受壓桿件穩(wěn)定性設(shè)計(jì)課件

受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念第二節(jié)細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力第三節(jié)臨界應(yīng)力總圖第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)第五節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施總結(jié)與討論第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念

在第三章討論桿件軸向拉伸和壓縮的強(qiáng)度計(jì)算中，對(duì)于受壓桿件，當(dāng)最大壓應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力（屈服極限或強(qiáng)度極限）時(shí)，會(huì)發(fā)生強(qiáng)度失效（出現(xiàn)塑性變形或破裂）。只要其最大壓應(yīng)力小于或等于許用應(yīng)力，即滿足強(qiáng)度條件時(shí)，桿件就能安全正常工作。然而，在實(shí)際工程中的一些細(xì)長(zhǎng)桿件受壓時(shí)，桿件可能發(fā)生突然彎曲，進(jìn)而產(chǎn)生很大的彎曲變形而導(dǎo)致最后折斷，而桿件的壓應(yīng)力卻遠(yuǎn)低于屈服極限或強(qiáng)度極限。顯然，此時(shí)桿件的失效不是由于強(qiáng)度不夠而引起的，而是與桿件在一定壓力作用下突然彎曲，不能保持其原有的平衡形態(tài)有關(guān)。我們把構(gòu)件在外力作用下保持其原有平衡形態(tài)的能力稱為構(gòu)件的穩(wěn)定性（stability）。受壓直桿在壓力作用下保持其直線平衡形態(tài)的能力稱為壓桿的穩(wěn)定性?？梢姡?xì)長(zhǎng)壓桿的失效是由于桿件喪失穩(wěn)定性而引起的，屬于穩(wěn)定性失效（failurebyloststability）。第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念在第三章討論桿件軸向拉伸和壓

工程實(shí)際中，有許多受壓桿件。如汽車起重機(jī)起重臂的支承桿（圖7.1），在起吊重物時(shí)，該支承桿就受到壓力作用。再如，建筑工地上所使用的腳手架（圖7.2），可以簡(jiǎn)化為桁架結(jié)構(gòu)，其中大部分豎桿要承受壓力作用。同樣，機(jī)床絲杠、起重螺旋（千斤頂）、各種受壓桿件在壓力作用下都有可能存在喪失穩(wěn)定而失效的問題。圖7.1起重機(jī)圖7.2腳手架工程實(shí)際中，有許多受壓桿件。如汽車起重機(jī)起重臂的支承1穩(wěn)定平衡的概念

深入研究構(gòu)件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)現(xiàn)其平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)載荷小于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡的構(gòu)件，受到一微小的干擾力后，構(gòu)件會(huì)偏離原平衡位置，而干擾力解除以后，又能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，這種平衡稱為穩(wěn)定平衡。當(dāng)載荷大于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡狀態(tài)的構(gòu)件受到干擾后，偏離原平衡位置，干擾力去除后，不能回到原平衡狀態(tài)時(shí)，這種平衡稱為不穩(wěn)定平衡。而介于穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡之間的臨界狀態(tài)稱為隨遇平衡。如圖7-3所示。穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡圖7-3平衡形態(tài)1穩(wěn)定平衡的概念深入研究構(gòu)件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)

當(dāng)壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，在任意微小的外界擾動(dòng)下，都會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降钠胶鉅顟B(tài)，這種過程稱為屈曲(buckling)或失穩(wěn)(loststability)。很多情形下，屈曲將導(dǎo)致構(gòu)件失效，這種失效稱為屈曲失效(failurebybuckling)。由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會(huì)產(chǎn)生災(zāi)難性后果，因此工程設(shè)計(jì)中需要認(rèn)真加以考慮。

如20世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國(guó)橋梁學(xué)家?guī)彀兀═heodoreCooper）在加拿大離魁北克城14.4公里，圣勞倫斯河上建造長(zhǎng)548米的魁北克大橋(QuebecBridge)，不幸的是，1907年8月29日，該橋發(fā)生穩(wěn)定性破壞（圖7-4），災(zāi)變發(fā)生在當(dāng)日收工前15分鐘，85位工人死亡，原因是在施工中懸臂桁架西側(cè)的下弦桿有二節(jié)失穩(wěn)所致，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一。圖7-4魁北克大橋當(dāng)壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，在任意微小的外界擾動(dòng)下，2臨界壓力的概念（a）（b）（c）（d）（e）圖7-5不同載荷作用下壓桿的平衡形態(tài)

現(xiàn)以圖7.5（a）所示一端固定一端自由細(xì)長(zhǎng)壓桿來說明壓桿的穩(wěn)定性。若壓桿為中心受壓的理想直桿，即假設(shè)：桿是絕對(duì)直桿，無初曲率；壓力與桿的軸線重合，無偏心；材料絕對(duì)均勻。則在壓力的作用下，無論壓力有多大，也沒有理由往旁邊彎曲。

當(dāng)壓力很小時(shí)，壓桿能夠保持平衡狀態(tài)，此時(shí)加一微小側(cè)向干擾力，桿發(fā)生輕微彎曲，在新的位置重新處于平衡狀態(tài)，如圖7-5（b）。若解除干擾力，則壓桿重新回到原直線平衡狀態(tài)，如圖7-5（c），因此，壓桿原直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。2臨界壓力的概念（a）（b）（c）

上述由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為臨界壓力（或臨界載荷）（criticalload），用Fcr表示。顯然，研究壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵是確定壓桿的臨界壓力值。桿件失去了保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為喪失穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)，或屈曲。

當(dāng)壓力逐漸增加到某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿發(fā)生微小彎曲，但去掉干擾力后，桿不能回到原直線平衡狀態(tài)，而是在微小彎曲曲線狀態(tài)下保持平衡，如圖7-5（d），則壓桿原平衡狀態(tài)是隨遇平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力逐漸增加超出某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿件離開直線平衡狀態(tài)后，就會(huì)一直彎曲直至桿件破壞為止，如圖7-5（e），則壓桿原平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。上述由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為臨界

除壓桿外，還有一些其他構(gòu)件也存在穩(wěn)定問題。例如圓柱形薄殼外部受到均勻壓力時(shí)，壁內(nèi)應(yīng)力為壓應(yīng)力，如果外壓達(dá)到臨界值時(shí)，薄殼將會(huì)失去原有圓柱形平衡狀態(tài)而喪失穩(wěn)定，如圖7-6所示。同樣，板條或窄梁在最大抗彎剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)，載荷過大也會(huì)發(fā)生突然的側(cè)彎現(xiàn)象，如圖7-7所示。薄壁圓筒在過大的扭矩作用下發(fā)生的局部皺折，也是屬于失穩(wěn)問題。本章只討論壓桿的穩(wěn)定問題，有關(guān)其他的穩(wěn)定問題可參考有關(guān)專著。圖7-7窄梁圖7-6圓柱形薄殼除壓桿外，還有一些其他構(gòu)件也存在穩(wěn)定問題。例如圓柱形薄殼第二節(jié)壓桿的臨界壓力和臨界應(yīng)力

1兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力

如圖7-8所示，兩端約束為球鉸支座的細(xì)長(zhǎng)壓桿，壓桿軸線為直線，受到與軸線重合的壓力作用。當(dāng)壓力達(dá)到臨界力時(shí)，壓桿將由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。顯然，使壓桿保持在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小壓力即為臨界壓力。假設(shè)桿件在壓力作用下發(fā)生微小彎曲變形，設(shè)桿件的彎曲剛度為EI。圖7-8兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿第二節(jié)壓桿的臨界壓力和臨界應(yīng)力1兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的圖7-6兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿

選取如圖所示坐標(biāo)系xAw。設(shè)距原點(diǎn)為x距離的任意截面的撓度為w，彎矩M的絕對(duì)值為Fw。若撓度w為負(fù)時(shí)，M為正。即M與w的符號(hào)相反，于是有將其代入撓曲線近似微分方程，得為了求解方便，令則有該微分方程的通解為式中C、D為積分常數(shù)，可通過邊界條件來確定。圖7-6兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿選取如圖所示坐標(biāo)系xAw。壓桿兩端約束為球鉸支座，其邊界條件為時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入通解式，可解得則可得到或如果D=0，則有w≡0，即壓桿各截面的撓度均為零，桿仍然保持直線狀態(tài)，這與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)前提相矛盾。因此D≠0

