河工大控制教研組自控課件-第五章

第五章線性系統(tǒng)的頻域分析5.1概述5.2頻率特性的基本概念及表示方法5.3典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.4系統(tǒng)開環(huán)頻率特性繪制5.5乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5.6系統(tǒng)頻域性能指標5.7用頻率法建立線性定常系統(tǒng)的數(shù)學模型5.1概述數(shù)學模型——頻率特性頻率響應—在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量。頻率特性—描述系統(tǒng)頻率響應與正弦輸入信號之間的關系。主要優(yōu)點：1分析：不需要求解微分方程；利用頻率特性的圖形分析系統(tǒng)方便、形象直觀、計算量少，2設計：并能指出改善系統(tǒng)性能的途徑；3建模：對難于用機理分析法建立系統(tǒng)數(shù)學模型的情況，可用實驗方法確定系統(tǒng)的頻率特性（這種方法僅適用于穩(wěn)定系統(tǒng)）；頻域分析法是分析線性系統(tǒng)的工程實用圖解方法，其特點是利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的圖形對閉環(huán)系統(tǒng)性能進行分析頻率特性的圖形表示方法：幅頻特性和相頻特性圖、極坐標圖

Bode圖、對數(shù)幅相圖5.2頻率特性的基本概念及表示方法一、頻率特性的基本概念

頻率響應：系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應。

ＲＣ電路的傳遞函數(shù)為設輸入其拉氏變換為則輸出的拉氏變換為利用部分分式法對上式進行拉氏反變換，得暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量隨著t趨于無窮大，于是ＲＣ電路的穩(wěn)態(tài)頻率響應為

線性系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應也為正弦函數(shù)虛軸實軸z(a+bj)abrG(j)、A(ω)和(ω)是頻率的函數(shù)頻率特性的定義：在正弦信號作用下，線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復數(shù)比。把ＲＣ電路的輸出穩(wěn)態(tài)響應和輸入正弦信號用復數(shù)表示，并求它們的復數(shù)比，則其頻率特性為A(ω)幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出幅值與正弦輸入信號幅值之比

(ω)相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與正弦輸入信號之間的相位差A(ω)φ(ω)

頻率特性G

(jω)表示線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出、輸入正弦信號之間的數(shù)學關系。RC電路幅頻和相頻特性圖幅頻特性A(ω)反映系統(tǒng)對不同正弦信號的穩(wěn)態(tài)衰減（或放大）特性．A(ω)~相頻特性φ(ω)表示系統(tǒng)在不同正弦信號下輸出的相位移．φ(ω)~1/2/3/4/5/1/2/3/4/5/由于這種簡單關系的存在，頻率響應法和利用傳遞函數(shù)的時域法在數(shù)學上是等價的。頻率特性與傳遞函數(shù)的關系為：[結(jié)論]：當傳遞函數(shù)中的復變量s用j代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。這里和分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。

還可將寫成實部和虛部形式，即

到目前為止，我們已學習過的線性系統(tǒng)的數(shù)學模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性。它們之間的關系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)二、頻率特性G(jω)的求取方法1.根據(jù)定義求：已知系統(tǒng)的運動方程，輸入正弦函數(shù)求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入正弦的復數(shù)比；2.根椐傳遞函數(shù)來求?。?.通過實驗測得。一般用這兩種方法三、頻率特性的圖形表示方法G(jω)可以在復平面上用一個相量來表示:相量的長度為幅值A(ω)，相量與實軸正方向的夾角等于相角φ(ω)相角φ(ω)按逆時針方向為正1.幅頻和相頻特性圖：

A(ω)~，

φ(ω)~

2、極坐標圖—Nyquist圖（乃奎斯特圖或幅相頻率特性圖）G(jω)=X(ω)+jY(ω)A(ω)由于A(ω)=|G(jω)|

是偶函數(shù)，所以當ω從-∞

0

和0+∞

變化時，極坐標曲線對稱于實軸。通常只畫出正頻率的曲線即可，即圖中藍線所示。當頻率ω從-∞變到＋∞時，G(jω)相量的端點在復平面上移動的軌跡叫極坐標圖。ω=0+ω+A(ω)φ(ω)ω-ω=0-圖中，藍線是正的頻率變化曲線，紅線是負的頻率變化曲線。曲線上的箭頭方向表示頻率增加的方向。G(jω)的極坐標圖作用：用于分析頻域穩(wěn)定性。G(jω)的極坐標圖繪制：通常用列表、計算、描點的方法可粗略地繪制出極坐標圖的草圖。用MATLAB可以繪制出準確的極坐標圖。解：例１．繪制慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖，其中§５－１頻率特性描點后可得慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖列表計算φ(ω)3、對數(shù)坐標圖——Bode圖（伯德圖）對數(shù)幅頻：對數(shù)相頻:

