2023屆新疆庫爾勒市新疆兵團第二師華山高考沖刺數(shù)學模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,在平行四邊形中,對角線與交于點,且,則()A. B.C. D.2.二項式的展開式中,常數(shù)項為()A. B.80 C. D.1603.己知四棱錐中,四邊形為等腰梯形,,,是等邊三角形,且;若點在四棱錐的外接球面上運動,記點到平面的距離為,若平面平面,則的最大值為()A. B.C. D.4.已知數(shù)列,,,…,是首項為8,公比為得等比數(shù)列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.45.上世紀末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1),充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學水平,也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意圖,圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計),夏至(或冬至)日光(當日正午太陽光線)與春秋分日光(當日正午太陽光線)的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知,黃赤交角近1萬年持續(xù)減小,其正切值及對應(yīng)的年代如下表:黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息,通過計算黃赤交角,可估計該骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年6.如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長.C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D.去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元.7.已知函數(shù)的一條切線為,則的最小值為()A. B. C. D.8.等比數(shù)列若則()A.±6 B.6 C.-6 D.9.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.10.已知函數(shù)滿足當時,,且當時,;當時,且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的點恰好有3對,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[3212.在中,為中點,且,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為__________.14.若變量,滿足約束條件則的最大值為________.15.運行下面的算法偽代碼,輸出的結(jié)果為_____.16.已知拋物線,點為拋物線上一動點,過點作圓的切線,切點分別為,則線段長度的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若恒成立,求的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)的極值點為,當變化時,點構(gòu)成曲線,證明:過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.18.(12分)如圖為某大江的一段支流,岸線與近似滿足∥,寬度為.圓為江中的一個半徑為的小島,小鎮(zhèn)位于岸線上,且滿足岸線,.現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的水上通道(圖中粗線部分折線段,在右側(cè)),為保護小島,段設(shè)計成與圓相切.設(shè).(1)試將通道的長表示成的函數(shù),并指出定義域;(2)若建造通道的費用是每公里100萬元,則建造此通道最少需要多少萬元?19.(12分)已知數(shù)列滿足:,,且對任意的都有,(Ⅰ)證明:對任意,都有;(Ⅱ)證明:對任意,都有;(Ⅲ)證明:.20.(12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上,圓心的橫坐標是整數(shù),且與直線4x+3y﹣29=0相切.(1)求圓的方程;(2)設(shè)直線ax﹣y+5=0(a>0)與圓相交于A,B兩點,求實數(shù)a的取值范圍;(3)在(2)的條件下,是否存在實數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線l過點P(﹣2,4),若存在,求出實數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.21.(12分)如圖,是正方形,點在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點,現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.(1)證明:平面.(2)三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.22.(10分)在四棱錐的底面中,,,平面,是的中點,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)線段上是否存在點,使得,若存在指出點的位置,若不存在請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

畫出圖形,以為基底將向量進行分解后可得結(jié)果.【詳解】畫出圖形,如下圖.選取為基底,則,∴.故選C.【點睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題(1)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,基底可以有無窮多組,在解決具體問題時,合理選擇基底會給解題帶來方便.(2)利用已知向量表示未知向量,實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數(shù)乘運算.2.A【解析】

求出二項式的展開式的通式,再令的次數(shù)為零,可得結(jié)果.【詳解】解:二項式展開式的通式為,令,解得,則常數(shù)項為.故選:A.【點睛】本題考查二項式定理指定項的求解,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項展開式的通式,是基礎(chǔ)題.3.A【解析】

根據(jù)平面平面,四邊形為等腰梯形,則球心在過的中點的面的垂線上,又是等邊三角形,所以球心也在過的外心面的垂線上,從而找到球心,再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示:取的中點,則是等腰梯形外接圓的圓心,取是的外心,作平面平面,則是四棱錐的外接球球心,且,設(shè)四棱錐的外接球半徑為,則,而,所以,故選:A.【點睛】本題考查組合體、球,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.4.A【解析】

根據(jù)題意依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列值的計算,意在考查學生的計算能力.5.D【解析】

先理解題意,然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形,在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,即可得到正確選項.【詳解】解:由題意,可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為,春秋分日光與垂直線夾角為,則即為冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,將圖3近似畫出如下平面幾何圖形:則,,.,估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.故選:.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力,運用了兩角和與差的正切公式,考查了轉(zhuǎn)化思想,數(shù)學建模思想,以及數(shù)學運算能力,屬中檔題.6.C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進行分析即可求解.【詳解】對于A選項:2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,故A正確;對于B選項:與去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長,所以其總量也實現(xiàn)了增長,故B正確;對于C選項:2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是:江蘇、山東、浙江、河南、遼寧,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,均居同一位的省有2個,故C錯誤;對于D選項:去年同期河南省的GDP總量,故D正確.故選:C.【點睛】本題考查了圖表分析,學生的分析能力,推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】

求導得到,根據(jù)切線方程得到,故,設(shè),求導得到函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,計算得到答案.【詳解】,則,取,,故,.故,故,.設(shè),,取,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題,利用導數(shù)求最值,意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.8.B【解析】

根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解,由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知,,所以,而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同,所以,故選:B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應(yīng)用,注意項的符號特征,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.10.C【解析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點對稱的圖象,分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件,解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點對稱的圖象,如圖所示,當時,對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點;當時,要使函數(shù)關(guān)于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點,則,解得.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題,考查學生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.11.A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因為函數(shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對實際問題:由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域為a,b,則函數(shù)fgx12.B【解析】

