多目標優(yōu)化方法概論

多目標優(yōu)化方法Multi-ObjectiveOptimization第一節(jié)概述第三節(jié)多目標優(yōu)化的第一類方法第二節(jié)多目標優(yōu)化設計理論第四節(jié)多目標優(yōu)化的第二類方法第五節(jié)多目標優(yōu)化的第三類方法國際上通常認為多目標最優(yōu)化問題最早是在1886年由法國經(jīng)濟學家Pareto從政治經(jīng)濟學的角度提出的。多目標規(guī)劃的真正發(fā)達時期，并正式作為一個數(shù)學分支進行系統(tǒng)的研究，是上世紀七十年代以后的事。現(xiàn)在，對多目標規(guī)劃方面的研究集中在以下幾個方面:一、關于解的概念及其性質的研究，二、關于多目標規(guī)劃的解法研究，三、對偶問題的研究，四、不可微多目標規(guī)劃的研究，五、多目標規(guī)劃的應用研究。到現(xiàn)在為止，多目標優(yōu)化不僅在理論上取得許多重要成果，而且在應用上其范圍也越來越廣泛，多目標決策作為一個工具在解決工程技術、經(jīng)濟、管理、軍事和系統(tǒng)工程等眾多方面的問題也越來越顯示出它強大的生命力。第一節(jié)概述1.多目標優(yōu)化設計示例示例1：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B,每件產(chǎn)品A需制造工時和裝配工時分別為1時和1.25時，每件產(chǎn)品B需制造工時和裝配工時分別為1時和0.75時，每月制造車間和裝配車間能夠提供的最多工時為200時，另外，每月市場對產(chǎn)品A需求量很大，而對產(chǎn)品B的最大需求量為150件，產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的售價分別為4元和5元，問如何安排每月的生產(chǎn)，最大限度的滿足市場需求，并產(chǎn)值最大？多目標優(yōu)化設計模型示例2：如圖所示，設計一苦空心階梯懸臂梁，根據(jù)結構要求，已確定梁的總長為1000mm，第一段外徑為80mm，第二段外經(jīng)為100mm，梁的端部受有集中力F＝12000N，梁的內徑不得小于40mm，梁的許用彎曲應力為180MPa，確定梁的內徑和各段長度，使梁的體積和靜撓度最小。12D1=100D2=80L=1000x1x2F多目標優(yōu)化設計模型在單目標優(yōu)化問題中，任何兩個解都可以比較出其優(yōu)劣，這是因為單目標優(yōu)化問題是完全有序的；而在多目標優(yōu)化設計中，任何兩個解不一定都可以比較出其優(yōu)劣，這是因為多目標優(yōu)化問題是半有序的。2.多目標優(yōu)化問題解的特點213第一類：轉化法。這類多目標最優(yōu)化方法的基本思想是將多目標問題轉化為一個或一系列的單目標優(yōu)化問題，通過求解一個或一系列單目標優(yōu)化問題來完成多目標優(yōu)化問題的求解。3.多目標優(yōu)化方法分類第二類：非劣解集法。這類多目標最優(yōu)化方法的基本思想是求得多目標問題的非劣解集，然后在非劣解集中進行協(xié)調和選擇，確定出優(yōu)惠解。第三類：交互協(xié)調法。這類多目標最優(yōu)化方法的基本思想是通過在分析者與抉擇者間的不斷交互，逐漸搞清抉擇者的選擇意圖，獲得多目標問題的優(yōu)惠解。第二節(jié)多目標優(yōu)化設計理論1.多目標優(yōu)化設計模型簡記為VOP多目標優(yōu)化問題(Multi-ObjectiveOptimizationProblem)又稱為向量優(yōu)化問題(VectorOptimizationProblem)。2.決決策策空間間與目目標空空間以設計計變量量為坐坐標的的實空空間Rn稱為決決策空空間。。以目標標函數(shù)數(shù)為坐坐標的的實空空間Rm稱為目目標空空間。。決策空空間可可行域域：目標空空間可可行域域示例1決策空間可行域目標空間可行域示例2決策空間可行域目標空間可行域3.解的的定義（1）理理想解(idealsolution)在目標空間間內，以單單目標最小小值為分量量而形成的的點，稱為為多目標問問題的理想想解。