由對數(shù)幅頻圖和對數(shù)相頻兩張圖組成。橫坐標分度：用頻率ω的對數(shù)分度lgω

，單位為弧度／秒（rad／s）。對數(shù)相頻特性的縱坐標是相位角φ(ω)，單位為“度”。

縱坐標分度：對數(shù)幅頻特性的縱坐標L(ω)表示幅值的對數(shù)值，定義為L(ω)=20lgA(ω),單位是分貝，用字母dB表示。對數(shù)頻率特性的坐標圖ω（rad／s）ω（rad／s）橫坐標按lgω標尺刻度，但標出的是實際的ω值，是不均勻的

——這種坐標系稱為半對數(shù)坐標系。1.縱坐標的對數(shù)幅值L(ω)或相角值φ(ω)

采用線性分度,是均勻的注意ω（rad／s）ω（rad／s）2、在對數(shù)分度的橫坐標中，當ω增大或減小10倍，稱為十倍頻程（dec），如0.1-1,0.2-2,1-10，10-100，軸上所有dec的長度都是相等的。由于ω采用對數(shù)分度lgω，所以零頻率在-

處，零頻率不能表示在對數(shù)坐標圖中。。注意3、在對數(shù)幅頻特性中，引進斜率的概念，即橫坐標每變化十倍頻程dec所對應的縱坐標分貝數(shù)的變化量。

-40dB/dec20dB/decBode圖中L(ω)～ω(lgω)用漸近線近似的方法繪制ω（rad／s）ω（rad／s）-40dB/dec20dB/dec注意對數(shù)相頻特性為解：例2．繪制慣性環(huán)節(jié)的伯德圖，其中Bode圖中L(ω)～ω(lgω)通常用漸近線近似的方法繪制。對數(shù)幅頻特性為L(ω)～ω(lgω)可用漸近線近似的方法繪制b.當?1/時，-20dB/deca.當?1/時，是一條0dB水平直線ω1/10/100/L(ω)0-20-40此直線方程過（1/，0）點且斜率為-20dB/dec

稱為轉(zhuǎn)折頻率或交接頻率水平直線和斜率為－20dB/dec的直線在該處連接。ω≈0ω?

1ω=1/處，精確值慣性環(huán)節(jié)ω漸進曲線和精確曲線的最大誤差發(fā)生在ω=1/處，為結(jié)論：L(ω)～ω(lgω)可用漸近線近似繪制φ(ω)~ω(lgω)：利用系統(tǒng)的相頻特性表達式，直接計算出不同的ω數(shù)值時對應的φ(ω)、描點，再用光滑曲線連接4、對數(shù)幅相圖——Nichocls圖（尼柯爾斯圖）在四種頻率特性的圖形表示方法中，要求掌握極坐標圖和Bode圖的繪制

對數(shù)幅相圖是將Bode圖的幅頻特性L(ω)與相頻特性φ(ω)繪制到一張圖上來表示系統(tǒng)頻率特性的圖形。對數(shù)幅相圖是直角坐標圖，L(ω)～φ(ω)

對數(shù)幅相圖繪制方法：

先繪出Bode圖，然后由其上取若干點繪制對數(shù)幅相圖。5.3典型環(huán)節(jié)的頻率特性系統(tǒng)可以看成就是由這樣一些典型環(huán)節(jié)組成的

熟練掌握各種典型環(huán)節(jié)的頻率特性，從而掌握徒手繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性草圖，以分析系統(tǒng)性能。一.比例環(huán)節(jié)1.代數(shù)表達式傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性ω0110100∞A(ω)KKKKKφ(ω)00000是復平面實軸上的一個點，它到原點的距離為K。2.頻率特性圖（1）極坐標圖繪制：用列表、計算、描點的方法可粗略地繪制出草圖。作法：1）對數(shù)幅頻圖