，則只有滿足上式的kl值為所以，于是，桿件所受的壓力為由上式可以看出，使壓桿保持曲線形狀平衡的壓力值，在理論上是多值的。但實(shí)際上，只有使桿件保持微小彎曲得最小壓力才是臨界壓力。顯然只有取n=1才有實(shí)際意義，于是可得臨界壓力為（7-1）壓桿兩端約束為球鉸支座，其邊界條件為時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入（7-1）上式即為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力表達(dá)式。式中：E為彈性模量，EI為彎曲剛度，l為壓桿長(zhǎng)度。EI應(yīng)取最小值，在材料給定的情況下，慣性矩I應(yīng)取最小值，這是因?yàn)闂U件總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)。當(dāng)n=1時(shí)，相應(yīng)的撓曲線方程為可見，壓桿由直線狀態(tài)的平衡過渡到曲線狀態(tài)的平衡以后，軸線變成了半個(gè)正弦曲線。D為桿件中點(diǎn)處的撓度。（7-1）上式即為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力表達(dá)式。式中：

該式是由瑞士科學(xué)家歐拉（L.Euler）于1744年提出的，故也稱為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉公式。歐拉早在18世紀(jì)，就對(duì)理想壓桿在彈性范圍內(nèi)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，但是，同其他科學(xué)問題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展的水平密切相關(guān)。歐拉公式面世后，在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里之所以未被認(rèn)識(shí)和重視，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)在工程與生活建造中使用的木樁、石柱都不是細(xì)長(zhǎng)的。到1788年熟鐵軋制的型材開始生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結(jié)構(gòu)。有了金屬結(jié)構(gòu)，細(xì)長(zhǎng)桿才逐漸成為重要議題。特別是19世紀(jì)，隨著鐵路建設(shè)和發(fā)展而來的鐵路金屬橋梁的大量建造，促使人們對(duì)壓桿穩(wěn)定問題進(jìn)行深入研究。該式是由瑞士科學(xué)家歐拉（L.Euler）于1742其他支承形式下的臨界壓力

（a）（b）（c）(d)圖7-7不同支承形式的細(xì)長(zhǎng)壓桿

從上面的推導(dǎo)過程可以看出，桿件壓彎后的撓曲線形式與桿件兩端的支承形式密切相關(guān)，積分常數(shù)是通過邊界條件來確定的，不同的邊界條件得到不同的結(jié)果。壓桿兩端的支座除鉸支外，還有其他情況，工程上較常見的桿端支承形式主要有四種，如圖7-7所示。各種支承情況下壓桿的臨界壓力公式，可以按照兩端鉸支形式的方式進(jìn)行推導(dǎo)，但也可以把各種支承形式的彈性曲線與兩端鉸支形式下的彈性曲線進(jìn)行類比來獲得臨界力公式。2其他支承形式下的臨界壓力（a）（b

例如千斤頂?shù)慕z桿如圖7-8所示，下端可簡(jiǎn)化為固定端，上端可簡(jiǎn)化為自由端。這樣就可以簡(jiǎn)化為下端固定上端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿如圖7-7（b）。假設(shè)在臨界壓力作用下以微小彎曲的形狀保持平衡，由于固定端截面不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，可以看出，其彎曲曲線與一長(zhǎng)2l為的兩端鉸支壓桿的撓曲線的上半段是相符合的，也就是說，如果把撓曲線對(duì)稱向下延伸一倍，就相當(dāng)于如圖7-7（a）所示的兩端絞支細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線，所以，一端固定另一端自由，長(zhǎng)度為的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力，等于兩端鉸支長(zhǎng)為2l

的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力，即

圖7-8千斤頂（7-2）例如千斤頂?shù)慕z桿如圖7-8所示，下端可簡(jiǎn)化為固定端，上端

對(duì)于圖7-7（c）所示兩端固定的壓桿，失穩(wěn)后的撓曲線形狀關(guān)于桿件的中間截面對(duì)稱，根據(jù)桿件彎曲變形的特點(diǎn)，可知距離上下端點(diǎn)四分之一桿長(zhǎng)處的兩點(diǎn)為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相當(dāng)于鉸鏈，故兩端固定長(zhǎng)為l的壓桿的臨界壓力與一長(zhǎng)為0.5l的鉸支壓桿的臨界壓力相等，則有

（7-3）

而圖7-7（d）所示一端固定，一端絞支的壓桿，根據(jù)桿件失穩(wěn)后的撓曲線形狀的特點(diǎn)，可知距離下端點(diǎn)約0.3l桿長(zhǎng)處為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相當(dāng)于鉸鏈，故其臨界壓力為（7-4）對(duì)于圖7-7（c）所示兩端固定的壓桿，失穩(wěn)后的撓曲線形狀

根據(jù)以上討論，可將不同桿端約束細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力公式統(tǒng)一寫成（7-5）

上式為歐拉公式的普遍形式。式中μ稱為長(zhǎng)度系數(shù)（coefficientoflength），它表示桿端約束對(duì)臨界壓力的影響，不同的桿端約束形式有不同的長(zhǎng)度系數(shù)，顯然桿端的約束越強(qiáng)，長(zhǎng)度系數(shù)越小。幾種支承情況的μ值列于下表。μl表示把壓桿折算成相當(dāng)于兩端鉸支壓桿時(shí)的長(zhǎng)度，稱為相當(dāng)長(zhǎng)度（effectivelength）。表7-1壓桿長(zhǎng)度系數(shù)支承情況一端固定一端自由兩端鉸支一端固定一端鉸支兩端固定210.70.5根據(jù)以上討論，可將不同桿端約束細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力公式統(tǒng)一例7-1如圖7-11所示細(xì)長(zhǎng)壓桿，一端固定，另一端自由。已知其彈性模量E=10GPa，長(zhǎng)度l=2m。試求①h=160mm，b=90mm和②h=b=120mm兩種情況下壓桿的臨界壓力。圖7-11例7-1圖解：（1）計(jì)算①情況下的臨界壓力截面對(duì)y，z軸的慣性矩分別為由于Iy<Iz，所以壓桿必然繞y軸彎曲失穩(wěn)，應(yīng)將代入計(jì)算公式（7.2）計(jì)算臨界壓力，根據(jù)桿端約束取μ=2，即例7-1如圖7-11所示細(xì)長(zhǎng)壓桿，一端固定，另一端自由。（2）計(jì)算②情況下的臨界壓力，截面對(duì)y，z軸的慣性矩相等，均為

由計(jì)算結(jié)果來看，兩種壓桿的材料用量相同，但情況②的臨界力是情況①的1.78倍，很顯然，桿件合理截面形狀是提高桿件穩(wěn)定性的措施之一。（2）計(jì)算②情況下的臨界壓力，截面對(duì)y，z軸的慣性矩相等，1壓桿的臨界應(yīng)力

當(dāng)桿件壓力達(dá)到臨界壓力時(shí)，將臨界壓力Fcr除以壓桿的橫截面面積A，則可得到臨界壓力下的應(yīng)力，稱為臨界應(yīng)力（criticalstress），用σcr表示，即將I=Ai2代入臨界應(yīng)力公式中，則有令于是，臨界應(yīng)力可以寫成如下形式

這里λ是與壓桿的長(zhǎng)度、約束情況、截面形狀和尺寸有關(guān)的系數(shù)，稱為壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比（slendernessradio），是一個(gè)無量綱的量，集中反映了桿長(zhǎng)、約束情況、截面形狀和尺寸等因素對(duì)臨界應(yīng)力的影響。第三節(jié)臨界應(yīng)力總圖1壓桿的臨界應(yīng)力當(dāng)桿件壓力達(dá)到臨界壓力時(shí)，將臨界壓2歐拉公式的適用范圍