在多目標優(yōu)優(yōu)化問題中中，由于各各個目標間間往往是矛矛盾的，所所以一般不不存在使各各目標皆達達到各自最最優(yōu)值的理理想解。fxX(0)f1(0)f2(0)f1f2（2）非非劣解（NoninferiorSolution）或Pareto解對于可行點點XPD，若不存在另一個個可行點XD，使成立，則稱稱Xp為多目標問問題的非劣劣解。向量不等式式的含義為為決策空間非劣解集目標空間非劣解集（3）滿滿意解（最最佳協(xié)調解解或優(yōu)惠解）效用函數(shù)值值的大小反反映決策者者對多目標標值的喜愛愛程度，一一般來說，，決策者希希望效用函函數(shù)的值越越大越好。。效用函數(shù)：：決策者對多多目標函數(shù)數(shù)優(yōu)化解進進行評價的的函數(shù)，記記為使效用函數(shù)數(shù)取最大值值的非劣解解稱為最佳佳協(xié)調解。。對于效用函函數(shù)未知的的情況，無無法直接求求得最佳協(xié)協(xié)調解。我我們把多目目標優(yōu)化過過程滿意結結束的解稱稱為優(yōu)惠解解。滿意解4多目目標優(yōu)化問問題的K－－T條件對于多目標標優(yōu)化問題題VOP1.主目目標法轉化為第三節(jié)多多目標優(yōu)優(yōu)化的第一一類方法主目標法就就是從多目目標中依據(jù)據(jù)重要程度度選擇一個個目標作為為主目標，，而將其它它目標轉化化為約束，，即將多目目標優(yōu)化問問題主目標法中中約束目標標的約束值值選取2.線性性加權法轉化為線性加權法法就是將多多目標的加加權和作為為單目標，，即將多目目標優(yōu)化問問題(2）對權權系數(shù)的要要求(3)權權系數(shù)的確確定老手法線性加權法法的有關說說明：（1)線線性加權之之前，各目目標應進行行無量綱化化處理。3.極小小極大法轉化為極小極大法法就是求取取多目標函函數(shù)中的最最大值，然然后使最大大值函數(shù)在在可行域內內極小化，，即將多目目標優(yōu)化問問題(2)極小小極大法也也可以引入入一個變量量和m個約束，即即極小極大法法的有關說說明：（1)考考慮到各目目標的重要要程度差別別，可以對對各目標乘乘以權系數(shù)數(shù)，然后再再求最大值值函數(shù)，即即4.理想想點法轉化為理想點法就就是將距理理想點最近近的點作為為多目標問問題的優(yōu)惠惠解，即將將多目標優(yōu)優(yōu)化問題理想點法的的有關說明明：考慮到各目目標的重要要程度差別別，可以對對各目標乘乘以權系數(shù)數(shù)，即權系數(shù)的選選取可以參參閱線性加加權法。5.功效效系數(shù)法在多目標優(yōu)優(yōu)化問題，，各目標的的要求不全全相同，有有的要求極極小化，有有的要求極極大化，有有的要求有有一個合適適的數(shù)值。。為了反映映這些不同同的要求，，故引入如如下的功效效函數(shù)：功效系數(shù)的的確定：1.直線法法2.折線法法3.指數(shù)法法6.分層層序列法將多目標優(yōu)優(yōu)化問題的的各目標分分清主次，，按其重要要程度逐一一排序，然然后依次對對各目標函函數(shù)求最優(yōu)優(yōu)解，但應應注意后一一目標應在在前一目標標的最優(yōu)解解域內進行行尋優(yōu)。照此繼續(xù)下下去，最后后求得第m個目標函函數(shù)得最優(yōu)優(yōu)解，真?zhèn)€個解即為多多目標優(yōu)化化問題的最最終解。在分層序列列法中，當當前面有某某個目標函函數(shù)的最優(yōu)優(yōu)解唯一時時，該方法法就發(fā)生中中斷現(xiàn)象，，因此需要要引入目標標容差。7.協(xié)調調曲線法協(xié)調曲線法法主要用于于求解兩個個目標函數(shù)數(shù)的多目標標優(yōu)化設計計問題。1.變權權系數(shù)法對于非負的的權系數(shù)，，若線性加加權函數(shù)在線性加權權法中，系系列地改變變權系數(shù)值值，可獲得得大量的非非劣解，形形成非劣解解集。