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文檔簡介

一、波函數(shù)及薛定諤方程1.推導概率（粒子數(shù)）守恒的微分表達式;解答：由波函數(shù)的概率波解釋可知，當已經(jīng)歸一化時，坐標的取值概率密度為（1）將上式的兩端分別對時間求偏微商，得到（2）若位勢為實數(shù)，即，則薛定諤方程及其復共軛方程可以分別改寫如下形式（3）（4）將上述兩式代入（2）式，得到（5）若令（6）有（7）此即概率（粒子數(shù)）守恒的微分表達式。2.若線性諧振子處于第一激發(fā)態(tài)求其坐標取值概率密度最大的位置，其中實常數(shù)。解答：欲求取值概率必須先將波函數(shù)歸一化，由波函數(shù)的歸一化條件可知（1）利用積分公示（2）可以得到歸一化常數(shù)為（3）坐標的取值概率密度為（4）由坐標概率密度取極值的條件（5）知有五個極值點，它們分別是（6）為了確定極大值，需要計算的二階導數(shù)（7）于是有取極小值取極小值（8）（9）取極大值（10）最后得到坐標概率密度的最大值為（11）3.半壁無限高勢壘的位勢為求粒子能量在范圍內(nèi)的解。解答：按位勢的不同將求解區(qū)間分為三個，分別記為、和。在三個區(qū)域中，滿足有限性要求的波函數(shù)分別為（1）其中（2）（3）由處的連接條件（4）知（5）即要求于是（6）（7）再由得到處的連接條件（8）（9）由上式可得（10）此即能量本征值滿足的超越方程。該方程只能用數(shù)值法求解或用圖解法求解。由于余切為負值，所以角度在第2或第4象限。若令（11）則式（10）可以寫成（12）（13）若用作圖法求解上式，則其解是曲線與（14）在第2或第4象限的交點。4.帶電線性諧振子受到一個方向均勻電場的作用，求其能級。設該線性諧振子的質量為、電荷為、角頻率為。解答：在均勻電場作用下，帶電諧振子的哈密頓算符為（1）設哈密頓算符滿足本證方程（2）利用配方的方法改寫其勢能項為（3）若令（4）（5）

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