甲甲、乙兩種種產(chǎn)品，每每件產(chǎn)品的的單位利潤潤、所消耗耗的原材料料及設(shè)備工工時、材料料和設(shè)備工工時的限額額如下表所所示。甲乙限額原材料（公斤）設(shè)備（工時）23322426利潤（元/件）42產(chǎn)品消耗原料例6.1決策者根據(jù)據(jù)市場需求求等一系列列因素，提提出下列目目標(biāo)（依重重要程度排排列）：首要目標(biāo)是是保證乙產(chǎn)產(chǎn)品的產(chǎn)量量大于甲產(chǎn)產(chǎn)品產(chǎn)量；；盡可能充分分利用工時時，但又不不希望加班班；確保達(dá)到計計劃利潤30元。試對廠家生生產(chǎn)作出決決策分析。。設(shè)甲、乙產(chǎn)產(chǎn)品的產(chǎn)量量分別為x1、x2件。§6.2目標(biāo)規(guī)劃方方法目標(biāo)規(guī)劃是是求解多目目標(biāo)線性規(guī)規(guī)劃的方法法之一。目標(biāo)規(guī)劃的的基本方法法對每一個目目標(biāo)函數(shù)引引進(jìn)一個期期望值；引入正、負(fù)負(fù)偏差變量量，表示實實際值與期期望值的偏偏差，并將將目標(biāo)函數(shù)數(shù)轉(zhuǎn)化為約約束條件，，與原有約約束條件構(gòu)構(gòu)成新的約約束條件組組；引入目標(biāo)的優(yōu)優(yōu)先等級和權(quán)權(quán)系數(shù)，構(gòu)造造新的單一的的目標(biāo)函數(shù)，，將多目標(biāo)問問題轉(zhuǎn)化為單單目標(biāo)問題求求解?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方法法1、目標(biāo)函數(shù)數(shù)的期望值ek對于多目標(biāo)線線性規(guī)劃的每每一個目標(biāo)函函數(shù)值Zk(k=1,2,…,K)，根據(jù)實際情情況和決策者者的希望，確確定一個期望望值ek。在例6.1中乙產(chǎn)品與甲產(chǎn)產(chǎn)品產(chǎn)量之差差的目標(biāo)值可可定為0；生產(chǎn)工時的目目標(biāo)值為26（工時）；；利潤的目標(biāo)值值為30（元元）?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方法法2、正負(fù)偏差差變量對每一個目標(biāo)標(biāo)函數(shù)值，分分別引入正、、負(fù)偏差變量量正負(fù)偏差變量量分別表示實實際目標(biāo)值超超過和低于期期望值的數(shù)值值。引入偏差變量量之后，目標(biāo)標(biāo)就變成了約約束條件，成成為約束條件件組的一部分分?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方法法在例6.1中，令：d1+,d1-分別表示乙產(chǎn)產(chǎn)品與甲產(chǎn)品品產(chǎn)量之差超超過和達(dá)不到到目標(biāo)值的偏偏差變量；d2+,d2-分別表示生產(chǎn)產(chǎn)工時超過和和達(dá)不到目標(biāo)標(biāo)值的偏差變變量；d3+,d3-分別利潤超超過和達(dá)不不到目標(biāo)值值的偏差變變量；則三個目標(biāo)標(biāo)可化為含有偏差差變量的約束條件件§6.2目標(biāo)規(guī)劃方方法3、優(yōu)先因因子（優(yōu)先先等級）和和權(quán)系數(shù)如何區(qū)別不不同目標(biāo)的的主次輕重重？凡要求第一一位達(dá)到的的目標(biāo)賦于于優(yōu)先因子子P1，次位的目目標(biāo)賦于優(yōu)優(yōu)先因子P2，…，并規(guī)規(guī)定Pk＞＞Pk+1（表示Pk比Pk+1有更大的優(yōu)優(yōu)先權(quán)，Pk+1級目標(biāo)是在在保證Pk級目標(biāo)實現(xiàn)現(xiàn)的基礎(chǔ)上上才能考慮慮的）（k＝1,2，，…，K）為區(qū)別具有有相同優(yōu)先先因子的兩兩個目標(biāo)的的差別，可可分別賦于于它們不同同的權(quán)系數(shù)數(shù)ωj優(yōu)先等級及及權(quán)數(shù)的賦賦值由決策策者確定。?！?.2目標(biāo)規(guī)劃方方法4、達(dá)成函函數(shù)(準(zhǔn)則函數(shù))—目標(biāo)規(guī)劃劃模型的目目標(biāo)函數(shù)準(zhǔn)則函數(shù)由各目標(biāo)約約束的正、、負(fù)偏差變變量及相應(yīng)應(yīng)的優(yōu)先因因子和權(quán)系系數(shù)構(gòu)造而而成。注：目標(biāo)規(guī)劃模模型的目標(biāo)標(biāo)函數(shù)是對對各目標(biāo)的的偏差的綜綜合（將多多目標(biāo)化為為單目標(biāo)）），在目標(biāo)標(biāo)函數(shù)中不包含原決決策變量，且一定是是極小型的（偏差最最?。?。4、達(dá)成函函數(shù)(準(zhǔn)則函數(shù))當(dāng)每一目標(biāo)標(biāo)值確定后后，決策者者的要求是是偏差變量量盡可能小小，因此其其目標(biāo)函數(shù)數(shù)只能是極極小形式，，具體有以以下三種基基本形式：：要求恰好達(dá)達(dá)到目標(biāo)值值(正、負(fù)負(fù)偏差都要要盡可能小小)要求不超過過目標(biāo)值(正偏差應(yīng)盡盡可能小)要求不低于于目標(biāo)值(負(fù)偏差應(yīng)盡盡可能小)§6.2目標(biāo)規(guī)劃方方法在例6.1中，首要目標(biāo)是是保證乙產(chǎn)產(chǎn)品的產(chǎn)量量大于甲產(chǎn)產(chǎn)品產(chǎn)量，，賦于優(yōu)先先因子P1，目標(biāo)為d1-盡可能小；；次級目標(biāo)是是生產(chǎn)工時時恰好達(dá)到到目標(biāo)值，，賦于優(yōu)先先因子P2，目標(biāo)為d2-和d2＋都要?。蛔詈蟮哪繕?biāo)標(biāo)是利潤不不低于30元，賦于于優(yōu)先因子子P3，目標(biāo)為d3-盡可能??