由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可知，隨著柔度的減小，臨界應(yīng)力增大，當(dāng)柔度很小接近于零時(shí)，臨界應(yīng)力會(huì)趨于無窮大，這顯然是不符合實(shí)際情況的。因此，歐拉公式并不能適用于所有壓桿的臨界應(yīng)力的計(jì)算。下面討論歐拉公式的適用范圍。

歐拉公式是利用壓桿微彎時(shí)的撓曲線近似方程推導(dǎo)出來的，而撓曲線近似微分方程又是建立在材料服從虎克定律的基礎(chǔ)上的。因此，只有當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，歐拉公式才能成立，故有即2歐拉公式的適用范圍由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可知，隨著因此，歐拉公式的適用范圍可以表達(dá)為（7-9）將柔度l大于或等于權(quán)限柔度lP的壓桿稱為大柔度桿，或細(xì)長(zhǎng)桿。因此，只有大柔度桿才能使用歐拉公式計(jì)算其臨界壓力和臨界應(yīng)力。由式（7.8）可以看出，極限柔度與材料的比例極限和彈性模量有關(guān)。不同的材料，的數(shù)值也不同。令（7-8）lP是當(dāng)臨界應(yīng)力等于比例極限時(shí)所對(duì)應(yīng)的柔度值，常稱為極限柔度，是歐拉公式適用的最小柔度值。因此，歐拉公式的適用范圍可以表達(dá)為（7-9）將柔度l大于3臨界應(yīng)力總圖與經(jīng)驗(yàn)公式

工程實(shí)際中的壓桿，其柔度l往往會(huì)小于極限柔度lP，由于其臨界應(yīng)力已經(jīng)超過了材料的比例極限，因此，歐拉公式不再適用。臨界應(yīng)力超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題，屬于非線彈性失穩(wěn)問題，對(duì)于這類問題，也有理論分析結(jié)果，但在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用建立在實(shí)驗(yàn)或是在實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的經(jīng)驗(yàn)公式，常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式。1）直線公式

直線公式是把臨界應(yīng)力scr與柔度l表示成如下的線性關(guān)系（7-10）式中是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。例如：Q235鋼3臨界應(yīng)力總圖與經(jīng)驗(yàn)公式工程實(shí)際中的壓桿，其柔

如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)壓力達(dá)到材料的屈服極限ss（或強(qiáng)度極限sb）時(shí)，壓桿由于強(qiáng)度不夠而失效，不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)。因此，對(duì)于這種情況，應(yīng)按強(qiáng)度問題處理，其臨界應(yīng)力為屈服極限ss

（或強(qiáng)度極限sb

），即（或）顯然使用直線公式的最大應(yīng)力為ss

，于是有即令（7-12）將ls≤l≤lP的壓桿稱為中柔度壓桿，即直線公式適用于中柔度壓桿。而對(duì)于l≤ls的壓桿稱為小柔度壓桿。如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)壓力

如果以柔度l作為橫坐標(biāo)，以臨界應(yīng)力scr作為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則式（7.7）、（7.10）及（7.11）可表示成如圖7.10所示的曲線。圖7-10臨界應(yīng)力總圖（直線公式）

上圖表示出了臨界應(yīng)力scr隨壓桿的柔度l的變化情況，稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖（figuresofcriticalstresses）。臨界應(yīng)力總圖是壓桿設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。如果以柔度l作為橫坐標(biāo)，以臨界應(yīng)力scr作為縱坐標(biāo)，建2）拋物線公式

對(duì)于柔度l<lP的桿件，除了上述直線公式外，還有拋物線公式。拋物線公式是把臨界應(yīng)力scr與柔度l表示成如下的二次拋物線形式（7-13）圖7-11臨界應(yīng)力總圖（拋物線公式）式中a1、b1是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。可查閱有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)。2）拋物線公式對(duì)于柔度l<lP的桿件，除了上述直線

不論是用直線公式還是用拋物線公式，求得臨界應(yīng)力scr后，再乘以壓桿的橫截面面積A，即得壓桿的臨界壓力Fcr，即（7-14）

需要特別注意的是，在穩(wěn)定計(jì)算中，無論是歐拉公式還是經(jīng)驗(yàn)公式，均是以桿件的整體變形為基礎(chǔ)的，局部的削弱（如螺釘孔等）對(duì)桿件整體變形影響很小。因此，在計(jì)算臨界壓力和臨界應(yīng)力時(shí)，可不考慮局部削弱，均采用未經(jīng)削弱的橫截面面積和慣性矩進(jìn)行計(jì)算。至于強(qiáng)度問題，則應(yīng)考慮局部削弱的影響，使用削弱以后的橫截面面積來計(jì)算應(yīng)力。不論是用直線公式還是用拋物線公式，求得臨界應(yīng)力scr后，第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)

以上分析表明，臨界壓力是壓桿不發(fā)生失穩(wěn)的最大壓力。因此，臨界壓力即為穩(wěn)定問題的極限壓力（臨界應(yīng)力即為穩(wěn)定問題的極限應(yīng)力）。為保證壓桿不致發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，必須使壓桿實(shí)際承受的壓力低于臨界壓力。但要使壓桿安全可靠地工作，必須使壓桿具有一定的安全儲(chǔ)備，即考慮穩(wěn)定的安全系數(shù)nst，故壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則（criterionofdesignforstability）為

（7-15）或者（7-16）

其中n為壓桿的工作安全系數(shù)。上式說明，壓桿的工作安全系數(shù)應(yīng)該大于或等于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)。該方法一般稱為安全系數(shù)法。第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)以上分析表明，臨界壓力是壓桿

一般情況下，穩(wěn)定安全系數(shù)均高于強(qiáng)度安全系數(shù)。這是因?yàn)閷?duì)壓桿來講，一些難以避免的因素如桿的初曲率、壓力不對(duì)中、材料不均勻以及支座的缺陷等將嚴(yán)重影響壓桿的穩(wěn)定性。而這些因素對(duì)強(qiáng)度問題的影響就不像對(duì)穩(wěn)定問題那樣嚴(yán)重。關(guān)于穩(wěn)定安全系數(shù)，可查閱有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)和規(guī)范。一般情況下，穩(wěn)定安全系數(shù)均高于強(qiáng)度安全系數(shù)。這是因?yàn)槔?-2如圖7-12所示為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的連桿（正視圖和俯視圖）。已知連桿材料為Q235鋼，連桿承受軸向壓力為100kN，穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3，試校核連桿的穩(wěn)定性。圖7-12例7-2圖解：（1）柔度計(jì)算由于連桿在不同平面內(nèi)的約束條件不相同，因此必須計(jì)算兩個(gè)方向的柔度。如果連桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為鉸支座，長(zhǎng)度系數(shù)m=1。此時(shí)中性軸為z軸，慣性半徑為柔度為例7-2如圖7-12所示為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的連桿（正視圖和

如果連桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為固定端，長(zhǎng)度系數(shù)m=0.5。此時(shí)中性軸為y軸，慣性半徑為柔度為由于ly>lz，故壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定性大于在xz平面內(nèi)的穩(wěn)定性。所以應(yīng)以ly計(jì)算臨界壓力和臨界應(yīng)力。（2）臨界壓力計(jì)算

對(duì)于Q235鋼制成的壓桿，其極限柔度lP=100，ls=61.6，ls<l<

lP，壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力如果連桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為固定端，長(zhǎng)度系數(shù)查表可得a=304MPa，b=1.12MPa代入上式有

臨界壓力為（3）穩(wěn)定性校核由式（7-15），有故滿足穩(wěn)定條件。（4）討論

由于ly≠lz，連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性不相等。欲使連桿在xy和xz兩平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。則必須有l(wèi)y=lz

，即查表可得a=304MPa，b=1.12MPa代入上式有于是有本例中，由于l1與l大致相等，因此上式表明，欲使連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等，在設(shè)計(jì)截面時(shí)，應(yīng)保持Iz≈4Iz，對(duì)于本例中的矩形截面，則須有即此時(shí)，可保證連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。于是有本例中，由于l1與l大致相等，因此上式表明，欲使例7-3圖7-15（a）、（b）中所示壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長(zhǎng)度和約束條件各不相同。兩桿長(zhǎng)度分別為5m和9m。