選取向量,為基底,由向量線性運算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.14.7【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當直線過點時,有最大值,.故答案為:.【點睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】

模擬程序的運行過程知該程序運行后計算并輸出的值,用裂項相消法求和即可.【詳解】模擬程序的運行過程知,該程序運行后執(zhí)行:.故答案為:【點睛】本題考查算法語句中的循環(huán)語句和裂項相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

連接,易得,可得四邊形的面積為,從而可得,進而求出的取值范圍,可求得的范圍.【詳解】如圖,連接,易得,所以四邊形的面積為,且四邊形的面積為三角形面積的兩倍,所以,所以,當最小時,最小,設(shè)點,則,所以當時,,則,當點的橫坐標時,,此時,因為隨著的增大而增大,所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查拋物線上的動點到定點的距離的求法,考查學生的計算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)證明見解析【解析】

(1)由恒成立,可得恒成立,進而構(gòu)造函數(shù),求導可判斷出的單調(diào)性,進而可求出的最小值,令即可;(2)由,可知存在唯一的,使得,則,,進而可得,即曲線的方程為,進而只需證明對任意,方程有唯一解,然后構(gòu)造函數(shù),分、和三種情況,分別證明函數(shù)在上有唯一的零點,即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)由題意,可知,由恒成立,可得恒成立.令,則.令,則,,,在上單調(diào)遞增,又,時,;時,,即時,;時,,時,單調(diào)遞減;時,單調(diào)遞增,時,取最小值,.(2)證明:由,令,由,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知,存在唯一的,使得,故存在唯一的極值點,則,,,曲線的方程為.故只需證明對任意,方程有唯一解.令,則,①當時,恒成立,在上單調(diào)遞增.,,,存在滿足時,使得.又單調(diào)遞增,所以為唯一解.②當時,二次函數(shù),滿足,則恒成立,在上單調(diào)遞增.,,存在使得,又在上單調(diào)遞增,為唯一解.③當時,二次函數(shù),滿足,此時有兩個不同的解,不妨設(shè),,,列表如下:00↗極大值↘極小值↗由表可知,當時,的極大值為.,,,,,..下面來證明,構(gòu)造函數(shù),則,當時,,此時單調(diào)遞增,,時,,,故成立.,存在,使得.又在單調(diào)遞增,為唯一解.所以,對任意,方程有唯一解,即過原點任意的直線與曲線有且僅有一個公共點.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查不等式恒成立問題,考查利用單調(diào)性研究圖象交點問題,考查學生的計算求解能力與推理論證能力,屬于難題.18.(1),定義域是.(2)百萬【解析】

(1)以為原點,直線為軸建立如圖所示的直角坐標系,設(shè),利用直線與圓相切得到,再代入這一關(guān)系中,即可得答案;(2)利用導數(shù)求函數(shù)的最小值,即可得答案;【詳解】以為原點,直線為軸建立如圖所示的直角坐標系.設(shè),則,,.因為,所以直線的方程為,即,因為圓與相切,所以,即,從而得,在直線的方程中,令,得,所以,所以當時,,設(shè)銳角滿足,則,所以關(guān)于的函數(shù)是,定義域是.(2)要使建造此通道費用最少,只要通道的長度即最?。?,得,設(shè)銳角,滿足,得.列表:0減極小值增所以時,,所以建造此通道的最少費用至少為百萬元.【點睛】本題考查三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用、利用導數(shù)求函數(shù)的最小值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.19.(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】分析:(1)用反證法證明,注意應(yīng)用題中所給的條件,有效利用,再者就是注意應(yīng)用反證法證題的步驟;(2)將式子進行相應(yīng)的代換,結(jié)合不等式的性質(zhì)證得結(jié)果;(3)結(jié)合題中的條件,應(yīng)用反證法求得結(jié)果.詳解:證明:(Ⅰ)證明:采用反證法,若不成立,則若,則,與任意的都有矛盾;若,則有,則與任意的都有矛盾;故對任意,都有成立;(Ⅱ)由得,則,由(Ⅰ)知,,即對任意,都有;.(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,由(Ⅰ)知,,∴,∴,即,若,則,取時,有,與矛盾.則.得證.點睛:該題考查的是有關(guān)命題的證明問題,在證題的過程中,注意對題中的條件的等價轉(zhuǎn)化,注意對式子的等價變形,以及證題的思路,要掌握證明問題的方法,尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.20.(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】

(2)設(shè)圓心為M(m,0),根據(jù)相切得到,計算得到答案.(2)把直線ax﹣y+5=0,代入圓的方程,計算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,過點M(2,0),計算得到答案.【詳解】(2)設(shè)圓心為M(m,0)(m∈Z).由于圓與直線4x+3y﹣29=0相切,且半徑為5,所以,即|4m﹣29|=2.因為m為整數(shù),故m=2.故所求圓的方程為(x﹣2)2+y2=2.(2)把直線ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圓的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直線ax﹣y+5=0交圓于A,B兩點,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以實數(shù)a的取值范圍是().(3)設(shè)符合條件的實數(shù)a存在,則直線l的斜率為,l的方程為,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圓心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4

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