2）對數(shù)相頻圖放大環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條幅值為20lgKdB的直線:K>1時，20lgK>0dBK<1時，20lgK<0dB對數(shù)相頻特性是相角為0的直線（2）伯德圖二、慣性環(huán)節(jié)ω0…1/…∞A(ω)1…0.707…0φ(ω)0…-450…-900隨著頻率ω=0→∞變化，幅值A(ω)的逐步衰減，最終趨于0。φ(ω)的絕對值越來越大，但最終不會大于90°，其極坐標圖為一個半圓。1.代數(shù)表達式傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性(1)極坐標圖2.頻率特性圖采用漸近線的繪制：1/兩條漸近線相交處的頻率1/

稱為轉(zhuǎn)折頻率或交接頻率。a.當ω<1/時，系統(tǒng)處于低頻段b.當ω>1/時，系統(tǒng)處于高頻段是一條0dB直線ω1/10/100/L(ω)0-20-401)對數(shù)幅頻特性圖(2)Bode圖此直線方程過（1/，0）點且斜率為-20dB/dec最大誤差2）對數(shù)相頻特性曲線1/以此點為對稱點相頻特性可用描點方法繪制，其特點是曲線關于奇對稱。2.頻率特性圖(1)極坐標圖1.代數(shù)表達式傳遞函數(shù)頻率特性

幅頻特性相頻特性ω0110100∞A(ω)∞

10.10.010φ(ω)-900-900-900-900-900是一條與虛軸負段相重合的直線。

三、積分環(huán)節(jié)ω1101001000L(ω)0-20-40-60斜率–20dB/dec（2）伯德圖作法：1）對數(shù)幅頻圖

2）對數(shù)相頻圖–20dB/decL(ω)

曲線經(jīng)過（1，0）點，且斜率為-20的直線。1.代數(shù)表達式傳遞函數(shù)—時間常數(shù)—阻尼比，只討論欠阻尼情況，因為過阻尼可分解成兩個慣性環(huán)節(jié)

—自然振蕩角頻率四、振蕩環(huán)節(jié)頻率特性相頻特性幅頻特性G(jω)A(ω)A(ω)G(jω)2.頻率特性圖

1）極坐標圖ω0…ω

n=1/…∞A(ω)1…1/(2)…0(ω)00…-900…-1800重要性質(zhì)：當0<<0.707時，幅頻特性出現(xiàn)峰值。越小，Mr越大ABA(ωr)諧振頻率ωr和諧振峰值Mr:<0.707=0.707>0.707※

對數(shù)幅頻特性2)伯德圖1)當<<1/時，系統(tǒng)處于低頻段——低頻漸近線2)當>>1/時，系統(tǒng)處于高頻段0dB-40dB/decω1/10/100/L(ω)0-40-80高頻漸近線斜率–40dB/dec工程應用中，需根據(jù)進行修正，誤差修正曲線圖5-2-13.3)交接頻率為=1/,此處實際幅頻特性與漸近線之間存在較大的誤差。誤差的大小取決于。越小，誤差越大。＝1/=1/※

對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性三個特征角系統(tǒng)不同，相角在＝1/處角度變化率不同，越小，變化率就越大=1/相頻特性五．微分環(huán)節(jié)是積分環(huán)節(jié)的倒數(shù)，它們的L(ω)曲線斜率和(ω)相角僅差一個負號１．理想微分環(huán)節(jié)當ω從0時，相頻(ω)

＝90°，幅頻A(ω)從0，∴極坐標圖是一條與虛軸正段相重合的直線。§５－２典型環(huán)節(jié)的頻率特性２．比例微分是慣性環(huán)節(jié)的倒數(shù)，它們的L(ω)和(ω)曲線僅差一負號。當ω從0時，相頻(ω)

從0°+90°,幅頻A(ω)從1，∴極坐標圖過(1,0),且平行于正虛軸的一條直線。3．二階微分極坐標圖為過(1,0)曲線。是振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)，它們的L(ω)和(ω)曲線僅差一負號當ω從0時，G(jω)的虛部從0開始是正的單調(diào)增加，而實部則由1開始單調(diào)遞減。幅頻A(ω)＝1，相頻(ω)與ω成線性變化。六、延時環(huán)節(jié)（滯后環(huán)節(jié)）1.代數(shù)表達式傳遞函數(shù)頻率特性幅頻特性相頻特性2.頻率特性圖1）極坐標圖2）伯德圖是一個單位圓5.4

