平面直角坐標系及其應用

-平面直角坐標系〔根底〕知識講解【學習目標】【要點梳理】要點一、有序數(shù)對定義：把有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作(a，b)．要點詮釋：有序，即兩個數(shù)的位置不能隨意交換，(a，b)與(b，a)順序不同，含義就不同，如電影院的座位是6排7號，可以寫成(6，7)的形式，而(7，6)則表示7排6號．要點二、平面直角坐標系與點的坐標的概念平面直角坐標系在平面畫兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標系.水平的數(shù)軸稱為*軸或橫軸，習慣上取向右為向；豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，取向上方向為向，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點(如圖1).要點詮釋：平面直角坐標系是由兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成的.點的坐標平面任意一點P，過點P分別向*軸、y軸作垂線，垂足在*軸、y軸上對應的數(shù)a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數(shù)對〔a,b〕叫做點P的坐標，記作:P(a,b)，如圖2.要點詮釋：〔1〕表示點的坐標時，約定橫坐標寫在前，縱坐標寫在后，中間用"，〞隔開．〔2〕點P(a，b)中，|a|表示點到y(tǒng)軸的距離；|b|表示點到*軸的距離.(3)對應的．要點三、坐標平面象限建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成如下列圖的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個局部，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如以下列圖．要點詮釋：〔1〕坐標軸*軸與y軸上的點(包括原點)不屬于任何象限．〔2坐標平面的構造軸，y限.這六個區(qū)域中，除了軸與y1.各個象限和坐標軸上點的坐標符號規(guī)律要點詮釋：〔1〕對于坐標平面任意一個點，不在這四個象限，就在坐標軸上.〔2〕坐標軸上點的坐標特征：*軸上的點的縱坐標為0；y軸上的點的橫坐標為0．〔3〕根據(jù)點的坐標的符號情況可以判斷點在坐標平面上的大概位置；反之，根據(jù)點在坐標. z.-平面上的位置也可以判斷點的坐標的符號情況．2.象限的角平分線上點坐標的特征第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標相等，可表示為(a，a)；3.關于坐標軸對稱的點的坐標特征P(a，b)關于*軸對稱的點的坐標為(a,-b)；P(a，b)關于y軸對稱的點的坐標為(-a,b)；P(a，b)關于原點對稱的點的坐標為(-a,-b)．平行于坐標軸的直線上的點平行于*軸的直線上的點的縱坐標一樣；平行于y軸的直線上的點的橫坐標一樣.【典型例題】類型一、有序數(shù)對"13排1013,1010,13位置．【答案】10,13.【解析】由條件可知：前面的數(shù)表示排數(shù)，后面的數(shù)表示號數(shù).【總結升華】在表示時，先要"約定〞順序，一旦順序"約定〞，兩個數(shù)的位置就不能隨意交換，(a，b)與(b，a)順序不同，含義就不同．舉一反三：【變式地10:00時氣溫是6℃，表示(10，6)，(3，-7)表．【答案】3:00時該地氣溫是零下7℃．類型二、平面直角坐標系與點的坐標的概念如圖，寫出點ABCD【思路點撥】要確定點的坐標，要先確定點所在的象限，再看點到坐標軸的距離．【答案與解析】解：由點A向軸作垂線，得A點的橫坐標是2，再由點A向y軸作垂線，得A點的縱坐標是3，則點A2，3BCD的坐標．所以，各點的坐標：A(2，3)，B(3，2)，C(-2，1)，D(-1，-2)．【總結升華】平面直角坐標系任意一點到*軸的距離是這點縱坐標的絕對值，到y(tǒng)軸的距離是這點橫坐標的絕對值．舉一反三：【變式】在平面直角坐標系中，如果點A既*軸的上方，又在y軸的左邊，且距*軸軸分別為5個單位長度和4個單位長度，則點A的坐標( ).A．(5，-4) B．(4，-5) C．(-5，4) D．(-4，5)【答案】D.3.在平面直角坐標系中，描出以下各點A(4，3)，B(-2，3)，C(-4，1)，D(2，-2)．【答案與解析】解：因為點A的坐標是(4，3)，所以先在*軸上找到坐標是4的點M，再在y軸上找到坐標. z.-是3的點M作*N作yA，同理可描出點B、D．所以，點A、B、C、D在直角坐標系的位置如下列圖．【總結升華】對于坐標平面任意一點,都有唯一的一對有序數(shù)對和它對應；對于任意一對有一對應的．舉一反三：O〔30B的面積為．【答案】5.類型三、坐標平面及點的特征指出以下各點所在的象限或坐標軸．A(4，5)、B(-2，3)、C(-4，-1)、D(2.5，-2)、E(0，-4)、F(3，0)、G(0，0).【思路點撥】先判斷所求點的橫縱坐標的符號，進而判斷所在象限．【答案與解析】解：點A在第一象限，點B在第二象限，點C在第三象限，點D在第四象限，點E在y軸上，點F在*軸上，點G在原點上．軸上，又在y軸上．舉一反三：【變式1】點A(3，n)在第四象限，*軸的距離為4．則點A的坐標．【答案】(3，-4)．【高清課堂：第一講平面直角坐標系1 369934練習3】【變式2】假設點P(a,b)在第二象限，則：〔1〕點P1〔a,-b)在第象限；〔2〕點P2〔-a〔3〕點P3〔-a,-b)在第象限；〔4〕點P4〔b,a)在第象限.【答案】〔1〕三；〔2〕一；〔3〕四；〔4〕四.點A(-3，2)與點B(*，y)在同一條平行于y軸的直線上，且點B到*軸的距離等于3，求點B的坐標．【思路點撥】由"點A(-3，2)與點B(*，y)在同一條平行于y軸的直線上〞可得點B的橫坐標；由"點B到*軸的距離等于3〞可得B的縱坐標為3或﹣3，即可確定B的坐標．【答案與解析】解：如圖，∵點B與點A在同一條平行于y軸的直線上，∴點B與點A的橫坐標一樣，∴ *＝-3．. z.-∵點B到*軸的距離為3，∴ y＝3y＝-3．∴點B的坐標是(-3，3)或(-3，-3)．【總結升華】在點B的橫坐標為-3的條件下，點B到*軸的距離等于3，則點B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分類討論，防止漏解．舉一反三：【變式1】假設*軸上的點P到y(tǒng)軸的距離為3，則點P的坐標為〔〕.〔，〕 30〕或3〕C〔，〕 D0，〕或，【答案】B.【高清課堂：第一講平面直角坐標系1 369934練習4〔5】【變式2】在直角坐標系中，點P(*,y)在第二象限且P到*軸軸的距離分別為則P的坐標；假設去掉點P在第二象限這個條件，則P的坐標.〔-5,25，2-5,25，-25，-2〕.平面直角坐標系〔提高〕穩(wěn)固練習【穩(wěn)固練習】【穩(wěn)固練習】一、選擇題1．A地在地球上的位置如圖，則A地的位置是〔.A.東經(jīng)130°，北緯50° B.東經(jīng)130°，北緯C.東經(jīng)140°，北緯50° D.東經(jīng)40°，北緯50°點〔a，-2〕在二、四象限的角平分線上，則aＡ．2Ｂ．-2Ｃ．12

