第八章 矢量算法與場論初步張量算法與黎曼幾何初步 SECTION4

§4張量算法標(biāo)量（再二0）矢量（N=l）矩陣（N=2）張量(N=3)一、張量概念［張量的一般定義］若一個(gè)量有nN個(gè)分量，而每個(gè)分量在n維空間Rn中的坐標(biāo)變換

Xi=Xi［1，,...,Xn'^(i=1,?..,標(biāo)量（再二0）矢量（N=l）矩陣（N=2）張量(N=3)之下，按下面的規(guī)律變化：?,…._dxj-1dxJidx\2xy丁..Tj1…ji=.….…Tji"'jii...ijj，。?，i'Tl1imUxJ1uxJioxl1dxim1m式中TjEi是xi的函數(shù)，TJ1...j是xi-的函數(shù)，則量TJ1E1（共有nN個(gè)分量）稱為l階逆變（或抗變）mi…ii...ii…i1mi1im1m階協(xié)變的N（=1+m）階混合張量（或稱為（1+m）型混合張量）.張量概念是矢量和矩陣概念的推廣，標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量，矩陣（方陣）是二階張量，而三階張量（例如'）好比“立體矩陣”（圖8.18右）.更高階的張量不能用圖形表達(dá).下面列出n=2時(shí)的張量示意圖：［張量舉例］圖8.18可乘張量設(shè)由逆變分量和協(xié)變分量所給定的兩個(gè)矢量a,b是已知的，則由等式Tik=aibk,T=ab,Ti-aib,T.=abi

ikikkkkk確定的都是二階張量，稱為可乘張量.2°克羅內(nèi)克爾符號克羅內(nèi)克爾符號8i是一階逆變一階協(xié)變的二階混合張量，這是

j因?yàn)閺腡OC\o"1-5"\h\zOxidxi'=8iOx，'Oxjj可得8.,dxiOxiOxi'Oxj8.j'OxiOxjOxiOxj'j

［二階對稱張量與反對稱張量］若張量滿足等式T=T,Tik=Tki,Ti=Tk則分別稱為二階對稱協(xié)變張量、二階對稱逆變張量和二階對稱混合張量.若張量滿足等式T=-T^,Tik=-Tki,Ti=-Tk則分別稱為二階反對稱協(xié)變張量、二階反對稱逆變張量和二階反對稱混合張量.張量的逆變（協(xié)變）指標(biāo)的對稱性質(zhì)在坐標(biāo)變換下是不變的.在三維空間中，二階反對稱張量與矢量等價(jià).二、張量代數(shù)［指標(biāo)的置換］指標(biāo)置換是張量代數(shù)的最簡單運(yùn)算，利用它可作出新的張量.例如，通過指標(biāo)置換，可由張量Tki得到新的張量Tk，它的矩陣是張量Tki的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.［加（減）法］同類型的若干個(gè)張量的對應(yīng)分量相加（或相減）就得到一個(gè)新的同類型張量的分量，這種運(yùn)算稱為張量的加法（或減法）.任何二階張量可分解為對稱張量與反對稱張量兩部分.例如T.k=2、+T>扣-T）Tr…rs…s—Tr…r.Ts…sL1i1k~L1iL1k

p…pt…tp…pt…t1m1h1m1h這是一個(gè)i+k階逆變m+h階協(xié)變的混合張量，它的階數(shù)為i+m+k+h.注意，張量乘法的次序是不可交換的.［Tr…rs…s—Tr…r.Ts…sL1i1k~L1iL1k

p…pt…tp…pt…t1m1h1m1h這是一個(gè)i+k階逆變m+h階協(xié)變的混合張量，它的階數(shù)為i+m+k+h.注意，張量乘法的次序是不可交換的.［張量的縮并］對一個(gè)給定的混合張量，把它的一個(gè)逆變指標(biāo)與一個(gè)協(xié)變指標(biāo)相等的相加起來，得出階數(shù)較低（逆變和協(xié)變各低一階）的張量，這種運(yùn)算稱為張量的縮并.例如Ts…s—Tss-s12i~112iq…qsq-q2m12m是一個(gè)i-1階逆變m-1階協(xié)變的混合張量.akiT=TiijkijanajmakpT..=TimpTlmP=auajmakpTUkilaiiajmT.=Tim,aiiakmT=Tim,Tjk=aTijk,Tk=aamTj,［張量的商律］設(shè)Ti-i和TiF各為一組xi和xi的函數(shù)，如果對任意逆變矢量對與入i-及］i1ixil［張量的商律］j「Ljf--jm任一指標(biāo)jk,jk使成為張量例如i,,,，勺...j...J1JkZj與Ti...i入j1mj'-jk…jmjk則"廣七必為張量.這種判別張量的法則稱為張量的商律.jrjmTij與Ti'j'各為xi,xi'的函數(shù)，而且klmk'lm'TijZ=TijN曾以芝汶k'lm'klmdxidxjdxk'dxm'TijZ=TijZ竺竺也竺四k'm'klmdxl'dxidxjdxk'dxm'［%一%務(wù)蘇告告茶］對所有的人i，都成立，所以上式括號中的表達(dá)式等于零，因此T〃是張量.以任意協(xié)變矢量代替逆變矢量可得相仿的結(jié)果.［張量密度］按下面規(guī)律變化的量dxl，6xkdxawTi…=......tl…