；；因此，可構(gòu)構(gòu)造準(zhǔn)則函函數(shù)如下：：§6.2目標(biāo)規(guī)劃方方法例6.1的目標(biāo)規(guī)劃劃模型為：：§6.2目標(biāo)規(guī)劃方方法目標(biāo)規(guī)劃的的一般模型型§6.2目標(biāo)規(guī)劃方方法目標(biāo)規(guī)劃的建建模步驟（1）假設(shè)決決策變量；（2）建立約約束條件；（3）建立各各個目標(biāo)函數(shù)數(shù)；（4）確定各各目標(biāo)期望值值，引入偏差差變量，將目目標(biāo)函數(shù)化為為約束方程；；（5）確定各各目標(biāo)優(yōu)先級級別和權(quán)系數(shù)數(shù)，構(gòu)造準(zhǔn)則則函數(shù)。§6.3化多為少方法法對單層次多目標(biāo)標(biāo)決策模型其中f1(x),f2(x),…,fm(x)表示m個目標(biāo)函數(shù)，，X表示滿足某些些約束條件的的n維點集。處理方法：（1）化為一一個單目標(biāo)問問題（2）化為多多個單目標(biāo)問問題。例6.5某廠在計劃期期內(nèi)生產(chǎn)甲、、乙兩種產(chǎn)品品。產(chǎn)品資源甲乙資源限額原材料A（公斤）原材料B（公斤）設(shè)備C（工時）4594310200240300價格（元/件）400600利潤（元/件）70120污染32例6.5設(shè)產(chǎn)品能全部部銷售出去問：計劃期應(yīng)應(yīng)如何安排生生產(chǎn)，才能使使利潤和產(chǎn)值值都達(dá)到最大大，而造成的的污染最?。?？解：設(shè)計劃期分別別生產(chǎn)甲、乙乙產(chǎn)品x1、x2件，則問題的數(shù)學(xué)模型為：：§6.3化多為少少方法主主要目標(biāo)標(biāo)法主要目標(biāo)標(biāo)—所有有決策目目標(biāo)中，，重要程程度最高高和最為為關(guān)鍵的的目標(biāo)。。主要目目標(biāo)要求求達(dá)到最最優(yōu)。其余目標(biāo)標(biāo)作為非非主要目目標(biāo)，滿滿足一定定條件即即可（滿滿意）。。設(shè)f1(x)為主要要目標(biāo)，，則由：可以得到到（6.3）的的一個有有效解。。例6.5決策者確確定以利利潤最大大為主要要目標(biāo)并要求：：總產(chǎn)值值至少應(yīng)應(yīng)達(dá)到20000元，，污染量量則應(yīng)控控制在90個單單位以下下。由主要目目標(biāo)法可可得到單單目標(biāo)規(guī)規(guī)劃問題題：§6.3化多為少少方法線線性加權(quán)權(quán)和法給目標(biāo)fi(x)賦以權(quán)權(quán)系數(shù)λi（i=1,2,……,m）然后作新新的目標(biāo)標(biāo)函數(shù)構(gòu)成單目目標(biāo)決策策問題：：難點：如何使多多個目標(biāo)標(biāo)用同一一尺度統(tǒng)統(tǒng)一起來來（多種種方法在在下一章章中介紹紹，可以以將各目目標(biāo)統(tǒng)一一作效用用值度量量）；如如何選擇擇合理的的權(quán)系數(shù)數(shù)。線線性加權(quán)權(quán)和法1.α—法以兩個目目標(biāo)的多多目標(biāo)決決策問題題為例記：（即x(1)、x(2)分別為以以f1(x)和f2(x)目標(biāo)的的單目標(biāo)標(biāo)問題的的最優(yōu)解解）線線性加權(quán)權(quán)和法1.α—法化作單目目標(biāo)決策策問題要求：c1是任意的的非零常常數(shù)。即可確定定權(quán)系數(shù)數(shù)。若進(jìn)一步步要求α1+α2=1，可可得：例6.7設(shè)有多目目標(biāo)決策策問題其中：試用α—法化化為單單目標(biāo)標(biāo)決策策問題題。解：先分別別求解解得：x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T例6.7x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T則：對目標(biāo)標(biāo)進(jìn)行行線性性加權(quán)權(quán)：化為單單目標(biāo)標(biāo)問題題：線線性加加權(quán)和和法2.λ—法對多目目標(biāo)決決策問問題?。夯癁閱螁文繕?biāo)標(biāo)決策策問題題：適用條條件：：fi*≠0§6.3化多為為少方方法平平方和和加權(quán)權(quán)法要求目目標(biāo)fi(x)與規(guī)規(guī)定值值fi*相差盡盡量小小（i=1,2,……,m），可構(gòu)造造目標(biāo)標(biāo)函數(shù)數(shù)：構(gòu)成單單目標(biāo)標(biāo)決策策問題題：λi—權(quán)系數(shù)數(shù)，可可按要要求的的相差差程度度分別別給出出?！?.3化多為為少方方法理理想點點法記：稱為理想想點。。若所有有x(i)都相同同，記記為x(0)，則x(0)就是所所求的的多目目標(biāo)決決策問問題的的最優(yōu)優(yōu)解；；若不不然，，則考考慮求求解下下面的的單目目標(biāo)決決策問問題：：例6.7x(1)=(0,0)T，x(2)=(1,2)T用理想想點法法化為為單目目標(biāo)決決策問問題構(gòu)造目目標(biāo)函函數(shù)§6.3化多為為少方方法步步驟法法（STEM法）是逐步步迭代代的方方法，，也稱稱逐步步進(jìn)行行法、、對話話式方方法。。在求解解過程程中，，每進(jìn)進(jìn)行一一步，，分析析者就就把計計算結(jié)結(jié)果告告訴決決策者者，決決策者者對計計算結(jié)結(jié)果作作出評評價。。若認(rèn)認(rèn)為已已滿意意了，，則迭迭代停停止；；否則則分析析者再再根據(jù)據(jù)決策策者的的意見見進(jìn)行行修改改和再再計算算，如如此直直到求求得決決策者者認(rèn)為為滿意意的解解為止止。步步驟法法（STEM法）設(shè)有多多目標(biāo)標(biāo)線性性規(guī)劃劃問題題：其中步步驟法法（STEM法）STEM法的求求解步步驟：：分別求求解k個單目目標(biāo)線性性規(guī)劃劃問題題得到的的最優(yōu)優(yōu)解記記為x(i)，其相相應(yīng)的的目標(biāo)標(biāo)函數(shù)數(shù)值記記為fi*（i=1,2,…,k），并x(i)代入其它目標(biāo)標(biāo)函數(shù)：結(jié)果可列表給給出（稱為支支付表）。