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制一、系統(tǒng)開環(huán)Bode圖繪制二、最小相位系統(tǒng)三、系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖（Nyquist圖）繪制5.4

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制設開環(huán)系統(tǒng)由n個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成一、系統(tǒng)開環(huán)Bode圖繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻等于各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻之和，相頻等于各環(huán)節(jié)相頻之和。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻等于各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻之和，相頻等于各環(huán)節(jié)相頻之和。方法一：典型環(huán)節(jié)Li(ω)、i(ω)特性相加Bode圖繪制L(ω)繪制方法二：轉(zhuǎn)折漸近線作圖(ω)繪制方法二：利用系統(tǒng)的相頻特性表達式，直接計算出不同的ω數(shù)值時對應的相角、描點，再用光滑曲線連接L(ω)轉(zhuǎn)折漸近線作圖法：1）將開環(huán)傳函G(s)寫成典型環(huán)節(jié)乘積因子形式(標準的時間常數(shù)形式)，求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并從小到大依次標注在半對數(shù)坐標紙的橫坐標上；

在低頻段有2）從低頻到高頻畫出L(ω)的漸近線;a.計算20lgK，K為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù);低頻ω0.1110L(ω)20lgK＋20v20lgK20lgK－20v斜率–20vdB/decb.過ω=1、20lgK這一點做斜率為-20vdB/dec的直線，此為低頻段的漸近線，其中當v取正號時為積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，當ν取負號時為純微分環(huán)節(jié)的個數(shù)；該直線直到第一個轉(zhuǎn)折頻率ω1對應的地方。c.以后每遇到一個典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，就改變一次漸近線的斜率：高頻慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)3）曲線進行修正。可在振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的交接頻率附近進行修正。直至經(jīng)過所有各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，便得系統(tǒng)的L(ω)漸近特性。斜率增加-20dB/dec；斜率增加+20dB/dec；斜率增加-40dB/dec；斜率增加+40dB/dec；例5-3-3(p179)1.分析組成系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)，并按轉(zhuǎn)折頻率從小到大的順序列出．比例環(huán)節(jié)：K=４慣性環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：低頻段為ω=1、20lgK＝12dB這一點，斜率為

-20v=-20dB/dec直線積分環(huán)節(jié)：1/s,=11=2轉(zhuǎn)折頻率ω1=1/1=0.5低頻段：轉(zhuǎn)折頻率：0.528斜率:ω

=1時為12dBω=0.1時為32dB-60-40-202.從低頻到高頻畫出對數(shù)幅頻特性的漸近線．低頻段：轉(zhuǎn)折頻率：0.528斜率：

-40-20-60ω=0.1時為32dBω

=1時為12dB低頻段斜率為

-20v=-20dB/dec直線0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL(ω)[-20][-40][-20][-60]

L(ω)曲線低頻段：轉(zhuǎn)折頻率：0.528斜率：

-40-20-60ω

=1時為12dBω=0.1時為32dB-60db83.曲線進行修正振蕩環(huán)節(jié)：ω＝0.125ω

根據(jù)進行修正，誤差修正曲線圖5-2-13ω(0.1~10)L(ω)=L漸(ω)＋誤差

(0.1~10)ω128ω0.1250.251誤差00.58dB由(ω)

的表達式4．繪制相頻特性低頻高頻低頻段和高頻段均可按(ω)的變化趨勢畫出可求出轉(zhuǎn)折特征點和感興趣點的頻率的相角特性．如此例有0.120.58※Bode圖頻率范圍的選定一般取最低頻率為最小轉(zhuǎn)折頻率ω1的1/10左右，最高頻率為最大轉(zhuǎn)折頻率的１0倍左右．最低頻率：0.050.1最高頻率:8010繪制L(ω)曲線例題2設開環(huán)傳遞函數(shù)為3、低頻漸進線斜率為-20v=-20dB/dec，過（1，20lg40=32dB）點2、-40[解]：1、低頻段：轉(zhuǎn)折頻率：0.5230ω=0.1時為52dBω

=1時為32dB斜率：-40-200.10.51210301000db20db40db-20db--40dbL(ω)返回[-20][-40][-20][-40]

L(ω)曲線低頻段：轉(zhuǎn)折頻率：0.5230斜率：

-40-20-40ω=0.1時為52dBω

=1時為32dB二、最小相位系統(tǒng)1.定義：

3)當ω

時幅頻特性的斜率為-20(n-m)dB/dec，相角等于-(n-m)90，有時用這一特性來作為最小相位系統(tǒng)的判別方法１)