'"k'…dxldxk'dxa'"'k■"稱為張量密度，式中w為一常數(shù)，稱為張量密度的權(quán).張量就是權(quán)為零的張量密度.根據(jù)張量的階數(shù)，還可以定義標(biāo)量密度和矢量密度.兩個(gè)指標(biāo)的數(shù)目相同，且權(quán)相同的張量密度之和是一個(gè)同類型的張量密度.兩個(gè)張量相乘時(shí)，權(quán)相加.三、張量分析上述張量都假定它的分量是空間Rn中點(diǎn)M（xi）的函數(shù)：Ta=Ti'fO

j''"jmj''"jm當(dāng)點(diǎn)M（x，）在空間Rn中某一區(qū)域D中變動(dòng)時(shí)，則稱Ti「i是區(qū)域D中的一個(gè)張量場.上面所建j'...jm立的張量代數(shù)的各種運(yùn)算，都可以應(yīng)用到張量場上來.對于張量場還有一個(gè)不變的運(yùn)算一一絕對微分（也稱為協(xié)變微分），這就是張量分析要討論的內(nèi)容.一個(gè)標(biāo)量場的普通導(dǎo)數(shù)是一個(gè)協(xié)變矢量場（梯度場）的分量.但是，一般說來，一個(gè)張量場的普通導(dǎo)數(shù)并不構(gòu)成新的張量場.［仿射聯(lián)絡(luò)空間］若對空間Rn中的每一坐標(biāo)系（xi），在一已知點(diǎn)M給定了一組（n3個(gè)）數(shù)并在坐標(biāo)變換Xi'-Xi'下，它們按下列規(guī)律變化7，d2xkdxk，dxldxidxk，_,=+口"dx^dxj'dxkdx1'dxi'dxk〃則稱在點(diǎn)M給定了一個(gè)聯(lián)絡(luò)對象(或聯(lián)絡(luò)系數(shù))，其中偏導(dǎo)數(shù)是在點(diǎn)M取值的.假定在空間R"中給定了聯(lián)絡(luò)對象場rk(a/)=rkijU而且這些函數(shù)是連續(xù)可微的，則稱皿為仿射聯(lián)絡(luò)空間，記作ZA一般說來，「k球Tkijji［撓率張量］(1)式中「人的變換規(guī)律包括兩項(xiàng)：第一項(xiàng)不依賴于舊坐標(biāo)系中的「人；第二〃ij項(xiàng)依賴于「比，并和張量的變換規(guī)律的形式完全相同.由于第一項(xiàng)對兩個(gè)下標(biāo)C是對稱的,ij它一般不等于零，所以「比不是一個(gè)張量.但是ijTk=k—T^kijijji構(gòu)成一個(gè)張量，稱為仿射聯(lián)絡(luò)空間乙〃的撓率張量.如果撓率張量「人等于零，即ijIk=「kijji則稱所給定的空間是無撓率的仿射聯(lián)絡(luò)空間，記作0［矢量的絕對微分與平行移動(dòng)］若在空間〃中給定一個(gè)逆變矢量｛J,則在坐標(biāo)變換下a1'=M這構(gòu)成矢量｝在點(diǎn)M的變換規(guī)律.如果從點(diǎn)A/(凹移到點(diǎn)N3+W),則有'心，、^dxidxj/ai'+da1'=dx1''LIdxi>式中d次表示矢量￡，｝從A/'心，、^dxidxj/ai'+da1'=在上式中只取一次項(xiàng)就得到da，+Gdxj(3).dxidxiM、/M若變換的二階偏導(dǎo)數(shù)在M不等于零，則一個(gè)矢量的改變量決不是一個(gè)矢量的分量.如果夫〃為仿射聯(lián)絡(luò)空間，可由(1),(2),(3)式得到