STEM法支付表x(i)f1f2…fj…fkx(1)z11z21…zj1…zk1…………………x(i)z1iz2i…zji…zki…………………x(k)z1kz2k…zjk…zkk步步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟驟：求權(quán)系數(shù)：從從支付表中得到為找出目標(biāo)值值的偏差以及及消除不同目目標(biāo)值的量綱綱不同的問題題，進(jìn)行如下下處理：歸一化后得權(quán)權(quán)系數(shù)：步步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟驟：求解（使目標(biāo)與理理想值的最大大加權(quán)偏差λ最小）該線性規(guī)劃問問題的最優(yōu)解解記為x0。步步驟法（STEM法）STEM法的求解步驟驟：將x0和相應(yīng)的目標(biāo)標(biāo)值交給決策者判判斷。決策者把這些些目標(biāo)值與理理想值進(jìn)行比比較后，若認(rèn)認(rèn)為滿意了，，則可停止計計算；若認(rèn)為為相差太遠(yuǎn)，，則考慮適當(dāng)當(dāng)修正。如：考慮對第第r個目標(biāo)讓一點點步，降低一一點目標(biāo)值△fr。步步驟法（STEM法）STEM法的求解步步驟：求解求得解解后，，再與與決策策者對對話，，如此此重復(fù)復(fù)，直直至決決策者者認(rèn)為為滿意意了為為止。。例6.9某公司司考慮慮生產(chǎn)產(chǎn)甲、、乙兩兩種太太陽能能電池池，生生產(chǎn)過過程會會在空空氣中中引起起放射射性污污染，，因此此決策策者有有兩個個目標(biāo)標(biāo)：極極大化化利潤潤與極極小化化總的的放射射性污污染。。已知知在一一個生生產(chǎn)周周期內(nèi)內(nèi)，每每單位位甲產(chǎn)產(chǎn)品的的收益益是1元，，每單單位乙乙產(chǎn)品品的收收益是是3元元；每每單位位甲產(chǎn)產(chǎn)品的的放射射性污污染是是1.5單單位，，每單單位乙乙產(chǎn)品品的放放射性性污染染是1單位位，由由于機(jī)機(jī)器能能力（（小時時）、、裝配配能力力（人人時））和可可用的的原材材料（（單位位）的的限制制，約約束條條件是是（x1、x2分別為為甲、、乙產(chǎn)產(chǎn)品的的產(chǎn)量量）：：例6.9該問題題的目目標(biāo)函函數(shù)為為：例6.9STEM法求解解先分別別求解解得：x(1)=(7.25,12.75)T，x(2)=(0,0)Tf1*=45.5，f2*=0例6.9STEM法支支付付表表f1f2x(1)=(7.25,12.75)T45.5－23.625x(2)=(0,0)T00例6.9STEM法求求解解求權(quán)權(quán)系系數(shù)數(shù)：：從從支付付表表中中得得到到歸一一化化后后得得權(quán)權(quán)系系數(shù)數(shù)：：例6.9STEM法求求解解求解解最優(yōu)優(yōu)解解為為x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57例6.9STEM法求求解解將x0=(0,9.57)T,f1(x0)=28.71,f2(x0)=-9.57交給給決決策策者者判判斷斷。。決策策者者將將其其與與理理想想值值（（45.5,0））進(jìn)進(jìn)行行比比較較后后，，認(rèn)認(rèn)為為f2是滿意的的，但利潤太太低。且認(rèn)為為可以接受受污染值值為10個單位。。修改約束束集求解得x1=(0,10)T,f1(x1)=30,f2(x0)=-10決策者認(rèn)認(rèn)為滿意意，停止止迭代。。§6.4多維效用用并合方方法多多維效用用并合模模型多目標(biāo)決決策問題題其目標(biāo)標(biāo)屬性的的特點：：目標(biāo)間的的不可公公度性即：對各各目標(biāo)的的評價沒沒有統(tǒng)一一的量綱綱，不能能用同一一標(biāo)準(zhǔn)評評價。目標(biāo)間的的矛盾性性提高某一目標(biāo)標(biāo)值，可能會會損害另一目目標(biāo)值。多維效用并合合方法是解決決目標(biāo)間的不不可公度性和和矛盾性的一一種有效途徑徑。多多維效用并并合模型設(shè)多目標(biāo)決策策方案有m個可行方案：：a1，a2，...，am有s個評價準(zhǔn)則，，測定和計算算s個評價準(zhǔn)則的的效用函數(shù)為為：u1，u2，...，us得到這m個可行方案在在s個評價準(zhǔn)則下下的效用值分分別是：u1(ai)，u2(ai)，...，us(ai)(i=1，2，...，m)多多維效用并并合模型多維效用并合合方法為了從總體上上表示可行方方案ai的總效用，需需要通過某種特定定的方法和邏邏輯程序，將s個分效用合并并為總效用，，并依據(jù)各可可行方案的總總效用對其進(jìn)進(jìn)行排序。這這一多目標(biāo)決決策方法稱為為多維效用并并合方法。主要用于序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則體系Hv1w2w1v2w4w3vlwkwk-1u2u1ulul-1..............................usus-1...圖6.6序列型多層次次目標(biāo)準(zhǔn)則體體系多多維效用并并合模型圖6.6中：：H表示可行方案案的總效用值值，即滿意度度；v1，v2，...，vl表示第二層子子目標(biāo)的效用用值；如此類推，w1，w2，...，wk表示倒數(shù)第二二層各子目標(biāo)標(biāo)的效用值；；u1，u2，...，us表示最低一層層各準(zhǔn)則的效效用值。多多維效用并并合模型效用并合過程程從下到上，逐逐層進(jìn)行。最低一層各準(zhǔn)準(zhǔn)則的效用，，經(jīng)過并合得得到：符號“●”表示按某種種規(guī)則和邏輯輯程序進(jìn)行的的效用并合運(yùn)運(yùn)算。多多維效用并并合模型多維效用并合合的最滿意方方案為a*，其滿意度滿滿足：第三層子目標(biāo)標(biāo)的效用并合合得到第二層層各目標(biāo)的并并合效用值：：最后，可得可可行方案ai的滿意度為：：多多維效用并并合規(guī)則在多目標(biāo)決策策中，根據(jù)決決策目標(biāo)的不不同屬性，效效用并合采取取不同方式進(jìn)進(jìn)行。多維效用合并并規(guī)則可由二二維效用合并并規(guī)則導(dǎo)出，，故先討論二二維效用合并并規(guī)則。二維效用函數(shù)數(shù)與二維效用用曲面設(shè)效用u1，u2分別在區(qū)間［0，1］上取值，二元元連續(xù)函數(shù)W=W(u1，u2)稱為二維效用函數(shù)數(shù)，其定義域是是坐標(biāo)平面u1，u2上的一個正方方形，稱為二二維效用平面面，其值域是是W軸上的區(qū)間［0，1］，，曲面W=W(u1，u2)稱為二維效用曲面面。