（1）分析哪一根桿的臨界應(yīng)力較大。（2）計(jì)算d=160mm，E=206GPa時(shí)，二桿的臨界載荷。解：（1）計(jì)算柔度因?yàn)?，其中，而二者均為圓截面且直徑相同，故有圖7-15例7-3圖因二者約束條件和桿長(zhǎng)都不相同，所以柔度也不一定相同。例7-3圖7-15（a）、（b）中所示壓桿，其直徑均為d對(duì)于圖7-13（a）所示兩端鉸支的壓桿，m=1，l=5000mm

對(duì)于圖7-13（b）所示兩端固定的壓桿，m=0.5，l=9000mm

由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式，可見本例中兩端鉸支壓桿的臨界應(yīng)力小于兩端固定壓桿的臨界應(yīng)力。對(duì)于圖7-13（a）所示兩端鉸支的壓桿，m=1，l=5（2）計(jì)算各桿的臨界載荷對(duì)于兩端鉸支的壓桿屬于中長(zhǎng)桿，利用直線公式對(duì)于兩端固定的壓桿，也屬于中長(zhǎng)桿（2）計(jì)算各桿的臨界載荷對(duì)于兩端鉸支的壓桿屬于中長(zhǎng)桿，利例7-4圖7-14所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為No.l4普通熱軋工字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為d=20mm，二者材料均為Q235鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，ss=235MPa。強(qiáng)度安全因數(shù)ns=1.45，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=1.8。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全？圖7.14例7-4圖解：在給定的結(jié)構(gòu)中共有兩個(gè)構(gòu)件：梁AB，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強(qiáng)度問題；桿CD承受壓縮載荷，屬于穩(wěn)定問題?，F(xiàn)分別校核如下：例7-4圖7-14所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為No.l4普通熱（1）大梁AB的強(qiáng)度校核

大梁AB在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，該截面的彎矩和軸力分別為由型鋼表查得No.14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為由此得到Q235鋼的許用應(yīng)力smax略大于

[s]，但并沒有超出許用應(yīng)力的5%，工程上仍認(rèn)為是安全的。（1）大梁AB的強(qiáng)度校核大梁AB在截面C處彎矩最大，該（2）壓桿CD的穩(wěn)定校核由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力因?yàn)槭菆A截面桿，故慣性半徑又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束，m=1，所以

這表明，壓桿CD為非細(xì)長(zhǎng)桿，采用直線公式計(jì)算其臨界應(yīng)力壓桿CD的工作應(yīng)力為于是，壓桿的工作安全因數(shù)這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。（2）壓桿CD的穩(wěn)定校核由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力例7-5一壓桿由兩個(gè)等邊角鋼（140×140×12）組成（如圖7-17），用直徑d=25mm的鉚釘聯(lián)接成一個(gè)整體。桿長(zhǎng)l=3m，兩端絞支，承受軸向壓力

F=700kN。壓桿材料為Q235鋼，許用應(yīng)力[s]=100MPa，穩(wěn)定安全系數(shù)

nst=2。試校核壓桿的穩(wěn)定性及強(qiáng)度?！窘狻竣偃岫扔?jì)算由于截面為組合截面，因此必須分析截面對(duì)y和z軸的慣性矩。查型鋼表可得單根角鋼截面幾何性質(zhì)為：于是組合截面軸慣性矩分別為圖7-17例7-5圖例7-5一壓桿由兩個(gè)等邊角鋼（140×140×12）組成由于Iz<Iy，因此截面將繞中性軸z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)最小慣性半徑為iz，則最大柔度為材料的柔度極限為lp=100，ls=61.6，即所以壓桿為中柔度桿。由于Iz<Iy，因此截面將繞中性軸z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)最小慣性②穩(wěn)定校核由直線公式得臨界應(yīng)力為臨界壓力為于是，桿件的工作安全系數(shù)為故滿足穩(wěn)定條件。②穩(wěn)定校核由直線公式得臨界應(yīng)力為臨界壓力為于是，桿件③強(qiáng)度校核由于有局部削弱，因此進(jìn)行強(qiáng)度校核時(shí)，必須考慮削弱對(duì)強(qiáng)度的影響，削弱后的截面面積為則截面上的應(yīng)力為故不滿足強(qiáng)度要求。④討論由以上計(jì)算分析可見，壓桿有局部削弱時(shí)，在滿足穩(wěn)定條件的同時(shí)，強(qiáng)度條件可能不滿足。因此，有局部削弱時(shí)，在進(jìn)行穩(wěn)定校核的同時(shí)要進(jìn)行強(qiáng)度校核。工程實(shí)際中，應(yīng)盡量避免對(duì)壓桿的局部削弱，以免引起強(qiáng)度不足。③強(qiáng)度校核由于有局部削弱，因此進(jìn)行強(qiáng)度校核時(shí)，必須考慮削第四節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施

臨界應(yīng)力作為穩(wěn)定問題的極限應(yīng)力，其大小反映了壓桿承載能力的高低。因此，要提高壓桿的穩(wěn)定性，就需要從決定臨界應(yīng)力的各種因素著手。根據(jù)以上各節(jié)的討論，影響壓桿穩(wěn)定性的因素有：壓桿的長(zhǎng)度、約束條件、截面幾何形狀及尺寸、材料的性質(zhì)等。以下將從四個(gè)方面討論提高壓桿穩(wěn)定性的一些措施。第四節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施臨界應(yīng)力作為穩(wěn)定問題

如下圖所示兩種桁架結(jié)構(gòu)，其中桿①、④都是壓桿，但圖（b）中的壓桿的承載能力要遠(yuǎn)高于圖（a）中的壓桿。圖7-15不同桿長(zhǎng)的桁架1盡量減小壓桿長(zhǎng)度

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界載荷與桿長(zhǎng)的平方成反比，由柔度計(jì)算公式可知，減小壓桿長(zhǎng)度可降低壓桿柔度，而降低柔度可提高臨界應(yīng)力。因此，在結(jié)構(gòu)允許的情況下，盡可能地減小壓桿的長(zhǎng)度，可以有效而顯著地提高壓桿的承載能力。如下圖所示兩種桁架結(jié)構(gòu)，其中桿①、④都是壓桿，但圖（2增強(qiáng)壓桿的約束條件

桿件支承的剛性越大，即加強(qiáng)壓桿的約束，壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)m值越低，臨界載荷也就越大。如圖7-16（a）所示，兩端鉸支的細(xì)長(zhǎng)桿，變成兩端固定約束，如圖7-16（b）所示，其臨界載荷將顯著增加。兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)桿，其臨界壓力為，如果將鉸支座改為固定端，則其臨界壓力。可見，臨界壓力提高了3倍，穩(wěn)定性明顯提高。圖7-16不同支承的壓桿

也可通過增加中間支承的辦法來達(dá)到提高其穩(wěn)定性的目的。例如，若在兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的中間增加一個(gè)鉸支座，如圖7-16（c）所示，則臨界壓力同樣可以提高3倍，穩(wěn)定性也能明顯提高。一般說來，增加壓桿的約束，使其不容易發(fā)生彎曲變形，都可以提高壓桿的穩(wěn)定性。（a）（b）（c）2增強(qiáng)壓桿的約束條件桿件支承的剛性越大，即加強(qiáng)壓桿3選擇合理的截面形狀

由柔度計(jì)算公式可知，增大截面慣性半徑可降低柔度，進(jìn)而提高臨界應(yīng)力，達(dá)到提高穩(wěn)定性的目的。顯然，增加截面面積可以提高慣性半徑，但截面面積的增加勢(shì)必會(huì)耗費(fèi)材料。如截面面積不變，而是盡可能地把材料放在離截面形心較遠(yuǎn)處，也可以提高慣性半徑。例如，空心環(huán)形截面就比實(shí)心圓截面合理，如圖7-17所示，因?yàn)槿魞烧呓孛婷鎴D7-17不同截面的壓桿積相等，環(huán)形截面慣性半徑要比實(shí)心截面大得多。必須注意，不能為了取得較大的慣性半徑，而無限制地增加環(huán)形截面的直徑并減小其厚度，這會(huì)使其成為薄壁圓管而引起局部失穩(wěn)，發(fā)生局部皺折的危險(xiǎn)，反而對(duì)提高穩(wěn)定性不利。3選擇合理的截面形狀由柔度計(jì)算公式可知，增大截