第四節(jié)多多目標優(yōu)優(yōu)化的第二二類方法存在唯一的的最優(yōu)解，，則該最優(yōu)優(yōu)解是多目目標問題的的非劣解。。2.－約束法轉化為從多目標中中依據(jù)重要要程度選擇擇一個目標標作為主目目標，而將將其它目標標轉化為約約束，即將將多目標優(yōu)優(yōu)化問題可以證明，，對于一組組值，若X*為－約束問題的的唯一最優(yōu)優(yōu)解，則其其一定為多多目標問題題的一個非非劣解。通過系列地地改變值，可獲得得大量的的非劣解解，形成成非劣解解集。值應大大于各單目標標函數(shù)的的最優(yōu)值值，可依依據(jù)實際際情況在在下列范范圍中變變化：－約束法有有關說明明1.逐逐步法在迭代過過程中，，分析者者向決策策者不斷斷提供試試驗解及及其相應應的目標標函數(shù)值值，請決決策者指指出哪一一個目標標值可以以增加，，哪一個個目標值值應減少少。分析析者根據(jù)據(jù)決策者者的意圖圖，增添添新的約約束，求求得新的的試驗解解，進入入下一步步迭代。。直到求求出使決決策者滿滿意的優(yōu)優(yōu)惠解。。逐步法(StepMethod)是1971年年由Benayoun等人提提出的求求解線性性多目標標優(yōu)化問問題的一一種交互互式方法法，此方方法本質質是在某某種范數(shù)數(shù)下求距距理想點點最近的的點。第五節(jié)多多目目標優(yōu)化化的第三三類方法法對于線性性多目標標優(yōu)化問問題定義逐步法的的計算步步驟（1）建建立支付付表f1f2…fm1

2

m

……（2）求求第k次迭代點點（3）與與決策者者對話將目目標標函函數(shù)數(shù)值值提提供供給給決決策策者者，，若若決決策策者者對對所所有有目目標標值值皆皆滿滿意意，，則則獲獲得得優(yōu)優(yōu)惠惠解解，，停停止止計計算算；；若若決決策策者者對對所所有有目目標標值值皆皆不不滿滿意意，，則則計計算算失失敗敗，，停停止止計計算算；；若若決決策策者者對對部部分分目目標標值值滿滿意意，，對對部部分分目目標標值值不不滿滿意意，，則則繼繼續(xù)續(xù)計計算算。。在滿滿意意的的目目標標中中選選一一個個目目標標fj*，并并給給出出一一個個可可以以犧犧牲牲的的量量fj*，意意思思是是愿愿意意讓讓目標標fj*增大大fj*，以以換換取取其它它不不滿滿意意目目標標值值的的減減小小。。并并進進行行如如下下計計算算：：2.代代替替價價值值交交換換法法代替替價價值值交交換換法法(SurrogateWorthTrade-offMethod)是是1971年年由由Haimes等等人人提提出出的的求求解解非非線線性性多多目目標標優(yōu)優(yōu)化化問問題題的的一一種種交交互互式式方方法法。。其－－約束束問問題題為為對于于多多目目標標優(yōu)優(yōu)化化問問題題－－約束束問問題題的的K－－T條條件件可以以證證明明，，約約束束目目標標函函數(shù)數(shù)對對應應的的Lagrange乘乘子子即約約束束目目標標函函數(shù)數(shù)對對應應的的Lagrange乘乘子子wj是目目標標fk對目目標標fj的交交換換率率。。分析析者者與與決決策策者者的的交交互互分析析者者求求得得一一個個非非劣劣解解（（即即－－約束束問問題題的的最最優(yōu)優(yōu)解解））X(k)，及及其其對對應應的的所所有有目目標標函函數(shù)數(shù)值值與與約束束目目標標函函數(shù)數(shù)對對應應的的Lagrange乘乘子子wj，向向決決策策者者提提問問：：在目目標標值值f1(X(k)),……,fm(X(k))時，，你愿愿意在其它它目標標值保保持不不變的的條件件下，，以目目標fj增大一一個單單位量量，而換換取目標fj減小wj單位量量嗎？？決策者者通過過給代代替價價值函函數(shù)Skj賦值，，回答答上述述問題題。代代替價價值函函數(shù)Skj賦值規(guī)規(guī)律如如下：：（1））若決決策者者同意意上述述交換換，應應給Skj賦正值值，其其值越越大表表示越越贊成成；（2））若決決策者者同意意反向向交換換，即即贊成成以目目標fj減小一一個單單位量量，而換換取目標fj增大wj單位量量，應給Skj賦負值值，其其絕對對值越越大表表示越越贊成成；（3））若決決策者者對上上述兩兩種交交換都都不贊贊成，，應給給Skj賦零值值。