多多維效用并并合規(guī)則多維效用函數(shù)數(shù)與多維效用用曲面設(shè)效用u1，u2，...，un分別在區(qū)間［0，1］上取值，n元連續(xù)函數(shù)W=W(u1，u2，...，un)稱為n維效用函數(shù)。其定義域是n維效用空間u1，u2，...，un上有2n個頂點的凸多多面體。其值域是［0，1］。。曲面W=W(u1，u2，...，un)稱為n維效用曲面。多多維效效用并并合規(guī)規(guī)則1.距距離離規(guī)則則稱滿足足以下下條件件的并并合規(guī)規(guī)則為為距離離規(guī)則則：當(dāng)二效效用同同時達(dá)達(dá)到最最大值值時，，并合合效用用達(dá)到到最大大值1，即即：W(1，1)=1；當(dāng)二效效用同同時取取最小小值時時，并并合效效用取取零效效用值值(最最小值值)，，即：：W(0，0)=0；二效用之一達(dá)達(dá)到最大值，，均不能使并并合效用達(dá)到到最大值，即即：0<W(u1，1)<1，，0≤u1<10<W(1，，u2)<1，，0≤u2<11.距距離離規(guī)規(guī)則則二維維效效用用平平面面上上其其余余各各點點效效用用值值，，與與該點點與與并并合合效效用用最最大大值值點點的的距距離離d成正正比比例例。。即：：W=W(u1，u2)的取取值值與與d成正正比比。。有有：：1.距距離離規(guī)規(guī)則則距離離規(guī)規(guī)則則下下的的二二維維效效用用函函數(shù)數(shù)為為：：公式式(6.9)可以以推推廣廣到到多多維維情情形形：：如：：成成本本和和效效益益的的效效用用并并合合可可以以按按距距離離規(guī)規(guī)則則進(jìn)進(jìn)行行，，并并合合效效用用函函數(shù)數(shù)2.代代換換規(guī)規(guī)則則二維維效效用用并并合合的的代換換規(guī)規(guī)則則適合合如如下下情情況況：：二效效用用對對決決策策主主體體具具有有同同等等重重要要性性，，只只要要其其中中一一個個目目標(biāo)標(biāo)的的效效用用取取得得最最大大值值，，無無論論其其它它效效用用取取何何值值，，即即使使取取得得最最低低水水平平，，并并合合效效用用也也達(dá)達(dá)到到最最高高水水平平，，與與二二效效用用均均達(dá)達(dá)到到最最高高水水平平一一樣樣。。即即：：W(1，1)=1，W(0，0)=0W(u1，1)=1，0≤u1≤1W(1，u2)=1，0≤u2≤12.代代換規(guī)則則代換規(guī)則則下的二二維效用用函數(shù)為為：推廣到多多維情形形，n維效用并并合的代代換規(guī)則則公式為：：3.加加法規(guī)則則二維效用用并合的的加法規(guī)則則適用于如如下情況況：二效用的的變化具具有相關(guān)關(guān)性，對對并合效效用的貢貢獻(xiàn)沒有有本質(zhì)差差異，并并且可以以互相線線性地補(bǔ)補(bǔ)償，即即一目標(biāo)標(biāo)效用的的減少可可以由另另一目標(biāo)標(biāo)效用值值的增加加得到補(bǔ)補(bǔ)償。即即：W(1，1)=1，W(0，0)=0若：W(1，0)=ρ1，W(0，1)=ρ2則有：ρ1+ρ2=13.加法法規(guī)則推廣到多維維情形，n維效用并合合的加法規(guī)規(guī)則公式為為：加法規(guī)則下下的二維效效用函數(shù)為為：4.乘法法規(guī)則乘法規(guī)則適適用于如下下情況：二目標(biāo)效用用對于并合合效用具有有同等重要要性，相互互之間完全全不能替代代，只要其其中任意一一個目標(biāo)效效用值為0，無論另另一個目標(biāo)標(biāo)效用取值值多大，并并合效用值值均為0。。即：W(1，1)=1，W(0，0)=0W(1，0)=W(0，1)=04.乘乘法規(guī)則則推廣到多多維情形形，n維效用并并合的乘乘法規(guī)則則公式為為：乘法規(guī)則則下的二二維效用用函數(shù)為為：更一般地地：4.乘乘法規(guī)則則更一般地地，乘法規(guī)則則下的n維效用函函數(shù)為：：或表示成成對數(shù)形形式：5.混混合規(guī)則則混合規(guī)則則適用于于各目標(biāo)標(biāo)效用之之間較為為復(fù)雜的的關(guān)系，，是比代代換、加加法和乘乘法三規(guī)規(guī)則更為為一般的的情況。?；旌弦?guī)則則的二維維效用并并合公式式：其中，γ≥－1稱稱為形式式因子。。γ的不同取取值分別別表示代代換、加加法和乘乘法三規(guī)規(guī)則之一一。推廣到多多維情形形，n維效用并并合的混混合規(guī)則則公式為為：5.混混合規(guī)則則當(dāng)γ≠0時，，(6.20)可以化為為較為規(guī)規(guī)范的形形式：當(dāng)γ=-1時，化為為代換規(guī)規(guī)則形式式；當(dāng)γ=0，且且c1+c2=1時，化為為加法規(guī)規(guī)則形式式；當(dāng)γ>>0時，近近似于乘乘法規(guī)則則形式：：多多維效用用并合方方法應(yīng)用用實例多維效用用并合方方法是多多目標(biāo)決決策的一一種實用用方法，，在經(jīng)濟(jì)濟(jì)管理、、項目評評價、能能源規(guī)劃劃、人口口控制等等方面有有著廣泛泛的應(yīng)用用。例：“我我國總?cè)巳丝谀繕?biāo)標(biāo)”實例例經(jīng)過統(tǒng)計計分析測測算，我我國人口口發(fā)展周周期應(yīng)是是人均壽壽命70年，制制定控制制人口目目標(biāo)，宜宜以100年為為時間范范圍。需需要確定定100年內(nèi)，，我國人人口控制制最合理理的總目目標(biāo)是多多少。例：“我我國總?cè)巳丝谀繕?biāo)標(biāo)”方案：對我國總總?cè)丝谀磕繕?biāo)的14個方方案進(jìn)行行決策分分析，即即我國總總?cè)丝诜址謩e控制制為2億億、3億億、4億億、5億億、6億億、7億億、8億億、9億億、10億、11億、、12億億、13億、14億、、15億億14個個人口方方案，分分別記為為ai(i=1,2,……,14),其滿意意度分分別為為Hi(i=1,2,……,14)。