競賽講座 05幾何解題途徑的探求方法

競賽講座05一幾何解題途徑的探求方法充分地展開想象想象力，就是人們平常說的形象思維或直覺思維能力。想象力對于人們的創(chuàng)造性勞動(dòng)的重要作用，馬克思曾作過高度評價(jià)：“想象是促進(jìn)人類發(fā)展的偉大天賦?！苯忸}一項(xiàng)創(chuàng)造性的工作，自然需要豐富的想象力。在解題過程中，充分展開想象，主要是指：全面地設(shè)想設(shè)想，是指對同一問題從各個(gè)不同的角度去觀察思考和深入分析其特征，推測解題的大致方向，構(gòu)思各種不同的處理方案。例1.在ABCD中，AB=AC，D是BC邊上一點(diǎn)，E是線段AD上一點(diǎn)，且/BED=2ZCED=ABAC，求證：BD=2CD（92年全國初中聯(lián)賽試題）例2.在AABC中，AB>AC，/A的外角平分線交AABC的外接圓于D，DELAB于E。求證：AE=（AB個(gè)AC）（89年全國高中聯(lián)賽試題）3.在Rt逐的斜邊上取一點(diǎn)D，使AABD和AAD的內(nèi)切圓相等。證明：S=AD2AABC（31屆IMO備選題）例4.設(shè)A是三維立體a阮的長方體磚塊。若B是所有到A的距離不超過1的點(diǎn)的集合（特別地，B包含A），試用abc的多項(xiàng)式表示B的體積（84年美國普特南數(shù)學(xué)竟賽試題）廣泛地聯(lián)想聯(lián)想，是指從事物的相聯(lián)系中來考慮問題，從一事物想到與其相關(guān)的各種不同的事物，進(jìn)行由此彼的思索。在解題過程中，我們?nèi)缒芨鶕?jù)問題特征廣泛地聯(lián)想熟知命題，并設(shè)法將其結(jié)論或解法加以利用，則無疑是獲得解題途徑的簡捷方法。例5.在AABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若角A，B，C的大小成等比數(shù)列，且b2-a2=ac，求角B（85年全國高中聯(lián)賽試題）例6.四邊形ABCD內(nèi)接于0。，對角線ACLBD于P，E是CD的中點(diǎn)，OF1AB于餐。求證：PE=OF（78年上海高中竟賽試題）例7.在正方體ABCD—ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AA上，且11111AF:FA=1:2,求平面BEF與底面ABCD所成的二面角。（85年全國高中聯(lián)賽試題）TOC\o"1-5"\h\z111111例8.設(shè)AAAA為00的內(nèi)接四邊形，H,H,H,H依次為12341234AAAA,AAAA,AAAA,AAAA的垂心。求證：HH,H,H四點(diǎn)在同一個(gè)圓234341412123,1,234上，并確定該圓的圓心位置。（92年全國高中聯(lián)賽試題）大膽地猜測想猜想，是指由直覺或某些數(shù)學(xué)事實(shí)，推測某個(gè)判斷或命題可能成立的一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)過程?？茖W(xué)家都非常重視猜想的作用。譽(yù)滿世界被稱為數(shù)學(xué)王子的德國數(shù)學(xué)家高斯就曾深有體會(huì)地說：“沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)?！薄叭魺o某種放肆的猜想，一般是不可能有知識的進(jìn)展的。”在解題過程中，通過猜想不僅可以得到問題的結(jié)論，而且還可以獲得解題的途徑，但應(yīng)注意，由猜想所得出的結(jié)論不一定可靠，其正確性還必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯證明或?qū)嵺`的檢驗(yàn)。例9.正方形ABCD的邊長為1，P,Q分別是邊AB與邊AD上各一點(diǎn)。若AAPQ的周長為2。求ZPCD（88年國家隊(duì)選拔試題）ABADAM

x=CBCDMC例10ABADAM

x=CBCDMC例11.已知四面體P-ABC的六條棱長之和為l，并且ZAPB=ZBPC=ZCPA=900，試求它的最大體積。（28屆IMO備選題）例12.設(shè)正方體ABCD—ABCD的棱長為a，過棱BC上一點(diǎn)Q作一直線與棱AA和1111111DC的延長線分別交于P,R，試問：當(dāng)Q在棱B￡上移動(dòng)時(shí)，線段PR最短時(shí)的長度是多少？證明你的結(jié)論。精心地進(jìn)行類比類比，是指人們在觀察或思考問題時(shí)，往往把相似的事物加以比較，并把處理某些事物的成功經(jīng)驗(yàn)用到與其性質(zhì)相似的另一些事物上去的思維方式。在解題過程中，若能將它與相似的問題精心地進(jìn)行類比，則往往可由此得到解題途徑，甚至發(fā)現(xiàn)新的知識。例13.四邊形ABCD內(nèi)接于。O，對角線AC與BD相交于P，設(shè)AABP,ARP,ACDP和ADAP的外接圓圓心分別為O,O,O,O。求證：OO,OO,OP三直線共點(diǎn)。（9012341324年全國高中聯(lián)試題）例14.在四面體O—ABC中，已知ZAOB=ZBOC=ZCOA=900，試問：S,S,S,S之間有何關(guān)系？證明你的結(jié)論。AABCAAOBABOCACOA