對于幅頻特性相同的情況下，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小

在系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中，沒有位于S右半平面的零點和極點，且沒有純時間延遲環(huán)節(jié)（滯后環(huán)節(jié)）的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，反之為非最小相位系統(tǒng)。2.特點：五種典型環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)必為最小相位系統(tǒng)。2)對數(shù)幅頻特性和相頻特性之間存在著唯一的對應關系。因此只要知道其對數(shù)幅頻特性，它的相頻特性也就唯一地確定了，系統(tǒng)所對應的傳遞函數(shù)。三、系統(tǒng)開環(huán)極坐標圖（Nyquist圖）繪制設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性(1)基本法：用不同的ω值代入上式計算、列表、描點的方法繪制ωω

1ω

2…∞A(ω)A(ω1)A(ω2)…(ω)(ω1)(ω2)…（2）極坐標圖的近似作法:

找特殊點繪制大致開環(huán)傳函G(jω)極坐標圖步驟為：1）確定曲線的起始點（ω→0）2）確定曲線的終止點（ω→∞）3）確定曲線與虛軸、實軸的交點3型:在正虛軸的無窮遠處1）確定起點（ω=0）結(jié)論：極坐標起點(ω=0)位置與積分環(huán)節(jié)v有關:A(ω)=K(v=0)或(v>=1)

(ω)=-v900

0型:在實軸上K點1型:在負虛軸的無窮遠處2型:在負實軸的無窮遠處結(jié)論：極坐標終點(ω=∞)位置與n-m有關當n-m=1時，(ω)=-900,沿負虛軸趨于原點當n-m=2時，(ω)=-1800,沿負實軸趨于原點當n-m=3時，(ω)=-2700,沿正虛軸趨于原點

2）確定終點（ω=∞）∵n>m，∴故必有ω

→∞時，A(ω)→0∵ω

從0→∞

時，0→m9000→(n-v)900v900∴

ω

從0→∞

時，(ω)從

-v900→-(n-m)9003）確定與虛軸、實軸的交點

a.確定與虛軸的交點：b.確定與實軸的交點：

結(jié)論：ω

從0→∞

時，(ω)從

-v900→-(n-m)900

A(ω)從K(v=0)/∞（v>=1)→0

1）系統(tǒng)開環(huán)傳函只有慣性環(huán)節(jié)3.舉例

∵ω

從0→∞

時，(ω)從

-v900→-(n-m)900

A(ω)從K(v=0)/∞(v>=1)→0

∴ω

從0→∞

時，(ω)從

00→-n900A(ω)從K→0X(ω)jY(ω)Kω=0n=1n=2n=32）開環(huán)傳函有積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)

∵ω

從0→∞

時，(ω)從

-v900→-(n-m)900

A(ω)從K(v=0)/∞(v>=1)→0

∴ω

從0→∞

時，(ω)從

-v900→-n900

A(ω)從∞→0X(ω)jY(ω)v=1,n1=2v=2,n1=2X(ω)jY(ω)v=1,n1=1v=2,n1=13）

試繪制極坐標圖的大致圖形。

例：開環(huán)系統(tǒng)的傳函為解:

(1)本系統(tǒng)中n=3,m=2,n-m=1，v=2(2)確定起點和終點X(ω)jY(ω)

∵ω

從0→∞

時，(ω)從

-v900→-(n-m)900

A(ω)從K(v=0)/∞(v>=1)→0

∴ω

從0→∞

時，(ω)從

-1800→-900

A(ω)從∞→0

∵積分環(huán)節(jié)→慣性環(huán)節(jié)

1=1

→微分環(huán)節(jié)2＝0.5→

微分環(huán)節(jié)3＝1/30-25jY(ω)X(ω)(3)確定極坐標圖與實軸、虛軸交點；曲線與實軸交點：令Im[G(j)]=0求出=1代入頻率特性的實部得Re[G(j1)]=-25極坐標圖與負實軸的交點為(-25,j0)。曲線與虛軸交點：令Re[G(j)H(j)]=0，表明極坐標圖只在坐標原點處與虛軸相交。5.5乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性穩(wěn)定判據(jù)：勞斯判據(jù)、根軌跡判據(jù)、乃奎斯特判據(jù)(簡稱乃氏判據(jù))穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點）都具有負實部，即都位于s平面的左半部。乃氏判據(jù)的數(shù)學基礎是復變函數(shù)論中的映射定理，又稱幅角定理；乃氏判據(jù)是利用開環(huán)幅相特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性的圖解方法；