例：““我國國總?cè)巳丝谀磕繕?biāo)””各國對比u9我國人口總目標(biāo)HV1V2吃用v1實力v2用w2吃w1糧食u1魚肉u2空氣u4水u5能源u6土地u3最低總和生育率u8GNPu7目標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則體體系例：““我國國總?cè)巳丝谀磕繕?biāo)””效用并并合1、u1（糧食）、u2（魚肉）并合為為w1宜用乘乘法規(guī)規(guī)則：：w1＝u1·u22、u3（土地地）、、u4（空氣氣）、、u5（水））并合為為w2宜用乘法法規(guī)則則w2＝u3·u4·u53、u6（能源源）、、u7（GNP）并合為為v2宜用乘乘法規(guī)規(guī)則v2＝u7·u84、u8（βmin）、u9（各國國對比比）并合為為V2宜用乘乘法規(guī)規(guī)則V2＝u8·u9例：““我國國總?cè)巳丝谀磕繕?biāo)””效用并并合5、w1（吃）、w2（用）并合為為v1宜用加加法規(guī)規(guī)則：：v1＝ρ·w1+(1-ρ)·w26、v1（吃用用）、、v2（實力力）并合為為V1宜用加法法規(guī)則則：V1＝α·v1+(1-α)·v27、V1、V2并合為H宜用乘法法規(guī)則：：H＝V1·V2得：§6.5層次分析析方法AHP方法是美國運(yùn)運(yùn)籌學(xué)家家于20世世紀(jì)70年代提提出的，，AHP決策分析析法是AnalyticHierarchyProcess的簡稱。。是一種定定性與定定量相結(jié)結(jié)合的多多目標(biāo)決決策分析析方法。。AHP決策分析析法，能能有效地地分析非序列型型多層次目目標(biāo)準(zhǔn)則則體系，，是解決決復(fù)雜的的非結(jié)構(gòu)構(gòu)化的經(jīng)經(jīng)濟(jì)決策策問題的的重要方方法，是是計量經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的的主要方方法之一一。例6.10科科研課題的的綜合評價綜合評價科研研課題成果貢獻(xiàn)人才培養(yǎng)可行性發(fā)展前景實用價值科技水平優(yōu)勢發(fā)揮難易程度研究周期財政支持經(jīng)濟(jì)效益社會效益AHP方法的的基本本原理理首先要將將問題條條理化、、層次化化，構(gòu)造造出能夠夠反映系系統(tǒng)本質(zhì)質(zhì)屬性和和內(nèi)在聯(lián)聯(lián)系的遞遞階層次次模型。。1.遞遞階層次次模型根據(jù)系統(tǒng)統(tǒng)分析的的結(jié)果，，弄清系系統(tǒng)與環(huán)環(huán)境的關(guān)關(guān)系，系系統(tǒng)所包包含的因因素，因因素之間間的相互互聯(lián)系和和隸屬關(guān)關(guān)系等。。將具有共共同屬性性的元素素歸并為為一組，，作為結(jié)結(jié)構(gòu)模型型的一個個層次，，同一層層次的元元素既對對下一層層次元素素起著制制約作用用，同時時又受到到上一層層次元素素的制約約。1.遞遞階層次次模型AHP的層次結(jié)結(jié)構(gòu)既可可以是序序列型的的，也可可以是非序列列型的。一般般將層次次分為三三種類型型：最高層：：只包含一一個元素素，表示示決策分分析的總總目標(biāo)，，也稱為為總目標(biāo)標(biāo)層。中間層：：包含若干干層元素素，表示示實現(xiàn)總總目標(biāo)所所涉及到到的各子子目標(biāo)，，也稱為為目標(biāo)層層。最低層：：表示實現(xiàn)現(xiàn)各決策策目標(biāo)的的可行方方案、措措施等，，也稱為為方案層層。1.遞遞階層次次模型H............A1A2An-1An…G11G12G1n-1G1n…最高層中間層最低層…G21G22G1k-1G1k層次結(jié)構(gòu)構(gòu)圖1.遞遞階層次次模型相鄰兩層層元素之之間的關(guān)關(guān)系用直直線標(biāo)明明，稱之之為作用用線，元元素之間間不存在在關(guān)系就就沒有作作用線。。若某元素素與相鄰鄰下一層層次的所所有元素素均有關(guān)關(guān)系，則則稱此元元素與下下一層次次存在完全層次次關(guān)系；如果某某元素僅僅與相鄰鄰下一層層次的部部分元素素有關(guān)系系，則稱稱為不完全層層次關(guān)系系。實際中，，模型的的層次不不宜過多多，每層層元素一一般不宜宜超過9個。目目的：避避免模型型中存在在過多元元素而使使主觀判判斷比較較有困難難。2.層層次元素素排序的的特征向向量法構(gòu)建了層層次結(jié)構(gòu)構(gòu)模型，，決策就就轉(zhuǎn)化為為待評方方案（最最低層））關(guān)于具具有層次次結(jié)構(gòu)的的目標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則體系系的排序序問題。AHP方法采用用優(yōu)先權(quán)權(quán)重作為為區(qū)分方方案的優(yōu)優(yōu)劣程度度的指標(biāo)標(biāo)，優(yōu)先先權(quán)重是是一種相相對度量量數(shù)，表表示方案案相對優(yōu)優(yōu)劣程度度，數(shù)值值介于0－1之之間，數(shù)數(shù)值越大大，方案案越優(yōu)，，反之越越劣。方案層各各方案關(guān)關(guān)于目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)則體體系整體體的優(yōu)先先權(quán)重，，是通過過遞階層層次從下下到上逐逐層計算算的。這這一過程程稱為遞階層次權(quán)權(quán)重解析過過程。遞階層次權(quán)權(quán)重解析過過程(1)測算每一層層次關(guān)于上上一層次某某元素的優(yōu)優(yōu)先權(quán)重（（相鄰兩層層次間的權(quán)權(quán)重解析））方法：構(gòu)造判斷矩矩陣；計算判斷矩矩陣的最大大特征值和和特征向量量；以特征向量各各分量表示示該層次元元素的優(yōu)先先權(quán)重（？？），得到層次次單排序。。(2)進(jìn)行組合加加權(quán)，得到到該層次元素對對于相鄰上上一層次整整體的組合合優(yōu)先權(quán)重重—層次總總排序(3)最后計算得得到方案層各方案案關(guān)于目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)則體系系整體的優(yōu)優(yōu)先權(quán)重。。物體測重問題題設(shè)有m個物體，其重重量分別為W1,W2,…,Wm（未知），為為測出各物體體的重量，現(xiàn)現(xiàn)將每一物體體的重量與其其它物體的重重量作兩兩比比較，其重量量比值構(gòu)成了了一個m階方陣A物體測重問題題記各物體重量量組成的向量量（未知）為為W＝(W1,W2,…,Wm)T有：由線性代數(shù)知知：m是A的最大特征值值，W是矩陣A屬于特征值m的特征向量。。