Ｄ．12點M到*軸y軸的距離分別為4和6，且點M在*軸的上方y(tǒng)軸的左側，則點M的標為( ).A．(4，-6) B．(-4，6) C．(6，-4) D．(-6，4)4．A(a，b)、B(b，a)表示同一個點，則這個點一定( ).A．第二、四象限的角平分線上 B．第一、三象限的角平分線C．平行*軸的直線上 D．平行于y軸的直線上點M(a，b)，過M作MHx軸于H，并延長到N，使NHMH，且N點坐標為(2，3)，則ab( ).Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．—1 Ｄ．—5()在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，且規(guī)定，形的部不含邊界上的點．觀察如下列圖的中心在原點，一邊平行*軸的形：邊長為1的形部有一個整點邊長為2的形部有1個整點邊長為3的形部有9個整點則邊長為8的形部的整點的個數(shù)為( ).A．64B．49C．36D．25二、填空題. z.-點到兩坐標軸的距離相等，則P點的坐標．線段AB3*軸，點A2，-5B如果點A(0，1)，B(3，1)，點C在y軸上，且△ABC的面積是5，則C點坐標 ．10.設y為有理數(shù)，假設則點〕在象.11．觀察以下有序數(shù)對：(3，-1)、5,17,1、9,1、……根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī) 2 3 4 律，第100個有序數(shù)對．

在平面直角坐標系中，點、、C的坐標分別為B(-3，-1)，C(-1，-1)，且D在軸上.順次連接這4個點得到的四邊形是平行四邊形，則D點的坐標13．平面直角坐標系兩點M(5，a)，N(b，-2)．假設直線軸，則a ，b ；(2)假設直線MN∥y，軸，則a ，b 假設點的坐標滿*+y＝*y，則稱點P為"和諧點〞請寫出一和諧點〞的坐標，．三、解答題15．如圖，棋子"馬〞所處的位置為(2，3)．(1)你能表示圖中"象〞的位置嗎.寫出馬〞的下一步可以到達的位象棋"馬〞日〞字" 〞字)16．如圖，假設*〔*〕均為第一象限的點BC三點不在同一條直線1 1 2 2上.求△OBC*、*、y、y1 2 1 2如圖，假設三個點的坐標分別為A〔2,5B7,7C〔9,1OABC的面積.OAB變換成三角形OAB11角形OAB變換成三角形OAB，第三次將三角形OAB變換成三角形OAB，A(1，2)，A(2，11 22 22 33 12)，A(4，2)，A(8，2)；B(2，0)，B(4，0)，B(8，0)，B(16，0)．2 3 1 2 3OAB33

變換成三角形OAB，則A的坐標，B的坐標；44 4 4(1)中找到的規(guī)律將三角形OAB進展n次變換，得到三角形OAB，推測A的坐標，Bn

的坐標．

nn n〔3〕求出的面積．【答案與解析】一、選擇題C.A；【解析】因為〔a，-2〕在二、四象限的角平分線上，所以a+(-2)=0，即a=2.D；【解析】根據(jù)題意，畫出以下列圖，由圖可知M〔-6，4〕.B；【解析】由題意可得：ab，橫坐標等于縱坐標的點在一三象限的角平分線上.B；. z.--.z..z.【解析】由題意知：點M〔a，b〕與點N〔-2，-3〕關于*軸對稱，所以M(-2,3).B；1二、填空題〔1，1〕或〔2，-2【解析】2a2，得a0或a1，分別代入即.〔5，-5-1，-5〕；【解析】xB

235或-1，而yB

5．07〕或〔0133 3【解析】AB3，由△ABC的面積是5，可得△ABC的邊AB上的高為10，又點3C在y軸上，所以x

0，

110

13或-7.C【答案】二；

C 3 3 3【解析】由絕對值的非負性，可得*，y的值，從而可得〔*，y〕所在的象限．11.【答案】201,

1 ;100100-n+1(2n1)，縱坐標的規(guī)律：(1n1.n12.【答案】(0，1)或(-4，1)；【解析】xD

224，yD

1.1【答案(1-2，； (2≠-，＝；2，2)或(0，0三、解答題【解析】解：(1)(5，3)； (2)(1，1)