截面形狀的合理性還表現(xiàn)為，壓桿在任一縱向平面內(nèi)的柔度l應(yīng)該相等或接近相等。這樣，在各個(gè)方向就具有相等或接近相等的穩(wěn)定性。例如，圓截面、環(huán)形截面和正方形截面均能滿足這一要求。如果壓桿在不同縱向平面內(nèi)，其相當(dāng)長(zhǎng)度并不相等，如例7-2中所示的桿件，桿件在xy和xz平面內(nèi)的相當(dāng)長(zhǎng)度不相等，這時(shí)只要調(diào)整連桿截面對(duì)兩個(gè)形心主慣性軸的慣性半徑，使得柔度相等或接近相等，就可以達(dá)到提高穩(wěn)定性的目的。截面形狀的合理性還表現(xiàn)為，壓桿在任一縱向平面內(nèi)的柔度4合理選擇材料

對(duì)于大柔度壓桿，其臨界應(yīng)力可由歐拉公式計(jì)算，由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可知，臨界應(yīng)力與材料的彈性模量有關(guān)。由于各種鋼材的彈性模量大致相等，因此對(duì)于大柔度壓桿，選用優(yōu)質(zhì)鋼材和選用普通低碳鋼對(duì)于臨界應(yīng)力并無很大差別。對(duì)于中柔度壓桿，無論是由經(jīng)驗(yàn)公式還是理論公式，都說明臨界應(yīng)力與材料的強(qiáng)度有關(guān)。優(yōu)質(zhì)鋼材在一定程度上可以提高臨界應(yīng)力的數(shù)值。至于小柔度壓桿，就是強(qiáng)度問題，選用優(yōu)質(zhì)鋼材，其優(yōu)越性是顯而易見的。

上述分析都是從單一因素來考慮如何提高壓桿的承載能力的。實(shí)際上，最終目的就是要提高壓桿的臨界載荷。在實(shí)際問題中，必須綜合考慮上述各因素，以達(dá)到提高壓桿穩(wěn)定性的目的。4合理選擇材料對(duì)于大柔度壓桿，其臨界應(yīng)力可由歐第五節(jié)總結(jié)與討論

本章介紹了穩(wěn)定性的概念，以及壓桿穩(wěn)定的計(jì)算方法。本章的主要知識(shí)點(diǎn)有：穩(wěn)定性的概念、壓桿穩(wěn)定的分析與計(jì)算方法：安全系數(shù)法。1穩(wěn)定性的概念在理解上比較抽象，應(yīng)明確穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡、和臨界載荷的概念和意義，理解兩端絞支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷公式的推導(dǎo)過程；2壓桿的臨界載荷的分析，與前面強(qiáng)度分析的分析方法不同，強(qiáng)度的極限載荷或極限應(yīng)力一般是通過實(shí)驗(yàn)得到的，而壓桿的臨界載荷則是通過理論分析得到的。3理解長(zhǎng)度系數(shù)的意義，熟練掌握細(xì)長(zhǎng)桿在常見的四種約束形式下的長(zhǎng)度系數(shù)，長(zhǎng)度系數(shù)隨約束的增強(qiáng)而減小。第五節(jié)總結(jié)與討論本章介紹了穩(wěn)定性的概念，以及壓4明確壓桿柔度、臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖的概念，明確歐拉公式的適用范圍。在穩(wěn)定問題的分析與計(jì)算中要熟練掌握大柔度、中柔度及小柔度三類桿件的判別方法，及其臨界載荷和穩(wěn)定性的校核方法。5在實(shí)際問題的分析中，能夠根據(jù)實(shí)際情況，對(duì)結(jié)構(gòu)采取適當(dāng)?shù)拇胧┖头椒?，來提高壓桿或結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。4明確壓桿柔度、臨界應(yīng)力和臨界應(yīng)力總圖的概念，明確歐拉公受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念第二節(jié)細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力第三節(jié)臨界應(yīng)力總圖第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)第五節(jié)提高壓桿穩(wěn)定性的措施總結(jié)與討論第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念

在第三章討論桿件軸向拉伸和壓縮的強(qiáng)度計(jì)算中，對(duì)于受壓桿件，當(dāng)最大壓應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力（屈服極限或強(qiáng)度極限）時(shí)，會(huì)發(fā)生強(qiáng)度失效（出現(xiàn)塑性變形或破裂）。只要其最大壓應(yīng)力小于或等于許用應(yīng)力，即滿足強(qiáng)度條件時(shí)，桿件就能安全正常工作。然而，在實(shí)際工程中的一些細(xì)長(zhǎng)桿件受壓時(shí)，桿件可能發(fā)生突然彎曲，進(jìn)而產(chǎn)生很大的彎曲變形而導(dǎo)致最后折斷，而桿件的壓應(yīng)力卻遠(yuǎn)低于屈服極限或強(qiáng)度極限。顯然，此時(shí)桿件的失效不是由于強(qiáng)度不夠而引起的，而是與桿件在一定壓力作用下突然彎曲，不能保持其原有的平衡形態(tài)有關(guān)。我們把構(gòu)件在外力作用下保持其原有平衡形態(tài)的能力稱為構(gòu)件的穩(wěn)定性（stability）。受壓直桿在壓力作用下保持其直線平衡形態(tài)的能力稱為壓桿的穩(wěn)定性?？梢姡?xì)長(zhǎng)壓桿的失效是由于桿件喪失穩(wěn)定性而引起的，屬于穩(wěn)定性失效（failurebyloststability）。第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念在第三章討論桿件軸向拉伸和壓

工程實(shí)際中，有許多受壓桿件。如汽車起重機(jī)起重臂的支承桿（圖7.1），在起吊重物時(shí)，該支承桿就受到壓力作用。再如，建筑工地上所使用的腳手架（圖7.2），可以簡(jiǎn)化為桁架結(jié)構(gòu)，其中大部分豎桿要承受壓力作用。同樣，機(jī)床絲杠、起重螺旋（千斤頂）、各種受壓桿件在壓力作用下都有可能存在喪失穩(wěn)定而失效的問題。圖7.1起重機(jī)圖7.2腳手架工程實(shí)際中，有許多受壓桿件。如汽車起重機(jī)起重臂的支承1穩(wěn)定平衡的概念

深入研究構(gòu)件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)現(xiàn)其平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)載荷小于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡的構(gòu)件，受到一微小的干擾力后，構(gòu)件會(huì)偏離原平衡位置，而干擾力解除以后，又能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，這種平衡稱為穩(wěn)定平衡。當(dāng)載荷大于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡狀態(tài)的構(gòu)件受到干擾后，偏離原平衡位置，干擾力去除后，不能回到原平衡狀態(tài)時(shí)，這種平衡稱為不穩(wěn)定平衡。而介于穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡之間的臨界狀態(tài)稱為隨遇平衡。如圖7-3所示。穩(wěn)定平衡隨遇平衡不穩(wěn)定平衡圖7-3平衡形態(tài)1穩(wěn)定平衡的概念深入研究構(gòu)件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)

當(dāng)壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，在任意微小的外界擾動(dòng)下，都會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降钠胶鉅顟B(tài)，這種過程稱為屈曲(buckling)或失穩(wěn)(loststability)。很多情形下，屈曲將導(dǎo)致構(gòu)件失效，這種失效稱為屈曲失效(failurebybuckling)。由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會(huì)產(chǎn)生災(zāi)難性后果，因此工程設(shè)計(jì)中需要認(rèn)真加以考慮。