da，'+「，'afdxk，=j'k，0，da，'+「，'afdxk，=j'k，0，，］

一mI'/M(a，+r"ajdxk)jk是一個(gè)逆變無窮小矢量.稱Da，為矢量4,｝在點(diǎn)M處關(guān)于分量為dx，的位移MN的絕對微分.如果聯(lián)絡(luò)對象^T^)=0，則絕對微分與普通微分一致.若矢量如a，｝等于零，即Da，=da，+「/ajdxk=0

jk就稱矢量4,｝關(guān)于聯(lián)絡(luò)T/從點(diǎn)M平行地移動(dòng)到點(diǎn)N.當(dāng)Ji)=0，分量a，保持不變(da，=0)kjkM時(shí)，矢量從點(diǎn)M平行移動(dòng)到點(diǎn)N，就相當(dāng)于歐氏空間中的平行移動(dòng).如果給定一條曲線Cx，=x，(t)和一個(gè)逆變矢量h｝，沿這條曲線C可以作伴隨于4,｝的矢量Da，da，.dxk"dtd?+「建~df稱它為沿曲線C的導(dǎo)矢量.如果h｝的導(dǎo)矢量為零，即da，dxk(4)_^_+r任-^―=0則矢量a，自身沿曲線C平行地移動(dòng)，(4)式與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，就是說，矢量沿曲線的平行移動(dòng)在坐標(biāo)變換下是不變的.(4)同樣地可以考慮協(xié)變矢量4,｝的絕對微分與平行移動(dòng).稱Da.=da.-亍"a.dxk為協(xié)變矢量4,｝關(guān)于位移dx，的絕對微分.平行移動(dòng)的條件為da-r任dxk=0或沿曲線C平行移動(dòng)的條件為da.dxk八if一「fk偵=°［協(xié)變導(dǎo)數(shù)］從逆變矢量與協(xié)變矢量的絕對微分的定義公式可以得到量dxk理+口aj和:，-"ka.

jkdxkdxk它們是關(guān)于指標(biāo)k協(xié)變的二階張量，分別稱為矢量擠和*的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，分別記作皿和a或Vai和Va.［張量的絕對微分與平行移動(dòng)及其協(xié)變微分法］由乘積的微分公式和張量的定義可以推出張量的平行移動(dòng)規(guī)律.例如，三階張量的平行移動(dòng)規(guī)律為dT，k=￡t+rT-T^-Tik”四階張量的平行移動(dòng)規(guī)律為dTlk=GrTlk+TrTlk—TlTrk—TkTlr^X$

ijisrjjsirrsijrsij可以看出，張量平行移動(dòng)規(guī)律中所包含的項(xiàng)數(shù)與張量的階數(shù)是相同的，對于張量的逆變指標(biāo)，類似于逆變矢量平行移動(dòng)的規(guī)律；對于張量的協(xié)變指標(biāo)，類似于協(xié)變矢量平行移動(dòng)的規(guī)律.記DTlk=dTlk—GrTlk+TrTlk—TlTrk—TkTlr^sijijisrjjsirrsijrsij則稱DTik為張量Tlk的絕對微分.［張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算法則］dTikTlk三VTlk=—ij—-rrTlk-TrTlk+TlTrk+「kTlr

ij；ssijQxsisrjjsirrsijrsij稱為張量Tlk的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，它是一個(gè)五階張量的分量.ij在普通導(dǎo)數(shù)中，對于已微分的張量的每個(gè)指標(biāo)再加上一項(xiàng)就可以構(gòu)成任意張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，對于逆變指標(biāo)，這項(xiàng)的形式是Ti…=..?+TiTr???+???;srs…對于協(xié)變指標(biāo)是TW?T【"協(xié)變導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則如下：°若干個(gè)同樣結(jié)構(gòu)的張量之和的協(xié)變導(dǎo)數(shù)等于各個(gè)張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)之和，即XTi-i+Ui-i）-VTi-i+VUi--iVli勺+C7lill/—V±li勺+VOli勺sj--?/j--?/sj--?/sj--?/J1JmJ1JmJ1JmJ1Jm°滿足積的微分法則，即V（ABC）=（VA）BC+A（VB）C+AB（VC）［自平行曲線］在仿射聯(lián)絡(luò)空間中，如果切于曲線上一點(diǎn)M0的每個(gè)矢量｛J沿這曲線平彳亍移動(dòng)時(shí)是切于這曲線的，則稱這曲線為自平