例16.設(shè)O是四體ABCD內(nèi)部的任意一點(diǎn)，AO,BO,CO,和DO的延長線分別與面....OAOB'OCOD'BCD,ACD,ABD和ABC交于A',B',C',D'。求證：+++=1交于，，，。求證：AA'BB'CC'DD'合理地利用特殊例17.AABC和AABD在邊A5的同側(cè)，ZACB+ZADB=180°,且邊BC與邊AD相交于E點(diǎn).求證：AE-AD+BE-BC=AB2.例16.設(shè)O是四體ABCD內(nèi)部的任意一點(diǎn)，AO,BO,CO,和DO的延長線分別與面例18.已知半徑分別為R、r（R〉r）的兩圓內(nèi)切于A,AE是外圓的直徑，AE的垂線與兩圓分別交于AE同側(cè)的兩點(diǎn)B和C，試求AABC的外接圓直徑（83年蘇聯(lián)競賽題）例19.設(shè)AO是AABC的角平分線，且點(diǎn)B,O,C共線（i=1,2,…,n），則OB-BB-BB?.…BB-BO

11_22_3n-1_nn——

OC?CC?CC?.?.?CC?CO11223n-1nn[AB」AB2??…AB)"AC1?AC2..?.?AC)（79年蘇聯(lián)競賽題）例20OB-BB-BB?.…BB-BO

11_22_3n-1_nn——

OC?CC?CC?.?.?CC?CO11223n-1nn[AB」AB2??…AB)"AC1?AC2..?.?AC)（79年蘇聯(lián)競賽題）例23.AABC外接于。O，P是AB弧上一點(diǎn)，過P作OA,OB的垂線，與AC,BC分別于S,T，與AB分別義于M,N。求證：PM=MS的充要條件是PN=NT。例24.在凸六邊形ABCDEF中，若對角線AD,BE,CF中的每一條都把六邊形分成面積相等的兩部分，則這三條對角線相交于一點(diǎn)（88年蘇聯(lián)奧賽題）習(xí)題1.若CE是AABC的ZC的平分線，且CE2=AE?EB，則AE:AC=1^2（78年四川聯(lián)賽試題）2.在AABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ。求證：AABC的外心與A,P,Q四點(diǎn)共圓（94年全國初中聯(lián)賽試題）3.平面上已給一銳角^ABC，以Ab中直徑的圓交高CC'及延長線于M,N，以AC為直徑的圓交高BB'及其延長線于P,Q，證明：M,N,P,Q四點(diǎn)共圓（90年美國19屆奧賽題）4.已知一凸五邊形ABCDE中，ZBAE=3a,BC=CD=DE,且ZBCDZCDE18。02a，求證：ABAC=ACAD=BDAE（90年全國初中聯(lián)賽題）在^ABC中，ZA,ZB,ZC的對邊分別為a,b,c，已知a2+ac+bc=2b2,a2-ac+bc=2c2，求它的最大角的度數(shù)（90年蘇聯(lián)奧賽試題）已知銳角AABC的頂點(diǎn)C到垂心，外心的距離相等，求ZACB（90年匈牙利奧賽題）在三棱錐S-ABC中，SALSC，△SBC和^ABC都有等腰三角形，D是BC邊上任意一點(diǎn)，在平面SAD內(nèi)作SHLAD于H，P是SH的中點(diǎn)，求證：tgZPAH-tgZSDH為定值。設(shè)不過給定的平行四邊形ABCD頂點(diǎn)的任一直線分別與直線AB,BV,CD,DA交于E,F,G,H，則。EFC與。GHC的另一交點(diǎn)必在定直線上。設(shè)ABCD是任意四邊形（包括凹四邊形），則ACLBD的充要條件是：AB2+CD2=AD2+BC2（1912年匈牙利競賽試題）11.如圖，圓的三條弦PpQQ/RR兩兩相交，交點(diǎn)分別為A,B,C。若AP=BQ=CR,AR1=Bp=CR。求證：△ABC是正三角形。（28屆IMO備選題）已知銳角△ABC的外接圓半徑為