如20世紀(jì)初，享有盛譽(yù)的美國(guó)橋梁學(xué)家?guī)彀兀═heodoreCooper）在加拿大離魁北克城14.4公里，圣勞倫斯河上建造長(zhǎng)548米的魁北克大橋(QuebecBridge)，不幸的是，1907年8月29日，該橋發(fā)生穩(wěn)定性破壞（圖7-4），災(zāi)變發(fā)生在當(dāng)日收工前15分鐘，85位工人死亡，原因是在施工中懸臂桁架西側(cè)的下弦桿有二節(jié)失穩(wěn)所致，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一。圖7-4魁北克大橋當(dāng)壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，在任意微小的外界擾動(dòng)下，2臨界壓力的概念（a）（b）（c）（d）（e）圖7-5不同載荷作用下壓桿的平衡形態(tài)

現(xiàn)以圖7.5（a）所示一端固定一端自由細(xì)長(zhǎng)壓桿來說明壓桿的穩(wěn)定性。若壓桿為中心受壓的理想直桿，即假設(shè)：桿是絕對(duì)直桿，無初曲率；壓力與桿的軸線重合，無偏心；材料絕對(duì)均勻。則在壓力的作用下，無論壓力有多大，也沒有理由往旁邊彎曲。

當(dāng)壓力很小時(shí)，壓桿能夠保持平衡狀態(tài)，此時(shí)加一微小側(cè)向干擾力，桿發(fā)生輕微彎曲，在新的位置重新處于平衡狀態(tài)，如圖7-5（b）。若解除干擾力，則壓桿重新回到原直線平衡狀態(tài)，如圖7-5（c），因此，壓桿原直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。2臨界壓力的概念（a）（b）（c）

上述由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為臨界壓力（或臨界載荷）（criticalload），用Fcr表示。顯然，研究壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵是確定壓桿的臨界壓力值。桿件失去了保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為喪失穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)，或屈曲。

當(dāng)壓力逐漸增加到某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿發(fā)生微小彎曲，但去掉干擾力后，桿不能回到原直線平衡狀態(tài)，而是在微小彎曲曲線狀態(tài)下保持平衡，如圖7-5（d），則壓桿原平衡狀態(tài)是隨遇平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力逐漸增加超出某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿件離開直線平衡狀態(tài)后，就會(huì)一直彎曲直至桿件破壞為止，如圖7-5（e），則壓桿原平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。上述由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為臨界

除壓桿外，還有一些其他構(gòu)件也存在穩(wěn)定問題。例如圓柱形薄殼外部受到均勻壓力時(shí)，壁內(nèi)應(yīng)力為壓應(yīng)力，如果外壓達(dá)到臨界值時(shí)，薄殼將會(huì)失去原有圓柱形平衡狀態(tài)而喪失穩(wěn)定，如圖7-6所示。同樣，板條或窄梁在最大抗彎剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)，載荷過大也會(huì)發(fā)生突然的側(cè)彎現(xiàn)象，如圖7-7所示。薄壁圓筒在過大的扭矩作用下發(fā)生的局部皺折，也是屬于失穩(wěn)問題。本章只討論壓桿的穩(wěn)定問題，有關(guān)其他的穩(wěn)定問題可參考有關(guān)專著。圖7-7窄梁圖7-6圓柱形薄殼除壓桿外，還有一些其他構(gòu)件也存在穩(wěn)定問題。例如圓柱形薄殼第二節(jié)壓桿的臨界壓力和臨界應(yīng)力

1兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力

如圖7-8所示，兩端約束為球鉸支座的細(xì)長(zhǎng)壓桿，壓桿軸線為直線，受到與軸線重合的壓力作用。當(dāng)壓力達(dá)到臨界力時(shí)，壓桿將由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。顯然，使壓桿保持在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小壓力即為臨界壓力。假設(shè)桿件在壓力作用下發(fā)生微小彎曲變形，設(shè)桿件的彎曲剛度為EI。圖7-8兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿第二節(jié)壓桿的臨界壓力和臨界應(yīng)力1兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的圖7-6兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿

選取如圖所示坐標(biāo)系xAw。設(shè)距原點(diǎn)為x距離的任意截面的撓度為w，彎矩M的絕對(duì)值為Fw。若撓度w為負(fù)時(shí)，M為正。即M與w的符號(hào)相反，于是有將其代入撓曲線近似微分方程，得為了求解方便，令則有該微分方程的通解為式中C、D為積分常數(shù)，可通過邊界條件來確定。圖7-6兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿選取如圖所示坐標(biāo)系xAw。壓桿兩端約束為球鉸支座，其邊界條件為時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入通解式，可解得則可得到或如果D=0，則有w≡0，即壓桿各截面的撓度均為零，桿仍然保持直線狀態(tài)，這與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)前提相矛盾。因此D≠0

，則只有滿足上式的kl值為所以，于是，桿件所受的壓力為由上式可以看出，使壓桿保持曲線形狀平衡的壓力值，在理論上是多值的。但實(shí)際上，只有使桿件保持微小彎曲得最小壓力才是臨界壓力。顯然只有取n=1才有實(shí)際意義，于是可得臨界壓力為（7-1）壓桿兩端約束為球鉸支座，其邊界條件為時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入（7-1）上式即為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力表達(dá)式。式中：E為彈性模量，EI為彎曲剛度，l為壓桿長(zhǎng)度。EI應(yīng)取最小值，在材料給定的情況下，慣性矩I應(yīng)取最小值，這是因?yàn)闂U件總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)。當(dāng)n=1時(shí)，相應(yīng)的撓曲線方程為可見，壓桿由直線狀態(tài)的平衡過渡到曲線狀態(tài)的平衡以后，軸線變成了半個(gè)正弦曲線。D為桿件中點(diǎn)處的撓度。（7-1）上式即為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力表達(dá)式。式中：

該式是由瑞士科學(xué)家歐拉（L.Euler）于1744年提出的，故也稱為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉公式。歐拉早在18世紀(jì)，就對(duì)理想壓桿在彈性范圍內(nèi)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，但是，同其他科學(xué)問題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展的水平密切相關(guān)。歐拉公式面世后，在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里之所以未被認(rèn)識(shí)和重視，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)在工程與生活建造中使用的木樁、石柱都不是細(xì)長(zhǎng)的。到1788年熟鐵軋制的型材開始生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結(jié)構(gòu)。有了金屬結(jié)構(gòu)，細(xì)長(zhǎng)桿才逐漸成為重要議題。特別是19世紀(jì)，隨著鐵路建設(shè)和發(fā)展而來的鐵路金屬橋梁的大量建造，促使人們對(duì)壓桿穩(wěn)定問題進(jìn)行深入研究。該式是由瑞士科學(xué)家歐拉（L.Euler）于1742其他支承形式下的臨界壓力

（a）（b）（c）(d)圖7-7不同支承形式的細(xì)長(zhǎng)壓桿

從上面的推導(dǎo)過程可以看出，桿件壓彎后的撓曲線形式與桿件兩端的支承形式密切相關(guān)，積分常數(shù)是通過邊界條件來確定的，不同的邊界條件得到不同的結(jié)果。壓桿兩端的支座除鉸支外，還有其他情況，工程上較常見的桿端支承形式主要有四種，如圖7-7所示。各種支承情況下壓桿的臨界壓力公式，可以按照兩端鉸支形式的方式進(jìn)行推導(dǎo)，但也可以把各種支承形式的彈性曲線與兩端鉸支形式下的彈性曲線進(jìn)行類比來獲得臨界力公式。2其他支承形式下的臨界壓力（a）（b

例如千斤頂?shù)慕z桿如圖7-8所示，下端可簡(jiǎn)化為固定端，上端可簡(jiǎn)化為自由端。這樣就可以簡(jiǎn)化為下端固定上端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿如圖7-7（b）。假設(shè)在臨界壓力作用下以微小彎曲的形狀保持平衡，由于固定端截面不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，可以看出，其彎曲曲線與一長(zhǎng)2l為的兩端鉸支壓桿的撓曲線的上半段是相符合的，也就是說，如果把撓曲線對(duì)稱向下延伸一倍，就相當(dāng)于如圖7-7（a）所示的兩端絞支細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線，所以，一端固定另一端自由，長(zhǎng)度為的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力，等于兩端鉸支長(zhǎng)為2l