極坐標圖中的乃氏判據(jù)，伯德圖中的乃氏判據(jù)乃氏判據(jù)可用于判斷閉環(huán)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，也能計算系統(tǒng)的相對穩(wěn)定指標一、在極坐標圖中的乃氏判據(jù)乃氏判據(jù)I

：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當從-→+時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)按逆時針方向包圍(-1,j0)點N=P周，即Z=P–N=0Z—閉環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半平面的極點數(shù)P—開環(huán)傳函在[s]右半平面的極點數(shù)N—

G(j)H(j)繞(-1,j0)點的次數(shù)，正、負表示旋轉(zhuǎn)方向：逆時針為正，順時針為負如果N≠P，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且閉環(huán)傳函在[s]右半平面的極點數(shù)為

Z=P－N例1(5-4-1)：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制乃氏圖(極坐標圖）以判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

∵ω

從0→∞

時，(ω)從

-v900→-(n-m)900

A(ω)從K(v=0)/∞(v>=1)→0

∴ω

從0→∞

時，(ω)從

00→-1800

A(ω)從K→0解:

(1)本系統(tǒng)中n=2,m=0,n-m=2，v=0(2)確定起點和終點ImRe0,1j-0=wK+￥=w(3)確定極坐標圖與虛軸交點；令Re[G(j)H(j)]=0，ImRe-￥=w+￥=w0=w0,1j-K乃氏圖的實軸對稱性于實軸,因此畫出的乃氏圖后，對稱地可以G(j)H(j)的乃氏圖與G(-j)H(-j)的乃氏圖對稱畫出整個的乃氏圖。系統(tǒng)在[s]右半平面開環(huán)極點數(shù)P=0；ImRe補畫頻率特性的負頻段，如圖所示因此Z=P-N=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的

從圖中看到，當ω：-∞→∞變化時，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點，即N=0；G(jω)H(jω)

逆時針包圍（-1，j0）點一周，則G(jω)H(jω)必然從上而下穿過負實軸（-∞，-1）線段一次，這種穿越隨著ω

的增加，頻率特性的相角也是增加，稱為一次正穿越。正穿越負穿越1次正穿越意味著逆時針包圍（-1，j0）點一周：N＋=11次負穿越意味著順時針包圍（-1，j0）點一周：N－=1G(jω)H(jω)對(-1,j0)點的包圍情況N可用頻率特性的正負穿越情況來表示，即

N=正穿越次數(shù)－負穿越次數(shù)＝N＋－N－乃氏圖中的正、負穿越反之稱為負穿越。例2：設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：乃氏圖如右。系統(tǒng)在[s]右半平面開環(huán)極點數(shù)P=0；從圖中可以看出：2次負穿越意味著順時針包圍（-1，j0）點N-=2圈。∴Z=P-N=2，閉環(huán)系統(tǒng)在[s]右半極點數(shù)為2，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。N=N+－N-=-21.G(s)H(s)含有積分環(huán)節(jié)時乃氏判據(jù)的使用

根據(jù)映射定理，s沿小半圓從變化到時，在G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大∞的圓弧按順時針方向從經(jīng)過０轉(zhuǎn)到即ω從0-按順時針方向，半徑為∞，作圈弧連接0+。這樣能得到封閉曲線后再使用乃氏判據(jù)。二、對乃氏判據(jù)的兩點說明

當含有積分環(huán)節(jié)時，G(s)H(s)曲線將不封閉，這時需要作增補特性，以得到封閉曲線后再使用乃氏判據(jù)。)()(sHsG-=0w+=0w0,1j--￥=w+￥=wω＝0＋ω＝0－)()(sHsG-=0w+=0w0,1j-￥?R-￥=w+￥=wω＝0＋ω＝0－增補：ω從0-按順時針方向，半徑為∞，作圈弧連接0+。例3(5-4-2)畫出G(jω)H(jω)極坐標曲線。

v=1，ω：按R=∞、順時針方向0-→0+

，轉(zhuǎn)過π弧度。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的沒有極點，故P=0；

Z=P-N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

乃氏圖不包圍（-1，j0）點，N=0。)()(sHsG0,1j-+￥=wω＝0＋)()(sHsG-=0w+=0w0,1j--￥=w+￥=wω＝0＋ω＝0－)()(sHsG-=0w+=0w0,1j-￥?R-￥=w+￥=wω＝0＋ω＝0－例4(5-4-3)解：