物體測重問題題的啟示若一組物體無無法直接測出出其重量，但但可以通過兩兩兩比較判斷斷，得到每對對物體相對重量的判斷值值，則可構(gòu)造造判斷矩陣(A),求解判斷矩矩陣的最大特特征值和向量量對應(yīng)的特征征向量，就可可以得到這組組物體的相對對重量。類似地，對于于社會、經(jīng)濟(jì)濟(jì)和管理領(lǐng)域域的決策問題題，可以通過過建立層次結(jié)結(jié)構(gòu)模型，在在相鄰兩層次次之間構(gòu)造兩兩兩元素比較較的判斷矩陣陣，用特征向向量法求出層層次單排序，，最終完成遞遞階層次解析析過程。物體測重問題題的啟示從對物體測重重問題的分析析中可以看出出，判斷矩陣陣A的元素aij＞0(i,j=1,2,…,m)，且滿足以下下條件：aii=1,i=1,2,…,maij=1/aji,i,j=1,2,…,maij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m滿足條件①~③的矩陣A稱為互反的的一致性正正矩陣。3.互反反正矩陣與與一致性矩矩陣定義1：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m（1））若aij≥0(i,j=1,2,……,m)，則稱稱A為非負(fù)負(fù)矩陣陣，記記作A≥0；；（2））若aij＞0(i,j=1,2,……,m)，則稱稱A為正矩矩陣，，記作作A＞0。。定義2：設(shè)有m維列向向量X＝(x1,x2,……,xm)T（1））若xj≥0(j=1,2,……,m)，則稱稱X為非負(fù)負(fù)向量量，記記作X≥0；；（2））若xj＞0(j=1,2,……,m)，則稱稱X為正向向量，，記作作X＞0。。3.互互反反正矩矩陣與與一致致性矩矩陣定理1：設(shè)有矩矩陣A＝(aij)m×m＞0，，則：：（1））A有最大大特征征值λmax，且λmax是單根根，其其余特特征值值的模模均小小于λmax；（2））A的屬于于λmax的特征征向量量X＞0；；（3））λmax由下面面的等等式給給出：：其中：：3.互互反反正矩矩陣與與一致致性矩矩陣定義3：：設(shè)有矩陣陣A＝(aij)m×m＞0，，若若A滿足足：：（1）aii=1,i=1,2,…,m（2）aij=1/aji,i,j=1,2,…,m則稱A為互反正矩矩陣。定義4：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m＞0，若A滿足：aij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m則稱A為一致性矩矩陣。一致性矩陣陣的性質(zhì)一致性正矩矩陣是互反反正矩陣；；若A是一致性矩矩陣，則A的轉(zhuǎn)置矩陣陣AT也是一致性性矩陣；A的每一行均均為任意指指定一行的的正整數(shù)倍倍；A的最最大大特特征征值值λmax＝m，其其余余特特征征值值為為0；；若A的屬屬于于特特征征值值λmax的特特征征向向量量為為：：X＝(x1,x2,……,xm)T則：：aij=xi/xj,i,j=1,2,……,m互反反正正矩矩陣陣的的性性質(zhì)質(zhì)一致致性性正正矩矩陣陣是是互互反反正正矩矩陣陣，，反反之之，，互互反反正正正正矩矩陣陣不不一一定定是是一一致致性性矩矩陣陣。。定理理2：：設(shè)A＝(aij)m×m是互互反反正正矩矩陣陣，，λmax是A的最最大大特特征征值值，，則則λmax≥m。定理理3：：設(shè)A＝(aij)m×m是互互反反正正矩矩陣陣，，λ1，λ2，……，，λm是A的特特征征值值，，則則：：定理理4：：互反正矩陣A是一致性矩陣陣的充要條件件是：λmax＝m判判斷矩陣陣1.判斷矩矩陣的構(gòu)造設(shè)m個元素(方案案或目標(biāo))對對某一準(zhǔn)則存存在相對重要要性，根據(jù)特特定的標(biāo)度法法則，第i個元素(i＝1，2，……，n)與其它元素兩兩兩比較判斷斷，其相對重重要程度為aij(i,j＝1,2,……,n),這樣構(gòu)造的的m階矩陣用以求求解各元素關(guān)關(guān)于某準(zhǔn)則的的優(yōu)先權(quán)重，，稱為權(quán)重解解析判斷矩陣陣，簡稱判斷斷矩陣，記作作A=(aij)m×m構(gòu)造判斷矩陣陣的關(guān)鍵，在在于設(shè)計一種種特定的比較較判斷兩元素素相對重要程程度的標(biāo)度法則，使得任意兩兩元素相對重重要程度有一一定的數(shù)量標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)。1—9標(biāo)度方方法標(biāo)度定義含義1同樣重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素同樣重要3稍微重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素明顯重要7強(qiáng)烈重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素強(qiáng)烈重要9極端重要兩元素對某屬性，一元素比另一元素極端重要2、4、6、8相鄰標(biāo)度中值表示相鄰兩標(biāo)度之間折中時的標(biāo)度上列標(biāo)度倒數(shù)反比較元素i對元素j的標(biāo)度為aij，元素j對元素i的標(biāo)度為1/aij2.判斷矩矩陣的一致性性檢驗1—9標(biāo)度方方法構(gòu)造的判判斷矩陣A一定是互反正正矩陣；但A不一定是一致致性矩陣，實實際中，很難難構(gòu)造出具有有完全一致性性的矩陣；只有判斷矩陣陣A具有完全的一一致性時，才才有唯一非零零的最大特征征值，其余特特征值為0，，層次單排序序才能歸結(jié)為為判斷矩陣A的最大特征值值及其特征向向量，才能用用特征向量的的各分量表示示優(yōu)先權(quán)重。。實際中，我們們希望判斷矩矩陣具有滿意意的一致性，，這樣計算出出的層次單排排序結(jié)果才合合理。2.判斷矩矩陣的一致性性檢驗判斷矩陣A是互反正矩陣陣，故λmax≥m；當(dāng)A是一致性矩陣陣時：λmax＝m，且其余的特特征值為0；；A具有滿意的一一致性：λmax略大于m，其余的特征征值接近于0；設(shè)λ1，λ2，…，λm是A的全部特征值值，則：λ1＋λ2＋…＋λm＝tr(A)=m設(shè)λ1=λmax，則：2.判斷矩矩陣的一致性性檢驗一般來來說，，C.I越大，，偏離離一致致性越越大，，反之之，偏偏離一一致性性越小小。此外，，判斷斷矩陣陣的階階數(shù)m越大，，判斷斷的主主觀因因素造造成的的偏差差越大大，偏偏離一一致性性也就就越大大。反反之，，偏離離一致致性越越小。。