代替價價值函函數(shù)Skj賦值規(guī)規(guī)律Skj取值范范圍是是－10到到＋10之之間的的整數(shù)數(shù)，其其取值值含義義為：：代替價價值交交換法法的計計算步步驟（1））求各各目標標的極極大值值和極極小值值（2））求非非劣解解得最優(yōu)優(yōu)解和和約束目目標函函數(shù)對對應的的乘子子。求－－約束問問題(3)代代替價價值函函數(shù)Skj賦值將所求求得的的最優(yōu)優(yōu)解和和約束目標函函數(shù)對應的的乘子提供供給決策者者，決策者者依據(jù)自己己對目標函函數(shù)的喜愛愛程度和具具體問題要要求，給代代替價值函函數(shù)Skj賦值。(4)求求最終解若對某個非非劣解，對對應的所有有代替價值函函數(shù)Skj值皆為零，，則該非劣劣解為最終終解，停止止計算。否否則，用回回歸分析法法，建立代代替價值函函數(shù)的近似似表達式:(5)構構造新的－約束問題求解方程組組得令形成－約束問題轉（2）。。9、靜夜夜四無無鄰，，荒居居舊業(yè)業(yè)貧。。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、雨中黃葉葉樹，燈下下白頭人。。。09:03:2609:03:2609:0312/23/20229:03:26AM11、以我獨沈沈久，愧君君相見頻。。。12月-2209:03:2609:03Dec-2223-Dec-2212、故人江海別別，幾度隔山山川。。09:03:2609:03:2609:03Friday,December23,202213、乍見翻疑疑夢，相悲悲各問年。。。12月-2212月-2209:03:2609:03:26December23,202214、他鄉(xiāng)生生白發(fā)，，舊國見見青山。。。23十十二月20229:03:26上午午09:03:2612月-2215、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。十二月229:03上午午12月-2209:03December23,202216、行動出出成果，，工作出出財富。。。2022/12/239:03:2609:03:2623December202217、做前，能夠夠環(huán)視四周；；做時，你只只能或者最好好沿著以腳為為起點的射線線向前。。9:03:26上午9:03上上午09:03:2612月-229、沒有失失敗，只只有暫時時停止成成功！。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、很多事情努努力了未必有有結果，但是是不努力卻什什么改變也沒沒有。。09:03:2609:03:2609:0312/23/20229:03:26AM11、成功就是日日復一日那一一點點小小努努力的積累。。。12月-2209:03:2609:03Dec-2223-Dec-2212、世間成事，，不求其絕對對圓滿，留一一份不足，可可得無限完美美。。09:03:2609:03:2609:03Friday,December23,202213、不知香積寺寺，數(shù)里入云云峰。。12月-2212月-2209:03:2609:03:26December23,202214、意志堅強的的人能把世界界放在手中像像泥塊一樣任任意揉捏。23十二月月20229:03:26上午09:03:2612月-2215、楚塞三湘接接，荊門九派派通。。。十二月229:03上上午12月-2209:03December23,202216、少年年十五五二十十時，，步行行奪得得胡馬馬騎。。。2022/12/239:03:2609:03:2623December202217、空山山新雨雨后，，天氣氣晚來來秋。。。9:03:26上上午9:03上上午午09:03:2612月月-229、楊柳柳散和和風，，青山山澹吾吾慮。。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、閱閱讀讀一一切切好好書書如如同同和和