的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力，即

圖7-8千斤頂（7-2）例如千斤頂?shù)慕z桿如圖7-8所示，下端可簡(jiǎn)化為固定端，上端

對(duì)于圖7-7（c）所示兩端固定的壓桿，失穩(wěn)后的撓曲線形狀關(guān)于桿件的中間截面對(duì)稱，根據(jù)桿件彎曲變形的特點(diǎn)，可知距離上下端點(diǎn)四分之一桿長(zhǎng)處的兩點(diǎn)為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相當(dāng)于鉸鏈，故兩端固定長(zhǎng)為l的壓桿的臨界壓力與一長(zhǎng)為0.5l的鉸支壓桿的臨界壓力相等，則有

（7-3）

而圖7-7（d）所示一端固定，一端絞支的壓桿，根據(jù)桿件失穩(wěn)后的撓曲線形狀的特點(diǎn)，可知距離下端點(diǎn)約0.3l桿長(zhǎng)處為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相當(dāng)于鉸鏈，故其臨界壓力為（7-4）對(duì)于圖7-7（c）所示兩端固定的壓桿，失穩(wěn)后的撓曲線形狀

根據(jù)以上討論，可將不同桿端約束細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力公式統(tǒng)一寫成（7-5）

上式為歐拉公式的普遍形式。式中μ稱為長(zhǎng)度系數(shù)（coefficientoflength），它表示桿端約束對(duì)臨界壓力的影響，不同的桿端約束形式有不同的長(zhǎng)度系數(shù)，顯然桿端的約束越強(qiáng)，長(zhǎng)度系數(shù)越小。幾種支承情況的μ值列于下表。μl表示把壓桿折算成相當(dāng)于兩端鉸支壓桿時(shí)的長(zhǎng)度，稱為相當(dāng)長(zhǎng)度（effectivelength）。表7-1壓桿長(zhǎng)度系數(shù)支承情況一端固定一端自由兩端鉸支一端固定一端鉸支兩端固定210.70.5根據(jù)以上討論，可將不同桿端約束細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力公式統(tǒng)一例7-1如圖7-11所示細(xì)長(zhǎng)壓桿，一端固定，另一端自由。已知其彈性模量E=10GPa，長(zhǎng)度l=2m。試求①h=160mm，b=90mm和②h=b=120mm兩種情況下壓桿的臨界壓力。圖7-11例7-1圖解：（1）計(jì)算①情況下的臨界壓力截面對(duì)y，z軸的慣性矩分別為由于Iy<Iz，所以壓桿必然繞y軸彎曲失穩(wěn)，應(yīng)將代入計(jì)算公式（7.2）計(jì)算臨界壓力，根據(jù)桿端約束取μ=2，即例7-1如圖7-11所示細(xì)長(zhǎng)壓桿，一端固定，另一端自由。（2）計(jì)算②情況下的臨界壓力，截面對(duì)y，z軸的慣性矩相等，均為

由計(jì)算結(jié)果來看，兩種壓桿的材料用量相同，但情況②的臨界力是情況①的1.78倍，很顯然，桿件合理截面形狀是提高桿件穩(wěn)定性的措施之一。（2）計(jì)算②情況下的臨界壓力，截面對(duì)y，z軸的慣性矩相等，1壓桿的臨界應(yīng)力

當(dāng)桿件壓力達(dá)到臨界壓力時(shí)，將臨界壓力Fcr除以壓桿的橫截面面積A，則可得到臨界壓力下的應(yīng)力，稱為臨界應(yīng)力（criticalstress），用σcr表示，即將I=Ai2代入臨界應(yīng)力公式中，則有令于是，臨界應(yīng)力可以寫成如下形式

這里λ是與壓桿的長(zhǎng)度、約束情況、截面形狀和尺寸有關(guān)的系數(shù)，稱為壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比（slendernessradio），是一個(gè)無量綱的量，集中反映了桿長(zhǎng)、約束情況、截面形狀和尺寸等因素對(duì)臨界應(yīng)力的影響。第三節(jié)臨界應(yīng)力總圖1壓桿的臨界應(yīng)力當(dāng)桿件壓力達(dá)到臨界壓力時(shí)，將臨界壓2歐拉公式的適用范圍

由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可知，隨著柔度的減小，臨界應(yīng)力增大，當(dāng)柔度很小接近于零時(shí)，臨界應(yīng)力會(huì)趨于無窮大，這顯然是不符合實(shí)際情況的。因此，歐拉公式并不能適用于所有壓桿的臨界應(yīng)力的計(jì)算。下面討論歐拉公式的適用范圍。

歐拉公式是利用壓桿微彎時(shí)的撓曲線近似方程推導(dǎo)出來的，而撓曲線近似微分方程又是建立在材料服從虎克定律的基礎(chǔ)上的。因此，只有當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，歐拉公式才能成立，故有即2歐拉公式的適用范圍由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可知，隨著因此，歐拉公式的適用范圍可以表達(dá)為（7-9）將柔度l大于或等于權(quán)限柔度lP的壓桿稱為大柔度桿，或細(xì)長(zhǎng)桿。因此，只有大柔度桿才能使用歐拉公式計(jì)算其臨界壓力和臨界應(yīng)力。由式（7.8）可以看出，極限柔度與材料的比例極限和彈性模量有關(guān)。不同的材料，的數(shù)值也不同。令（7-8）lP是當(dāng)臨界應(yīng)力等于比例極限時(shí)所對(duì)應(yīng)的柔度值，常稱為極限柔度，是歐拉公式適用的最小柔度值。因此，歐拉公式的適用范圍可以表達(dá)為（7-9）將柔度l大于3臨界應(yīng)力總圖與經(jīng)驗(yàn)公式

工程實(shí)際中的壓桿，其柔度l往往會(huì)小于極限柔度lP，由于其臨界應(yīng)力已經(jīng)超過了材料的比例極限，因此，歐拉公式不再適用。臨界應(yīng)力超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題，屬于非線彈性失穩(wěn)問題，對(duì)于這類問題，也有理論分析結(jié)果，但在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用建立在實(shí)驗(yàn)或是在實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的經(jīng)驗(yàn)公式，常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式。1）直線公式

直線公式是把臨界應(yīng)力scr與柔度l表示成如下的線性關(guān)系（7-10）式中是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。例如：Q235鋼3臨界應(yīng)力總圖與經(jīng)驗(yàn)公式工程實(shí)際中的壓桿，其柔

如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)壓力達(dá)到材料的屈服極限ss（或強(qiáng)度極限sb）時(shí)，壓桿由于強(qiáng)度不夠而失效，不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)。因此，對(duì)于這種情況，應(yīng)按強(qiáng)度問題處理，其臨界應(yīng)力為屈服極限ss

（或強(qiáng)度極限sb

），即（或）顯然使用直線公式的最大應(yīng)力為ss

，于是有即令（7-12）將ls≤l≤lP的壓桿稱為中柔度壓桿，即直線公式適用于中柔度壓桿。而對(duì)于l≤ls的壓桿稱為小柔度壓桿。如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)壓力

如果以柔度l作為橫坐標(biāo)，以臨界應(yīng)力scr作為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則式（7.7）、（7.10）及（7.11）可表示成如圖7.10所示的曲線。圖7-10臨界應(yīng)力總圖（直線公式）

上圖表示出了臨界應(yīng)力scr隨壓桿的柔度l的變化情況，稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖（figuresofcriticalstresses）。臨界應(yīng)力總圖是壓桿設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。如果以柔度l作為橫坐標(biāo)，以臨界應(yīng)力scr作為縱坐標(biāo)，建2）拋物線公式

對(duì)于柔度l<lP的桿件，除了上述直線公式外，還有拋物線公式。拋物線公式是把臨界應(yīng)力scr與柔度l表示成如下的二次拋物線形式（7-13）圖7-11臨界應(yīng)力總圖（拋物線公式）式中a1、b1是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)?？刹殚営嘘P(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)。2）拋物線公式對(duì)于柔度l<lP的桿件，除了上述直線