當(dāng)階數(shù)m≤2時，C.I=0，判斷斷矩陣具有完完全的一致性性。（1）判斷矩陣的的一致性指標(biāo)標(biāo)2.判斷矩矩陣的一致性性檢驗（2）平均隨隨機(jī)一致性指指標(biāo)R.I：是足夠多個根根據(jù)隨機(jī)發(fā)生生的判斷矩陣陣計算的一致致性指標(biāo)的平平均值（表6.15）。。（3）一致性性比率C.R=C.I/R.I用一致性比率率C.R檢驗判斷矩陣陣的一致性，，當(dāng)C.R越小時時，判判斷矩矩陣的的一致致性越越好。。一般認(rèn)認(rèn)為，，當(dāng)C.R≤0.1時時，判判斷矩矩陣符符合滿滿意的的一致致性標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，，層次次單排排序的的結(jié)果果是可可以接接受的的，否否則，，需要要修正正判斷斷矩陣陣，直直到檢檢驗通通過。。判斷矩矩陣一一致性性檢驗驗的步步驟（2））查表表6.15得到到平均均隨機(jī)機(jī)一致致性指指標(biāo)R.I（3））計算算一致致性比比率C.R=C.I/R.I若C.R≤0.1，，接受受判斷斷矩陣陣；否則，，修改改判斷斷矩陣陣。（1）求出出判斷斷矩陣陣的一一致性性指標(biāo)標(biāo)C.I3.判判斷斷矩陣陣的求求解構(gòu)造了了判斷斷矩陣陣，就就要求求解出出判斷斷矩陣陣的最最大特特征值值及其其對應(yīng)應(yīng)的特特征向向量，，才能能進(jìn)行行一致致性檢檢驗。。由于判判斷矩矩陣是是決策策者主主觀判判斷的的定量量描述述（不不精確確），，因此此在求求解時時可采采用簡簡化計計算的的方法法，求求出近近似解解即可可。簡化計計算的的思路路——一一致陣陣的任任一列列向量量都是是特征征向量量，一一致性性尚好好的正正互反反陣的的列向向量都都應(yīng)近近似特特征向向量，，可取取其某某種意意義下下的平平均。。3.判判斷斷矩陣陣的求求解1、和法———取取列向向量的的算術(shù)平平均將判斷斷矩陣陣A的元素素按列作歸一一化處處理，，得矩矩陣Q=(qij)m×m將Q的元素素按行相加，，得到到向量量α＝(α1,α2,…,αm)T（三））判斷斷矩陣陣的求求解1、和法———取取列向向量的的算術(shù)平平均對向量量α作歸一化化處理理得特特征向向量W＝(w1,w2,…,wm)T求最大大特征征值②③即即對矩矩陣Q各行求求算術(shù)術(shù)平均均得特特征向向量W。列向量歸一化行算術(shù)平均精確結(jié)結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010一致性性檢驗驗：C.I＝0.005，R.I＝0.52，，C.R＝0.01＜＜0.13.判斷矩矩陣的求解2、根法——取列列向量的幾何平均計算判斷矩陣陣A的每一行元素素之積計算Mi的m次方根得到向向量α＝(α1,α2,…,αm)T（三）判斷矩矩陣的求解2、根法——取列列向量的幾何平均對向量α作歸一化處理得得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T求最大特征值值每行元素之積歸一化一致性檢驗：：C.I＝0.0055，R.I＝0.52，，C.R＝0.011＜0.1三次方根3.判斷矩矩陣的求解3、冪法———逐步迭代的的方法經(jīng)過若干次迭迭代計算，按按照規(guī)定的精精度，求出判判斷矩陣A的的最大特征值值及其對應(yīng)的的特征向量。。冪法是依據(jù)據(jù)下面的定理理提出的。定理：設(shè)矩陣A＝(aij)m×m>0，則：其中：W是A的最大特征值值對應(yīng)的特征征向量，C為常數(shù)，向量量e＝(1,1,…,1)T3、冪法———步驟1）任取初始正向向量W(0),k=0，設(shè)置精度2）計算3）歸一化5）計算4）若3.判斷矩矩陣的求解停止；否則，，k=k+1,轉(zhuǎn)2）3.判斷矩矩陣的求解為了克服隨著著判斷矩陣階階數(shù)的增加而而產(chǎn)生精確求求解最大特征征值的困難，，還可其他近近似方法確定定方案的權(quán)重重。問題：對一致陣A＝(aij)m×m>0,其其權(quán)向量為為W=(w1,…,wm)T，則應(yīng)有：aij=wi/wj實際中A不一定是一一致陣,對于正正互反矩陣陣，在求解解權(quán)向量時時，應(yīng)選權(quán)權(quán)向量W使wi/wj與aij相差差盡盡量量小小（（對對所所有有i，j）。。3.判判斷斷矩矩陣陣的的求求解解最小小二二乘乘法法（（LSM）：對對正互互反矩矩陣，，通過過下列列最優(yōu)優(yōu)化問問題導(dǎo)導(dǎo)出排排序向向量的的方法法稱為為最小小二乘乘法。。這是一一個非非線性性規(guī)劃劃問題題。3.判判斷斷矩陣陣的求求解對數(shù)最最小二二乘法法（LLSM）：對對正互互反矩矩陣，，通過過下列列最優(yōu)優(yōu)化問問題導(dǎo)導(dǎo)出的的排序序向量量的方方法稱稱為對對數(shù)最最小二二乘法法。目標(biāo)函函數(shù)關(guān)關(guān)于lnwi是線性性的，，該方方法結(jié)結(jié)果與與根法法相同同。3.判判斷斷矩陣陣的求求解梯度特特征向向量法法（GEM）：設(shè)設(shè)正互互反判判斷矩矩陣為為A，其偽偽（擬擬）互互反矩矩陣為為由下面面的遞遞推公公式導(dǎo)導(dǎo)出排排序向向量的的方法法稱為為梯度度特征征向量量法。。其中：：3.判判斷斷矩陣陣的求求解最小偏偏差法法（LDM）：對對正互互反矩矩陣，，由由下列列最優(yōu)優(yōu)化問問題導(dǎo)導(dǎo)出的的排序序向量量的方方法稱稱為最最小偏偏差法法。F(w)有唯一一的極極小點點w*，且w*是下列列方程程組的的唯一一解：：3.判判斷斷矩陣陣的求求解目標(biāo)規(guī)規(guī)劃法法(LGP)：目目標(biāo)規(guī)規(guī)劃法法是由由Brynon提出的的，Brynon考慮了了人們們認(rèn)識識的差差異性性，通通過引引進(jìn)正正、負(fù)負(fù)偏差差變量量，，建立判判斷矩矩陣的的元素素與權(quán)權(quán)重的的關(guān)系系：3.判判斷斷矩陣陣的求求解目標(biāo)規(guī)規(guī)劃法法(LGP)通過求求解下下面優(yōu)優(yōu)化模模型，，確定定方案案的權(quán)權(quán)重。。遞遞階層層次結(jié)結(jié)構(gòu)權(quán)權(quán)重解解析過過程討論用用AHP方法對對一般般非序序列型型目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)則則體系系問題題進(jìn)行行決策策。