江蘇省常州市高級中學2016屆高三上學期階段調(diào)研(二)數(shù)學(文)試卷

江蘇省常州高級中學2015-2016學年第一學期高三年級階段調(diào)研（二）數(shù)學試卷一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上）1．函數(shù)y＝的定義域是▲；2．設(shè)是虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則復數(shù)的模=▲；3．“”是“直線和直線平行”的▲條件；（選“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）4．若樣本數(shù)據(jù)，，，的標準差為，則數(shù)據(jù)，，，的標準差為▲；5．閱讀右面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為▲；6．已知等差數(shù)列的公差為，若成等比數(shù)列，那么等于▲；7．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球中有黃球的概率為▲；8．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為eq\r(3)π，面積為2eq\r(3)π的扇形，則圓錐的體積是▲；9．已知，則=▲；10．已知雙曲線的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為_______▲_______；11．已知菱形的邊長為2，，點分別在邊上，，若，則的值為▲；12．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為▲；13．已知函數(shù),則方程恰有兩個不同的實根時，實數(shù)a的取值范圍是▲；14．已知圓O：，點M（1，0）圓內(nèi)定點，過M作兩條互相垂直的直線與圓O交于AB、CD，則弦長AC長的取值范圍▲；二、解答題（本大題共6小題，共計90分）15．（本小題滿分14分）在中，，（1）求的值；（2）若點D在邊上，，求的長。16．（本小題滿分14分）在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．（1）求證：AC⊥PB；（2）若PC=2，點M是棱PB上的點，且CM∥平面PAD，求BM的長。PPAAMMCDDBB17．（本小題滿分14分）某油庫的設(shè)計容量為30萬噸，年初儲量為10萬噸，從年初起計劃每月購進石油萬噸，以滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸，區(qū)域外前個月的需求量（萬噸）與的函數(shù)關(guān)系為，并且前4個月，區(qū)域外的需求量為20萬噸．

（1）試寫出第個月石油調(diào)出后，油庫內(nèi)儲油量（萬噸）與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使16個月內(nèi)每月按計劃購進石油之后，油庫總能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，且每月石油調(diào)出后，油庫的石油剩余量不超過油庫的容量，試確定的取值范圍．18．（本小題滿分16分）平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上一動點的直線，過F2與x軸垂直的直線記為，右準線記為；①設(shè)直線與直線相交于點M，直線與直線相交于點N，證明恒為定值，并求此定值。②若連接并延長與直線相交于點Q，橢圓的右頂點A，設(shè)直線PA的斜率為，直線QA的斜率為，求的取值范圍．19．（本小題滿分16分）設(shè)數(shù)列的前項和，，，且當時，．（1）求證:數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為．設(shè)是整數(shù)，問是否存在正整數(shù)，使等式成立？若存在，求出和相應(yīng)的值；若不存在，說明理由．20．（本小題滿分16分）已知為實常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點；①求實數(shù)的取值范圍；②求證：.江蘇省常州高級中學2015-2016學年第一學期高三年級階段調(diào)研數(shù)學試卷答案一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．請將答案填入答題紙?zhí)羁疹}的相應(yīng)答題線上）1．函數(shù)y＝的定義域是▲；（－1，＋∞）2．設(shè)是虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則復數(shù)的模=▲；13．“”是“直線和直線平行”的▲條件；（選“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）充分不必要4.若樣本數(shù)據(jù)，，，的標準差為，則數(shù)據(jù)，，，的標準差為▲；165．閱讀右面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為▲；46.已知等差數(shù)列的公差為，若成等比數(shù)列，那么等于▲；7．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球中有黃球的概率為▲；8．圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為eq\r(3)π，面積為2eq\r(3)π的扇形，則圓錐的體積是▲；9．已知，則=▲；10．已知雙曲線的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為______________；11．已知菱形的邊長為2，，點分別在邊上，，若，則的值為▲；212．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為▲；1813．已知函數(shù),則方程恰有兩個不同的實根時，實數(shù)a的取值范圍是▲；14．已知圓O：，點M（1，0）圓內(nèi)定點，過M作兩條互相垂直的直線與圓O交于AB、CD，求弦長AC長的取值范圍▲；二、解答題（本大題共6小題，共計90分）15．（本小題滿分14分）在中，，（1）求的值；（2）若點D在邊上，，求的長。解：如圖，設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別是，由余弦定理得，所以.4分又由正弦定理得.6分由題設(shè)知，所以.8分10分在中，由正弦定理得.14分16．（本小題滿分14分）在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2，∠CBA＝30°．（1）求證：AC⊥PB；（2）若PC=2，點M是棱PB上的點，且CM∥平面PAD，求BM的長。ABCDMP16．（1）∵PC⊥平面ABCDABCDMP又∠CBA＝30°，BC＝2，AB＝4，∴AC＝＝，∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線，故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB．…………7分（2）BM=2………………14分17.（本小題滿分14分）某油庫的設(shè)計容量為30萬噸，年初儲量為10萬噸，從年初起計劃每月購進石油萬噸，以滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸，區(qū)域外前個月的需求量（萬噸）與的函數(shù)關(guān)系為，并且前4個月，區(qū)域外的需求量為20萬噸．

（1）試寫出第個月石油調(diào)出后，油庫內(nèi)儲油量（萬噸）與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使16個月內(nèi)每月按計劃購進石油之后，油庫總能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求，且每月石油調(diào)出后，油庫的石油剩余量不超過油庫的容量，試確定的取值范圍．解：（1）………4分（2）根據(jù)題意，所以恒成立………6分即恒成立…8分…14分（2+2+2）18.（本小題滿分16分）平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以QUOTE為圓心以3為半徑的圓與以QUOTE為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓上一動點的直線，過F2與x軸垂直的直線記為，右準線記為；①設(shè)直線與直線相交于點M，直線與直線相交于點N，證明恒為定值，并求此定值。②若連接并延長與直線相交于點Q，橢圓的右頂點A，設(shè)直線PA的斜率為，直線QA的斜率為，求的取值范圍．（1）由題意知，則,又可得,所以橢圓C的標準方程為.………………4分（2）①MN………………6分………9分②點（），點Q，………………10分∵，，∴==．……12分∵點P在橢圓C上，∴，∴==．……………14分∵，∴．∴的取值范圍是．……………16分19.（本小題滿分16分）設(shè)數(shù)列的前項和，，，且當時，．（1）求證:數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前項和為．設(shè)是整數(shù)，問是否存在正整數(shù)，使等式成立？若存在，求出和相應(yīng)的值；若不存在，說明理由．19.解：（1）當時,,,代入并化簡得,………4分而恒為正值,∴∴數(shù)列是等比數(shù)列.………5分∴.當時,,又，∴………7分（2）當時，,此時，又∴.…………………9分故，…………………10分當時，，……12分若，則等式為，不是整數(shù)，不符合題意；……………14分若，則等式為，∵是整數(shù),∴必是的因數(shù),∵時∴當且僅當時，是整數(shù)，從而是整數(shù)符合題意.綜上可知，當時，存在正整數(shù)，使等式成立，當時，不存在正整數(shù)使等式成立.……………16分20．（本小題滿分16分）已知為實常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點；①求實數(shù)的取值范圍；②求證：.20.（1）的定義域為．其導數(shù)．1分①當時，，函數(shù)在上是增函數(shù)；2分②當時，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，．所以在是增函數(shù)，在是減函數(shù).4分（2）①由（I）知，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，不可能有兩個零點;