畫出G(jω)H(jω)極坐標曲線；

Z=P-N=2，有兩個閉環(huán)極點在右半Ｓ面，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

v=2，ω：按R=∞、順時針方向0-→0+

，轉(zhuǎn)過2π弧度；

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的沒有極點，故P=0；

2次負穿越意味著順時針包圍（-1，j0）點N-=2圈。N=N+－N-=-2;

+￥=w-￥=w0,1j-+=0w-=0w+￥=w-￥=w0,1j-+=0w-=0w+￥=w0,1j-+=0w例5設Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：顯然這是I型系統(tǒng)。先根據(jù)乃氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：2次負穿越意味著順時針包圍（-1，j0）點N-=2圈，2次正穿越意味著逆時針包圍（-1，j0）點2圈，所以N=N+－N-=0，故Z=P-N=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。P=0例6某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點，試用乃氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫出完整的乃氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：2次負穿越意味著順時針包圍（-1，j0）點N-=2圈，所以N=N+－N-=-2。P=0故Z=P-N=2，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2.實際的應用方法

由于系統(tǒng)的極坐標開環(huán)頻率特性總是對稱于實軸，因此在實際中常常只畫ω：0→+∞時的開環(huán)頻率特性曲線。

乃氏判據(jù)II：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當從0→+時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)按逆時針方向包圍(-1,j0)點N=P/2周，即Z=P-2N=0N=正穿越次數(shù)－負穿越次數(shù)＝N＋－N－正穿越負穿越乃氏判據(jù)III：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當從0→+時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)穿越負實軸（-∞，-1）線段的次數(shù)（正穿越與負穿越次數(shù)之差）為N=P/2周，即Z=P-2N=0Z=P-2N=0ImRe-￥=w+￥=w0=w0,1j-K例1(5-4-1)：乃氏判據(jù)III：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當從0→+時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)穿越負實軸（-∞，-1）線段的次數(shù)（正穿越與負穿越次數(shù)之差）為N=P/2周，即Z=P-2N=0例4(5-4-3)+￥=w0,1j-+=0w+￥=w0,1j-+=0w

Z=P-2N=0-2(-1)=2，有兩個閉環(huán)極點在右半Ｓ面，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。乃氏判據(jù)III：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當從0→+時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)穿越負實軸（-∞，-1）線段的次數(shù)（正穿越與負穿越次數(shù)之差）為N=P/2周，即Z=P-2N=0v=2，ω：按R=∞、順時針方向0-→0+

，轉(zhuǎn)過2π弧度；

v=2，ω：按R=∞、逆時針方向轉(zhuǎn)過π弧度；

二、在Bode圖中的乃氏判據(jù)１．

單位圓與０分貝線對應，單位圓外,２．[s]平面上的負實軸與的－180°線對應

根據(jù)上述對應關系，極坐標圖穿越（-∞,

-1）的次數(shù)可以利用L(ω)>0的區(qū)間內(nèi)，(ω)對-1800線的穿越次數(shù)來計算。

極坐標圖和Bode圖的對應關系

在L(ω)>0的區(qū)間內(nèi),(ω)

自下而上通過-1800線為正穿越，(ω)

自上而下通過-1800線為負穿越。+-Z—閉環(huán)傳遞函數(shù)在[s]右半平面的極點數(shù)P—開環(huán)傳函在[s]右半平面的極點數(shù)采用Bode圖的乃氏判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當從0→+時，在的頻段內(nèi)，曲線穿越線的次數(shù)（正穿越與負穿越次數(shù)之差）為N=P/2周，即

Z=P-2N=0乃氏判據(jù)III：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當從0→+時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)穿越負實軸（-∞，-1）線段的次數(shù)（正穿越與負穿越次數(shù)之差）為N=P/2周，即Z=P-2N=0§５－４乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性例1(5-4-5)用伯德圖判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：①作系統(tǒng)伯德圖

從圖上可知：L(ω)>0的區(qū)間內(nèi)，(ω)不穿越-1800線，即N＝0P=0②故Z=P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例2