G總目標(biāo)標(biāo)n層子目目標(biāo)準(zhǔn)則層層方案層6.5.3遞階層層次結(jié)構(gòu)權(quán)權(quán)重解析過過程遞階權(quán)重解解析：AHP方法的目的的，在于求求出各方案案對總目標(biāo)標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重重，求解過過程從上到到下，在相相鄰層次之之間逐層進(jìn)進(jìn)行，故稱稱為遞階權(quán)權(quán)重解析。。注意：不完全層次次關(guān)系如：方案ai與準(zhǔn)則cj不存在關(guān)系系，構(gòu)造方方案層對準(zhǔn)準(zhǔn)則cj的判斷矩陣陣時，應(yīng)將將方案ai除外，得到到m－1階矩陣陣，解得m－1維特征征向量，再再將方案ai關(guān)于準(zhǔn)則cj的權(quán)重0補(bǔ)補(bǔ)進(jìn)去，得得到m維特征向量量。完全層次結(jié)結(jié)構(gòu)：上層層每一元素素與下層所所有元素相相關(guān)聯(lián)不完全層次次結(jié)構(gòu)第3層對第2層權(quán)向量：：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T貢獻(xiàn)O教學(xué)C1科研C2P2

P1P3P4例:評價價教師貢獻(xiàn)獻(xiàn)的層次結(jié)結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、、科研。C1,C2支配元素的的數(shù)目不等等6.5.3遞階層層次結(jié)構(gòu)權(quán)權(quán)重解析過過程1.遞階階權(quán)重解析析公式首先，討論論相鄰兩層層次間的權(quán)權(quán)重解析。。設(shè)已計算第第k-1層子目目標(biāo)關(guān)于總總目標(biāo)G的組合優(yōu)先先權(quán)重向量量為：W(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,wnk-1(k-1))T第k層子目標(biāo)標(biāo)的個元元素對以以第k-1層的的第j個元素為為準(zhǔn)則的的優(yōu)先權(quán)權(quán)重向量量為：Pj(k)=(p1j(k),p2j(k),…,pnkj(k))T令：P(k)=(p1(k),p2(k),…,pnk-1(k))TP(k)是第k層子目標(biāo)nk個元素關(guān)于第第k-1層nk-1個元素的優(yōu)先先權(quán)重向量構(gòu)構(gòu)成的nk×nk-1矩陣。遞遞階層次結(jié)結(jié)構(gòu)權(quán)重解析析過程1.遞階權(quán)權(quán)重解析公式式首先，討論相相鄰兩層次間間的權(quán)重解析析。則第k層子目標(biāo)關(guān)于于總目標(biāo)G的組合優(yōu)先權(quán)權(quán)重向量為：：W(k)=(w1(k),w2(k),…,wnk(k))T其中：遞遞階層次結(jié)結(jié)構(gòu)權(quán)重解析析過程1.遞階權(quán)權(quán)重解析公式式其次，用公式式將遞階權(quán)重重解析過程表表示出來，給給出方案層關(guān)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向向量。W(1)：表示第一層層子目標(biāo)關(guān)于于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向向量；P(k)=(p1(k),p2(k),…,pnk-1(k))T：表示第k層子目標(biāo)關(guān)于第k-1層各元素素的優(yōu)先權(quán)重重向量，k=2,…,n；遞遞階層次結(jié)結(jié)構(gòu)權(quán)重解析析過程P(c)=(p1(c),p2(c),…,ps(c))T：表示準(zhǔn)則層層s個準(zhǔn)則關(guān)于第n層nn個子目標(biāo)的優(yōu)優(yōu)先權(quán)重向量量；P(a)=(p1(a),p2(a),…,ps(a))T：表示方案層層m個方案關(guān)于準(zhǔn)則層層s個準(zhǔn)則的的優(yōu)先權(quán)重向向量；最后，計算方方案層各方案案關(guān)于總目標(biāo)標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重

。這這個優(yōu)先權(quán)重重記為：W(a)=(w1(a),w2(a),…,wm(a))T計算公式為：：遞遞階階層層次次結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)權(quán)權(quán)重重解解析析過過程程2.AHP方法的的基本本步驟驟（總結(jié)結(jié)）建立層層次結(jié)結(jié)構(gòu)模模型將目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)則則體系系所包包含的的因素素劃分分為不不同層層次，，如目目標(biāo)層層、準(zhǔn)準(zhǔn)則層層、方方案層層等，，構(gòu)建建遞階階層次次結(jié)構(gòu)構(gòu)模型型。構(gòu)造判判斷矩矩陣按照層層次結(jié)結(jié)構(gòu)模模型，，從上上到下下逐層層構(gòu)造造判斷斷矩陣陣。層次單單排序序及其其一致致性檢檢驗根據(jù)實實際情情況，，用不不同方方法求求解判判斷矩矩陣最最大特特征值值相對對應(yīng)的的特征征向量量，經(jīng)經(jīng)過歸歸一化化處理理，即即得層層次單單排序序權(quán)重重向量量。2.AHP方法的的基本本步驟驟（總結(jié)結(jié)）層次總總排序序及其其一致致性檢檢驗層次總總排序序是從從上到到下逐逐層進(jìn)進(jìn)行的的。在在實際際計算算中，，一般般按表表格形形式計計算較較為簡簡便。。

層次A層次BA1

A2…Am層次B總排序權(quán)值w1

w2…wmB1b11

b12…b1mB2b21

b22…b2m┇┇┇┇┇┇Bnbn1

bn2…bnm權(quán)重2.AHP方法的的基本本步驟驟（總結(jié)結(jié)）4.層層次總總排序序及其其一致致性檢檢驗層次總總排序序檢驗驗的一一致性性指標(biāo)標(biāo)，平平均隨隨機(jī)一一致性性指標(biāo)標(biāo)和一一致性性比率率指標(biāo)標(biāo)分別別是：：3.AH