不論是用直線公式還是用拋物線公式，求得臨界應(yīng)力scr后，再乘以壓桿的橫截面面積A，即得壓桿的臨界壓力Fcr，即（7-14）

需要特別注意的是，在穩(wěn)定計(jì)算中，無論是歐拉公式還是經(jīng)驗(yàn)公式，均是以桿件的整體變形為基礎(chǔ)的，局部的削弱（如螺釘孔等）對(duì)桿件整體變形影響很小。因此，在計(jì)算臨界壓力和臨界應(yīng)力時(shí)，可不考慮局部削弱，均采用未經(jīng)削弱的橫截面面積和慣性矩進(jìn)行計(jì)算。至于強(qiáng)度問題，則應(yīng)考慮局部削弱的影響，使用削弱以后的橫截面面積來計(jì)算應(yīng)力。不論是用直線公式還是用拋物線公式，求得臨界應(yīng)力scr后，第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)

以上分析表明，臨界壓力是壓桿不發(fā)生失穩(wěn)的最大壓力。因此，臨界壓力即為穩(wěn)定問題的極限壓力（臨界應(yīng)力即為穩(wěn)定問題的極限應(yīng)力）。為保證壓桿不致發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，必須使壓桿實(shí)際承受的壓力低于臨界壓力。但要使壓桿安全可靠地工作，必須使壓桿具有一定的安全儲(chǔ)備，即考慮穩(wěn)定的安全系數(shù)nst，故壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)準(zhǔn)則（criterionofdesignforstability）為

（7-15）或者（7-16）

其中n為壓桿的工作安全系數(shù)。上式說明，壓桿的工作安全系數(shù)應(yīng)該大于或等于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)。該方法一般稱為安全系數(shù)法。第四節(jié)壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)以上分析表明，臨界壓力是壓桿

一般情況下，穩(wěn)定安全系數(shù)均高于強(qiáng)度安全系數(shù)。這是因?yàn)閷?duì)壓桿來講，一些難以避免的因素如桿的初曲率、壓力不對(duì)中、材料不均勻以及支座的缺陷等將嚴(yán)重影響壓桿的穩(wěn)定性。而這些因素對(duì)強(qiáng)度問題的影響就不像對(duì)穩(wěn)定問題那樣嚴(yán)重。關(guān)于穩(wěn)定安全系數(shù)，可查閱有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)和規(guī)范。一般情況下，穩(wěn)定安全系數(shù)均高于強(qiáng)度安全系數(shù)。這是因?yàn)槔?-2如圖7-12所示為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的連桿（正視圖和俯視圖）。已知連桿材料為Q235鋼，連桿承受軸向壓力為100kN，穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3，試校核連桿的穩(wěn)定性。圖7-12例7-2圖解：（1）柔度計(jì)算由于連桿在不同平面內(nèi)的約束條件不相同，因此必須計(jì)算兩個(gè)方向的柔度。如果連桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為鉸支座，長(zhǎng)度系數(shù)m=1。此時(shí)中性軸為z軸，慣性半徑為柔度為例7-2如圖7-12所示為一曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的連桿（正視圖和

如果連桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為固定端，長(zhǎng)度系數(shù)m=0.5。此時(shí)中性軸為y軸，慣性半徑為柔度為由于ly>lz，故壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定性大于在xz平面內(nèi)的穩(wěn)定性。所以應(yīng)以ly計(jì)算臨界壓力和臨界應(yīng)力。（2）臨界壓力計(jì)算

對(duì)于Q235鋼制成的壓桿，其極限柔度lP=100，ls=61.6，ls<l<

lP，壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力如果連桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn)，連桿兩端可視為固定端，長(zhǎng)度系數(shù)查表可得a=304MPa，b=1.12MPa代入上式有

臨界壓力為（3）穩(wěn)定性校核由式（7-15），有故滿足穩(wěn)定條件。（4）討論

由于ly≠lz，連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性不相等。欲使連桿在xy和xz兩平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。則必須有l(wèi)y=lz

，即查表可得a=304MPa，b=1.12MPa代入上式有于是有本例中，由于l1與l大致相等，因此上式表明，欲使連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等，在設(shè)計(jì)截面時(shí)，應(yīng)保持Iz≈4Iz，對(duì)于本例中的矩形截面，則須有即此時(shí)，可保證連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。于是有本例中，由于l1與l大致相等，因此上式表明，欲使例7-3圖7-15（a）、（b）中所示壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長(zhǎng)度和約束條件各不相同。兩桿長(zhǎng)度分別為5m和9m。

（1）分析哪一根桿的臨界應(yīng)力較大。（2）計(jì)算d=160mm，E=206GPa時(shí)，二桿的臨界載荷。解：（1）計(jì)算柔度因?yàn)?，其中，而二者均為圓截面且直徑相同，故有圖7-15例7-3圖因二者約束條件和桿長(zhǎng)都不相同，所以柔度也不一定相同。例7-3圖7-15（a）、（b）中所示壓桿，其直徑均為d對(duì)于圖7-13（a）所示兩端鉸支的壓桿，m=1，l=5000mm

對(duì)于圖7-13（b）所示兩端固定的壓桿，m=0.5，l=9000mm

由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式，可見本例中兩端鉸支壓桿的臨界應(yīng)力小于兩端固定壓桿的臨界應(yīng)力。對(duì)于圖7-13（a）所示兩端鉸支的壓桿，m=1，l=5（2）計(jì)算各桿的臨界載荷對(duì)于兩端鉸支的壓桿屬于中長(zhǎng)桿，利用直線公式對(duì)于兩端固定的壓桿，也屬于中長(zhǎng)桿（2）計(jì)算各桿的臨界載荷對(duì)于兩端鉸支的壓桿屬于中長(zhǎng)桿，利例7-4圖7-14所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為No.l4普通熱軋工字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為d=20mm，二者材料均為Q235鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，ss=235MPa。強(qiáng)度安全因數(shù)ns=1.45，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=1.8。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全？圖7.14例7-4圖解：在給定的結(jié)構(gòu)中共有兩個(gè)構(gòu)件：梁AB，承受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強(qiáng)度問題；桿CD承受壓縮載荷，屬于穩(wěn)定問題?，F(xiàn)分別校核如下：例7-4圖7-14所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為No.l4普通熱（1）大梁AB的強(qiáng)度校核

大梁AB在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，該截面的彎矩和軸力分別為由型鋼表查得No.14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為由此得到Q235鋼的許用應(yīng)力smax略大于

[s]，但并沒有超出許用應(yīng)力的5%，工程上仍認(rèn)為是安全的。（1）大梁AB的強(qiáng)度校核大梁AB在截面C處彎矩最大，該（2）壓桿CD的穩(wěn)定校核由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力因?yàn)槭菆A截面桿，故慣性半徑又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束，m=1，所以

這表明，壓桿CD為非細(xì)長(zhǎng)桿，采用直線公式計(jì)算其臨界應(yīng)力壓桿CD的工作應(yīng)力為于是，壓桿的工作安全因數(shù)這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。（2）壓桿CD的穩(wěn)定校核由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力例7-5一壓桿由兩個(gè)等邊角鋼（140×140×12）組成（如圖7-17），用直徑d=25mm的鉚釘聯(lián)接成一個(gè)整體。桿長(zhǎng)l=3m，兩端絞支，承受軸向壓力

F=700kN。壓桿材料為Q235鋼，許用應(yīng)力[s]=100MPa，穩(wěn)定安全系數(shù)

nst=2。試校核壓桿的穩(wěn)定性及強(qiáng)度?！窘狻竣偃岫扔?jì)算由于截面為組合截面，因此必須分析截面對(duì)y和z軸的慣性矩。查型鋼表可得單根角鋼截面幾何性質(zhì)為：于是組合截面軸慣性矩分別為圖7-17例7-5圖例7-5一壓桿由兩個(gè)等邊角鋼（140×140×12）組成由于Iz<I