若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試用乃氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：-1800從圖上可知：L(ω)>0的區(qū)間內(nèi)，(ω)穿越-1800線的正、負穿越各一次，即N=N+－N-=0P=0故Z=P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。三、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度

通常，G(jω)H(jω)越接近(-1,j0)點，其振蕩性越大。因此，G(jω)H(jω)靠近(-1,j0)點的程度，表示了閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

K小時，開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(-1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

K中時，G(jω)H(jω)穿過(-1,j0)點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時系統(tǒng)的響應呈現(xiàn)持續(xù)的等幅振蕩描述系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性量：相角裕度、增益裕度(幅值裕度)Kg或GM。若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（即P=0）,

K大時，G(jω)H(jω)包圍(-1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；剪切頻率—對應于|G(jω)H(jω)|=1的頻率，記為ωc

相角裕度(ωc)定義為

對于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)

表示使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時開環(huán)頻率特性的相角可減少或增加的數(shù)值正相角裕度負相角裕度

相角穿越頻率—開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)=-1800處的頻率ωg增益裕度—相角穿越頻率ωg

所對應的開環(huán)頻率特性A(ωg)的倒數(shù)，可用Kg或GM表示對于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)

增益裕度GM表示使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時,開環(huán)對數(shù)幅頻L(ωg)可向上或向下移動的分貝數(shù)Kg>1閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定正增益Kg=1閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定Kg<1系統(tǒng)不穩(wěn)定負增益

增益裕度Kg表示使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時,開環(huán)頻率特性的幅值A(ωg)可增大或縮小的倍數(shù)即系統(tǒng)開環(huán)系數(shù)K可增大或縮小的倍數(shù)>0穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)Kg>1Kg<1<02.考慮到系統(tǒng)中元件參數(shù)的變化可能對穩(wěn)定性帶來不利影響，系統(tǒng)必須具有適當?shù)南嘟窃６群驮鲆嬖６龋谠O計系統(tǒng)時，相角裕度常取30°～

60°，增益裕度應大于６dB。此時，系統(tǒng)將具有較滿意的暫態(tài)響應特性。

3.相角裕度和增益裕度是成對來使用的。最小相位系統(tǒng)幅頻特性與相頻特性存在唯一對應關系，故可只計算相角裕度。1.相角裕度和增益裕度可作為系統(tǒng)的開環(huán)頻域性能指標。說明：例1某單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為解之得ωc=1.23。計算相角裕度所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解之得ωg2.24。所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由應用計算幅值裕度

對于最小相位系統(tǒng)，一般情況下穩(wěn)定性的判據(jù)可使用GM或中的任意一個5.6系統(tǒng)頻域性能指標一．系統(tǒng)的閉環(huán)頻率性能指標1）零頻幅值M0：

=0時閉環(huán)幅值。2）諧振峰值Mr：閉環(huán)幅頻最大值。3）諧振頻率r：諧振峰值時頻率。4）帶寬頻率（或截止頻率）b：閉環(huán)幅值減小到0.707M0時的頻率。0b，稱為系統(tǒng)帶寬。二、頻域性能指標與瞬態(tài)性能指標之間的關系

開環(huán)頻域指標主要包括剪切頻率ωc、相角裕度以及增益裕度Kg或GM；閉環(huán)頻域指標主要包括諧振峰值Mr，諧振頻率ωr以及帶寬頻率ωb；時域暫態(tài)指標可以用相對超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間來描述。本節(jié)主要討論上述性能指標之間的關系。1.閉環(huán)頻域性能指標與瞬態(tài)性能指標之間的關系閉環(huán)幅頻特性的諧振峰值Mr反映控制系統(tǒng)的平穩(wěn)性，諧振頻率ωr反映控制系統(tǒng)的快速性。例：二階系統(tǒng)頻域指標二階系統(tǒng)的開環(huán)傳函為式中系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為式中結(jié)論：Mr的值越小，則超調(diào)量小，系統(tǒng)的動態(tài)過程的平穩(wěn)性越好。

ωr（或ωb）越大，頻帶就越寬，系統(tǒng)的快速性能越好。解上式得2.開環(huán)頻域性能指標與瞬態(tài)性能指標之間的關系

1）相角裕度和相對超調(diào)量之間的關系典型二階系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為其幅頻特性和相頻特性分別為相位裕度

相角裕度隨化的曲線如圖所示。

即相角裕度

和超調(diào)量均為系統(tǒng)阻尼比